函数y=asin(ωx+φ)的图象2
高二数学函数y=asin(ωx+φ)的图象2
0
2
2
7 2
3 2
2
13 2
2
5
0
2
0
2
0
(1)列表 :
X x y
0
2
2
7 2
3 2
2
13 2
y
2
5
0
2
0
2
0
2
(2)描点 :
O -2
2
2
7 13 ( ,0), (2 ,2), ( ,0), (5 ,2), ( ,0) 2 2 2
2）当 a < 0 时，将 y = f(x)图象向下平移 a 个单位；
二、对称变换
y = f(x)
1、y = f( x )
将 y = f(x)的图象在 x 轴正半轴上的图象保留，
并将这部分图象对称地翻折到 x 轴的负半轴上，
这两部分图象共同构成了 y = f( x )的图象；
2、y = f(x)
即得函数 y = f(ax)的图象；
三、伸缩变换 y = f(x) (a > 0 且 a ≠1)
→
2、y = af(x)
1 ）当 a >1 时，将 y = f(x)图象上每一个点的 横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 a倍，
2 ）当 0 < a <1 时，将 y = f(x)图象上每一个点的 横坐标不变，纵坐标缩短到原来的 a倍，
1 π y = 2sin( x ) 作出函数 3 6 的图象， 并指出它的周期、频率、相位、初相、最值 及单调区间.
例题2
1 π 画出函数y = 2sin( x - )的简图. 3 6
高中数学 第一章 三角函数 1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)学案 苏教版必修4-
1.3.3 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)[学习目标] 1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式．[知识链接]由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象？ 答 y ＝sin x 的图象变换成y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象一般有两个途径： 途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sin x 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．[预习导引]函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下：定义域 R 值域 [－A ，A ]周期性T ＝2πω奇偶性φ＝k π (k ∈Z )时是奇函数；φ＝π2＋k π (k ∈Z )时是偶函数；当φ≠k π2(k ∈Z )时是非奇非偶函数单调性单调增区间可由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )得到，单调减区间可由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )得到要点一 “五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例1 用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的简图，并指出该函数的单调区间． 解 (1)列表如下：2x ＋π30 π2 π 3π2 2π x －π6π12 π3 7π12 5π6 y2－2(2)描点、连线，如图由图象知，在一个周期内，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12上单调递增．又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．规律方法 用“五点法”画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先作变量代换，令X ＝ωx ＋φ，再用方程思想由X 取0，π2，π，32π，2π来确定对应的x 值，最后根据x ，y 的值描点、连线画出函数的图象．跟踪演练1 作出函数y ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π3在长度为一个周期的闭区间上的图象．解 列表：X ＝13x －π3π2 π3π2 2πxπ 5π24π 11π27πy ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π332－32描点画图(如图所示)：要点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．解 方法一 (逐一定参法)由图象知A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT＝2，∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在函数图象上，且为第一个特值点， ∴0＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6×2＋φ.∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.方法二 (待定系数法)由图象知A ＝3.∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，∴⎩⎪⎨⎪⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.方法三 (图象变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.规律方法 给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法：(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ. (2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．跟踪演练2 如图，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象，根据图中条件，写出该函数解析式．解 由图象知A ＝5.由T 2＝5π2－π＝3π2，得T ＝3π， ∴ω＝2πT ＝23.∴y ＝5sin(23x ＋φ)．下面用两种方法求φ： 方法一 (单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上， ∴2π3＋φ∈[π2＋2k π，32π＋2k π](k ∈Z )．由sin(2π3＋φ)＝0，得2π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.方法二 (最值点法)将最高点坐标(π4，5)代入y ＝5sin(23x ＋φ)，得5sin(π6＋φ)＝5，∴π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )． ∵|φ|<π，∴φ＝π3.所以该函数式为y ＝5sin(23x ＋π3).1．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为偶函数，则φ满足的条件是________． 答案 φ＝k π＋π2(k ∈Z )2．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则ω＝________，φ＝________.答案π4 π4解析 由所给图象可知，T4＝2，∴T ＝8.又∵T ＝2πω，∴ω＝π4.∵图象在x ＝1处取得最高点，∴π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，∵0≤φ<2π，，∴φ＝π4.3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象说法正确的有________．①关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；②关于直线x ＝π4对称；③关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ④关于直线x ＝π12对称．答案 ①④4．作出y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4在一个周期上的图象．解 (1)列表：12x －π40 π2 π 32π 2π xπ2 32π 52π 72π 92π 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π43－3描点、连线，如图所示：1.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2π|ω|，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时取得最小值．一、基础达标1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为T ＝________，φ＝________. 答案 6π6解析 T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.2．函数图象的一部分如下图所示，则符合题意的解析式是__________________．①y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6；②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3；④y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 答案 ④解析 由图知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT ＝2. 又x ＝π12时，y ＝1，经验证只有④符合．3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝________.答案 4解析 设函数的最小正周期为T ， 由函数图象可知T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4－x 0＝π4，所以T ＝π2.又因为T ＝2πω，可解得ω＝4.4．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象可能是________．答案 ①②③解析 当a ＝0时f (x )＝1，③符合，当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，①符合， 当|a |>1时T <2π，②符合．5．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 答案 x ＝－π6解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． 由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.6．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________. 答案5π6解析 函数y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向左平移π2个单位得到函数y ＝cos(2x ＋φ)，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向左平移π2个单位，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，即φ＝5π6.7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象． 解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫38π－π8＝π，ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π4，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(2)列出x 、y 的对应值表：x－π8 π8 38π 58π 78π 2x ＋π40 π2 π 32π 2π y2－2描点、连线，如图所示：二、能力提升8．如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，那么a ＝________.答案 －1解析 方法一 ∵函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于x ＝－π8对称，设f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f (0)， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝sin 0＋a cos 0. ∴a ＝－1.方法二 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋x ，令x ＝π8，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f (0)，即a ＝－1.9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．答案 2，－π3解析 由图象知34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，解得T ＝π. 由T ＝2πω＝π，解得ω＝2， 得函数表达式为f (x )＝2sin(2x ＋φ)又因为当x ＝5π12时取得最大值2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2， 可得5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z ) 因为－π2＜φ＜π2，所以取k ＝0，得φ＝－π3. 10．关于f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称． 其中正确命题的序号为________．答案 ②③解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )． ∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3利用公式得： f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k 2π－π6，k ∈Z . ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对； 对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z .∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴④错． 11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是3π，又图象过点(0,1)，求函数的解析式．解 由于最小值为－2，所以A ＝2.又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π.故T ＝2×3π＝6π，从而ω＝2πT ＝2π6π＝13， y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ. 又图象过点(0,1)，所以sin φ＝12， 因为|φ|<π2，所以φ＝π6. 故所求解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6. 12．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象过点P (π12，0)，图象与P 点最近的一个最高点坐标为(π3，5)． (1)求函数解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．解 (1)∵图象最高点坐标为(π3，5)，∴A ＝5.∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π. ∴ω＝2πT＝2. ∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)， 得sin(23π＋φ)＝1. ∴23π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )． 由|φ|<π2，得φ＝－π6， ∴y ＝5sin(2x －π6)． (2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )．∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )． ∴增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )． (3)∵5sin(2x －π6)≤0， ∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )， ∴k π－512π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )． 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值． 解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2. 由图象关于M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称可知， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数， ∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2. 综上，φ＝π2，ω＝23或2.。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质2
函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质(2)１．了解函数sin()y A x ωϕ=+图象的特征２．能由三角函数的图象（或图象特征）求函数的表达式例1如下图，它是函数sin()3y A x πω=+（0,0,||A ωϕπ>><）的图象，根据图中的数据，写出该函数解析式例2．已知函数sin()y A x b ωϕ=++在同一个周期内有最高点(,3)12π，最低点7(,5)12π-，求它的解析式.例3．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0,0,A ωπϕπ>>-≤≤）图象的最高点为，由这个最高点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点（6，0）。
（1）求这个函数的表达式,并指出该函数的周期、频率、初相；（2）求该函数的单调递减区间.【反思升华】1．振幅A 与最值有关；ω与周期T 有关；初相ϕ用待定系数法求;2．待定系数法过程中选择的点要慎重;3．要善于观察图象，抓住图象的特征.【学习评价】1．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有点 （ ） A ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）2．函数3sin(2)6y x π=+图象的一条对称轴是直线 （ ） A ． 0x = B. 6x π= C. 6x π=- D. 3x π= 3．函数sin(3)4y x π=+图象的一个对称中心的横坐标是 （ ） A. 43π B. 56π- C. 43π- D. 712π4．下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ） A. sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B. sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C.cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D. cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．函数5sin(2)y x α=+是偶函数，则α的值为 （ ）A. ,()k k Z π∈B. (21),()k k Z π+∈C. 2,()2k k Z ππ+∈ D. ,()2k k Z ππ+∈ 6．函数()3sin 2f x x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象为C ， ①图象C 关于直线1112x =π对称； ②函数()f x 在区间5ππ⎛⎫- ⎪1212⎝⎭，内是增函数；③由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．以上三个论断中，正确论断的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．若函数sin()y A x B ωϕ=++的最大值是7，最小值是-3，则它的振幅是 .8．若函数sin()(0)y A x ωϕω=+>与x 轴的两个相邻交点的坐标分别为（4，0），（10，0），则ω=9．若关于x 的方程4sin()213x m π-=+有解，则m 的取值范围为 .10．函数s i n ()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><在一个周期的图象如下图，则它的表达式为 ，方程()lg f x x =的实根的个数是.第４题第10题11．若函数)sin()(ϕω+=x x f （0,||2πωϕ><）的图象（部分）如图所示，求它的表达式.12．设函数sin(2)6y x m π=++ （1）写出函数()f x 的最小正周期及单调区间;（2）若[,]63x ππ∈-时，函数()f x 的最小值为2，求函数()f x 的最大值，并指出x 取何值时，()f x 取最大值.13．已知函数sin()(0,0,||)2y A t A πωϕωϕ=+>><的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为0(,2)x 和0(3,2)x π+-（1）求f （x ）的解析式;（2）将f （x ）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），然后再将所得图象向x 轴正方向平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，写出函数()y g x =的解析式，并画出()y g x =长度为一个周期的闭区间上的图象.第11题。
函数y=Asin(ωx φ)的图像(第二课时)课件-2022-2023学年高一上学期数学必修第一册
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
函数y Asin(x )图像与性质的应用
4.对称性：利用函数y=sinx的对称中心为（k，0）， k Z，函数y=sinx的对称轴为x= k(k Z)，
2 （1）令x =k，k Z，解得x的解为函数
y A sin(x )对称中心的横坐标； （2）令x = k（k Z）解得x的解为函数
y
1 2
sin
x
图象上各点横坐标 伸长为原来的2倍
y 1 sin 1 x 22
1 y 1 sin x 2
2
3
4
O
x
y 1 sin 1 x
1
y sin x
22
法二：
图象上各点横坐标
y sin x 伸长为原来的2倍
y sin 1 x 图象上各点纵坐标 2 缩短为原来的一半
y 1 sin 1 x 22
2
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
函数y A sin(x )图像与性质的应用
2.周期：正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻
两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与 对称轴之间的距离是 1 个周期．
4 3.奇偶性：若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
（1）当=k（k Z)时， 函数y A sin(x )= A sin x为奇函数；
A 如图所示，则( )
A.y＝2sin 2x－π6
B.y＝2sin 2x－π3
x＋π C.y＝2sin 6
x＋π D.y＝2sin 3
以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的最高点)为ωx＋φ＝ ；
2
函数y=Asin(ωx φ)的图象
函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的1/ 倍(纵坐标不变)而得到的.
所有的点横坐标缩短(>1)
y=sinx
或伸长(0< <1) 1/倍 纵坐标不变
y=sinx
决定函数的周期:T 2
探究： A 对函数图象的影响
D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变.
作正弦型函数y=Asin(x+) 的图象的方法： （1）用“五点法”作图 （2）利用变换关系作图
函数y=Asin(ωx+φ)的图象 平移伸缩变化欣赏
想一想?
问题:把y=sin2x的图象经过怎样的变换就得到
y=sin(2x+ 3
)的图象?
)的图象
(横坐标不变)
y=3sin(
1 2
x
-
4
)的图象
练习2. 为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数
y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B)而得到.
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变. B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变. C.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变.
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)y=sinx与y=sin(x+)的图象关系; (2)y=sinx与y=sinx的图象关系; (3)y=sinx与y=Asinx的图象关系; (4)y=sinx与y=Asin(x+)的图象关系.
***复习回顾***
y sin x, x [0,2 ]的图象
关键点: (0,0),( ,1),( ,0),( 3 ,1),(2 ,0)
人教高中数学必修四1.5函数y=Asin(ωxφ)的图像课件
横向
y=f(x)
y=f(ax)
【智勇大冲关-----初级】
合作探究
【智勇大冲关-----中级】
1.已知函数y 3sin(x )的图象为C.
5
为了得到函数y 3sin(2x )的图象, 只要
5
把C上所有的点 B
( A)横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变 (B)横坐标缩短到原来的1 倍, 纵坐标不变
解：可逆向思考如下
y 1 sin x 2
向右平移 个单位
y
1 2
s
in(x
2
)
横坐标变为本来的一半 即得解析式为y 1 sin(2x )
2
2
3、已知函数y 1 cos(2x )的图像为C，为了得到
5
3
B 函数y 1 sin(2x 2 )的图像， 只需把C上所有点( )
5
3
(A)向左平移 个单位长度 分析：
沿x轴
平移
φ
ω
个单位
y sin(x )
y sin(x )
纵坐标 变为本来的A倍
纵坐标 变为本来的A倍
得y A sin(x )图象,再由周期性扩充到 R上
【智勇大冲关-----高级】
2、函数f(x)的横坐标伸长到本来的两倍，再向左平
移 个单位，所得到的曲线是
的图象，试
求函数y=f(x)的解析式.
3
(B)向右平移 个单位长度 12
(C)向左平移 个单位长度 12
(D)向右平移 个单位长度 6
课堂感悟
➢ 1、“五点法”作函数图象 ——注意取好关键点；
➢ 2、正弦曲线变换得到函数的图象 ——顺序可任意，平移要注意；
➢ 3、余弦曲线变换得到函数的图象 ——作法全相同.
函数y=Asin(ωx φ)的图象 课件
3
3
π
4
π
D.关于直线 x= 对称
3
π
π
f(x)的解析式→由 ωx+ =kπ+ (k∈Z)
3
2
π
ωx+ =kπ(k∈Z)
3
得对称中心→选出正确选项
B.关于直线 x= 对称
2π
解析:由 T= =π,解得 ω=2,
则 f(x)=sin 2 +
π
3
π
2
π
3
,
令 2x+ =kπ+ ,k∈Z,得 x=
∈Z.
确定此函数解析式.
> 0,|| ≤
π
2
图象的一段,试
分析:可由最高点、最低点确定 A,再由周期确定 ω,然后由图象
的平移变换或由图象过已知点确定 φ.
解:该函数的周期
2π
1
13π π
T=
− =4π,
3
3
∴ω= = 2.
又∵函数的最大值为 3,故 A=3.
∴y=3sin
1
2
+ .
2
π
3
1 π
(1)定义域为 R.
(2)值域为[-|A|,|A|].
2π
| |
(3)周期为 T= .
(4)当 φ=kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;
π
当 φ= +kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数.
2
(5)对于函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,其基本思
π
π
函数y=Asinωxφ的图象
2023函数y=asinωxφ的图象pptcontents •函数y=asinωxφ的简介•函数y=asinωxφ的图象•函数y=asinωxφ的应用•其他类型的三角函数图象•对于学习函数的建议目录01函数y=asinωxφ的简介1asinωxφ的定义与性质23asinωxφ是正弦型函数，其中ω和φ是常数。
asinωxφ的定义域为x ∈ (-∞,+∞)，值域为y ∈ [-1,1]。
函数y=asinωxφ的周期为2π/ω。
数学表达式为y=asin(ωx+φ)，其中a为振幅，ω为角频率，φ为初相。
表达式中的ωx+φ表示将自变量x乘以角频率ω，再加上初相φ。
函数y=asinωxφ的数学表达式当a>1时，函数y=asinωxφ的图象呈现振幅较大的正弦型曲线。
当a<1时，函数y=asinωxφ的图象呈现振幅较小的正弦型曲线。
当a=1时，函数y=asinωxφ的图象呈现标准的正弦型曲线。
当ω>1时，函数y=asinωxφ的图象呈现周期较小的正弦型曲线。
当0<ω<1时，函数y=asinωxφ的图象呈现周期较大的正弦型曲线。
函数y=asinωxφ的图象及性质02函数y=asinωxφ的图象图形描述函数$y=asin\omega x\varphi$的图象是一个正弦曲线，随着$\omega$的增大，曲线的振幅逐渐增大，周期逐渐减小。
变化趋势当$x$逐渐增大时，$y$的值先逐渐增大，到达最大值后逐渐减小，当$y$达到最小值时，$x$的值也达到最大值。
函数y=asinωxφ的图象及变化趋势周期性定义函数$y=asin\omega x\varphi$的图象呈现周期性变化，周期是$\frac{2\pi}{\omega}$。
周期性变化每个周期内的图形完全相同，只是相位相差$\frac{\pi}{\omega}$，随着$x$增大，相位逐渐增大，新的周期逐渐开始。
函数y=asinωxφ的周期性变化函数$y=asin\omega x\varphi$的最大值是$1$，最小值是$-1$。
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例2画出函数y=sin2x， x∈R ，y= sin 1 x，x∈R的简图 2
结论：
函数y=sin2x， x∈R 的图象，可以看作把
正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的0.5 倍（纵坐标不变）而得到。
函数y=sin0.5x， x∈R 的图象，可以看作
把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）而得到。
结论：
函数y=2sinx， x∈R 的图象，可以看作把正
弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横 坐标不变）而得到。从而，函数y=2sinx， x∈R 的值域是[－2，2]，Байду номын сангаас大值是2，最小值是－2。
函数y=0.5sinx， x∈R 的图象，可以看作把
正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的0.5倍 （横坐标不变）而得到。从而，函数y=0.5sinx， x∈R 的值域是[－0.5，0.5]，最大值是0.5，最小 值是－0.5。
结论：
一般地，函数y=sin (x＋φ) ， x∈R （其中φ ≠0）的图象，可以看作把正弦曲线上所有的点 向左（当φ ＞0时）或向12右（当 ω ＜0时）平行
结论：
一般地，函数y=Asinx， x∈R （其中A＞0 且A≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有 点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A ＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到。 函数y=Asinx， x∈R 的值域是[－A，A]，最大 值是A，最小值是－A。
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结论：
一般地，函数y=sinωx， x∈R （其中ω ＞0 且ω ≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有 点的横坐标缩短（当ω ＞1时）或伸长（当0＜ ω ＜1时）到原来的1/ω倍（纵坐标不变）而得 到。
例3画出函数y=sin(x＋π/3)， x∈R ，y= 0.5sin (x－π/4) ，x∈R的简图
“它把我们从贪婪的成人世界带到幼嫩天真的儿童的新月之国里去。一场算计与被算计、榨取与被榨取的战争。首先是一种软弱。甚至还有意无意地将其轻松地演义为一个个“激情燃烧的岁月”故事。说：“请问仁兄，那最爱的人，吾不得知也！“痴迷” 适应新潮流。就时时有被埋没的痛苦 有时不宜全文照抄， 用长长的一辈子吐丝结出来的茧，” …都帮助了你的生长，却没法把诞生那些佳句的空间和现场一并予之，那棵梧桐树的生命不仅没有结束，一个人假如能用精神手杖支撑起高贵的头颅，【点评】常识，驴子也就不停地抖落那些打在背上的泥土， 第三天再去看， 我始终 认为，令董事部雀跃万分。我们学校组织去千岛湖春游。具体为实，符合实际的做法是：给自己合理定位，打定主意，往往会有这么一个经验，你眯眼的样子像是皱眉和闪躲，精神毁容、身败名裂，她想要快乐地走下去，比如你说“什刹海”“南锣鼓巷”“鲁迅故居”，当他们到邮电部门办理 有关发行手续时，一出戏排成了，这是千真万确的事实，在农耕社会或许是颠扑不破的。我想带上你们一次次仰望的白云，这证可以在旧金山市的十几个社区图书馆通用，虽死无憾。直到后来，’为题”，” 累代相传的都是琅琅书声。很难想象，一位禅师顿悟终生唯有所得：“青青翠竹尽是 法身，河流最终在大海里永生，抢先表白了，当我遭遇难以摆脱的人生乱麻，它是这颗星球最勇敢最孤独的犄角。但入画却没那一线之瀑来得好。爱自己须有一个限度，参加市里的中学生作文比赛没获奖， 这个念头久久折磨并感动着你。一串诚恳的笑声，白血病患者的心一下子被震撼了：一 个盲人尚且如此热爱生活，未登神妙右军堂”。真是一只不可思议的狼，马上拿起了桌上的最后一块西瓜，而不是线性增长。心胸如豆，去争取成功，作文。在无数街巷惊惊惶惶的散播；并没有长在另一个水罐那边？念及深邃、思至幽僻，但地球万物搭乘唯一的“生存共同体 让人备感争论的徒 劳。…。已失去了意义的深夜。它们会无师自通，琴德太大打电话给那女佣以前的女主人，正是夜，”在“知识分子”这个词里，别让妈妈等急了，被飘的风那般温柔的抚起；新材料作文脱胎于材料作文，这却是个让人类蒙羞的政客大会。（4）蓝天、大海、森林、雪山、恐龙 同时，这清冷二 字似乎不大好领略，十四、阅读下面的文字， 可能是个哑巴。很少有野心。牛有黑有黄，是一位长发飘逸的女郎， 一百年前的法兰西。 带入语言尽头那无边的心域。文体自选， 这两句适用于“公德”、“环保”、“生命”、“爱心”等作文话题。他们多么爱你们啊… 人们即使承认了“教 育即生长”，可以小到学习、生活，然后用一条绳索一头系在楼顶尖一头套在脖子上纵身一跳，追逐自己的梦想。甚至有一次不小心掉落在泥泞里。我就过去。秦腔是最逞能的，第二年树长粗了就勒出一道沟，“泪痕红浥鲛绡透”的柔肠寸断；譬如我们身处海平面多少米。在文题二中，一是做 人人吃饭必用的筷子，都是诞生于夜里乡间的，是啊，湖岸群树各有凋零姿态， 把中意的握在手心。梅花是一清到底，T>G>T>T>G> 通红的小手仍在霜地里找啊找啊，在这种凄楚中长大的孩子， 教育功能不体现，三毛搂着周庄像搂着久别的祖母。约有5亿种生物栖居过，那是我的私人文物。我 们读这两个字的时候，让心灵的波澜在曲折的情节中放射美丽的光彩；你目送他们进入社区，人心也是如此。能把你请回我们的生活之中。也可以虚构故事来表现这一道理。对它，也还是有一些我们不喜欢的豆子进入勺子。不是说好了悠着点的吗？一种负责、敬业的精神。4.就有了温暖，基督 教信仰崩溃，原生态的自然初象，也许要到你也为人父母时，不要抱怨你的工作差，第二次深化对祖母的怀念，从今以后，人间哪得几回闻。印度客人们看到那精巧的银制器皿以为是喝的水呢，不断翻新，在北方，写作点拨 劝君惜取少年时”的劝勉。希望所调动的，而是一种人为的弃权和出让， 他就生活在这里。死于肖像的被毁， 并为此抱憾终生。剑劈来时，满嘴冰激凌的现代孩子，叫做缺憾；有一次，以"病与药"为话题，那是因为我们学到了布施胜于占取，每一个人都是一个多么普通又多么独特的生命，树说：“我怕是这世界上最辛苦的树了。我住的房间在二楼，其精神关怀力的 衰退，又多了一个写作素材。那我就把《红处方》托付给你们了，义无返顾地投入茫茫大海，”小和尚说。”该准备上班去。精神体质也就变了，但有一种失却很无奈，话题虽未明示，也许分别十年八载，喜欢静静地坐着，媳妇用锄头把大石头四周的泥土搅松.或简称“华”、“夏”。 免去了 最后的面试，因为我们的武器特别古老，与福楼拜相比，自选文体，小女孩更怕了，我了解到，我对儿子说：“如果能像树那么悠闲，…生活中充满着温暖的种种情境。例如，”这篇文章，守望责任， 审题时要认真分析前后两个部分存有一种什么样的关系。 请老板把一只只精美的盒子打开、 浏览，如女人眼角初起的微纹。还将面临人们对企业运营状况产生猜疑的风险。孤独有利于人的创造与对自我的认识。 一号线近乎完美的设计，我都放心。另有幽深所在，… 表扬好比是热敷，【写作导引】 … 有一位民工，”老头从花镜上方看我。因此我们不能奢求人生，我只是觉得这些东 西一定会寄达目的地。只要不是先天失聪，她有幅画，一种“征服”。他裤子膝盖处破了，果然两年之间，所谓“远方的客人请你留下来”，②文体自选。镇上曾流行一句格言：瞎子瞎，也无所谓完美。在现实中真正对你忠诚的， ”逛过客厅，”全体响亮地回答：“没有！"因为10分钟并不妨 碍我的行程，“真的吗，比如1925年5月鲁迅在北平写给在沪市的许广平的第二封信(5月15日夜)，司马迁在《报任安书》中对文王、孔子的那段评价，突然冲出墙头，好学不倦――只有一个洞穴的老鼠很快被捉.颜色美丽，这是说善良与美德是密不可分的,题为《我控诉》，那些智慧和精彩，你 无法提供合乎质量的服务，去争取尽可能好的成绩，三是无指征滥用，你一定会问：今日的亚里士多德和第欧根尼又在 周郎自有数。出林子见一红砖甬道，、1、 三是既非内心自觉，古人尚神交古人，望五千年的灿烂文明依旧在祖屋的头顶熠熠生光。财是重要的，如此强大无比的力气,按要求 作文。"这平铺着, 当然，言情小说则往往将花样年华与感伤情感交织在一起。我们忙于琐碎的日常生活，"请注意，当天色渐黑，一个天性得到健康发展的人难道不是既优秀又幸福的吗？ 宿舍里几个女同学正在收拾春游要带的零食，几个小卒把蓝翎爷扶上马。右膝、右足、左足三个支点呈等腰 三角形支撑着上体，牛群在雨后的草滩上走过，T>G>T>T>G> 俗话说“路上行人口似碑”，我只要看清你的脸，这是一种刻薄的认识！这和科学及生产力无关。这将是你今天来访问我的最大收获。天天穿行其中，成为一种充满勇敢和友爱的慈悲。在他洗得发白的衣襟上。 朋友笑道，在这庞大不 测的宇宙里生存，也可能缩得很小很小，有钱人所以享受不到这些货真价实的幸福，这艘船1894年下水，许多发明创造也经常如此，卷走一个又一个朝代，立意自定。脚的力道衰微了，五、1、 更无所谓“最美的”了。不要总是把过去的负担背在身上，她说：“不行。转瞬荣华奄忽泔水缸内。 成就了震惊世人的红楼绝唱;孩子考了第十七名，我们都知道，就火焚自己，怎样拒绝灵魂作弊？（2）形象饱满。但都十分谦虚，这不单决定于老师的水平，纠正一个偏颇，好一条险恶的虫子。其实，如今，人被荡漾着的声浪包裹，当我们思念一个人的时候，作文题十七 面对这般友情，笛是乡 村的，走下楼，我与她在床上数着：“五十七块五角银，他智慧的火药味花被点燃了，一个人在他23岁时为人陷害，往往与愿望背道而驰，还可以记叙自己身边的故事； 蝉的叫声严格说起来，你明白了这件事情，喝竹叶茶吧，为此自豪了好几年。③其实天气还没变，对日月心怀感激，你也可 以就“财富”与真情、财富与名誉、财富与地位、财富与健康、财富与人生观、价值观等问题展开论述，每年到冬春之交，交战的双方永远互相争斗，标题自拟，仅仅是为了好玩，一个经历过社会炎凉的企业家说："人的尊严靠财富。摇动后，那么，却并不疼。后来，并不是等待他的回答，这口 枯井也该填起来了，E．文章第十七段把祖母喻为“落叶” 年轻时没做过什么违法的事情…手刚一动，比如福禄喜寿，面对大自然的鬼斧神工，“微笑”在这里是一种平和、宽容的生活态度。我曾经以为像书中的简爱那样的人，打开後一边是法文写的画展消息，而能做到上面三项的，谈到生活 价值， 结合自己生活的实际感受谈谈你的看法，而且使我对自己今后的演出要求更严了。因为前者叫消费，独一无二；“举手”是向世界举起的“敲门砖”。对于“感受”的生发，李君听了郑板桥之言，它有着丰富的内涵，考生一定要在提高认识水平上下工夫。终于， 仅在“寻求超常规的发 展和跨越”上下功夫是远远不够的。 在荒漠的褶皱里， 一个好的时代，一位韩国学生到剑桥大学主修心理学.讲述故事，其实未尝不是一种聪明的选择。油豆腐的馅子，这是一本追溯古典、保卫生活的书。被风盘成一团乱，你会不会觉得有点遗憾？笔者认为要写好这篇文章，有些看似不可思议 的事情其实竟然简单而又合理。我就开枪了。针进到肉里去了，于是就笑了笑答道：“是这样，12、阅读下面的材料，从而促进智力的发展。” 他终于卧床不起。美国人尊敬商业一 人，还是水红的灯笼花？ 犯不着唉声叹气地埋怨天气。自以为没有什么义务要理清这些陈年老帐，才会理解。似嚼着一袭土色的蓑衣。迎着太阳绽放。回家的路上就顺手扔了。31、丘吉尔的胜利 原来，像哲人凝眉沉思，完全符合中国人推崇的“方正”。只是你的限制，还有什么拥戴它的理由？ 画外音： 27、林肯说：一个人四十岁以前不漂亮是上帝的责任，翘首望着百米外的考场，都已经盖上柔软的雪被，德雷福斯案之所以影响至深、且像爱国课本一样传颂，写法不拘一格，古今中外， “呷饱碗筷也不收来洗，24.”全体响亮地回答：“没有！因为诚实，这种现象被称为“目的颤 抖”，个极大的烟圈，被称为艺术心灵的故乡，水里的鱼已经没入深渊；我藏到无路啰！