三角函数的平移、伸缩变换(一)(人教A版)(含答案)
解三角函数的平移与伸缩的练习题
解三角函数的平移与伸缩的练习题三角函数是数学中重要的概念，它们在物理、工程、计算机图形等领域起着重要的作用。
本文将提供一些练习题，帮助读者巩固和理解三角函数的平移与伸缩。
一、平移平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向上移动一定距离。
对于一般的三角函数，可通过函数表达式中的参数来实现平移。
下面是一道练习题：练习题1：已知函数y = sin(x)的图像，将其向左平移π/2个单位，并画出平移后的图像。
解答：将函数向左平移π/2个单位，意味着函数图像中的所有点的横坐标都减去π/2。
因此，平移后的函数可以表示为y = sin(x - π/2)。
接下来我们画出平移后的图像。
（插入图像，图像为sin(x)的图像向左平移π/2个单位）从绘制的图像我们可以看出，平移后的图像与原图像相比，整体向左平移了π/2个单位。
这是因为我们将函数中的每个x都减去了π/2。
二、伸缩伸缩是指将函数图像在横轴或纵轴方向上进行拉伸或压缩。
对于一般的三角函数，可以通过参数来实现伸缩。
下面是一道练习题：练习题2：已知函数y = cos(x)的图像，将其在纵轴方向上进行伸缩，并画出伸缩后的图像。
解答：将函数在纵轴方向上进行伸缩，可以通过在函数表达式中引入一个参数来实现。
我们可以将函数表示为y = a*cos(x)，其中a表示伸缩的比例因子。
如果a>1，代表向上拉伸；如果0<a<1，代表向下压缩。
接下来我们画出伸缩后的图像。
（插入图像，图像为cos(x)的图像在纵轴方向上拉伸/压缩后的图像）从绘制的图像可以观察到，伸缩后的图像相对于原图像在纵轴方向上进行了拉伸或压缩。
伸缩因子a的大小决定了图像的变化程度。
三、综合练习题练习题3：已知函数y = 2sin(3x - π/4)，请画出该函数的图像，并描述它的平移和伸缩特点。
解答：函数y = 2sin(3x - π/4)可以看做是函数y = sin(x)的平移和伸缩的组合。
根据函数的形式，可以得到以下推断：- 函数图像在横轴方向上向右平移π/12个单位（3x中的系数3意味着横坐标放大了3倍，因此平移距离也放大3倍）；- 函数图像在纵轴方向上进行了拉伸，拉伸因子为2（系数2的作用）。
_学年高中数学第一章三角函数第14课时平移变换、伸缩变换课时作业新人教A版必修4.docx
第14 课时平移变换、伸缩变换课时目标掌握y＝sin x 与y＝A sin( ωx＋φ) 图象之间的关系，会用“五点法”和变换法作y ＝A sin( ωx＋φ) 的图象，并会由函数的图象与性质求y＝A sin( ωx＋φ) 的解析式．识记强化y＝sin x 图象上所有点向左( φ>0) 或向右( φ<0) 平移| φ| 个单位得C1 ：y＝sin( x＋φ) ；C1 上各点的横坐标缩小( 当ω>1 时) 或伸长( 当0<ω<1) 到原来的1ω倍( 纵坐标不变) 得C2：y＝sin( ωx＋φ) ；C2 上各点纵坐标伸长( 当A>1 时) 或缩小(0<A<1) 到原来的A倍得到C3：y＝A sin( ωx＋φ)( Δ>0，ω>0) ．课时作业一、选择题1．要得到函数y＝sin 2x＋π3 的图象，只要将函数y＝sin2 x 的图象( )A．向左平移π个单位长度 B ．向右平移3π3个单位长度C．向左平移答案：C π个单位长度 D ．向右平移6π6个单位长度解析：因为y＝sin 2x＋π3π＝sin2 x＋6，所以将函数y＝sin2 x 的图象上所有点向左平移π6个单位长度，就可得到函数y＝sin2 x＋ππ6 ＝sin 2x＋3 的图象．2．把函数y＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1( 纵坐标不变) ，得到的图象所对应的函数是( ) 2πA．y＝sin 2x－3B ．y＝sinx2＋π6πC．y＝sin 2x＋答案：C3D ．y＝sin 2x＋2π3解析：把函数y＝sin x 的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y＝πsin x＋3的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数y＝πsin 2x＋3的图象．3．将函数y＝sin2 x 的图象向左平移π个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得到4的图象对应的函数是( )1A．y＝cos2x B．y＝1＋cos2xC．y＝1＋sin 2x＋D．y＝cos2x－1答案：B π4解析：将函数y＝sin2 x 的图象向左平移π个单位长度，得到函数y＝sin2 x＋4π4的图π象，即y＝sin 2x＋数为y＝1＋cos2 x.2＝cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位长度，所得到的图象对应的函4．为了得到函数y＝sin 2x－π6的图象，可以将函数y＝cos2x 的图象( )A．向右平移π个单位长度6B．向右平移π个单位长度3C．向左平移π个单位长度6D．向左平移答案：B π个单位长度3解析：y ＝sin 2x－π6＝cosπ2π－2x－6＝cos2π3－2x ＝cos 2x－2π3＝πcos2 x－3.5．将函数y＝sin(2 x＋φ) 的图象沿x 轴向左平移π个单位后，得到一个偶函数的图象，8则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C．0 D ．－答案：B π4左移解析：y＝sin(2 x＋φ) ―个―单→位y＝sin 2 x ＋π8π8＋φ＝sin 2x＋π4＋φ若为偶函数，则ππ＋φ＝4 2＋kπ，k∈Zπ经验证当k＝0 时，φ＝4.6．将函数y＝sin x－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍( 纵坐标不变) ，再将所得的图象向左平移π3个单位长度，得到的图象对应的解析式是( )A．y＝sin 12x B ．y＝sin1x－2π22C．y＝sin 答案：C 1πx－2 6D ．y＝sin 2x－π6解析：y ＝sin x－π3横坐标伸长到原来的2倍的图象――→y ＝sin12x－π3的图象y＝sin 12πx＋3π－3＝sin 12x－π6的图象，故所求解析式为y＝sin1πx－2 6.二、填空题7．如果将函数y＝sin π－4x 的图象向左平移φ个单位后正好与原函数的图象重合，6那么最小正数φ＝______________.答案：π2解析：y＝sin π向左平移－4x ――→6φ个单位y＝sinπ6－x＋φ＝sinπ6－4x－4φπ若与原函数图象重合，则需满足－4φ＝2kπ，k∈Z，当k＝－1 时，最小正数φ＝28．函数y＝12πsin 2x－4 的图象可以看作把函数y＝12sin2 x 的图象向________平移________个单位长度得到的．答案：右π81π解析：∵y＝sin 2x－2 4＝12sin2 x－π8，∴由y＝12sin2 x 的图象向右平移π8个单位长度便得到y＝12sin 2x－π4的图象．9．先将函数y＝sin2 x 的图象向右平移π个单位长度，再作所得图象关于y 轴的对称图3形，则最后所得图象的解析式是________．2π答案：y＝－sin 2x＋3解析：向右平移2ππ个单位长度得到y＝sin 2x－3 3，2π关于y 轴对称则y＝sin －2x－3＝－sin 2x＋2π3.三、解答题π10．用五点法画出函数y＝2sin 2x＋解：(1) 列表3的图象，并指出函数的单调区间．x －π6π12π37π125π6π2x＋30π2π3π22πy 0 2 0 －2 03π列表时由2x＋3的取值为0，π，π，23π2，2π，再求出相应的x 值和y 值．(2) 描点．(3) 用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得的简图向左、向右扩展，得到y＝2sin 2x＋π3 ( x∈R)的简图( 图略) ．可见在一个周期内，函数在7π，12π上递减，又因函数的周期为π，所以函数的递12减区间为kπ＋7ππ，kπ＋12 12( k∈Z) ．同理，递增区间为kπ－5π，kπ＋12π12( k∈Z)．11．先将函数y＝sin x 的图象向右平移π5个单位，再变化各点的横坐标( 纵坐标不变) ，得到最小正周期为2π的函数y＝sin( ωx＋φ)( 其中ω>0) 的图象，求ω和φ .3解：将函数y＝sin x 的图象向右平移ππ个单位，得到y＝sin x－5 5的图象，再变化y＝sin x－π5的图象各点的横坐标( 纵坐标不变)，得到最小正周期为23π的函数y＝sin( ωx2π＋φ)( 其中ω>0) 的图象，得到ω＝＝T 2π2π3＝3，所以ω＝3，φ＝－π5.能力提升12．要得到函数y＝cos 2x－π4的图象，只要将y＝sin2 x 的图象( )A．向左平移π个单位8B．向右平移π个单位8C．向左平移π个单位4D．向右平移答案：A π个单位4解析：y＝cos 2x－π4＝cosπ4－2x＝sin π－2ππ－2x ＝sin 2x＋4 44＝sin 2 x＋π8.13．函数y＝sin x 的图象可由y＝cos 2x－π6的图象经过怎样的变化而得到？解：∵y＝cos 2x－π6 ＝cosπ6－2x ＝sin π－2π6－2x＝sin 2x＋π3＝sin2 x＋π6.∴y＝cos 2x－π6＝sin2 x＋π6y横坐标变为原来的2倍＝sin2 x 纵坐―标―不→变y＝sin x.5。
三角函数的平移及伸缩变换(含答案)
三角函数的平移及伸缩变换一、单选题(共8道，每道12分)1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( )A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( )A.πB.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换7.函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换8.将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换。
(完整版)三角函数的平移伸缩变换练习题
三角函数的平移伸缩变换题型一：已知开始和结果，求平移量ϕω【2016高考四川文科】为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 （C ） 向上平行移动3π个单位长度 （D ） 向下平行移动3π个单位长度【】为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度【】要得到函数cos y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ）（A ）．向右平移π6个单位 （B ）．向右平移π3个单位 （C ）．向左平移π3个单位 （D ）．向左平移π6个单位【】要得到函数(21)y cos x ＝＋的图象，只要将函数2y cos x ＝的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位【】要得到sin(2)3y x π=-的图象，只需将sin 2y x =的图象 （ ）（A ）向左平移3π个单位 （B ）向右平移3π个单位 （C ）向左平移6π个单位 （D ）向右平移6π个单位【】.将函数sin 2y x =的图象作平移变换，得到函数sin(2)6y x π=-的图象，则这个平移变换可以是 （ ）A. 向左平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度 C. 向右平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【】为了得到函数4sin(3)()4y x x R π=+∈的图象，只需把函数4sin()()4y x x R π=+∈的图象上所有点（ ）A 、横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B 、横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变C 、纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D 、纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变．【2015山东】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【】为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需把函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位【】要得到cos(2)4y x π=-的图像，只需将sin 2y x =的图像（ ）A 向左平移8π个单位B 向右平移8π个单位C 向左平移4π个单位D 向右平移4π个单位【】已知函数()sin 4πf x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()R 0x ω∈>，的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度题型二：已知开始，平移量，求结果【】. 将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=-（C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=-【】函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） （A ）sin(2),3y x x R π=-∈ （B ）sin(),26x y x R π=+∈（C ）sin(2),3y x x R π=+∈ （D ）2sin(2),3y x x R π=+∈【】函数3sin(2)3y x π=+的图象，可由y sinx =的图象经过下述哪种变换而得到 ( )（A ）向右平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标扩大到原来的3倍（B ）向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标扩大到原来的3倍（C ）向右平移6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的31倍（D ）向左平移6π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标缩小到原来的31倍【】.将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是 . 【】. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是____________▲________________ .【】把函数sin(2)4y x π=+的图像向左平移8π个单位长度，再将横坐标压缩到原来的12，所得函数的解析式为（ ）。
三角函数的图像和变换以及经典习题和答案
3.4函数sin()y A x ωϕ=+的图象与变换【知识网络】1．函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义；２．函数sin()y A x ωϕ=+图象的变换（平移平换与伸缩变换） 【典型例题】 ［例1］(1)函数3sin()226x y π=+的振幅是 ；周期是 ；频率是 ；相位是 ；初相是 ．（１）32； 14π；26x π+；6π （2）函数2sin(2)3y x π=-的对称中心是 ；对称轴方程是；单调增区间是 ． （２）(,0),26k k Z ππ+∈；5,212k x k Z ππ=+∈； ()5,1212k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(3) 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- （３）C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=． (4) 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点 （ ）（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （４）C 先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移6π个单位长度，得到函数2sin(),6y x x R π=+∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像(5)将函数x x f y sin )(= 的图象向右平移4π个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 的表达式是 （ ）（A ）x cos （B ）x cos 2 （C ）x sin （D ）x sin 2 （５）B 提示: 212sin cos 2y x x =-=的图象关于x 轴对称的曲线是cos 2y x =-,向左平移4π得cos 2()sin 24y x x π=-+=2sin cos x x =［例2］已知函数2()2cos 2,(01)f x x x ωωω=+<<其中，若直线3x π=为其一条对称轴。
人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移π6个单位，则所得图像对应的解析式为（ ） A ．sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭3．已知α为第二象限角，且π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）． A ．34-B ．43-C ．53-D ．45-4．在ABC 中，tan sin cos A B B <，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定5．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．已知函数()22sin cos f x x x x ωωω=-，且()f x 图象的相邻对称轴之间的距离为4π，则当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为（ ）A ．1-B ．C ．D ．-7．若函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后与函数cos y x ω=的图象重合，则ω的值可能为（ ） A ．1-B ．2-C ．1D ．28．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A ．sin 6()22x x x f x -=- B ．sin 6()22x x x f x -=- C ．cos6()22x xx f x -=- D ．cos6()22x x xf x -=-9．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且1sin 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()tan απ+=（ ）A ．22-B ．2C ．24-D ．2410．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=（ ） A ．13-B ．13C ．22D 2211．刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当π取3.1416时可得cos89︒的近似值为（ ） A ．0.00873 B ．0.01745C ．0.02618D ．0.0349112．已知2cos 432θπ⎛⎫= ⎪⎝⎭-，则sin θ=（ ） A ．79 B ．19C ．－19D ．－79二、填空题13．角θ的终边经过点(1,3)P -，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________. 14．已知()tan 3πα+=，则2tan 2sin αα-的值为_______. 15．若函数cos()y x ϕ=+为奇函数，则最小的正数ϕ=_____；16．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，且在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则ω的取值范围为______.17．若3sin 5αα=，是第二象限角，则sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．18．已知函数()cos 2f x x =，若12,x x 满足12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的一个取值为________．19．已知sin θ＋cos θ＝15，则tan θ＋cos sin θθ的值是____________________. 20．若πcos cos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=________. 三、解答题21．已知α，β为锐角，4tan 3α=，()tan 2αβ+=-. （1）求cos2α的值. （2）求()tan αβ-的值. 22．已知sin ,2sin 212a x x π⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2cos ,sin 112b x x π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x a b =⋅ （1）求函数()y f x =的单调减区间和对称轴； （2）若关于x 的不等式()1f x m +<在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求m 的取值范围. 23．如图，以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴相交于点A ，点B ，P 在单位圆上，且525,B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，AOB α∠=.（1）求4cos 3sin 5cos 3sin -+αααα的值；（2）若四边形OAQP 是平行四边形，（i ）当P 在单位圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（ii ）设0)2(POA θθπ∠=≤≤，点(,)Q m n ，且()3f m n θ=+.求关于θ的函数()f θ的解析式，并求其单调增区间. 24．已知22sin 2sin12αα=-.（1）求sin cos cos2ααα+的值；（2）已知()0,απ∈，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2tan 6tan 1ββ-=，求2αβ+的值.25．已知函数2()2sin )sin ()2f x x x x x ππ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭R .（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 26．已知函数()4cos sin (0)6f x x x πωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π． （1）求函数()f x 在区间(0,)π上的单调递增区间； （2）求()f x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据正弦型函数的图像的变换规律进行求解即可. 【详解】 将函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的函数的解析式为：sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位，得到的函数的解析式为：1sin[]264y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，化简得：sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C2．C解析：C 【分析】根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式． 【详解】解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数sin()3y x π=+的图象；将sin()3y x π=+的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到1sin()23y x π=+的图象．∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得1()sin 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故选：C ．3．A解析：A 【分析】 由已知求出3sin 5α=，即可得cos α，进而求出所求. 【详解】 ∵π3cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴3sin 5α=，∵α为第二象限角，∴4cos 5α==-， ∴sin 3tan cos 4ααα==-． 故选：A ．4．C解析：C 【详解】∵tan sin cos A B B <，∴sin sin cos cos A BB A<，若A 是钝角，此不等式显然成立，三角形为钝角三角形，若A 是锐角，则sin sin cos cos A B A B <，cos cos sin sin cos()0A B A B A B -=+>，,A B 是三角形内角，∴02A B π<+<，从而()2C A B ππ=-+>，C 为钝角，三角形仍然为钝角三角形． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断．解题过程中，由sin sin cos cos A BB A<常常直接得出sin sin cos cos A B A B <，然后可判断出C 是钝角，三角形是钝角三角形，也选择了正确答案，但解题过程存在不全面．即应该根据A 角是锐角还是钝角分类讨论．实际上就是不等式性质的应用要正确．5．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】 解：3sin7a π=>；427πππ<<， 4cos coscos 72πππ∴<<，即10b -<<. 又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=； 33tan()tan 177c ππ∴=-=-<-， 01a b c ∴>>>->，故选：C. 6．D解析：D 【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω+=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为ππ242⨯=，所以2ππ22ω=，即2ω=，所以()π2sin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 423x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，因此()π2sin 423f x x ⎛⎫⎡=-- ⎪⎣⎝⎭，所以函数()f x 的最小值为-． 故选：D.7．A解析：A 【分析】先求解出sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭右移6π个单位后的函数解析式，然后根据诱导公式求解出ω的可取值. 【详解】因为sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭右移6π个单位后得到sin 63y x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 又因为sin 63y x ωππω⎛⎫=-+⎪⎝⎭与cos sin 2y x x πωω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象重合， 所以令2,632k k Z ωππππ-+=+∈，所以121,k k Z ω=--∈，所以ω可取1-，此时0k =， 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据三角函数的图象重合求解参数ω或ϕ的思路： （1）先根据诱导公式将函数名统一； （2）然后分析三角函数初相之间的关系；（3）对k 进行取值（有时注意结合所给范围），确定出满足条件的ω或ϕ的值.8．D解析：D 【分析】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，依次判断每个函数即可得出. 【详解】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，对于A ，当x 从右趋近于0时，sin60x >，22x x -<，故()0f x <，不符合题意，故A 错误； 对于B ，()()sin 6sin 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故B对于C ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故C错误； 对于D ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===---，()f x ∴是奇函数，当x 从右趋近于0时，cos60x >，22x x ->，()0f x ∴>，符合题意，故D 正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.9．A解析：A 【分析】由条件可得1cos 3α=-，然后可得sin α=，然后()sin tan tan cos ααπαα+==，即可算出答案. 【详解】因为1sin cos 23παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3α=所以()sin tan tan cos ααπαα+===-故选：A10．A解析：A 【分析】 运用α-、2πα-的诱导公式，计算即可得到.【详解】 解：1sin()43πα-=，即为1sin()43πα-=-， 即有1sin[()]243ππα-+=-， 即1cos()43πα+=-.11．B解析：B 【分析】根据cos89sin1︒=，将一个单位圆分成360个扇形，由这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积求解. 【详解】因为()cos89cos 901sin1︒=-=，所以将一个单位圆分成360个扇形，则每一个扇形的圆心角为1︒， 所以这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积，即2136011sin112π⨯⨯⨯⨯≈，所以 3.1416sin10.01745180180π≈≈≈， 故选：B12．C解析：C 【分析】根据题中条件，由诱导公式，以及二倍角公式，即可求出结果. 【详解】 因为2cos 432θπ⎛⎫=⎪⎝⎭-， 所以241sin cos 2cos 12124299ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C二、填空题13．【分析】利用正弦函数定义求得再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意所以故答案为：解析：12-【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算 【详解】由题意sin 2θ=，1cos 2θ=，所以，1sin cos 62πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-， 故答案为：12-14．【分析】利用诱导公式求出再利用二倍角公式求出以及同角三角函数的基本关系求出即可得解；【详解】解：由题意所以所以所以故答案为： 解析：3320-【分析】利用诱导公式求出tan α，再利用二倍角公式求出tan2α，以及同角三角函数的基本关系求出2sin α，即可得解； 【详解】解：由题意()tan 3πα+=，所以tan 3α=，所以22tan 3tan 21tan 4ααα==--，222222sin tan 9sin sin cos tan 110αααααα===++，所以23933tan 2sin 41020αα-=--=-. 故答案为：3320-15．【分析】根据函数奇偶性表示出进而可得结果【详解】因为函数为奇函数所以只需又即所以时取最小值故答案为：解析：2π 【分析】 根据函数奇偶性，表示出ϕ，进而可得结果. 【详解】因为函数cos()y x ϕ=+为奇函数， 所以只需,2k k Z πϕπ=+∈，又0ϕ>，即0,2k k Z ππ+>∈，所以0k =时，ϕ取最小值2π. 故答案为：2π. 16．【分析】由函数图象关于原点对称可得再由在区间上是增函数可得解不等式即可【详解】由函数的图象关于原点对称得即因为在区间上是减函数所以在区间上是增函数又是函数的单调递增区间所以又解得故答案为：解析：30,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由函数图象关于原点对称可得2ϕπ=，再由2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，可得22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解不等式即可.【详解】由函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，得2ϕπ=， 即()2cos 2sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数， 所以2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，又,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数2sin y x ω=的单调递增区间， 所以22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，又0>ω，解得304ω<≤.故答案为：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦17．【分析】根据条件分别求再代入求两角和的正弦【详解】且是第二象限角故答案为：解析：50-【分析】根据条件分别求cos α，sin 2α，cos2α，再代入求两角和的正弦 【详解】3sin 5α=，且α是第二象限角，4cos 5α∴==- 27cos 22cos 125αα∴=-=，3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，)sin 2sin 2cos 24πααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.故答案为：18．（答案不唯一）【分析】根据的值域为可知若满足则必有的值分别为再根据三角函数的性质分析即可【详解】因为的值域为故若满足则必有的值分别为故的最小值当且仅当为相邻的两个最值点取得此时为的半个周期即故答案为解析：π2（答案不唯一） 【分析】根据()cos2f x x =的值域为[]1,1-可知若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,再根据三角函数的性质分析即可.【详解】因为()cos2f x x =的值域为[]1,1-,故若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,故12x x -的最小值当且仅当12,x x 为()cos2f x x =相邻的两个最值点取得.此时12x x -为()cos2f x x =的半个周期,即12222ππ⨯=. 故答案为：2π【点睛】关键点点睛：相邻的两个最值点的横坐标的距离为半个周期是解题的突破点.19．【分析】先通过已知求出再化简tanθ＋即得解【详解】由sinθ＋cosθ＝得tanθ＋故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是把sinθ＋cosθ＝两边平方得到 解析：2512-【分析】先通过已知求出12sin cos 25θθ=-，再化简tan θ＋cos sin θθ即得解. 【详解】 由sin θ＋cos θ＝15得1121+2sin cos ,sin cos 2525θθθθ=∴=-. tan θ＋cos sin θθsin cos 125cos sin sin cos 12θθθθθθ=+==-.故答案为：2512-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是把sin θ＋cos θ＝15两边平方得到12sin cos 25θθ=-. 20．或【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开再进行平方再根据正弦的二倍角公式可答案得【详解】由得即所以或当时两边同时平方得所以解得；当时所以所以所以故答案为：或解析：1-或12【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开，再进行平方，再根据正弦的二倍角公式可答案得． 【详解】 由πcos cos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得)22cos +sin cos sin 2αααα=-，即)()()cos +sin cos sin cos +sin αααααα=-，所以cos sin =αα-或cos +sin 0αα=，当cos sin =2αα-时，两边同时平方得112sin cos =2αα-，所以11sin2=2α-.解得sin 2α=12； 当cos +sin 0αα=时，tan 1α=-，所以()+,4k k Z παπ=-∈所以()2+2,2k k Z παπ=-∈所以sin 21α=-，故答案为：1-或12. 三、解答题21．（1）725-；（2）211-.【分析】（1）利用同角三角函数的关系以及二倍角公式即可求值； （2）先求出24tan 27α=-，再利用()()tan tan 2αβααβ-=-+⎡⎤⎣⎦即可求解. 【详解】解：（1）由题意知：α为锐角，且22sin 4tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得：4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，229167cos 2cos sin 252525ααα∴=-=-=-； （2）由（1）知，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=， 则24sin 22425tan 27cos 2725ααα===--， ()()()()tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+⋅+，()()241022775524111277----===-⎛⎫+-⨯- ⎪⎝⎭， 故()2tan 11αβ-=-. 22．（1）单调递减区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；对称轴为23k x ππ=+，k ∈Z ；（2）()1,+∞. 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可令()()sin 261g f x x x π⎛⎫-== ⎝+⎪⎭，依题意可得()m g x >在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.根据正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：（1）()()22sin cos 2sin 11212a b x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 22cos sin 2cos 2166x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos 21sin 2126x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536k x k ππππ+≤≤+， 所以()f x 的单调递减区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 再令262x k πππ-=+，解得23k x ππ=+，所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+，k ∈Z （2）令()()sin 261g f x x x π⎛⎫-== ⎝+⎪⎭因为()1f x m +<在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()m g x >在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()max 13x g g π⎛⎫== ⎪⎝⎭所以1m ，于是m 的取值范围是()1,+∞ 【点睛】本题解答的关键是三角恒等变换及三角函数的性质的应用，利用恒等变换公式及辅助角公式()sin cos a x b x x ϕ+=+，其中（tan baϕ=） 23．（1）10-；（2）（i ）22(1)1x y -+=；（ii ）()2sin 16f πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由三角函数定义得tan 2α，再弦化切代入计算，即可求4cos 3sin 5cos 3sin -+αααα的值；（2）（i ）设PA 中点为H ，()11,P x y ，(),Q x y ，则22111x y +=，111,22x y H +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此可求点O 的轨迹方程；（ii）确定()cos 12sin 16f πθθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，即可求其单调增区间. 【详解】解：（1）由三角函数定义得tan 25α==-，所以44cos 3sin 5cos 3si 3tan 1010tan 1n 53αααααα-===-+--+.（2）∵四边形OAQP 是平行四边形，∴PA 与OQ 互相平分，（i ）设PA 中点为H ，()11,P x y ，(),Q x y ，则22111x y +=，111,22x y H +⎛⎫⎪⎝⎭，又,22x y H ⎛⎫⎪⎝⎭，所以111x x y y =-⎧⎨=⎩，代入上式得点Q 的轨迹方程为22(1)1x y -+=. （ii ）因为0)2(POA θθπ∠=≤≤，所以11cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，又由（i ）知111x m y n =-⎧⎨=⎩，∴cos 1sin m n θθ=+⎧⎨=⎩，∴()cos 12sin 16f πθθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∵22,26202k k k ππππθπθπ⎧-≤+≤+∈⎪⎨⎪≤≤⎩Z ， ∴03πθ≤≤或423πθπ≤≤， ∴()fθ的增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为,x y 的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程. 24．（1）15；（2）74π. 【分析】（1）先求出1tan 2α=-，再化简22tan 1tan sin cos cos 2tan 1αααααα+-+=+即得解；（2）先求出1tan 23β=-，再求出tan(2)1αβ+=-，求出52,23παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，即得解. 【详解】（1）由已知得2sin cos αα=-，所以1tan 2α=-222222sin cos cos sin tan 1tan 1sin cos cos 2sin cos tan 15αααααααααααα+-+-+===++ （2）由2tan 6tan 1ββ-=，可得22tan 1tan 21tan 3βββ==--，则11tan tan 223tan(2)1111tan tan 2123αβαβαβ--++===---⨯. 因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,βπ∈，又1tan 23β=->52,6πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 因为()0,απ∈，1tan 23α=->-， 则5,6παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则52,23παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以724παβ+=. 【点睛】易错点睛：本题容易得出两个答案，724παβ+=或34π.之所以得出两个答案，是没有分析缩小,αβ的范围，从而得到52,23παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭.对于求角的大小的问题，一般先求出角的某三角函数值，再求出角的范围，再得到角的大小.25．（1）最小正周期为π；（2）单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（3）[0,3].【分析】（1）逆用二倍角公式化简整理可得()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用2T ωπ=即可求得()f x 的最小正周期；（2）令26z x π=-，利用函数2sin 1y z =+的图像与性质，列出不等式，即可求得()f x 的单调递减区间；（3）由20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图像与性质，即可求得()f x 的取值范围.【详解】 （1）由已知可得()1cos 2cos f x x x x =-+2cos 21x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）令26z x π=-，函数2sin 1y z =+的单调递减区间是32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .所以3222262k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z 得536k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z . 所以()f x 的单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（3）因为20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()[0,3]f x ∈， 即()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是[0,3]. 【点睛】本题考查二倍角公式的逆用，辅助角公式的应用，正弦型函数的单调区间、周期和值域问题，综合性较强，考查计算化简，数形结合的能力，考查整体性的思想，属基础题. 26．（1）0,3π⎛⎤⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）1. 【分析】（1）利用两角和差的三角公式结合辅助角公式进行化简，结合周期公式求出ω的值，结合单调性进行求解即可；（2）根据3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得到7212612x πππ≤-≤可得()f x 最大值. 【详解】（1）1()4cos cos 22f x x x x ωωω⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos 21x x x x x ωωωωω=-=--2sin 216x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为π，所以22T ππω==． 又0>ω，所以1ω=， 所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令222()262k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，得()63k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 在(0,)π上的单调递增区间为0,3π⎛⎤⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． （2）当3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，7212612x πππ≤-≤．当226x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值1． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合两角和差的三角公式以及辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合的函数的性质是解决本题的关键，难度中等.。
人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》检测(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则错误的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 2．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点()0,0x 成中心对称，00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0x 等于（ ） A ．512πB ．4π C ．3π D ．6π 3．sin 3π=（ ）A ．12B ．12-C ．2D ． 4．已知3sin 5α=-，则cos2=α（ ） A ．15-B ．15C ．725-D ．7255．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6．在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．形状无法确定7．函数()[sin()cos()]f x A x x ωθωθ=+++部分图象如图所示，当[,2]x ππ∈-时()f x 最小值为（ ）A ．1-B ．2-C ．2-D ．3-8．已知函数()()2sin 3cos ,0,2f x x x x π=+∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πC ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（ ）. A ．3-B ．12-C ．3 D ．1210．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<11．已知函数()()()sin 0,0f x A x =+>-π<<ωϕωϕ的部分图象如图所示.则()f x 的解析式为（ ）．A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()32sin 34f x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭12．要得到cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像（ ） A ．向左平移12π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 二、填空题13．若ππ2α<<，π02β<<，且5sin α=，3π3cos 85β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则3πcos 8αβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭______.14．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+，对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭成立，则a =_______.15．若tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= ________． 16．在半径为2米的圆形弯道中，56π角所对应的弯道为_________． 17．若函数cos()y x ϕ=+为奇函数，则最小的正数ϕ=_____； 18．若()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，则()()tan 06g x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为______．19．已知tan 2α=，则cos2=α__． 20．已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin sin 2αα+=______. 三、解答题21．某高档小区有一个池塘，其形状为直角ABC ，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．（1）若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供居民观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC +的长； （2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造DEF 连廊供居民观赏，如图②，使得DEF 为正三角形，求DEF 连廊长的最小值．22．已知函数)(23sin cos cos 2f x x x x =+.（1）求)(f x 的最小正周期和值域.（2）求)(f x 的单调区间.23．已知函数()3cos 22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期和单调减区间； （2）求证：当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-.24．函数[)()()sin()0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式； （2）若[]0,x π∈且6()2f x ≥，求x 的取值范围. 25．已知()()sin23cos2f x x x x R =∈（1）求56f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的取值范围． 26．已知2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+.（1）化简()fα；（2）若()18f α=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用函数()sin +y A x ωϕ=的图象变换规律对各个选项进行检验即可. 【详解】A. 1C 上各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向左平移6π个单位长度，得到2sin 2+=2sin 2+63y x x ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确； B. 1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向右平移56π个单位长度，得到5552sin 2=2sin 2=2sin 222sin 26333y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确； C. 1C 向左平移3π个单位长度，得到2sin +3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，正确； D. 1C 向左平移6π个单位长度，得到2sin +6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，错误.故选：D2．A解析：A 【分析】由已知条件求得函数()f x 的最小正周期T ，可求得ω的值，再由已知可得()026x k k Z ππ+=∈，结合00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得0x 的值. 【详解】由题意可知，函数()f x 的最小正周期T 满足22T π=，T π∴=，22T πω∴==，()sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，由于函数()f x 的图象关于点()0,0x 成中心对称，则()026x k k Z ππ+=∈，解得()0212k x k Z ππ=-∈， 由于00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0512x π=. 故选：A. 【点睛】结论点睛：利用正弦型函数的对称性求参数，可利用以下原则来进行： （1）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于直线0x x =对称()02x k k Z πωϕπ⇔+=+∈；（2）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于点()0,0x 对称()0x k k Z ωϕπ⇔+=∈.3．C解析：C 【分析】根据特殊角对应的三角函数值，可直接得出结果. 【详解】sin32π=. 故选：C.4．D解析：D 【分析】由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果. 【详解】 因为3sin 5α=-， 所以297cos 212sin 122525αα=-=-⨯=. 故选：D.5．C解析：C 【分析】根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式． 【详解】 解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数sin()3y x π=+的图象； 将sin()3y x π=+的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到1sin()23y x π=+的图象．∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得1()sin 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故选：C ．6．A解析：A 【分析】先用诱导公式变形，然后再由两角和的正弦公式展开，再由两角差的正弦公式化简后可得． 【详解】∵在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，∴sin sin()2sin cos C A B A B =+=，∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，in 0()s A B -=， 又,(0,)A B π∈，∴0A B -=，A B =，三角形为等腰三角形． 故选：A ．7．D解析：D 【分析】首先结合图像求得()f x 的解析式，然后根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间[],2ππ-上的最小值.【详解】由已知()()sin 04f x x πωθω⎛⎫=⋅++> ⎪⎝⎭，由图象可知取A =，52433T πππ=-=，故最小正周期4T π=，所以212T πω==， 所以()12sin 24f x x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由55152sin 2sin 0332464f πππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，及图象单调性知，取564ππθπ++=，则46ππθ+=所以()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[],2x ππ∈-，17,2636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ()f x 最小值为()2sin 3f ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：D8．A解析：A 【分析】根据三角恒等变换公式化简()f x ，结合x 的范围，可得选项. 【详解】因为()()2sin ,0,2f x x xx π=+∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以 ()()222sin sin cos +3cos f x x xx x x x +==222cos +12cos 2+22sin 2+26x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72+,666x πππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以由2+662x πππ≤≤，解得06x π≤≤， 所以()f x 的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：A.9．C解析：C 【分析】 直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒= 故选：C.10．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】 解：3sin7a π=>；427πππ<<， 4cos coscos 72πππ∴<<，即10b -<<. 又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=； 33tan()tan 177c ππ∴=-=-<-， 01a b c ∴>>>->，故选：C. 11．B解析：B 【分析】根据函数图象得到3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭ ，进而求得2,2T Tππω===，然后由函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求解. 【详解】由函数图象知：3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭， 所以2,2T Tππω===， 又函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以 522,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得 2,3k k Z πϕπ=-∈，又因为 0πϕ-<<， 所以3πϕ=-，所以()f x 的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12．B解析：B 【分析】化简函数cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即可判断. 【详解】cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴需将函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位.故选：B.二、填空题13．【分析】先根据题意求出和再根据两角和的余弦公式求解即可【详解】由可得因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考和角公式的应用解题时会判断所求角所在的象限属于基础题解析：25【分析】先根据题意求出cos α和3πsin 8β⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据两角和的余弦公式求解即可. 【详解】由ππ2α<<，sin α=，可得cos α==，因为π3π3π7π02888ββ<<⇒<+<，3π3cos 85β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以3π4sin 85β⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以3π3π3πcos cos cos sin sin 888αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭34555525⎛⎛⎫=-⨯--= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考和角公式的应用，解题时会判断所求角所在的象限，属于基础题.14．1【分析】利用辅助角公式和为的形式：根据已知可得是f(x)的图象的对称轴进而求得利用的关系和诱导公式求得的值【详解】解：其中∵对成立∴是f(x)的图象的对称轴即∴故答案为：1【点睛】本题考查三角函数解析：1 【分析】利用辅助角公式和为()Asin x ωϕ+的形式：()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+，根据已知可得π8x =是f(x)的图象的对称轴，进而求得ϕ，利用,a ϕ的关系tan a ϕ=和诱导公式求得a 的值. 【详解】解：()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+， 其中sin tan a ϕϕϕ===.∵对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立， ∴π8x =是f(x)的图象的对称轴，即π2,82k k Z πϕπ⨯+=+∈, ∴,4k k Z πϕπ=+∈，tan 1a ϕ==，故答案为：1. 【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，涉及辅助角公式化简三角函数，利用辅助角化简是前提，理解,a ϕ的关系是基础，由对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，得出π8x =是f(x)的图象的对称轴是关键.15．1【分析】把求值式转化为关于的二次齐次分式然后转化为代入求值【详解】∵∴故答案为：1【点睛】方法点睛：本题考查二倍角公式考查同角间的三角函数关系在已知求值时对关于的齐次式一般转化为关于的式子再代入值解析：1 【分析】把求值式转化为关于sin ,cos αα的二次齐次分式．然后转化为tan α，代入求值． 【详解】 ∵tan 4α=，∴222222cos 4sin cos 14tan 144cos 2sin 21sin cos tan 141ααααααααα+++⨯+====+++．故答案为：1． 【点睛】方法点睛：本题考查二倍角公式，考查同角间的三角函数关系．在已知tan α求值时，对关于sin ,cos αα的齐次式，一般转化为关于tan α的式子．再代入tan α值计算．如一次齐次式：sin cos sin cos a b c d αααα++，二次齐次式：2222sin sin cos cos sin sin cos cos a b c d e f αααααααα++++， 另外二次式22sin sin cos cos m n p αααα++也可化为二次齐次式．16．【分析】根据扇形的弧长公式即可求解【详解】由题意根据扇形的弧长公式可得所对应的弯道为故答案为： 解析：53π【分析】根据扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的弯道为55263ππ⨯=. 故答案为：53π. 17．【分析】根据函数奇偶性表示出进而可得结果【详解】因为函数为奇函数所以只需又即所以时取最小值故答案为：解析：2π【分析】 根据函数奇偶性，表示出ϕ，进而可得结果. 【详解】因为函数cos()y x ϕ=+为奇函数， 所以只需,2k k Z πϕπ=+∈，又0ϕ>，即0,2k k Z ππ+>∈，所以0k =时，ϕ取最小值2π.故答案为：2π. 18．【分析】先由的最小正周期求出的值再由的最小正周期公式求的最小正周期【详解】的最小正周期为即则所以的最小正周期为故答案为：解析：8π 【分析】 先由()f x 的最小正周期，求出ω的值，再由()tan y x ωϕ=+的最小正周期公式求()g x 的最小正周期. 【详解】()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，即24ππω=，则8ω=所以()tan 86g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为8T π=故答案为：8π 19．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为： 解析：35【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由tan 2α=，又由22222222cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 1431tan 145ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：35． 20．1【分析】首先根据已知条件求得再结合齐次方程求得【详解】由已知得解得所以故答案为：1解析：1 【分析】首先根据已知条件求得tan α，再结合齐次方程求得2sin sin 2αα+. 【详解】 由已知得1tan 31tan αα+=-，解得1tan 2α=.所以22222211sin 2sin cos tan 2tan 4sin sin 211sin cos tan 114αααααααααα++++====+++. 故答案为：1三、解答题21．（1）3百米；（2）7百米． 【分析】（1）先在三角形PBC 中利用已知条件求出PC 的长度，再在三角形PAC 中利用余弦定理求出PA 的长度，即可求解；（2）设出等腰三角形的边长以及角CEF ，则可求出CF 的长度，进而可得AF 的长度，再利用角的关系求出角ADF 的大小，然后在三角形ADF 中利用正弦定理化简出a 的表达式，再利用三角函数的最值即可求出a 的最小值，进而可以求解． 【详解】解：（1）因为P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=， 又1BC =，所以π6PCB ∠=，3PC =，又因为π2ACB ∠=，所以π3ACP ∠=， 则在三角形PAC 中，由余弦定理可得：222π72cos33AP AC PC AC PC =+-⋅=，解得3AP =，所以连廊3AP PC +=百米； （2）设正三角形DEF 的边长为a ，()0πCEF αα∠=<<， 则sin CF a α=，sin AF a α=，且EDB α∠=，所以2π3ADF α∠=-， 在三角形ADF 中，由正弦定理可得：sin sin DF AF A ADF =∠∠，即πsin sin 63a α=- ⎪⎝⎭即1sin 23a α=- ⎪⎝⎭，化简可得2π2sin sin 3a αα⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以7a ===≥（其中θ为锐角，且tan 2θ=），百米，所以三角形DEF 连廊长的最小值为7百米． 【点评】方法点睛：在求三角形边长以及最值的问题时，常常设出角度，将长度表示成角度的三角函数，利用三角函数的值域求最值.22．（1）周期为π，值域为]2,2⎡-⎣；（2）单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得)(2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪ ⎭⎝，则可求出周期和值域；（2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可得单调递增区间，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得单调递减区间. 【详解】（1）∵)(cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫==+⎪ ⎭⎝， 所以，函数)(y f x =的周期为22T ππ==，值域为]2,2⎡-⎣. （2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得)(36k k k Z ππππ-≤+∈， 所以，函数)(y f x =的单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣， 解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得)(263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因比，函数)(y f x =的单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 23．（1）最小正周期π，单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用两角差余弦公式、正弦倍角公式及辅助角公式可得()sin 23f x x，即可求最小正周期，整体代入求单调减区间； （2）由44x ππ-≤≤得52636x πππ-≤+≤，即可得()f x 的值域，进而判断()12f x ≥-是否成立. 【详解】解：（1）3()sin 2sin 22f x x x x =+-1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 令3222232k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由44x ππ-≤≤，知：52636x πππ-≤+≤，则有()f x 的值域为1[,1]2-，∴1sin 232x π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，即当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-得证. 【点睛】关键点点睛：（1）利用三角恒等变换：两角和差公式、辅助角公式化简三角函数式，并确定函数性质. （2）根据（1）的三角函数解析式结合已知定义域范围确定值域，判断函数不等式是否成立.24．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）{}0,6ππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由图可得：A =724123T πππω=-=可求ω的值，再令2(21)3k πϕπ⨯+=+()k Z ∈结合[)0,2ϕπ∈可求ϕ的值，进而可求()f x 的解析式；（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，可得sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以结合正弦函数的图象和[]0,x π∈即可求解.【详解】（1）由题意知：A =741234T πππ=-=，所以2T ππω==即=2ω，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，02ϕπ≤<，所以=3πϕ，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ 所以()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 令0k =可得22333x πππ≤+≤，解得06x π≤≤，令1k =可得2222333x πππππ+≤+≤+，解得：76x ππ≤≤， 因为[]0,x π∈，所以06x π≤≤或x π=，即{}0,6x ππ⎡⎤∈⋃⎢⎥⎣⎦ 【点睛】关键点点睛：利用五点法求函数解析式，关键是3x π=是下降零点，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，结合[)0,2ϕπ∈即可求ϕ23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈对k 取值，再与[]0,x π∈求交集即可. 25．（1）0；（2）[]1,2. 【分析】（1）本题可直接将56x π=代入函数()f x 中，通过计算即可得出结果； （2）本题首先可根据两角和的正弦公式将函数()f x 转化为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，最后根据正弦函数的性质即可得出结果. 【详解】（1）555sin 063322f πππ⎛⎫==-+=⎪⎝⎭，（2）()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 则1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的取值范围为[]1,2.26．（1）sin cos αα⋅；（2）. 【分析】（1）由诱导公式运算即可得解；（2）由平方关系可得()23cos sin 4αα-=，再由cos sin αα<即可得解. 【详解】（1）由诱导公式()2sin cos tan ()sin cos sin tan f αααααααα⋅⋅==⋅-⋅-； （2）由()1sin cos 8f ααα==可知 ()222cos sin cos 2sin cos sin αααααα-=-+1312sin cos 1284αα=-=-⨯=，又∵42ππα<<，∴cos sin αα<，即cos sin 0αα-<，∴cos sin 2αα-=-.。
三角函数的平移、伸缩变换(人教a版)(含答案)
三角函数的平移、伸缩变换（一）（人教A版）一、单选题(共15道，每道6分)1.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )A.向左平移1个单位长度B.向右平移1个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换2.为了得到函数的图象，只需把的图象上所有的点( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度|答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换3.把函数图象所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则新的函数为( )..答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换4.把函数图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则新的函数为( )..`答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换5.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象的解析式为( )..答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换6.由的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则为( )..%答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换7.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为( )..答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换8.将函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为( )..$答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换9.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，得到的函数解析式为( )..答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换10.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )..~答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换11.将函数的图象上每点的横坐标缩小为原来的，再向下平移2个单位，所得图象的函数解析式是( )..答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换12.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的倍，将所得图象向左平移2个单位，纵坐标不变，所得图象的函数解析式是( )..|答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换13.由函数的图象得到函数的图象，下列变换错误的是( )A.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍B.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度C.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍D.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的答案：D解题思路：根据三角函数变换的性质，选D.试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换14.由函数的图象得到函数的图象，下列变换正确的是( )A.将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍B.将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位长度C.将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位长度D.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍》答案：C解题思路：根据三角函数变换的性质，选C.试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换15.由函数的图象得到函数的图象，下列变换错误的是( )A.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的B.将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将图象向左平移个单位C.将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将图象向左平移个单位D.将函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的答案：C解题思路：根据三角函数变换的性质，选C.试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数的平移、伸缩变换（一）（人教A版）
一、单选题(共15道，每道6分)
1.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有
的点( )
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
2.为了得到函数的图象，只需把的图象上所有
的点( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移1个单位长度
D.向右平移1个单位长度
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
3.把函数图象所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则新的函数为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
4.把函数图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则新的函数为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
5.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象的解析式为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
6.由的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
7.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
8.将函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
9.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，得到的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
10.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
11.将函数的图象上每点的横坐标缩小为原来的，再向下平移2个单位，所得图象的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
12.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的倍，将所得图象向左平移2个单位，纵坐标不变，所得图象的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
13.由函数的图象得到函数的图象，下列变换错误的是( )
A.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍
B.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
C.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍
D.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的
答案：D
解题思路：
根据三角函数变换的性质，选D.
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
14.由函数的图象得到函数的图象，下列变换正确的是( )
A.将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍
B.将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位长度
C.将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位长度
D.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍
答案：C
解题思路：
根据三角函数变换的性质，选C.
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
15.由函数的图象得到函数的图象，下列变换错误的
是( )
A.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的
B.将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将图象向左平移个单位
C.将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将图象向左平移个单位
D.将函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的
答案：C
解题思路：
根据三角函数变换的性质，选C.
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。