山东省济南市章丘四中2020届高三数学上学期10月阶段检测试题

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2020届高三数学10月阶段性测试试题文(含解析)

2020届高三数学10月阶段性测试试题文（含解析）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求解出的解集作为集合，求解出的解集作为集合，然后再求解的结果.【详解】因为，所以，所以；因为，所以，所以；所以.故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，难度较易.注意解对数不等式时，对数的真数要大于零.2.=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：利用诱导公式化简求值得解.详解：=故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.用诱导公式化简，一般先把角化成的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是“奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把看作是锐角，判断角在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是“+”还是“--”，就加在前面）。

用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间的角，再变到区间的角，再变到区间的角计算。

3.函数f(x)=－b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）A. a>1，b <0B. a>1，b>0C. 0 <a <1，b>0D. 0 <a <1，b<0【答案】C【解析】【分析】由函数图像可得，此函数为减函数，结合指数函数的单调性可得0<a<1,又f(0)=1－b，所以b>0，则可得解.【详解】解：从曲线走向结合指数函数的单调性可知0<a<1, 又f(0)=1－b，所以b>0，故选：C.【点睛】本题考查了指数函数的单调性及指数函数图像的平移，属基础题.4.已知函数，则是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别考虑是否是的充分条件或者必要条件，然后结合前面得到的结论确定是的何种条件.【详解】当时，，所以是成立的充分条件；当时，或，所以是成立的不必要条件，所以是成立的充分不必要条件，故选：A.【点睛】充分、必要条件对应的推出情况（常见两种）：（1）若是的充分不必要条件：；（2）若是的必要不充分条件：.5.命题“若关于x的方程x2 -mx +2=0的两根都大于0，则x>”的逆否命题是（）A. “若x>，则关于x的方程 x2 -mx +2=0的两根都大于0”B. “若方程x2 -mx +2=0的两根都不大于 0，则x ≤”C. “若x ≤，则关于 x 的方程x2 -mx +2=0的两根不都大于0”D. “若x ≤，则方程x2 -mx +2=0 的两根都不大于0”【答案】C【解析】【分析】由命题逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，注意判断选项即可得解.【详解】解：命题的逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，“”的否定是“”，“均大于”的否定是“不全大于0”，再调换顺序即可，C选项正确，故选：C.【点睛】本题考查了命题及其逆否命题，主要考查了逆否命题的形式，重点考查了简易逻辑，属基础题.6.我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据提示三分法，考虑将硬币分为组，然后将有问题的一组再分为组，再将其中有问题的一组分为，此时每组仅为枚硬币，即可分析出哪一个是假币.【详解】第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平.故选：B.【点睛】本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.7.已知中，满足，则这样的三角形有A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和三角形的边角关系，即可判断这样的三角形的个数，得到答案.【详解】由题意，在中，满足，..所以这样的三角形有2个，故选C.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理判定三角形的个数问题，其中解答中合理利用正弦定理和三角形的边角关系是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.将函数f(x)= sinx的图象向左平移个单位长度，再将图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到g(x)的图象，当x∈［0，］时，方程g(x)=m有三个实数根x1，x2，x3，且x1 <x2<x3，则x1 +2x2 +x3=（）A. B. C. 3π D.【答案】D【解析】【分析】由三角函数图像的平移变换、伸缩变换可得，令解得，即函数图像关于直线、对称，再画图即可得解.【详解】解：由已知得，，函数与的交点分别为，令得,即由图可知关于直线对称，关于直线对称，所以，，所以，故选：D.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换、伸缩变换及三角函数图像的对称性，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.9.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】D【解析】【详解】选D10.在中，，则该三角形一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】解法一：利用余弦定理完成角化边，然后再进行边的化简即可判断结果；解法二：利用正弦定理完成边化角，进行利用两角和的正弦展开式进行化简即可判断结果.【详解】解法一：由余弦定理得，所以，所以为直角三角形.解法二：由正弦定理得，所以，所以.故选：B.【点睛】利用正弦定理进行边角互化时，要注意到“齐次”的问题，也就是每一项对应的边或者角的正弦的次数要相同，如：、.11.已知函数f(x)=x2 -2x +3在区间［m，m +2］上的最大值为6，则m的取值集合为（）A. ｛-1，3｝B. ｛-1，1｝C. ｛-3，1｝D. ｛-3，3｝【答案】B【解析】【分析】由f(x)=x2 -2x +3=，再讨论对称轴与区间的两端点值的大小关系讨论即可得解.【详解】解：因为f(x)=x2 -2x +3=，①当即时，，又，即，解得，②当即时，，又，即，解得，综上可得或，故选：B.【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.12.关于函数有下述四个结论：①是奇函数；②在区间单调递减；③在有3个零点；④的最大值为.其中所有正确结论的编号是（）A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④【答案】B【解析】【分析】将写成分段函数形式，并作出在的图象，即可判断出①②③的正误，根据周期性并利用图象即可判断出④的正误.【详解】当时，，当时，，所以，画出函数的在区间上的图象如下图所示，显然不是奇函数，所以①错误；在上单调递减，所以②正确；图象在上与轴有个交点，所以有个零点，所以③错误；时，，又因为，所以，所以，所以④正确.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质综合，难度一般.处理这类问题关键是使用数形结合的思想，通过图象去分析函数性质.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线在点（1，0）处的切线方程为 _______．【答案】【解析】分析】先求解时的导数值即为切线斜率，根据切点和斜率即可得到直线方程.【详解】因为，所以，所以切线方程为，故答案为：.【点睛】本题考查函数上某一点的切线方程的求解，难度较易.求解函数上某点处的切线方程步骤：（1）对函数进行求导；（2）求出导函数在该点处的导数值作为直线的斜率；（3）根据直线的点斜式方程求解出切线方程.14.设函数f(x)=ln，则函数g(x)= f()+ f()的定义域_____________.【答案】【解析】【分析】由对数函数的定义域，需真数大于0，结合分式不等式的解法及复合函数定义域的求法列不等式组运算即可得解.【详解】解：要使函数有意义，则需，则所求定义域为：，故答案为：.【点睛】本题考查了函数定义域的求法，主要考查了分式不等式的解法，重点考查了运算能力，属基础题.15.已知函数y＝tanωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．【答案】[－1,0)【解析】∵函数在内是单调减函数，∴，解得，∴ω的取值范围是．答案：点睛：求解的范围时，可从函数的单调性和周期性两个方面考虑，由复合函数的单调性可得为负值．又函数在内是单调减函数，故为一个周期的子集，由此可得关于的不等式组，解不等式组即可．16.定义在上的奇函数在区间上单调递增，且.若，则在区间内的解集为 ________．【答案】【解析】【分析】先根据对称性和奇偶性得到周期，然后分析在上的单调性，考虑且时的取值，再根据单调性即可求解出在内的解集.【详解】因为为奇函数，所以，，即的周期为8，又因为在区间上单调递增，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.又，，所以在区间内的解集为，故答案：.【点睛】函数对称性和周期性的认识：（1）若或，则一条对称轴为；（2）若或或（），则的周期.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设a∈R，函数f(x)=x3-x2-x+a.（1）求f(x)的极值；（2）若x∈［-1，2］，求函数f(x)的值域.【答案】（1）极大值是，极小值是（2）【解析】【分析】（1）利用导数的应用，先求导数得，再求函数的单调区间即可求函数f(x)的值域；（2）函数在闭区间上的最值，只需比较端点值及极值即可，结合（1）运算端点值及极值，再比较大小即可得解.【详解】解:（1），若，则当变化时，，变化情况如下表：1+所以的极大值是，极小值是（2）因为，由（1）知，函数在，为增函数，在为减函数，又，，，，易得，，则的值域为：.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性及最值，主要考查了运算能力，属中档题.18.的内角的对边分别为，的面积.（1）求 C；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用面积公式和余弦定理对等式化简，得到的值，计算出；（2）解法一：利用正弦定理以及的结果得到的等式，根据同角的正弦与余弦的平方和为，计算出的值.解法二：利用余弦定理，通过化简得到之间的关系，再根据正弦定理即可得到之间的关系，从而计算出.【详解】（1）由余弦定理以及三角形面积公式得,所以，又，所以.（2）由（1）得，,因为，由正弦定理得,所以,所以,，所以（负根舍去）.解二：由余弦定理得，，又两式消去得，，即,，由正弦定理得.【点睛】本题考查解三角形的综合应用，难度一般.（1）利用面积公式化简时，注意根据等式选择合适的面积公式去化简；（2）考虑用正弦定理完成边角互化时，一定要注意等式的两边是否都是“齐次”的情况.19.已知函数.（1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；（2）若对任意的，总存在使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据对称轴分析零点存在时对应的的范围；（2）根据条件分析可得：的值域应为的值域的子集，此时注意对与的关系进行分类讨论，由此得到满足条件的的取值范围.【详解】（1）因函数的对称轴是，所以在区间上是减函数，因函数在区间上存在零点，则必有，即解得.故所求实数的取值范围.（2）若对任意的，总存在使得成立，只需函数的值域为函数的值域的子集.在区间的值域为,①当时，为常数，不符合题意舍去；②当时，在区间的值域为，所以，解得.③当时，在区间的值域为，所以，无解.综上所述实数的取值范围.【点睛】任意、存在问题对应的函数相等和不等关系的处理方法：（1），使得，则有：在上的值域为在上的值域的子集；（2），使得，则有：；，使得，则有：；，使得，则有：.20.已知定义域为的函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据计算出的值，然后再带回检验是否为奇函数，由此确定出的值；（2）将不等式变形，根据奇偶性将不等式变形为函数值之间的大小关系，再根据单调性将不等会变形为自变量之间的关系，问题转化为：给定区间上的恒成立问题求解参数范围.【详解】（1）因为是奇函数，所以 ,所以,此时，，所以是奇函数，所以满足条件.（2）因函数为奇函数，所以，又因函数为增函数，所以,即对任意的有，所以对任意的，所以，解之得.【点睛】（1）定义域满足的情况下，通过求解奇函数中的参数值，一定要将结果带回原函数中检验；（2）若在区间上恒有，只需要，若在区间上恒有，只需要.21.如图有一景区的平面图是一半圆形，其中直径长为两点在半圆弧上满足，设，现要在景区内铺设一条观光通道，由和组成.（1）用表示观光通道的长，并求观光通道的最大值；（2）现要在景区内绿化，其中在中种植鲜花，在中种植果树，在扇形内种植草坪，已知单位面积内种植鲜花和种植果树的利润均是种植草坪利润的倍，则当为何值时总利润最大？【答案】（1），；（2）当时，总利润取最大值.【解析】【分析】（1）根据直径的长度和角度计算出的长度，写出的函数解析式，注意定义域，判断取何值的时候有最大值并计算出最大值；（2）设出单位面积的利润，将三个三角形的面积计算出来并求利润和的表示，利用导数去计算函数的最值，确定取等号时的取值.【详解】（1）作，垂足为，在直角三角形中，，所以，同理作，垂足为，，所以，如图：所以,当时，取最大值.（2）设种植草坪单位面积的利润为，,则总利润,,因为，所以当时，，所以在递增，递减，所以当时总利润取最大值，最大值为.【点睛】本题考查三角函数在实际问题中的应用，难度一般.（1）求解实际问题中的函数解析式时，要注意不要漏写定义域；（2）求解三角函数的有关最值，要注意也可通过导数的方法来先确定单调性然后再确定最值.22.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再按导函数零点讨论：若，无零点，单调；若，一个零点，先减后增；若，一个零点，先减后增；（2）由单调性确定函数最小值：若，满足；若，最小值为，即；若，最小值为，即，综合可得的取值范围为.试题解析：（1）函数的定义域为，，①若，则，在单调递增.②若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.③若，则由得.当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增.（2）①若，则，所以②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时，.③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时.综上，的取值范围为.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.2020届高三数学10月阶段性测试试题文（含解析）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题(解析版)

山东名校考试联盟2024年10月高三年级阶段性检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3全卷满分150分．考试用时120分钟．．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知()(){}23230,02x A x x x B x x +=∈−−==∈≤ − Q R∣，则A B = （）A. {}2B. {C. {}2D. ∅【答案】D 【解析】【分析】解方程与不等式求得集合,A B ，进而可求A B ∩.【详解】由2(2)(3)0x x −−=，可得2x =或x =，又Q x ∈，所以2x =，所以{2}A =；由302x x +≤−，可得(3)(2)020x x x +−≤ −≠，解得32x −≤<，所以{|32}Bx x =−≤<，所以{2}{|32}A B x x =−≤<=∅ . 故选：D.2. 幂函数()23f x x =的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的判定方法，得到函数()f x 为偶函数，再由幂函数的性质，结合选项，即可求解.【详解】由函数()23f x x ==，可得函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()f x f x −===，所以函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，又由幂函数的性质得，当0x ≥时，函数()f x 单调递增，结合选项，选项B 符合题意. 故选：B.3. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ ，空气的温度是0C θ，那么min t 后物体的温度θ（单位：C ）可由公式)01010ktθθθθ−=+−⋅求得，其中k 是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有65C 的物体，放到15C 的空气中冷却，1min 后物体的温度是35C ，已知lg20.3≈，则k 的值大约为（） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出等式()3515651510k−=+−⋅，化简后即可求解.【详解】由题意知015C θ= ，165C θ=，代入公式()01010ktθθθθ−=+−⋅，可得()3515651510k−=+−⋅，则2105k−=，两边同时取对数得2lg10lg 5k−=，即lg2lg 50.30.70.4k −=−≈−=−，则0.4k =，故C 正确. 是故选：C.4. 如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5m 长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为1m 的正方形，已知该组合体的体积为32m 3，则其表面积为（）A. (22m +B. (23m +C. (22m +D. (23m +【答案】B 【解析】【分析】由题意先利用棱锥体积公式求出正四棱锥的高，然后再求出其斜面上的高，即可求解. 【详解】由题意知该组合体由长方体和正四棱锥组成，且该组合体的体积为32m 3，长方体的体积为31110.5m 2××=，则正四棱锥体积为3211m 326−=，所以正四棱锥的高为1316m 112×=×，2112×，所以组合体的表面积为()(210.541143m ××+×=+，故B 正确.故选：B.5. 若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根，则1221x x x x +的最小值为（） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】【分析】由题意及韦达定理可得122x x m +=+，12x x m =，从而得()2221212211222m mx x x x x x x x m+−++==，再结合基本不等式即可求解.【详解】由若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根，所以122x x m +=+，12x x m =，则mm >0所以()()222212121212211212222x x x x m mx x x x x x x x x x m+−+−++===2244226m m m m m ++==++≥+=，当且仅当2m =时取等号，故C 正确. 故选：C.6. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且21nn S n T =+，则35=a b （） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C 【解析】【分析】分别设出为n S 和n T 的二次形式，由此求得35,a b ，即可化简后得到结果. 【详解】由等差数列{aa nn }和等比数列{bb nn }的前n 项和分别为n S 和n T ，所以可设()21n S kn n =+，n T kn =，0k ≠，所以可得33255421101154a S S k k b T T k k−−===−−，故C 正确. 故选：C.7. 若2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点，则实数a 的取值范围是（） A. (),1∞−− B. (),1−∞C. ()1,−+∞D. ()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】求导，利用导数，分0a =，0a >，0a <三种情况讨论可求实数a 的取值范围.【详解】由()222exax x f x +−=，可得()222(22)e (22)e (22)4(2)(2)(e e e)x x x x xax ax x ax a x ax x f x +−+−−+−+−−−′===，若0a =，当2x <时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意，若0a ≠时，令()0f x ′=，可得(2)(2)0ax x −−−=，可得2x =或2x a=−，若0a >时，则20a−<，当22x a −<<时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意，若0a <时，则20a−>，由二次函数的(2)(2)y ax x =−−−图象可知，要使2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点，需22a−<，解得1a <−，所以实数a 的取值范围是(,1)∞−−. 故选：A.8. 已知函数()()6sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（） A. 3,32B. 3,32C. 93,2D. 93,2【答案】D 【解析】【分析】化简得23()sin 24f x x ω=−，由题意可得2π2π3π3ω<≤，求解即可. 详解】()()()66224224sin cos 1sin cos sin sin ?cos cos 1f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=+−=+−+−()242242222sin sin ?cos cos 1sin cos 3sin ?cos 1x x x x x x x x ωωωωωωωω−+−=+−−22222313sin cos 13sin cos sin 24x x x x x ωωωωω=−−=−=− ，因为π0,3x ∈，2π20,3x ωω ∈ ，【由函数()()66sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，可得2π2π3π3ω<≤，解得932ω<≤，所以ω的取值范围是9(3,]2.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若3n n S a n =+，则（） A. 112a =B. 数列{}1n a −为等比数列C. 312nn a =−D. 3332nn S n =−⋅+【答案】BCD 【解析】【分析】当1n =时，1131S a =+，解得112a =−；根据3n n S a n =+，可得当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−，从而得13122n n a a −=−，即()13112n n a a −−=−；根据B 可求得312nn a−=−；从而可求出333?2nn S n =−+.【详解】A ：当1n =时，1131S a =+，解得112a =−，故A 错误； B ：因为3n n S a n =+，当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−，将两式相减可得1331n n n a a a −=−+，即13122n n a a −=−，则()13112n n a a −−=−，因112a =−，则1312a −=−，数列{}1n a −为首项为32−，公比为32的等比数列，故B 正确；C ：由B 可得13331?222n n n a −−=−=−，所以312nn a =− ，故C 正确；D ：3333?2nn n S a n n =+=−+，故D 正确.故选：BCD.10. 已知幂函数()()293m f x m x =−的图象过点1,n m−，则（）A. 23m =−B. ()f x 为偶函数C. n =D. 不等式()()13f a f a +>−的解集为(),1−∞ 【答案】ABC 【解析】【分析】利用幂函数的定义结合过点1,n m−，可求,m n 判断AC ；进而可得函数的奇偶性判断B ；解不等式可求解集判断D.【详解】因为函数()()293m f x mx =−为幂函数，所以2931m −=，解得23m =±，当23m =时，幂函数()23f x x =的图象不可能过点3,2n − ，故23m ≠，当23m =−，幂函数()23f x x −=的图象过点2,3n，则2332n =，解得32()32n ==，故AC 正确； ()23f x x −=的定义域为{|0}x x ≠，且()2233()()f x x xf x −−−=−==，故()f x 为偶函数，故B 正确；函数()23f x x−=在(0,)+∞上单调递减，由()()13f a f a +>−，可得()()|1||3|f a f a +>−，所以1310a a a +<− +≠，解得1a <且1a ≠−，故D 错误.故选：ABC.11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记()()g x f x ′=，若()2g x +的图象关于直线2x =−对称，且()()()111f x f x f x −++=+−，则（）A. ()g x 是偶函数B. ()f x 是奇函数C. 3为()y f x =的一个周期D.20251()0i g i ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】由()2g x +的图象关于直线2x =−对称，则可得()g x 关于xx =0对称，可对A 判断；由gg (xx )=ff ′(xx )，从而可得ff (xx )关于()0,1对称，可对B 判断；由ff (xx )关于()0,1对称，可得()()()113f x f x f x −+++=，故()()()213f x f x f x −+−+=，从而得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，可对C 判断；由()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，可对D 判断.【详解】A ：因为()2g x +的图象关于直线2x =−对称，故将()2g x +的图象向右平移2个单位后变为()g x 的图象，此时()g x 关于xx =0对称，所以()g x 是偶函数，故A 正确；B ：因为()g x 是偶函数，所以ff (xx )关于()0,c 对称且c 为常数，当xx =0时，()()()1110f f f −+=+，又因为()()112f f c −+=，()0f c =，所以1c =，所以ff (xx )关于()0,1对称，故B 错误； C ：因为ff (xx )关于()0,1对称，所以()()2f x f x −=−+，所以()()()()1113f x f x f x f x −++=+−=−，所以()()()113f x f x f x −+++=①，故()()()213f x f x f x −+−+=②，则①②两式相减得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，所以3是()y f x =的一个周期，故C 正确； D ：因为()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，且()g x 的周期为3，又因为20256753=×，所以()202510i g i ==∑，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：B 中因为()g x 是偶函数，所以可得ff (xx )关于()0,c 对称，从而可求出1c =；D 中可有()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，从而可知()g x 中连续3项之和为零.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数()ln f x x x =，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是 _____.【答案】10x y −−=【解析】【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出斜率，求出切点坐标，代入点斜式方程，即可得出答案.【详解】因为()ln 1f x x ′=+，所以()11f ′=. 根据导数的几何意义可知，曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率()11k f ′==. 又()10f =，所以，切线方程为1y x =−，即10x y −−=. 故答案为：10x y −−=. 13. 已知0a >且1a ≠，函数()2,1,1x x x f x a x ≥= <，若关于x 的方程()()2560f x f x −+=恰有3个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是______．【答案】(]2,3 【解析】【分析】当1x ≥时，()2xf x =，方程()()2560fx f x −+=有2个不相等实数解，则当1x <时，()x f x a =，此时方程()()2560f x f x −+=只有1个实数解，对a 分类讨论，由()x f x a =的值域求实数a 的取值范围. 【详解】方程()()2560fx f x −+=，即()2f x =或()3f x =，当1x ≥时，()2xf x =，由()2f x =解得1x =，由()3f x =解得2log 3x =；当1x <时，()xf x a =，此时方程()()2560fx f x −+=只有1个实数解，若01a <<，则()xf x a =在(),1∞−上单调递减，()(),f x a ∞∈+，的此时()2f x =和()3f x =都有解，不合题意，若1a >，则()xf x a =在(),1∞−上单调递增，()()0,f x a ∈，则23a <≤.所以实数a 的取值范围是(]2,3. 故答案为：(]2,314. 已知三棱锥A BCD −的四个顶点都在球O 的球面上，若AB CD =O 的半径为，则三棱锥A BCD −体积的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，CD ⊥平面ABN ，三棱锥A BCD −体积的最大值，求解即可. 【详解】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,OM AB ON CD ⊥⊥，由题意可得1,2OM ON ==，当,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，最大面积为1(12)2×+，设C 到平面ABN 的距离为d ，由题意可得D 到平面ABN 的距离也为d ，当CD ⊥平面ABN 时，d 取最大值12CD =所以三棱锥A BCD −体积的最大值为112233ABN S d ××=×=故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15. 已知函数()2π2sin 4f x x x=+．（1）求()f x 在π0,2上的单调递增区间；（2）已知ABC 的内角,,A B C 的对边长分别是,,a b c，若π1212C f−，2c =，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）5π[0,]12（2）2 【解析】【分析】（1）化简π()12sin(2)3f x x =+−，利用πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，可求单调区间；（2）由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥，可求ab 的最大值，进而可求ABC 面积的最大值. 【小问1详解】()2π1cos 2π22sin 21sin 242x f x x x x x x−+=+=×−=+−πππ12(sin 2cos cos2sin 12sin(2)333x x x =+−=+−，由πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，得π5πππ,Z 1212k x k k −+≤≤+∈，又π0,2∈ x ，所以函数()f x 在π0,2上的单调递增区间为5π[0,]12；【小问2详解】由π1212C f−=−，得ππ12sin[2()]12123C +×−−，所以πsin()2C −，所以cos C =，因为0πC <<，所以π6C =，又2c =，在ABC中，由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥−，所以4(2ab ≤=，当且仅当a b ==时取等号，所以111sin 4(22222ABC S ab C =≤×+×=+所以ABC 面积的最大值为2． 16. 已知函数()()ln R mf x x m x=+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x −−+≤.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数()()e e xg x xf x x =−−+，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得()0g x ≤，从而得证.【小问1详解】因为()ln mf x x x=+的定义域为()0,∞+，所以()221m x mf x x x x −′=−=，当0m ≤时，()0f x ′>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，令()0f x ′=，得x m =，当()0,x m ∈时，()()0,f x f x ′<单调递减，当(),x m ∈+∞时，()()0,f x f x ′>单调递增，综上，当0m ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，()f x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增. 【小问2详解】当1m =时，()1ln f x x x=+，令()()e e ln e e 1xxg x xf x x x x x =−−+=−−++，则()ln e xg x x =−′，令()()ln e xh x g x x ′==−，则()1e xh x x=′−，因为1x ≥，所以11,e e 1x x≤≥>，所以当1x ≥时，()h x ′1e 0xx=−<恒成立，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，即()ln e x g x x =−′在[)1,+∞上单调递减，所以()()1e 0g x g ′≤−′=<，所以()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即()e e 0xxf x x −−+≤. 【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）()0f x >恒成立()min 0f x ⇔>；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<．（2）()f x a >恒成立()min f x a ⇔>；()f x a <恒成立()max f x a ⇔<．（3）()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔−> ；()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔−< ；（4）1x M ∀∈，2x N ∀∈，()()()()1212min max f x g x f x g x >⇔>．17. 已知函数()33x x af x a+=−．（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）当0a <时，函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −− ，求a 的取值范围．【答案】（1）1或1−（2）(,3−∞−− 【解析】【分析】（1）由ff (xx )为奇函数，可得()()0f x f x +−=，从而可求解；（2）当0a <时，可得()y f x =是单调增函数，从而可得即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，参数分离可得23313x x xa +=−，利用换元法设13xt =−，可得23a t t =+−，且1t <，再结合对勾函数性质从而可求解.【小问1详解】由()32133x xx a af x a a+==+−−，所以()22?31131?3x x x a a f x a a −−=+=+−−，因为ff (xx )为定义域上的奇函数，所以()()0f x f x +−=，即22?311031?3xx xa a a a +++=−−，化简得·3131?3x xx a a a a +=−−−，则22222·3?3?33?3?30x x x x x x a a a a a a a −+−+−−+=，则得21a =，所以aa =−1或1a =. 【小问2详解】当0a <时，()32133x x xa af x a a+==+−−，所以()y f x =是单调增函数，由函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −−，所以()3133m m m a f m a +==−−,()3133n n n a f n a +==−−，即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，则得23313x x xa +=−，设130xt =−<，则22332313x xxa t t +==+−−，0t <，根据对勾函数性质可得23y t t=+−在()上单调递减，(,−∞上单调递增，其中23y t t=+−在(),0−∞上的值域为(,3 −∞− ，当t =时取最大值，综上可得3a <−，所以a 的取值范围为(),3−∞−−. 18. 已知函数()()28ln 1exf x axbx =+++．（1）若()f x ′在R 上单调递减，求a 的最大值；（2）证明：曲线()y f x ′=是中心对称图形；（3）若()8ln2f x ，求a 的取值范围．【答案】（1）1− （2）证明见解析（3）(],1−∞−【解析】【分析】（1）对ff (xx )求导得()8e 21e x x f x ax b =+++′，令()8e 21exxg x ax b =+++，再结合基本不等式从而可得()8201e 2ex x g x a =++′≤+，即可求解. （2）由()()28f x f x b ′′−+=+，从而曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，即可求解. （3）分情况讨论求出0a <，4b =−，然后再利用导数讨论1a ≤−，10a −<<情况下，从而可求出a 的取值范围是(],1−∞−. 【小问1详解】由函数()()28ln 1e xf x ax bx =+++，所以()8e 21exxf x ax b =+++′，令()8e 21e xxg x ax b =+++，因若ff ′(xx )在RR 上单调递减，则()()28e 822011e e 2exxxx g x a a =+=+++′≤+恒成立，因为1e 224e x x ++≥=，当且仅当xx =0时取等号，则821e 2e x x −≥−++，所以821e 2ex x a ≤−++，即22a ≤−，得1a ≤−. 故a 的最大值为1−. 【小问2详解】证明：由（1）知()8e 21e x x f x ax b =+++′，则()8e 21exxf x ax b −−−=−++′，则()()8e 8e 8e 8222281e 1e 1e 1ex x x x x x xf x f x ax b ax b b b −−−+=−++++=++=+′+′+++，所以曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，是中心对称图形.【小问3详解】当aa >0时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾，所以0a ≤；为当0a =，0b ≥时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾；当0a =，0b <时，则当x →−∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾；所以0a <.当4b >−，则当402b x a +<<−时，()8e 24201exxf x ax b ax b =++>++>+′，此时()()08ln 2f x f >=，矛盾；当4b <−，则当402b x a +−<<时，()8e 24201ex x f x ax b ax b =++<++<+′，此时()()08ln 2f x f >=，矛盾；因此4b =−，所以()8e 241exxf x ax =+−+′，当1a ≤−，由（1）可知ff ′(xx )在RR 上单调递减，又()00f ′=，所以当0x ≤时，()0f x ′≥，ff (xx )在区间(],0−∞上单调递增；当xx >0时，()0f x ′<，ff (xx )在区间(0,+∞）上单调递减；此时()()08ln 2f x f ≤=，符合题意；当10a −<<，则当0ln 1x <<−时，()()()228e 82201e 1e xxxg x a a =+>+′>++，此时()()()00f x g x g >′==，则()()08ln 2f x f >=，不合题意. 综上所述：a 的取值范围是(],1−∞−.【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19. 若存在1,1,2,2,,,n n 的一个排列n A ，满足每两个相同的正整数()1,2,,k k n = 之间恰有k 个正整数，则称数列n A 为“有趣数列”，称这样的n 为“有趣数”．例如，数列7:4,6,1,7,1,4,3,5,6,2,3,7,2,5A 为“有趣数列”，7为“有趣数”．（1）判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由； ①2:1,2,1,2A ；②3:3,1,2,1,3,2A ．（2）请写出“有趣数列”4A 的所有可能情形；（3）从1,2,,4n 中任取两个数i 和()j i j <，记i 和j 均为“有趣数”的概率为n P ，证明：14n P <．【答案】（1）①不是；②是（2）4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据“有趣数列”定义逐项判断即可求解.（2）分当两个1中间为2，当两个1中间为3，当两个1中间为4，共3种情况从而可找到符合题意的“有趣数列”，即可求解.（3）先设“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，从而可得()21111n n n k k k k k k a a a k k === +++=∑∑∑，可求得()1314nk k n n a =−=∑，再分情况讨论当()*43,42n m m m =−−∈N ，()*41n m m =−∈N ，()*4nm m ∈N 时符合“有趣数列”的情况，从而可得224C 1C 4nn nP =<，即可求解.【小问1详解】①2:1,2,1,2A 中两个2之间间隔数只有一个，故不是“有趣数列”， ②3:3,1,2,1,3,2A 中两个1之间间隔数有1个，两个2之间间隔数有2个，两个3之间间隔数有3个，故是“有趣数列”.小问2详解】当两个1中间为2，不妨设1,2,1右边两个2中间可能为1,3或1,4，则4A 可能为4,3,1,2,1,3,2,4或4,3,1,2,1,4,2,3，不符合题意；当两个1中间为3，两个2中间可能为3,4或4,3，则4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4，符合题意；【当两个1中间为4，不妨设1,4,1右边两个2中间可能为3,4或4,3，则4A 可能为1,4,1,2,3,4,2,3或1,4,1,2,4,3,2,3，不符合题意；综上所述：“有趣数列”4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4. 【小问3详解】将“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项，于是()21111n nn k kk k k k a aa k k === +++=∑∑∑，则()()13221222nk k n n n n a =+++=∑，即()1314nk k n n a =−=∑，又因为1nk k a =∑为整数，故必有()314n n −为整数，当()*43,42n m m m =−−∈N时，()314n n −不可能为整数，不符合题意；当()*41n m m =−∈N时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”41m A −为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,21,43,,21,42,m m m m m −−−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43m m m m m m −−−−+− ，符合题意；当()*4nm m ∈N 时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”4m A 为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,4,43,,21,42,m m m m m m −−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43,21,4m m m m m m m m −−−−+−− ，符合题意；这里44,,2m m − 是指将44m −一直到2m 的偶数按从大到小的顺序进行排列，23,,1m − 是指将23m −一直到1的奇数按从大到小的顺序进行排列，故1,2,,4n 中的“有趣数列”为3,4,7,8,,41,4n n − 共2n 个，则所求概率为()224C 211C 2414nn nn P n −==<−. 【点睛】方法点睛：本题主要是根据“有趣数列”定义，理解并应用，对于（3）中主要巧妙设出“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项，从而求出()1314nk k n n a =−=∑，从而可求解.。

2020届山东省济南市章丘区高三上学期期中数学试题(解析版)

2020届山东省济南市章丘区高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}()()|{2,|}520A x x B x x x =>-=+-≤,则A B =（）A ．()2,-+∞B ．[]22-,C ．(2,2]-D ．[5,)-+∞【答案】C【解析】先由二次不等式的解法求B 52,|} {x x =-≤≤再利用集合交集的运算可得{ 2 }2|A B x x =-<≤I ，得解.【详解】解:因为{}2,|A x x =>-()()52{|}0B x x x =+-≤()()520{|}x x x -≤=+52,|} {x x =-≤≤所以{ 2 }2|A B x x =-<≤I , 故选:C. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法及集合交集的运算，属基础题. 2．设z ii z+=,则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先由已知条件求得11122i z i i -==--，再确定z 在复平面内对应的点位于的象限即可. 【详解】解：由题意知()1,z i i -=-, 即11122i z i i -==--，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D. 【点睛】本题考查了复数的运算及复数在复平面内对应的点的位置，属基础题. 3．命题“2000,201920200x R x x ∃∈<++”的否定为（）A ．2,201920200x R x x ∀∈++<B ．2,201920200x R x x ∀∈++≤C ．2,201920200x R x x ∀∈++≥D ．2,201920200x R x x ∃∈++≥【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零,得解. 【详解】解：由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零，即命题“2000,201920200x R x x ∃∈<++”的否定为“2,201920200x R x x ∀∈++≥”，故选：C. 【点睛】本题考查了特称命题与全称命题的否定,属基础题. 4．设a 为非零实数,复数121,2z a i z i a=+=-,则12z z ⋅的最小值为（）A B ．3C ．D ．9【答案】B【解析】由复数的乘法运算得1213 2z z a i a ⋅=+-⎛⎫⎪⎝⎭，再结合复数模的运算得12||z z =⋅.【详解】解：因为1211)(2)3 2z z a i i a i a a ⋅⎛⎫⎪⎝=+-=+⎭-（,所以12||3z z ⋅=≥，当且仅当12a a =，即a =, 故12z z ⋅的最小值为3. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算及复数模的运算，属基础题. 5．函数f (x )=x 2+2ln||2x x 的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用奇偶性排除选项C 、D ；利用x →+∞时，()f x →+∞,排除A,从而可得结论. 【详解】 ∵f (-x )=( -x )2+2ln||2()x x --=x 2+2ln||2x x=f (x ), ∴f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除C,D ；又x →+∞时，()f x →+∞,排除A, 故选：B . 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6．若)(3tan πα=+则（）A ．tan 13α=B ．tan 7α=C ．tan 27α=D ．tan 223α= 【答案】D【解析】先由()33ππαα=+-，再由两角差的正切公式求出tan α，再利用正切的二倍角公式求出2tan α即可得解.【详解】解： )33(tan tan ππαα=+-Q 7==，7tan 2323149α∴==-，即选项ABC 错误，选项D 正确，故选：D. 【点睛】本题考查了两角差的正切公式，重点考查了正切的二倍角公式，属基础题.7．在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点(), 1, O BO DC DB BD ⋅-==uuu u r uuu r uu u r uu u r则DA 在DB 方向上的投影为（）A ．2 BC ．2-D．【答案】B【解析】由平面向量的线性运算得2BD BC cos DBC ⋅∠=uu u r uu u r，又,BC DA ADB DBC =∠=∠uu u r uu u r，BD =uu u rDA 在DB方向上的投影为BC cos DBC ⋅∠=uu u r.【详解】解：因为()1BO DC DB BO B BO BC c C os DBC ⋅-=⋅=⋅∠=uu u uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r r,所以2BD BC cos DBC ⋅∠=uu u r uu u r .又 ,BC DA ADB DBC =∠=∠uu u r uu u r，BD =uu u r所以DA cos ADB BC cos DBC ⋅∠=⋅∠==uu u r uu u r 故DA 在DB. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算，属中档题.8．已知函数()322f x x ax x =--+,则“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由()f x 在()2,4上单调递增，等价于23131222x a x x x-≤=-在()2,4上恒成立，再求得114a ≤，再判断“2a ≤”与“114a ≤”的充分必要性即可. 【详解】解：若()f x 在()2,4上单调递增，则()23210f x x ax '=--≥,即23131222x a x x x-≤=-在()2,4上恒成立. 又31()22h x x x =-在()2,4上单调递增,则3111224x x ->，所以114a ≤. 故“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查了由函数的单调性研究参数的范围，重点考查了充分必要条件，属中档题.9．()2221,,0,,42x y z x y z z m xy∀∈+∞++≥-++,则m 的取值范围为（）A ．(,1]-∞B ．(,3]-∞C ．(,2]-∞D ．(,1]-∞【答案】B【解析】先由重要不等式求得2214x y xy++的最小值为4，再利用配方法求二次函数的最值可得22z z m -++的最大值为1m +，再求解即可. 【详解】因为,(0,)x y ∈+∞,所以22111444x y xy xy xy xy ++≥=+≥==，当且仅当22414x y xy xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩即121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时等号成立. 又222(1)11z z m z m m -++=--++≤+，则()2221,,0,,42x y z x y z z m xy∀∈+∞++≥-++等价于14m +≤,解得：3m ≤，则m 的取值范围为(,3]-∞，故选为：B. 【点睛】本题考查了重要不等式及不等式恒成立问题，重点考查了恒成立问题最值法，属中档题. 10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（） A ．()()()0.31.130. 20.54f f log f <<B ．()()()0.31.130. 240.5f f f log <<C ．()()()1.10.3340.20.5f f f log <<D ．()()()0.31.130.50.24f log f f <<【答案】A【解析】由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为0.3 1.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解.【详解】解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称. 因为()()()0.31.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈,则0.31.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增, 所以()()()0.31.130.20.54f f log f <<.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.二、多选题11．将曲线()23 2()y sin x x sin x ππ=--+上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到()g x 的图象,则下列说法正确的是（） A ．()g x 的图象关于直线32x π=对称 B ．()g x 在[0,]π上的值域为30, 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()g x 的图象关于点(,0)6π对称D ．()g x 的图象可由1 2y cos x =+的图象向右平移23π个单位长度得到【答案】BD【解析】由三角恒等变换可得()1(2)6x g x sin π+=-，再结合三角函数值域的求法、三角函数图像的对称轴、对称中心的求法逐一判断即可得解. 【详解】解：因为()23sin sin 2x x x ππ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭1cos 212sin 2262x x x π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()1(2)6x g x sin π+=-, 对于选项A ，令62x k πππ-=+，解得23x k ππ=+（k Z ∈），即函数的对称轴方程为23x k ππ=+（k Z ∈），即选项A 错误；对于选项B ，因为[0,]x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即1(),16 2sin x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即()g x 在[0,]π上的值域为30, 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即选项B 正确；对于选项C ，令6x k ππ-=，解得6x k ππ=+，即()g x 的图象关于点1,,62k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称，则()g x 的图象关于点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故选项C 错误.对于D,由11 222y cos x sin x π⎛⎫ ⎝=+⎪⎭=++的图象向右平移23π个单位长度,得到211= +=sin 232(62y sin x x πππ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭）的图象,故选项D 正确. 则说法正确的是BD ，故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及伸缩变换，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.12．已知函数()222,0,0x x x f x log x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩,若1234x x x x <<<,且()()()()1234f x f x f x f x ===,则下列结论正确的是（）A ．121x x +=-B ．341x x =C ．412x <<D ．12340 1x x x x <<【答案】BCD【解析】先作出()222,0,0x x x f x log x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩的图像，再观察图像可得1223242, x x log x log x +=--=，再结合1234x x x x <<<，求解即可.【详解】画出函数()f x 的大致图象如下图，得出1223242, x x log x log x +=--=,则341x x =,故A 错误,B 正确;由图可知412x <<,故C 正确;因为()112112 1,2x x x x x -<<-=--=()()221112110,1x x x --=-++∈,所以()1234120,1x x x x x x =∈,故D 正确.则结论正确的是BCD ，故选：BCD.【点睛】本题考查了函数的零点与函数图像的交点的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.13．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x ',且()()()212x f x f x x x '+-<+对(0,)x ∈+∞恒成立.下列结论正确的是（）A ．()()22315f f ->B ．若()12,1f x =>,则()21122f x x x >++ C ．()()3217f f -< D ．若()12,01f x =<<,则()21122f x x x >++ 【答案】CD【解析】先构造函数()()21f x xg x x -=+，再利用导数可得()g x 在(0, )+∞上单调递减,再利用函数的单调性判断四个命题即可得解. 【详解】解：设函数()()21f x xg x x -=+，则()g x '=()()()()()22211f x x x f x x x '-+--⎡⎤⎣⎦+()()()()()22121x f x f x x x x '+--+=+ 因为()()()21 2x f x f x x x '+-<+,所以()'0g x <,故()g x 在(0, )+∞上单调递减,从而()()()123g g g >>,整理得()()22 315f f -<，()()3 217f f -<,故A 错误,C 正确.当01x <<时,若()12f =,因为()g x 在(0, )+∞上单调递减,所以()()112g x g >=即()21+12f x x x ->,即()21122f x x x >++.故D 正确,从而B 不正确.即结论正确的是CD ，故选：CD. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了函数的单调性，属中档题.三、填空题14．若向量a 与b 互相垂直,且1,2a b ==r r,则2a b +=__________．【解析】由向量模的运算2a b +=r r.【详解】解：因为向量a 与b 互相垂直,可得0a b ⋅=，又1,2a b ==r r，则2a b +===r r【点睛】本题考查了向量模的运算，属基础题. 15．若函数()21kf x x x=+-的图象在点()()1,1f 处的切线与直线510x y +-=垂直，则k =__________．【答案】3【解析】先求原函数的导函数()22,kf x x x'=+再利用导数的几何意义可得()125,f k '=+=得解.【详解】解：因为()21k f x x x=+-，所以()22,k f x x x'=+由已知有()125,f k '=+= 即3k =，故答案为：3. 【点睛】本题考查了导数的几何意义及两直线垂直的斜率运算，属基础题.16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时, () 21f x x =+,则()f x 的解析式为__________．不等式()112x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭<的解集为__________．【答案】()21,00,021,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩∞(-,1)【解析】先由函数为奇函数，结合0x <时, () 21f x x =+,求函数解析式即可；再分0x ≤时，0x >时求解不等式即可得解.【详解】解：设0x >，则0x -<，由函数为奇函数，可得()()f x f x =--，则()[2()1]21f x x x =--+=-，又(0)0f =，则()21,00,021,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩，当0x ≤时，()111,22x f x -⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭,所以()112x f x -⎛⎫⎪⎝⎭<;当0x >时,设()11()2x h x f x -⎛⎫- ⎪⎝⎭=11212x x -⎛⎫⎪⎝⎭=--，则函数()h x 为增函数，又111(1)211()02h -=⨯--=，即()0h x <的解集为()0,1，即()112x f x -⎛⎫⎪⎝⎭<的解集为()0,1.综上()112x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭<的解集为∞(-,1).故答案为：∞(-,1). 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，重点考查了解分段函数对应的不等式，属中档题.17．,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边.已知()222abcos A B a b c -=+-(1) tan Atan B =__________．(2)若45 ,2A a ==o ,则c =__________．【答案】3【解析】(1)由余弦定理可得()2222 2 2a b c cos A B cos C ab+--=⨯=，再由两角和、差的余弦公式展开运算求解即可；(2)由（1）可得 3tan B =，再由正弦定理可得sin sin 5a C c A ==，得解. 【详解】解：(1)由()222abcos A B a b c -=+-,得()2222 2 2a b c cos A B cos C ab+--=⨯=,而() cos C cos A B =-+,所以() 2cosAcosB sinAsin B cosAcosB sinAsinB +=--，即3 0cos Acos B sin Asin B -=,故 3 sin Asin Btan Atan B cos Acos B==.(2)因为45A =o ,所以1tanA =,则 3tan B =,所以 sin B B ==，从而() sin C sin A B =+==⎝⎭由正弦定理得sin sin a c A C =,则sin sin a C c A ==，故答案为：(1). 3 (2). 5. 【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了两角和、差的余弦公式，属中档题.四、解答题18．,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边.已知, 6A sin CB π==.(1)若ABC ∆的面积为求b ;(2)若2247c b -=,求ABC ∆的周长. 【答案】(1) 2b =.(2) 1+【解析】(1)由已知 sin C B =，结合正弦定理可得c =，再结合三角形的面积公式12S bcsinA =，将已知条件代入运算即可； (2)由2247c b -=，结合余弦定理得2222 1482372a b c bccos A =+-=+-⨯=,得解. 【详解】解:(1)由 sinC B =,得c = . 因为ABC △的面积为21124S bcsinA bc ====所以2b =.(2)因为2247,c b c -==,可得1,b c ==由余弦定理得2222 1482372a b c bccos A =+-=+-⨯=,所以a =故ABC △的周长为1+【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属基础题. 19．已知()()()()4,2, ,1,2,3,1,6A B m C D .(1)若//AB CD ,求,cos BD AC uu u r uuu r;(2)若向量,,AB BC CD 中存在互相垂直的两个向量,求m 的值. 【答案】(1)(2) 1m =或4m =-.【解析】(1)由//AB CD ，利用平面向量的坐标运算可得133m =，再由向量的夹角公式可得,BD AC cos BD AC BD AC⋅==uu u r uuu ruu u r uuu r uu u r uuu r ，得解；(2)分别讨论若AB BC ⊥,AB CD ⊥uu u r uu u r ，BC ED ⊥uu u r uu u r，再求解即可.【详解】解:(1)()()4,1, 1,3AB m CD =--=-uu u r uu u rQ ， ∴由//AB CD ,得()13341,3m m -=∴=10,53BD ⎛⎫∴ -⎪⎭=⎝uu u r ，又()2,1,,65BD AC AC cos BD AC BD AC ⋅=-==∴uu u r uuu ruuu r uu u r uuu r uu u r uuu r(2)()()()4,1,2 ,2,1,3AB m BC m CD =--=-=-uu u r uu u r uu u r，若AB BC ⊥,则()()4220m m ---=,即26 100,0m m -+=∆<,方程无解.若AB CD ⊥uu u r uu u r，则430m --=,解得1m =. 若BC ED ⊥uu u r uu u r，则 260m -+=,解得4m =-. 综上, 1m =或4m =-. 【点睛】本题考查了向量共线及垂直的坐标运算，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.20．尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为 4.8 1.5lgE M =+. (1)已知地震等级划分为里氏12级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于2.5级的为“小地震”,介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”,大于4.7级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约1210焦耳，试确定该次地震的类型;(2)2008年汶川地震为里氏8级,2011年日本地震为里氏9级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍? (3.2=) 【答案】(1) 破坏性地震 (2) 32倍【解析】(1)先阅读题意，再计算12 10 4.8= 4.81.5lg M -=，即可得解；(2)结合地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为4.8 1.5lgE M =+，再求出12 ,E E ，再求解即可.【详解】解:(1)当某次地震释放能量约102焦耳时,1210E =，代入 4.8 1.5lg E M =+,得12 10 4.812 4.8= 4.81.5 1.5lg M --==.因为4. 8 4.7>,所以该次地震为“破坏性地震”. (2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为12,E E . 由题意知,12 16.8, 18.3lg E Ig E ==，即16.818.31210 , 10E E ==,所以1.52110E E ==3.2=,得2132E E = 故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震的32倍. 【点睛】本题考查了对数函数在实际问题中的应用，重点考查了阅读，处理实际问题的能力，属中档题.21．已知函数()1 11sin x cos x sinx cosxf x sinx cosx sinx cosx+-+=++-1+++(1)化简()f x ,并求()f x 的最小正周期; (2)若()8f a =,求 2cos a ; (3)求()f x 的单调递增区间. 【答案】(1) ()in =2s f x x,最小正周期2π. (2)78(3) 2,2()()2k k k Z ππππ--∈和()()2,22k k k Z ππππ++∈.【解析】(1)由二倍角的正、余弦公式可得()222sin 2sin cos 2222cos 2sin cos222x x x f x x x x +=+2sin x =，得解；(2)由（1）得14sin α=，所以27 212 8cos sin a α==-，得解；(3) 设u sinx =,因为函数2y u=在(,0),(0,)-∞+∞上为减函数，所以要求()f x 的单调递增区间，即求 u sin x = (x k π≠，且 2,2x k k Z ππ≠-+∈)的单调递减区间,再求解即可. 【详解】解:(1)因为()222sin 2sin cos 2222cos 2sin cos 222x x x f x x x x +=+222cos 2sin cos sin cos 222222sin 2sin 2sin cos cos sin22222x x x x x x x x x x x ++=+=+，所以最小正周期 2T π=. (2)因为()8f a =,所以14sin α=，所以27 212 8cos sin a α==-； (3)设u sinx =,因为函数2y u=在(,0),(0,)-∞+∞上为减函数，所以要求()f x 的单调递增区间，即求 u sin x = (x k π≠，且 2,2x k k Z ππ≠-+∈)的单调递减区间,所以()f x 的单调递增区间为2,2()()2k k k Z ππππ--∈和()()2,22k k k Z ππππ++∈.【点睛】本题考查了三角恒等变形及三角函数的单调区间的求法，重点考查了三角函数的定义域，属中档题.22．已知二次函数()2441f x kx kx k =-++.(1)若12,x x 是()f x 的两个不同零点,是否存在实数k ,使()()121211224x x x x ++=成立?若存在,求k 的值;若不存在,请说明理由.(2)设1k =-,函数()()28,048,0f x x t x g x x x t x ⎧--<=⎨--≥⎩,存在3个零点.(i)求t 的取值范围;(ii)设,m n 分别是这3个零点中的最小值与最大值,求n m -的最大值. 【答案】(1) 不存在.理由见解析； (2) (i) 41t <<-(ii)32+【解析】(1) .假设存在实数k 满足题意，由韦达定理可得：()()()21212121212 2224k x x x x x x x x k +++=++=+911144k k +==，解得12k =,又()216 161 160k k k k ∆=-+=->，即k 0<，综合可得假设不成立；(2) (i)作出函数()h x 的图象，观察图像即可求出t 的取值范围;(ii)设直线()41y t t =-<<与此图象的最左边和最右边的交点分别为,A B .即3 2B A n m x x +-=-=，因为25=+510≤+=，代入运算可得解.【详解】解:(1)依题意可知,0k ≠.假设存在实数k ,使()()121211224x x x x ++=成立. 因为()f x 有两个不同零点，.所以()216 161 160k k k k ∆=-+=->,解得k 0<.由韦达定理得121211,4k x x x x k++==所以()()()21212121212 2224k x x x x x x x x k +++=++=+911144k k +== 解得12k =,而k 0<,故不存在. (2)因为1k =-,设()()h x g x t =+,则()2244,0,48,0x x x h x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩,当0x <时,()214112()h x x =-++≤;当0x ≥时,()()24144h x x =--≥-.(i)作出函数()h x 的图象，如图所示,所以41t <<-.(ii)设直线()41y t t =-<<与此图象的最左边和最右边的交点分别为,A B .由244x x t --=,得12A m x --==由248x x t -=,得B n x ==所以 B A n m x x -=-=因为25+=+510≤+=，所以当32t =-+.故n m -的最大值为32+.【点睛】本题考查了函数的零点与函数图像的交点之间的关系，重点考查了重要不等式及数形结合的数学思想方法，属中档题.23．已知函数()()2 ,xf x e ax ag x lnx =--=.(1)讨论()f x 的单调性;(2)用{},max m n 表示,m n 中的最大值，若函数()()(){}(),0h x max f x g x x =>只有一个零点,求a 的取值范围.【答案】(1) ()f x 在()(),2ln a -∞上单调递减,在())(2,ln a +∞上单调递增，.(2) )1, [⎪⎪⎩+∞⎭U【解析】(1)先求函数的导函数()'2xf x e a =-，再讨论0a ≤时, 0a >时,函数()f x 的单调性即可；(2)分别讨论函数()()(){}(),0h x max f x g x x =>在当1,() x ∈+∞，当1x =时，当()0,1x ∈时,函数()h x 零点个数，然后结合函数在(0, )+∞的零点个数即可得解.【详解】解:(1)函数()f x 的定义域为R ,且()'2xf x e a =-.当0a ≤时,() 0f x >对x ∈R 恒成立,所以()f x 在R 上单调递增. 当0a >时,令()0f x '=,得() 2x ln a =,当(),2()x ln a ∈-∞时,()0f x '<;当()2,()x ln a ∈+∞时,()0f x '>. 所以()f x 在()(),2ln a -∞上单调递减,在())(2,ln a +∞上单调递增，.(2)①当1,() x ∈+∞时, () 0g x ln x =>,从而()()(){}() ,0h x max f x g x g x =≥>,所以()h x 在(1, )+∞上无零点， ②当1x =时, ()13f e a =-,若()()(){}(),11,1103ea h max f g g ≥===,所以1x =是()h x 的零点; 若()()(){}() ,11,1103ea h max f g f <==>,所以1x =不是()h x 的零点.③当()0,1x ∈时, ()l 0g x n x =<,所以()h x 在()0,1上的零点个数只需要考虑()f x 在()0,1上的零点个数.()f x 在()0,1上的零点个数()0f x ⇔=在()0,1上实根的个数21xe a x ⇔=+在()0,1上实根的个数.令函数()(),0,121xe x x x ϕ=∈+,则()()()22121x x e x x ϕ-'=+,所以()x ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1(,1)2上单调递增；又()01ϕ=，()31e ϕ=，2e ϕ⎛⎫⎪⎭= ⎝当a <或1a ≥时，()f x 在()0,1上无零点;当a =13ea ≤<时, ()f x 在()0,1上有唯一零点，3ea ≤<时, ()f x 在()0,1上有两个零点，综上可得：当2a <时，()h x 在(0, )+∞上有无零点,当2a =时，()h x 在(0, )+∞上有1个零点,当12a <<时，()h x 在(0, )+∞上有2个零点, 当1a ≥时，()h x 在(0, )+∞上有1个零点,则()h x 在(0, )+∞上有唯一零点, a的取值范围为)1, [⎪⎪⎩+∞⎭U . 【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用函数研究函数的单调性及函数的大致图像，属难度较大的题型.。

2020年山东省济南市章丘第四中学高三数学理模拟试卷含解析

2020年山东省济南市章丘第四中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则tanα=（）A．B．2 C．D．参考答案：B【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得 tan2α的值，可得tanα的值．【解答】解：∵已知，即sin（﹣α）?cos（﹣α）=﹣，即sin（﹣2α）=﹣，即?cos2α=﹣，∴cos2α=﹣==，∴tan2α=4．再结合tanα＞0，可得tanα=2，故选：B．2. 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3B．－1 C．1D．3参考答案：A3. 以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．“”是“”成立的必要不充分条件C．对于命题，使得，则，均有D．若为真命题，则与至少有一个为真命题参考答案：D4. 设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为（）A．B．1 C．D．3参考答案：D5. 函数f（x）=1+log2x和g（x）=21+x在同一直角坐标系下的图象大致是( )A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=1+log2x与g（x）=2x+1解析式，分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象之间的关系，（即如何变换得到），分析其经过的特殊点，即可用排除法得到答案．【解答】解：∵f（x）=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上平移1而得，∴其图象必过点（1，1）．故排除A、C，又∵g（x）=2x+1的图象是由y=2x的图象左平移1而得故其图象也必过（﹣1，1）点，故排除B故选D．【点评】本题主要考查对数函数和指数函数图象的平移问题，属于中档题．6. 关于x的函数在上为减函数，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．（，0）C．(，0) D．(0，2参考答案：A7. 已知变量具有线性相关关系,测得的一组数据如下:,其回归方程为,则的值等于（）A．0.9 B．0.8 C．0.6D．0.2参考答案：A8. 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差参考答案：C【命题立意】本题考查统计学中的数字特征与统计图。

2020届山东省济南市章丘区第四中学高三上学期10月月考数学试题(解析版)

2020届山东省济南市章丘区第四中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．设集合{}|1213A x x =-≤+≤，{}2|log B x y x ==，则A B =（）A ．(]0,1B ．[]1,0-C ．[)1,0-D ．[]0,1【答案】A【解析】化简集合A,B ，根据交集的运算求解即可. 【详解】因为{}|1213[1,1]A x x =-≤+≤=-，{}2|log (0,)B x y x ===+∞，所以0,1]A B =（，故选A. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题. 2．复数11i i-+（i 为虚数单位）的虚部是（） A ．-1 B ．1C ．i -D ．i【答案】B【解析】根据复数除法的计算公式计算，由复数的概念即可得到结果. 【详解】因为21(1)(1)(1)21222i i i i i i i ----==-==+，所以虚部是1，故选B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数的概念，属于容易题.3．命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．1a ≤ B ．2a ≤ C ．3a ≤ D ．4a ≤【答案】A【解析】“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题可转化为[]22,1,2x a x ≥∈恒成立，可得2a ≤，根据充分必要条件可选出答案.【详解】若“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题，可得[]22,1,2x a x ≥∈恒成立只需2min (2)2a x ≤=，所以1a ≤时，[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题， “[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题时推出2a ≤，故1a ≤是命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件，选A. 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，充分条件，必要条件，命题，属于中档题. 4．函数1()lg(1)f x x =++ ）A ．[2,2]-B ．[2,0)(0,2]-C ．(1,0)(0,2]-⋃D ．(-1,2]【答案】C【解析】计算每个函数的定义域,再求交集得到答案. 【详解】1011()lg(1)00(1,0)(0,2]lg(1)202x x f x x x x x x x +>⇒>-⎧⎪=+⇒+≠⇒≠⇒∈-⋃⎨+⎪-≥⇒≤⎩故答案选C 【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.5．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3x f x =，则()3log 54f =（）A.32B.23-C.23D.32-【答案】D【解析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +，则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--，由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．函数sin(2)3y x π=+图象的对称轴方程可能是（）A.6x π=-B.12x π=-C.6x π=D.12x π=【答案】D【解析】函数的对称轴方程满足：()232x k k Z πππ+=+∈ ,即：()212k x k Z ππ=+∈ ,令0k = 可得对称轴方程为12x π= . 本题选择D 选项.7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案．【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ；又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．若函数()223f x ax x =+-在区间(),4-∞上是单调递增的,则实数a 的取值范围为（） A.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C.1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】根据实数a 的不同取值进行分类讨论.利用函数的单调性进行求解即可. 【详解】当0a =时, ()23f x x =-,因为20>,所以函数()23f x x =-是整个实数集上的增函数,故在区间(),4-∞上也是单调递增的,符合题意；当0a ≠时，要想函数()223f x ax x =+-在区间(),4-∞上是单调递增的只需满足：102442a a a<⎧⎪⇒-≤<⎨-≥⎪⎩,综上所述：实数a 的取值范围为1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：D 【点睛】本题考查了已知函数的单调区间求参数问题,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.9．函数sin()26x y π=+的图像可以由函数cos 2xy =的图像经过 A.向右平移3π个单位长度得到 B.向右平移23π个单位长度得到 C.向左平移3π个单位长度得到D.向左平移23π个单位长度得到【答案】B【解析】把函数cossin 222x x y π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象向右平移23π个单位长度，可得函数sin sin 23226x x y πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选B.10．函数()f x 的定义域为D ，若满足如下两个条件：（1）()f x 在D 内是单调函数；（2）存在,22m n D ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，使得()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，那么就称函数()f x 为“希望函数”，若函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“希望函数”，则t 的取值范围是（） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】根据“希望函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解. 【详解】因为函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“希望函数”,所以()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，且函数是单调递增的. 所以22log log m a na a t m a t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩即22m m n na t aa t a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 20x xa a t ∴--=有2个不等的正实数根，140t ∴∆=+>且两根之积等于0t ->解得104t -<<，故选A. 【点睛】本题主要考查了函数的值域，单调性，二次方程根的问题，属于难题. 11．已知函数()22f x x ax a =-+在区间(),1-∞上有最小值，则函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上一定（） A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数【答案】D【解析】由二次函数()y f x =在区间(),1-∞上有最小值得知其对称轴(),1x a =∈-∞，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上的单调性. 【详解】由于二次函数()y f x =在区间(),1-∞上有最小值，可知其对称轴(),1x a =∈-∞，()()222f x x ax a ag x x a x x x-+===+-.当0a <时，由于函数12y x a =-和函数2ay x=在()1,+∞上都为增函数，此时，函数()2ag x x a x=+-在()1,+∞上为增函数；当0a =时，()2g x x a =-在()1,+∞上为增函数；当01a <<时，由双勾函数的单调性知，函数()2ag x x a x=+-在)+∞上单调递增，())1,+∞⊆+∞Q ，所以，函数()2ag x x a x=+-在()1,+∞上为增函数. 综上所述：函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上为增函数，故选：D. 【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了ay x x=+型函数单调性的分析，解题时要注意对a 的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.二、多选题12．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）A ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 B ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1C ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1 【答案】AD【解析】根据函数图象的平移可得()sin(2)3g x x π=+，结合正弦函数的图像和性质可求最值. 【详解】将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin(2)3g x x π=+, 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42333x πππ∴≤+≤sin(2)123x π∴-≤+≤ 故选AD. 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象平移和性质，由定义域求值域，属于中档题.13．设函数()()2ln 02ax f x ax a e=->，若()f x 有4个零点，则a 的可能取值有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】先判断函数是偶函数，则条件等价为当0x >时，()f x 有2个零点，求函数的导数，研究函数的单调性，求出函数的极小值，让极小值小于0即可. 【详解】因为函数定义域为{|0}x x ≠，且()()f x f x -=-，所以函数为偶函数，故函数()f x 有4个零点等价于0x >时， ()f x 有2个零点，当0x >时，()()2ln 02ax f x ax a e =->，则221()2ax a ax ax ef x e ax e x ex'-=-=-=当,()x f x →+∞→+∞，当0,()x f x →→+∞ 由()0f x '=得x =x >()0f x '>，当0x <<时，()0f x '<，如图：所以()f x有极小值f ，要使函数有4个零点，只需0f <即可，即111ln(ln 02222ea a f a ae e ⋅=-=-=-<，解得1a >，所以a 可取2,3,4，故选BCD. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，结合偶函数的性质转化为当0x >时()f x 有2个零点，利用导数研究函数的单调性及极值，属于难题.三、填空题14．已知α为第二象限的角,3sin 5α=,则tan2α=________. 【答案】247-【解析】利用同角的三角函数关系式中的平方和关系,结合α为第二象限的角,可以求出cos α的值,再利用同角的三角函数关系式中的商关系可以求出tan α的值,最后利用二倍角的正切公式可以求出tan2α的值. 【详解】因为α为第二象限的角,所以4cos 5α===-,于是有3sin 35tan 4cos 45ααα===--,因此2232()2tan 244tan 231tan 71()4ααα⨯-===----. 故答案为：247- 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式,考查了二倍角的正切公式,考查了数学运算能力. 15．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=，所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．16．在 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1,2sin 3sin 4b c a B C -==，则cos A 的值为_______. 【答案】14-【解析】试题分析：∵32sin 3sin ,23,,2B C b c b c =∴=∴=代入14b c a -=得2a c =，由余弦定理得2221cos 24b c a A bc +-==-．【考点】1．正弦定理；2．余弦定理的推论．17．若函数2'1()(2)ln 2f x x f x ⋅=+,则()f x 的极大值点为_______，极大值为_________.()1l n 212- 【解析】对函数进行求导，把2x =代入导函数中,求出'(2)f 的值,这样可以确定函数的解析式以及函数的导函数,这样利用导函数可以判断函数的单调性,最后求出函数的极大值点和极大值. 【详解】2'''11()(2)ln ()(2)2f x x f x f x x f x=+⇒⋅=⋅+,因此有 '''11(2)2(2)(2)22f f f =⋅+⇒=-,所以2'111()ln ,()42f x x x f x x x=-+=-+2'112(()222x x x f x x x x x-++=-+==-,因为0x >,所以当x >,函数()f x 单调递减,当0x <, 函数()f x 单调递增,因此()f x ,极大值为11(ln 21)22f =-+=-.()1ln 212-【点睛】本题考查了求函数的极大值点及极大值问题,正确求出函数的解析式是解题的关键,考查了数学运算能力.四、解答题18．已知函数()()lg 1f x x =+的定义域为集合A ,函数()()2lg 2g x x x a =-+的定义域为集合B ．(1)当8a =-时,求AB ；(2)若{}|13R A C B x x ⋂=-<≤,求a 的值．【答案】（1）{}|45x x <≤；（2）3-.【解析】(1)根据二次根式被开方数为非负数,对数的真数大于零,得到不等式组和不等式,解不等式组和不等式即可求出集合,A B ,利用集合交集定义求出AB ；(2)先求出R C B ,再根据{}|13R A C B x x ⋂=-<≤,可以求出a 的值．【详解】(1)函数()()lg 1f x x =+有意义,则有5010x x -≥⎧⎨+>⎩，解得15x -<≤,当8a =-时,()()2lg 28g x x x =--,所以2280x x -->,解得4x >或2x <-,所以{}|45A B x x ⋂=<≤；(2){}{}212|20|R C B x x x a x x x x =-+≤=≤≤ 12()x x ≤, 由(){}|13R A C B x x ⋂=-<≤,可得11x ≤-,23x =,将23x =代入方程,解得3a =-,11x =-,满足题意，所以3a =-．【点睛】本题考查了求函数定义域,考查了集合的交集定义,考查了已知集合交集运算的结果求参数问题,考查了数学运算能力.19．已知()()4sin sin 13f x x x x R π⎛⎫=⋅++∈ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的最小正周期；(2)当[]0,2x π∈时,求()f x 的单调递减区间.【答案】(1)π；(2)5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,411,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)先用两角和的正弦公式展开化简计算,最后运用辅助角公式把函数()f x 的解析式化成正弦型函数解析式形式,运用求正弦型函数最小正周期公式求出求()f x 的最小正周期；(2)利用正弦型函数的单调性,结合[]0,2x π∈,求出()f x 的单调递减区间.【详解】（1）()14sin sin 12f x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos 1x x x =+2cos 2x x =-+2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以最小正周期为π.（2）当3222262k x k πππππ+≤-≤+, 即()536k x k k Z ππππ+≤≤+∈时,()f x 为减函数, ∵[]0,2x π∈,∴()f x 的单调递减区间为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,411,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了两角和的正弦公式,考查了辅助角公式,考查了正弦型函数的最小正周期公式以及单调性,考查了数学运算能力.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x b f x a+-+=+是奇函数. (1)求,a b 的值；(2)若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2,1；(2)13k <-. 【解析】1）由定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数．可得()00f =，()1(1)f f =--，联立即可解得,a b ，并验证即可．（2）由（1）得：11()221x f x =-++．利用2y x =在R 上单调递增，可得()f x 在R 上单调递减．再利用奇偶性可得：对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立⇔()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+．即可解出．【详解】(1)因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，即102b a-+=+，解得1b =. 从而有121()2x x f x a +-+=+.又由()1(1)f f =--知1121241a a-+-+=-++，解得2a =. 经检验，当121()22x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意 (2)由(1)知12111()22221x x x f x +-+==-+++，由上式易知()f x 在R 上为减函数，又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+．因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.即对一切t ∈R 有2320t t k -->，从而4120k =+<，解得13k <-. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性、指数函数的运算性质，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．在ABC ∆中，角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c 2sin a B =.(1)求角A ；(2)将函数1sin y x =的图象向左平移6π个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）,得到函数()y f x =的图象,若()12f A =,1b =,且ABC ∆的面积S =判断ABC ∆的形状. 【答案】(1)3A π=或23A π=；(2)ABC ∆是以角C 为直角的Rt ABC ∆. 【解析】(1)运用正弦定理实现边角转化,再利用特殊角的三角函数值,可以求出角A ；(2)按照正弦函数图象的平移变换、伸缩变换的解析式之间的关系,求出()y f x =的解析式,根据面积公式、余弦定理、勾股定理的逆定理最后可以判断出ABC ∆的形状.【详解】(1)2sin sin B A B =，因为()0,B π∈，所以sin 0B >，所以sin A =，又()0,A π∈，得：3A π=或23A π=. (2)已知可得：()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，由1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得3A π=. 又1sin 2S bc A ==，得2c =.由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得a =显见222+=a b c ，所以ABC ∆是以角C 为直角的Rt ABC ∆.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式.考查了正弦函数图象的平移变换、伸缩变换.22．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件，需另投入成本为()C x ,当年产量不足80千件时,()21103C x x x =+（万元）；当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-（万元）.每件商品售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部销售完.(1)写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)()21402503L x x x =-+-；(2)年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1000万元．【解析】(1)根据题意可以分成两种情况进行分析讨论：一是当080x <<时,二是当80x ≥时，根据年利润=销售收入-成本,这样可以用分段函数形式写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)分别利用配方法和基本不等式求出当080x <<时、当80x ≥时,函数()L x 的最大值,通过比较,最后求出函数()L x 的最大值.【详解】(1)∵每件商品售价为0.05万元,∴x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元, ①当080x <<时,根据年利润=销售收入-成本,∴()()210.0510********L x x x x =⨯---21402503x x =-+-； ②当80x ≥时,根据年利润=销售收入-成本,∴()()100000.051000511450250L x x x x =⨯--+-100001200x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 综①②可得,()2140250,0803100001200,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； (2)①当080x <<时,()()2211402506095033L x x x x =-+-=--+, ∴当60x =时，()L x 取得最大值()60950L =万元；②当80x ≥时,()10000120012001000L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭,当且仅当10000x x=,即100x =时,()L x 取得最大值()1001000L =万元．综合①②,由于9501000<,∴年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1000万元．【点睛】本题考查了利用函数的最值解决实际问题的能力.考查了配方法和基本不等式的应用,考查了数学运算能力.23．已知函数()21xx f x e +=. （1）求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设函数()()()ln 21f x g x x a x =⋅++，当2a ≤时，求证：()1g x <. 【答案】（1）2350x e y +-=（2）详见解析【解析】（1）求出函数的导数，计算(1),(1)f f '，写出切线方程即可（2）由题意转化为只需证()2ln 22x x e +<，构造函数()()()ln 2022th t e t t x =-+>=>-，利用导数研究函数的极小值，得出函数最小值，只需证明最小值大于0即可.【详解】（1）()()22421212x x x x e x e x f x e e-+⋅--'==， ()231f e -'=，()221f e =， ()22231y x e e-=--，整理得，所求切线方程为：2350x e y +-=.（1）要证()1g x <，只需证()2ln 2xx a e +<，又∵2a ≤，∴只需证()2ln 22xx e +<，即证()()()ln 2022th t e t t x =-+>=>-， ∵()()122t h t e t t '=->+单调递增， ()1110h e '-=-<，()10102h '=->， ∴必有()01,0t ∈-，使()00h t '=，即0012t e t =+，即()00ln 2t t =-+.且在()02,t -上，()00h t '<；在()0,t +∞上，()00h t '>，∴()()()020000min 0011ln 2022t t h t e t t t t +=-+=+=>++， ∴()()ln 20t h t e t =-+>，即()1g x <.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的切线方程，利用导数研究函数的最值，证明不等式恒成立，属于难题.。

山东省济南市章丘四中2020届高三数学上学期10月阶段检测试题[含答案]

山东省济南市章丘四中2020届高三数学上学期10月阶段检测试题一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分，其中1-10题是单选题，11-13题是多选题）1. 设集合，则（）A. B. C. D.2. 复数（i为虚数单位）的虚部是（）A. B.1 C.-1 D.i3. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.4..函数的定义域为（）A. B. C. D.5.定义在R上的奇函数满足，且在上，则（）A. B. C. - D. -6.函数图像的对称轴方程可能是（）山东中学联盟A．B．C．D．7. 函数（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）8.若函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围为（）A. B. C . D.sdzxlmA.向右平移单位长度得到B.向右平移单位长度得到C.向左平移单位长度得到D.向左平移单位长度得到10.函数的定义域为，若满足如下两个条件：（1）在D内是单调函数；（2）存在,使得在上的值域为，那么就称函数为“希望函数”，若函数是“希望函数”，则的取值范围是（）以下是多选题11.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（）A.在上的最小值为B. 在上的最小值为-1C.在上的最大值为D. 在上的最大值为1 ,12.已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（）A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数13. 设函数，若有4个零点，则的可能取值有（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）14.已知为第二象限的角，，则________.15.曲线在点处的切线方程为____________.16.在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为_______.17.若函数则的极大值点为，极大值为三、解答题（本大题共6小题。

第18题10分、第19-21题14分、第22-23题15分，共82分）18.（本小题满分10分）. 山东中学联盟已知函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．（1）当时，求；（2）若，求a的值．19. （本小题满分14分）已知（1）求的最小正周期；（2）当时求的单调递减区间。

2020届山东省济南市章丘区高三上学期月考数学试题

2020届山东省济南市章丘区第四中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．设集合{}|1213A x x =-≤+≤，{}2|log B x y x ==，则A B =（）A ．(]0,1B ．[]1,0-C ．[)1,0-D ．[]0,1【答案】A【解析】化简集合A,B ，根据交集的运算求解即可. 【详解】因为{}|1213[1,1]A x x =-≤+≤=-，{}2|log (0,)B x y x ===+∞，所以0,1]A B =（，故选A. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题. 2．复数11i i-+（i 为虚数单位）的虚部是（） A ．-1 B ．1C ．i -D ．i【答案】B【解析】根据复数除法的计算公式计算，由复数的概念即可得到结果. 【详解】因为21(1)(1)(1)21222i i i i i i i ----==-==+，所以虚部是1，故选B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数的概念，属于容易题.3．命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．1a ≤ B ．2a ≤C ．3a ≤D ．4a ≤【答案】A【解析】“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题可转化为[]22,1,2x a x ≥∈恒成立，可得2a ≤，根据充分必要条件可选出答案.【详解】若“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题，可得[]22,1,2x a x ≥∈恒成立只需2min (2)2a x ≤=，所以1a ≤时，[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题， “[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题时推出2a ≤，故1a ≤是命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件，选A. 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，充分条件，必要条件，命题，属于中档题. 4．函数1()lg(1)f x x =++ ）A ．[2,2]-B ．[2,0)(0,2]-C ．(1,0)(0,2]-⋃D ．(-1,2]【答案】C【解析】计算每个函数的定义域,再求交集得到答案. 【详解】1011()lg(1)00(1,0)(0,2]lg(1)202x x f x x x x x x x +>⇒>-⎧⎪=+⇒+≠⇒≠⇒∈-⋃⎨+⎪-≥⇒≤⎩故答案选C 【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.5．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3x f x =，则()3log 54f =（）A.32B.23-C.23D.32-【答案】D【解析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +，则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--，由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．函数sin(2)3y x π=+图象的对称轴方程可能是（）A.6x π=-B.12x π=-C.6x π=D.12x π=【答案】D【解析】函数的对称轴方程满足：()232x k k Z πππ+=+∈ ,即：()212k x k Z ππ=+∈ ,令0k = 可得对称轴方程为12x π= . 本题选择D 选项.7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案．【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ；又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．若函数()223f x ax x =+-在区间(),4-∞上是单调递增的,则实数a 的取值范围为（） A.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C.1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】根据实数a 的不同取值进行分类讨论.利用函数的单调性进行求解即可. 【详解】当0a =时, ()23f x x =-,因为20>,所以函数()23f x x =-是整个实数集上的增函数,故在区间(),4-∞上也是单调递增的,符合题意；当0a ≠时，要想函数()223f x ax x =+-在区间(),4-∞上是单调递增的只需满足：102442a a a<⎧⎪⇒-≤<⎨-≥⎪⎩,综上所述：实数a 的取值范围为1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：D 【点睛】本题考查了已知函数的单调区间求参数问题,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.9．函数sin()26x y π=+的图像可以由函数cos 2xy =的图像经过 A.向右平移3π个单位长度得到 B.向右平移23π个单位长度得到 C.向左平移3π个单位长度得到D.向左平移23π个单位长度得到【答案】B【解析】把函数cossin 222x x y π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象向右平移23π个单位长度，可得函数sin sin 23226x x y πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选B.10．函数()f x 的定义域为D ，若满足如下两个条件：（1）()f x 在D 内是单调函数；（2）存在,22m n D ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，使得()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，那么就称函数()f x 为“希望函数”，若函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“希望函数”，则t 的取值范围是（） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】根据“希望函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解. 【详解】因为函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“希望函数”,所以()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，且函数是单调递增的. 所以22log log m a naa t m a t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩即22m m n na t aa t a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 20x xa a t ∴--=有2个不等的正实数根，140t ∴∆=+>且两根之积等于0t ->解得104t -<<，故选A. 【点睛】本题主要考查了函数的值域，单调性，二次方程根的问题，属于难题. 11．已知函数()22f x x ax a =-+在区间(),1-∞上有最小值，则函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上一定（） A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数【答案】D【解析】由二次函数()y f x =在区间(),1-∞上有最小值得知其对称轴(),1x a =∈-∞，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上的单调性. 【详解】由于二次函数()y f x =在区间(),1-∞上有最小值，可知其对称轴(),1x a =∈-∞，()()222f x x ax a ag x x a x x x-+===+-.当0a <时，由于函数12y x a =-和函数2ay x=在()1,+∞上都为增函数，此时，函数()2ag x x a x=+-在()1,+∞上为增函数；当0a =时，()2g x x a =-在()1,+∞上为增函数；当01a <<时，由双勾函数的单调性知，函数()2ag x x a x=+-在)+∞上单调递增，())1,+∞⊆+∞，所以，函数()2ag x x a x=+-在()1,+∞上为增函数. 综上所述：函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上为增函数，故选：D. 【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了ay x x=+型函数单调性的分析，解题时要注意对a 的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.二、多选题12．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）A ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 B ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1C ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1 【答案】AD【解析】根据函数图象的平移可得()sin(2)3g x x π=+，结合正弦函数的图像和性质可求最值. 【详解】将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin(2)3g x x π=+, 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42333x πππ∴≤+≤sin(2)13x π≤+≤ 故选AD. 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象平移和性质，由定义域求值域，属于中档题.13．设函数()()2ln 02ax f x ax a e=->，若()f x 有4个零点，则a 的可能取值有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】先判断函数是偶函数，则条件等价为当0x >时，()f x 有2个零点，求函数的导数，研究函数的单调性，求出函数的极小值，让极小值小于0即可. 【详解】因为函数定义域为{|0}x x ≠，且()()f x f x -=-，所以函数为偶函数，故函数()f x 有4个零点等价于0x >时， ()f x 有2个零点，当0x >时，()()2ln 02ax f x ax a e =->，则221()2ax a ax ax ef x e ax e x ex'-=-=-=当,()x f x →+∞→+∞，当0,()x f x →→+∞ 由()0f x '=得exa =，当ex a >时，()0f x '>，当0ex a<<时，()0f x '<，如图：所以()f x 有极小值)e f a ，要使函数有4个零点，只需)0e f a<即可，即111()ln()ln 02222ea e e a f a ae ae a e a ⋅=-=-=-<，解得1a >，所以a 可取2,3,4，故选BCD. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，结合偶函数的性质转化为当0x >时()f x 有2个零点，利用导数研究函数的单调性及极值，属于难题.三、填空题14．已知α为第二象限的角,3sin 5α=,则tan2α=________. 【答案】247-【解析】利用同角的三角函数关系式中的平方和关系,结合α为第二象限的角,可以求出cos α的值,再利用同角的三角函数关系式中的商关系可以求出tan α的值,最后利用二倍角的正切公式可以求出tan2α的值. 【详解】因为α为第二象限的角,所以2234cos 1sin 1()55αα=-=-=-,于是有3sin 35tan 4cos 45ααα===--,因此2232()2tan 244tan 231tan 71()4ααα⨯-===----. 故答案为：247- 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式,考查了二倍角的正切公式,考查了数学运算能力. 15．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=，所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．16．在 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1,2sin 3sin 4b c a B C -==，则cos A 的值为_______. 【答案】14-【解析】试题分析：∵32sin 3sin ,23,,2B C b c b c =∴=∴=代入14b c a -=得2a c =，由余弦定理得2221cos 24b c a A bc +-==-．【考点】1．正弦定理；2．余弦定理的推论．17．若函数2'1()(2)ln 2f x x f x ⋅=+,则()f x 的极大值点为_______，极大值为_________.()1ln 212- 【解析】对函数进行求导，把2x =代入导函数中,求出'(2)f 的值,这样可以确定函数的解析式以及函数的导函数,这样利用导函数可以判断函数的单调性,最后求出函数的极大值点和极大值. 【详解】2'''11()(2)ln ()(2)2f x x f x f x x f x=+⇒⋅=⋅+,因此有 '''11(2)2(2)(2)22f f f =⋅+⇒=-,所以2'111()ln ,()42f x x x f x x x=-+=-+2'112(()222x x x f x x x x x-++=-+==-,因为0x >,所以当x >,函数()f x 单调递减,当02x时, 函数()f x 单调递增,因此()f x ,极大值为11(ln 21)22f =-+=-.()1ln 212-【点睛】本题考查了求函数的极大值点及极大值问题,正确求出函数的解析式是解题的关键,考查了数学运算能力.四、解答题18．已知函数()()lg 1f x x =+的定义域为集合A ,函数()()2lg 2g x x x a =-+的定义域为集合B ．(1)当8a =-时,求AB ；(2)若{}|13R A C B x x ⋂=-<≤,求a 的值．【答案】（1）{}|45x x <≤；（2）3-.【解析】(1)根据二次根式被开方数为非负数,对数的真数大于零,得到不等式组和不等式,解不等式组和不等式即可求出集合,A B ,利用集合交集定义求出AB ；(2)先求出R C B ,再根据{}|13R A C B x x ⋂=-<≤,可以求出a 的值．【详解】(1)函数()()lg 1f x x =+有意义,则有5010x x -≥⎧⎨+>⎩，解得15x -<≤,当8a =-时,()()2lg 28g x x x =--,所以2280x x -->,解得4x >或2x <-,所以{}|45A B x x ⋂=<≤；(2){}{}212|20|R C B x x x a x x x x =-+≤=≤≤ 12()x x ≤, 由(){}|13R A C B x x ⋂=-<≤,可得11x ≤-,23x =,将23x =代入方程,解得3a =-,11x =-,满足题意，所以3a =-．【点睛】本题考查了求函数定义域,考查了集合的交集定义,考查了已知集合交集运算的结果求参数问题,考查了数学运算能力.19．已知()()4sin sin 13f x x x x R π⎛⎫=⋅++∈ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的最小正周期；(2)当[]0,2x π∈时,求()f x 的单调递减区间.【答案】(1)π；(2)5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,411,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)先用两角和的正弦公式展开化简计算,最后运用辅助角公式把函数()f x 的解析式化成正弦型函数解析式形式,运用求正弦型函数最小正周期公式求出求()f x 的最小正周期；(2)利用正弦型函数的单调性,结合[]0,2x π∈,求出()f x 的单调递减区间.【详解】（1）()14sin sin cos 122f x x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos 1x x x =+2cos 2x x =-+2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以最小正周期为π.（2）当3222262k x k πππππ+≤-≤+, 即()536k x k k Z ππππ+≤≤+∈时,()f x 为减函数, ∵[]0,2x π∈,∴()f x 的单调递减区间为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,411,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了两角和的正弦公式,考查了辅助角公式,考查了正弦型函数的最小正周期公式以及单调性,考查了数学运算能力.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x b f x a+-+=+是奇函数. (1)求,a b 的值；(2)若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2,1；(2)13k <-. 【解析】1）由定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数．可得()00f =，()1(1)f f =--，联立即可解得,a b ，并验证即可．（2）由（1）得：11()221x f x =-++．利用2y x =在R 上单调递增，可得()f x 在R 上单调递减．再利用奇偶性可得：对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立⇔()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+．即可解出．【详解】(1)因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，即102b a-+=+，解得1b =. 从而有121()2x x f x a +-+=+.又由()1(1)f f =--知1121241a a-+-+=-++，解得2a =. 经检验，当121()22x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意 (2)由(1)知12111()22221x x x f x +-+==-+++，由上式易知()f x 在R 上为减函数，又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+．因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.即对一切t ∈R 有2320t t k -->，从而4120k =+<，解得13k <-. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性、指数函数的运算性质，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．在ABC ∆中，角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c 2sin a B =.(1)求角A ；(2)将函数1sin y x =的图象向左平移6π个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）,得到函数()y f x =的图象,若()12f A =,1b =,且ABC ∆的面积S =判断ABC ∆的形状. 【答案】(1)3A π=或23A π=；(2)ABC ∆是以角C 为直角的Rt ABC ∆. 【解析】(1)运用正弦定理实现边角转化,再利用特殊角的三角函数值,可以求出角A ；(2)按照正弦函数图象的平移变换、伸缩变换的解析式之间的关系,求出()y f x =的解析式,根据面积公式、余弦定理、勾股定理的逆定理最后可以判断出ABC ∆的形状.【详解】(1)2sin sin B A B =，因为()0,B π∈，所以sin 0B >，所以sin A =，又()0,A π∈，得：3A π=或23A π=. (2)已知可得：()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，由1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得3A π=. 又1sin 22S bc A ==，得2c =.由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得a =显见222+=a b c ，所以ABC ∆是以角C 为直角的Rt ABC ∆.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式.考查了正弦函数图象的平移变换、伸缩变换.22．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件，需另投入成本为()C x ,当年产量不足80千件时,()21103C x x x =+（万元）；当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-（万元）.每件商品售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部销售完.(1)写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)()21402503L x x x =-+-；(2)年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1000万元．【解析】(1)根据题意可以分成两种情况进行分析讨论：一是当080x <<时,二是当80x ≥时，根据年利润=销售收入-成本,这样可以用分段函数形式写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)分别利用配方法和基本不等式求出当080x <<时、当80x ≥时,函数()L x 的最大值,通过比较,最后求出函数()L x 的最大值.【详解】(1)∵每件商品售价为0.05万元,∴x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元, ①当080x <<时,根据年利润=销售收入-成本,∴()()210.0510********L x x x x =⨯---21402503x x =-+-； ②当80x ≥时,根据年利润=销售收入-成本,∴()()100000.051000511450250L x x x x =⨯--+-100001200x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 综①②可得,()2140250,0803100001200,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； (2)①当080x <<时,()()2211402506095033L x x x x =-+-=--+, ∴当60x =时，()L x 取得最大值()60950L =万元；②当80x ≥时,()10000120012001000L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭,当且仅当10000x x=,即100x =时,()L x 取得最大值()1001000L =万元．综合①②,由于9501000<,∴年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1000万元．【点睛】本题考查了利用函数的最值解决实际问题的能力.考查了配方法和基本不等式的应用,考查了数学运算能力.23．已知函数()21xx f x e +=. （1）求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设函数()()()ln 21f x g x x a x =⋅++，当2a ≤时，求证：()1g x <. 【答案】（1）2350x e y +-=（2）详见解析【解析】（1）求出函数的导数，计算(1),(1)f f '，写出切线方程即可（2）由题意转化为只需证()2ln 22x x e +<，构造函数()()()ln 2022th t e t t x =-+>=>-，利用导数研究函数的极小值，得出函数最小值，只需证明最小值大于0即可.【详解】（1）()()22421212x x x x e x e x f x e e-+⋅--'==， ()231f e -'=，()221f e =， ()22231y x e e-=--，整理得，所求切线方程为：2350x e y +-=.（1）要证()1g x <，只需证()2ln 2xx a e +<，又∵2a ≤，∴只需证()2ln 22xx e +<，即证()()()ln 2022th t e t t x =-+>=>-， ∵()()122t h t e t t '=->+单调递增， ()1110h e '-=-<，()10102h '=->， ∴必有()01,0t ∈-，使()00h t '=，即0012t e t =+，即()00ln 2t t =-+.且在()02,t -上，()00h t '<；在()0,t +∞上，()00h t '>，∴()()()020000min 0011ln 2022t t h t e t t t t +=-+=+=>++， ∴()()ln 20t h t e t =-+>，即()1g x <.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的切线方程，利用导数研究函数的最值，证明不等式恒成立，属于难题.。

山东省济南市章丘四中2020届高三数学上学期10月阶段检测试题[含答案]

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山东省济南市章丘四中2020届高三数学上学期10月阶段检测试题一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分，其中1-10题是单选题，11-13题是多选题）
（设集合，则） 1.
D.
A.
C.
B.
（i为虚数单位）的虚部是（复数） 2.
B.1
C.-1
D.i
A.
为真命题的一个充分不必要条件是（ 3. 命题）
D.
B.
A. C.
的定义域为（） 4..函数 D.
C.
A.
B.
R，则 5.定义在上上的奇函数满足，且在）（
D. - B. A. C. -
图像的对称轴方程可能是（） 6.函数山东中学联盟
．．C ．D BA．
（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（函数7. ）
1
的取值范围为 8.若函数上是单调递增的，则实数在区间
）（ A. B. C . D.
B.向右平移A.向右平移
sdzxlm单位长度得到单位长度得到
单位长度得到 D.向左平移C.向左平移单位长度得到
）若满足如下两个条件：（110.函数内是单调函数；（2）的定义域为，在D
为“希那么就称函数上的值域为，存在 ,使得在的取值范围是望函数”，若函数是“希望函数”，则
）（
以下是多选题）将函数11.的图象，则（的图象向左平移个单位长度后得到函数
-1
在B. A.在上的最小值为上的最小值为
上的最大值为上的最大值为在D. 在C.
, 1
2
在区间上有最小值，则函数12.已知函数在区
间
）上一定（
A.有最小值
B.有最大值
C.是减函数
D.是增函数
的可能取值有（）有 4个零点，则13. 设函数，若
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
________.
为第二象限的角，，则14.已知处的切线方程为____________.
15.曲线在点
， 16.在.中，内角所对的边分别是已知
_______.
的值为，则
的极大值点为，极大值为 17.若函数则
三、解答题（本大题共6小题。

第18题10分、第19-21题14分、第22-23题15分，共82分）
18.（本小题满分10分）. 山东中学联盟
A已知函数，函数的定义域为集合B．的定义域为集合；）当时，求1（a的值．）若2 ，求（
（本小题满分19. 14分）已知
）求的最小正周期；（1
）当（2的单调递减区间。

时求
3
20.（本小题满分14分）
R是奇函数．的函数已知定义域为
ba（1）求的值；，k的取值范围．，不等式恒成立，求（2）若对任意的
21（本小题满分14分）
，对边分别为在中，角
；1）求角（
个单位长度，将函数的图像向左平移再将所得图像上各点的横坐标缩短（2）
且，得到函数，的图像，若为原来的一半（纵坐标不变）的形状。

，判断的面积
22.（本小题满分15分）
x千件，需另投入成本为某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产，
；当年产量不小于80万元千件时，当年产量不足80千件时，。

每件商品售价为万元0.05万元。

通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完。

x（千件）的函数解析式；（万元）关于年产量1（）写出年利润
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？
15（本小题满分分）已知函数23.
处的切线方程；）求（1在点
4。

时，求证：，当）设函数（2
5
月考试数学答案
一、选择题（每题4分，共52分，注意：多选选错不得分，少选得2分）
1-5CBAAC 6-10 DADBA 11AD 12AD 13 BCD
二、填空题（每题4分，共16分）
17 15 14 16
三、解答题（本大题共6小题。

第18题10分、第19-21题14分、第22-23题15分，共82分）
，当有意义，则有 18..解：，解得函数
，所以时，或，所以，解得
分； (5)
，可得，，由
，，将带入方程，解得，满足题意，所以．..............10分
19解：
（1）..............7分所以最小正周期为
2）（，的单调递减区间为时为减函数，
..............14分
，，，即 20解：Ⅰ因为所以是奇函数，
时，，经检验，．又由知所以．是奇函数．..............7分
6
又因在上为减函数．知，Ⅱ易知由
Ⅰ
是奇函数，所以为等价于
山东中学联盟，，．即对一切有：因为为减函数，由上式可得：k..............14所以．．的取值范围是从而判别式分分）21（本小题满分14.
由正弦定理有：
，所以因为，所以.
...............6 或又分，得：
，⑵由已知可得：
.
，得得 . 又由
.
，得由余弦定理
显见...............14，所以分是以角为直角的
22
千件商品销售额为万元，每件商品售价为万元，当时，根据年利润销售收入成本，
；成本，时，根据年利润销售收入当
分可得，综(1)(2)； (77)
当，时，
时，万元；取得最大值当
，当且仅当当，即时，
取得最大值时，万元．
千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润100 ，年产量为综合①②，由于分万元．最大为 (1523)
8
9。