浮点数 的运算解析
汇编FPU浮点运算解析
浮点执行环境的寄存器主要是8个通用数据寄存器和几个专用寄存器，它们是状态寄存器、控制寄存器、标记寄存器等8个浮点数据寄存器（FPU Data Register），编号FPR0 ~ FPR7。
每个浮点寄存器都是80位的，以扩展精度格式存储数据。
当其他类型数据压入数据寄存器时，PFU自动转换成扩展精度；相反，数据寄存器的数据取出时，系统也会自动转换成要求的数据类型。
8个浮点数据寄存器组成首尾相接的堆栈，当前栈顶ST(0)指向的FPRx由状态寄存器中TOP字段指明。
数据寄存器不采用随机存取，而是按照“后进先出”的堆栈原则工作，并且首尾循环。
向数据寄存器传送（Load）数据时就是入栈，堆栈指针TOP先减1，再将数据压入栈顶寄存器；从数据寄存器取出（Store）数据时就是出栈，先将栈顶寄存器数据弹出，再修改堆栈指针使TOP加1。
浮点寄存器栈还有首尾循环相连的特点。
例如，若当前栈顶TOP=0（即ST(0) = PFR0），那么，入栈操作后就使TOP=7（即使ST(0) = PFR7），数据被压入PFR7。
所以，浮点数据寄存器常常被称为浮点数据栈。
为了表明浮点数据寄存器中数据的性质，对应每个FPR寄存器，都有一个2位的标记（Tag）位，这8个标记tag0 ~ tag7组成一个16位的标记寄存器。
在计算机中，实数的浮点格式（Floating-Point Format）所示，分成指数、有效数字和符号位三个部分。
·符号（Sign）——表示数据的正负，在最高有效位（MSB）。
负数的符号位为1，正数的符号为0。
·指数（Exponent）——也被称为阶码，表示数据以2为底的幂。
指数采用偏移码（Biased Exponent）表示，恒为整数。
·有效数字（Significand）——表示数据的有效数字，反映数据的精度。
有效数字一般采用规格化（Normalized）形式，是一个纯小数，所以也被称为尾数（Mantissa）、小数或分数（Fraction）。
浮点数的运算方法
浮点数的运算方法浮点数是计算机中一种表示实数的数据类型，其特点是可以表示带有小数部分的数字。
在进行浮点数的运算时，需要考虑到浮点数的精度问题、舍入误差以及运算顺序等因素。
浮点数的表示方法为：±m×be，其中m为尾数（即小数部分的数值），b为基数或底数，e为指数（表示位移的量）。
1.浮点数加法运算：-对两个浮点数的指数进行比较，将较小指数的浮点数的尾数左移指数之差的位数，使两个浮点数的小数点对齐。
-对齐后的尾数相加，得到一个和。
-对和进行规格化，即将结果的尾数进行处理，使其满足指定的位数限制。
-对规格化后的结果进行舍入运算，得到最终结果。
2.浮点数减法运算：-先将减数的指数调整与被减数的指数相等。
-对齐后的尾数相减，得到一个差。
-对差进行规格化和舍入运算，得到最终结果。
3.浮点数乘法运算：-将两个浮点数的指数相加，得到加法的和，并相应地调整两个浮点数的尾数。
-尾数相乘，得到一个乘积。
-对乘积进行规格化和舍入运算，得到最终结果。
4.浮点数除法运算：-将被除数的指数减去除数的指数，得到差，并相应地调整两个浮点数的尾数。
-尾数相除，得到一个商。
-对商进行规格化和舍入运算，得到最终结果。
在进行浮点数运算时需要注意一些问题：-浮点数的精度问题：由于浮点数的尾数有限位数，所以会存在精度丢失的问题。
这就意味着进行浮点数运算时，可能会出现舍入误差，导致结果有微小的偏差。
-运算顺序：浮点数的运算顺序可能会影响最终结果。
在连续进行多次浮点数运算时，可能会得到不同的结果。
这是因为浮点数的运算不满足交换律和结合律。
因此，在编程中需要谨慎选择运算顺序，以避免结果的不确定性。
-溢出和下溢问题：由于浮点数的范围限制，可能会出现溢出（结果超出浮点数的表示范围）或下溢（结果过小，无法表示）的情况。
针对这些情况，需要进行特殊处理，如返回特定的错误码或进行科学计数法表示。
在实际编程中，可以使用编程语言提供的浮点数运算库或内置函数来进行浮点数运算，以确保运算结果的准确性和可靠性。
浮点数详解
浮点数详解
浮点数是一种表示带有小数部分的数值的数据类型。
在计算机中，浮点数由两部分组成：有效数字和指数。
有效数字代表实际的数值，
而指数表示该数值的放大或缩小倍数。
浮点数采用科学记数法来表示，即数字用一定的位数表示，然后
乘以10的幂。
例如，3.14可以表示为3.14x10^0，而0.001可以表示
为1x10^-3。
这种表示方法使得计算机可以处理非常大或非常小的数值，但是也引入了一定程度的精度问题。
由于计算机中的浮点数是有限的，所以无法精确表示所有的实数。
在进行浮点数运算时，可能会出现一些舍入误差。
例如，对于某些无
理数，无法精确表示其所有位数，因此会产生一些近似值。
同时，浮
点数的表示范围也是有限的，超出范围的数值可能会被截断或近似表示。
浮点数的精度也会受到计算机硬件的限制。
通常，浮点数的精度
由计算机的字长决定。
较长的字长可以提供更高的精度，但也需要更
多的存储空间和计算时间。
为了提高浮点数的精度和减小舍入误差，计算机科学家和工程师
们设计了各种浮点数表示方法和算法。
IEEE 754标准是目前广泛使用
的浮点数表示标准，它定义了浮点数的位数、格式和运算规则。
总之，浮点数是一种在计算机中表示带有小数部分的数值的数据
类型。
虽然浮点数可以处理非常大或非常小的数值，但也存在精度和
舍入误差的问题。
计算机科学家和工程师们通过不断的研究和改进，
不断提高浮点数的精度和准确性。
计算机组成原理：浮点数表示及运算
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计算机组成原理
例：对数据12310作规格化浮点数的编码，假定1位符号位，基 数为2，阶码5位，采用移码，尾数10位，采用补码。
解：12310=11110112= 0.11110110002×27 [7]移=10000+00111 = 10111 [0.1111011000]补=0.1111011000 [123]浮= 1011 1 0 11 1101 1000 = BBD8H
对阶： [△E]补= [ Ex]补－[Ey]补=00 10+ 11 11= 00 01
y向x对齐，将y的尾数右移一位，阶码加1。 [y]补=00 10，00.0101 求和： 00.1101 + 00.0101 01.0010 [x+y]补=00 10，01.0010 右归：运算结果两符号位不同，其绝对值大于1，右归。 [x+y]补= 00 11，00.1001
0.0000001 --- 0.1111111 1/128 --- 127/128 可表示2-11*0.0001 --- 211*0.1111
设阶码2位，尾数4位
0.0000001 --- 111.1
可表示2-111*0.001 --- 2111*0.111
设阶码3位，尾数3位
0.0000000001 --- 1110000
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(4) 结果规格化 求和之后得到的数可能不是规格化了的数 , 为了增加有效数 字的位数, 提高运算精度,必须将求和的结果规格化。 ①规格化的定义:
单精度浮点数的转换和解析
单精度浮点数的转换和解析单精度浮点数是计算机中用于表示带有小数的数值的数据类型之一，它使用32位二进制数进行表示。
本文将介绍单精度浮点数的转换和解析方法。
单精度浮点数采用IEEE 754标准进行表示。
其中，32位字长分为三部分：符号位、指数位和尾数位。
符号位：用于表示正负号，0为正，1为负。
指数位：用于表示数值的大小，采用二进制补码表示。
在单精度浮点数中，指数位占8位。
单精度浮点数的结构示意图如下：+---+----------+------------------+|符号位|指数位| 尾数位 |+---+----------+-----------------+其中，指数位和尾数位之间还存在一个偏移量，用于对指数位进行偏移，以使其能够表示正负数。
在计算机中，单精度浮点数的数值是以二进制形式存储的，因此我们需要进行二进制到十进制的转换才能将其转化为可读的数值形式。
（1）将单精度浮点数的符号位、指数位和尾数位分别取出，并转换为二进制数，得到一个32位（共32个0或1）的二进制数。
（3）将得到的十进制数按照以下公式进行计算：value = (-1) ^ sign * (1 + fraction) * 2^(exponent - bias)其中，sign表示符号位（0为正，1为负），fraction表示尾数位转换得到的十进制数，exponent表示指数位转换得到的十进制数，bias为偏移量（单精度浮点数中为127）。
解析单精度浮点数，即将一个十进制数转换为单精度浮点数格式的二进制数。
（1）首先确定数值的符号位。
如果数值为正，则符号位为0，否则为1。
（2）将数值转换成二进制形式的小数，得到一个二进制小数。
（3）将二进制小数进行规格化处理，即将小数点左移或右移，使得小数点左边只有一位1。
（4）根据规格化后小数点的位置，确定指数位。
指数位为整数部分加上偏移量，偏移量为127。
（6）将规格化后的小数位舍去小数点之前的1，得到23位二进制数，并补齐至23位。
c语言float除法
c语言float除法C语言是一门非常基础且重要的编程语言，其所涉及的知识点非常繁多，其中包括float类型的除法问题。
与其它数据类型相比，float类型具有一些特殊之处，如精度问题、舍入方式等等，接下来我们将为大家详细介绍C语言中float类型的除法运算。
一、C语言中浮点数数据类型的定义及特点在介绍浮点数类型的除法之前，首先我们需要了解浮点数的定义及其特点。
在C语言中，浮点数数据类型有两个：float和double。
float用来存储单精度浮点数，其长度为32位，double用来存储双精度浮点数，其长度为64位。
除此之外，浮点数类型还具有以下几个特点：1. 精度问题。
浮点数类型只能表示有限整数和分数，不能准确表示某些无限循环小数，如1/3=0.33333...。
2. 舍入问题。
当计算一个浮点数的值时，计算机必须将其舍入为一个最接近的可表示值。
这种舍入问题可能导致精度损失。
3. 数据溢出。
浮点数类型能表达的数字有限，当出现超范围的数字时会发生数据溢出。
二、C语言中float类型除法的解决方法1. 使用强制转换符号在C语言中，使用强制转换符号可以将浮点数转换为整数类型，从而避免精度损失。
如：```cfloat a=1.23,b=3.45,result;result=(int)a/(int)b;```上述代码中，将a和b转换为整数类型，再进行除法运算，从而可以避免浮点精度问题。
2. 使用浮点数运算符针对实际计算和业务分析需要，C语言中也提供了浮点数运算符，如“/”、“*”、“+”、“-”等等。
使用这些运算符可以简化除法运算，并更加准确地计算结果。
```cfloat a=1.23,b=3.45,result;result=a/b;```上述代码中，使用“/”运算符计算变量a和b的商，从而得到结果。
3. 使用逆运算对于除法运算的逆运算——乘法运算，在C语言中具有更好的精度和准确性。
所以，也可以通过乘法运算来达到除法的目的。
浮点数的运算方法
浮点数的运算方法浮点数是计算机中用于表示实数的一种数据类型，由于实数是无限的，而计算机只能存储有限的信息，所以必然存在精度误差。
浮点数的运算涉及到加法、减法、乘法和除法等基本运算，以及开方、幂函数等高级运算。
1.加法运算：浮点数相加时，先将较小的浮点数调整为与较大的浮点数相同的指数，然后进行尾数的相加，最后对结果进行规格化处理，即进行舍入操作，得到最终的结果。
2.减法运算：浮点数相减的原理与加法相同，只是在相减之前，需要将两个浮点数的指数调整为相等，然后进行尾数的相减操作，最后同样需要对结果进行规格化处理。
3.乘法运算：浮点数相乘时，将两个浮点数的指数相加，然后将尾数相乘得到结果的尾数部分，最后对结果进行规格化处理。
4.除法运算：浮点数除法的原理与乘法类似，先将两个浮点数的指数相减，然后将尾数相除得到结果的尾数部分，最后同样需要进行规格化处理。
5.开方运算：浮点数的开方运算是通过求解多项式的根来实现的，常用的方法有牛顿法、二分法和二次近似法等。
这些方法都是通过迭代的方式，逐步逼近平方根的值，直到达到所需的精度。
6.幂函数运算：浮点数的幂函数运算可以通过连乘或连乘的方式实现。
幂函数运算的精度取决于底数和指数的精度以及所需的结果精度。
在浮点数的运算过程中，需要注意以下几个常见问题：1.精度丢失：浮点数的表示是有限的，不可避免地存在精度误差，特别是在进行连续的浮点数运算时，会导致误差累积，可能导致结果的不准确。
2.舍入误差：浮点数的结果需要进行舍入操作以保持一定的精度。
舍入规则有多种，如四舍五入、向上取整、向下取整等，选择合适的舍入规则可以减小误差。
3.溢出和下溢：浮点数的范围是有限的，当计算结果超出范围时，会发生溢出；当结果接近零但无法表示时，会发生下溢。
这两种情况都需要进行特殊处理。
4. 特殊数值：浮点数中有几个特殊的数值，如无穷大（Infinity）、非数值（NaN）和零（0）。
这些特殊值的运算需要按照特定的规则进行处理，以免引起错误。
float除法
float除法在计算机编程中，除法是一种基本的数学运算。
在Python编程语言中，除法运算符有两种类型：整数除法和浮点数除法。
本文将重点介绍浮点数除法。
浮点数除法是指在计算机中进行的除法运算，其中至少有一个操作数是浮点数。
浮点数是一种表示实数的数据类型，它可以表示小数和科学计数法等形式的数字。
在Python中，浮点数可以用小数点或科学计数法表示，例如3.14或3.14e-2。
在Python中，浮点数除法运算符是“/”。
当两个操作数都是浮点数时，它将执行浮点数除法。
例如，执行3.0 / 2.0将得到1.5作为结果。
这是因为浮点数除法会将两个操作数都转换为浮点数，然后执行除法运算。
浮点数除法与整数除法的区别在于，浮点数除法可以得到精确的小数结果，而整数除法只能得到整数结果。
例如，执行3 / 2将得到1作为结果，因为整数除法会将结果向下取整。
如果要得到精确的小数结果，可以将其中一个操作数转换为浮点数，例如执行3.0 / 2将得到1.5作为结果。
需要注意的是，浮点数除法可能会出现舍入误差。
这是因为计算机在表示浮点数时使用的是二进制，而不是十进制。
有些十进制小数在二进制中无法精确表示，因此会出现舍入误差。
例如，执行0.1 +0.2将得到0.30000000000000004作为结果，而不是0.3。
这是因为0.1和0.2在二进制中无法精确表示。
为了避免舍入误差，可以使用Decimal模块进行精确计算。
Decimal模块提供了高精度的十进制计算功能，可以避免浮点数舍入误差的问题。
例如，执行Decimal('0.1') + Decimal('0.2')将得到Decimal('0.3')作为结果，而不会出现舍入误差。
浮点数除法是一种基本的数学运算，在Python中可以使用“/”运算符进行计算。
浮点数除法可以得到精确的小数结果，但可能会出现舍入误差。
为了避免舍入误差，可以使用Decimal模块进行精确计算。
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• 在计算机中，十进制数的存储和运算都不太方便， 于是二进制记数制应运而生。任意一个二进制数可 表示为：
(N)2=Dm·2m+Dm-1·2m-k1+…+D1·21+D0·20+D-1·2-1+
D-2·2-2+…+D-k·2-k=
im
Di·2i
(3.2)
• 式中，整数部分有m+1位，小数部分有k位，基数
十六进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
• 2. 不同数制间的数据转换
• (1) 二进制数、八进制数和十六进制数之间的转换
• 八进制数和十六进制数是从二进制数演变而来的， 由3位二进制数组成1位八进制数，4位二进制数组 成1位十六进制数。对于一个兼有整数和小数部分 的数，以小数点为界，对小数点前后的数分别分组 进行处理，不足的位数用0补足，对整数部分将0补 在数的左侧，对小数部分将0补在数的右侧。这样 数值不会发生差错。
• 日常生活中，人们广泛使用十进制数，任意一个十 进制数(N)10可表示为： (N)10= Dm·10m+Dm-1·10m-1+…+D1·101+D0·100
k
+D-1·10-1+D-2·10-2+…+D-k·10-k =Di·10i im (3.1)
• 其中，(N)10的下标10表示十进制，该数共有m+k+1 位，且m和k为正整数；Di可以是0～9十个数码中 的任意一个，根据Di在式中所处位置而赋以一个固 定的单位值10i，称之为权(Weight)。式中的10称为 基数或“底”。
• 任意一个十六进制数可表示为：
k
(N)16=
im
Di·16i
(3.4)
• 式3.4中，Di可以是0～15共十六个数中的任一个。
为书写和辨认方便，通常用0～9和A～F分别表示
十六进制数0～9和10～15。
• 例3.3
(0D.5)=(0·161+13·160+5·16-1)10
=(0+13+0.3125)10=(13.312 5)10
(或底)为2。
• 二进制数(N)2按公式展开，可计算得该数的十进制 表示。
• 例3.1
(1101.0101)2=(1·23+1·22+0·21+1·20+0·2-1+1·2-2+ 0·2-3+1·2-4)10=(8+4+0+1+0+0.25+0+0.0625)10
=(13.312 5)10 • 然而对人来说，二进制数无论是书写或阅读均很不
方便，为此经常采用八进制数或十六进制数。
• 任意一个八进制数可表示为：
k
(N)8= imDi·8i
(3.3)
• 式3.3中Di可为0～7八个数码中的任意一个。
• 例3.2
(15.24)8=(1·81+5·80+2·8-1+4·8-2)10
=(8+5+0.25+0.0625)10=(13.312 5)10
第3章 运算方法和运算部件
3.1 数值的表示方法和转换 3.2 带符号的二进制数据在计算机中的表示方
法及加减法运算 3.3 二进制乘法运算 3.4 二进制除法运算 3.5 浮点的运算方法
3.6 运算部件 3.7 数据校验码 习题
3.1 数据的表示方法和转换
3.1.1 数值型数据的表示和转换
• 1. 数制
• 例3.8 将(0.312 5)10和(0.312 8)10转换成二进制数(要 求4位有效位)。
① 结果 0.3125×2 最高位 0 .6250×2 … 1 .2500×2
0 .5000×2 最低位 1 .0000 得出:(0.312 5)10=(0.0101)2 ② 结果 0.3128×2 最高位 0 6256×2 … 1 2512×2
• 通常要对一个数的整数部分和小数部分分别进行处 理，各自得出结果后再合并。
• 对整数部分，一般采用除2取余数法，规则如下：
• 将十进制数除以2，所得余数(0或1)即为对应二进 制数最低位的值。然后对上次所得的商除以2，所
得余数即为二进制数次低位的值，如此进行下去， 直到商等于0为止，最后得出的余数是所求二进制 数最高位的值。
序将每一位数写成3位或4位即可。 • 例3.6
(15.24)8=(001 101.010 100)2=(1101.0101)2 • 八进制数与十六进制数之间的转换，可将二进制数
作为中间媒介进行转换。
• (2) 二进制数转换成十进制数
k
•
利用上面讲到的公式(N)2=
im
Di·2i进行计算。
• (3) 十进制数转换成二进制数
0 5024×2 最低位 1 0048 得出:(0.312 8)10=(0.0101)2
• 当一个数既有整数部分又有小数部分时，分别进行 转换后再进行拼接，如有数(105.312 5)10，则根据 前面的计算，得出：(105.3125)10=(1101001.0101)2。
• 例3.7 将(105)10转换成二进制。
2 105
余数
结果
2 52
1
最低位
2 26
0
2 13
0
…
26
1
23
0
21
1
0
1
最高位
• 得出：(105)10=(1101001)2
• 对小数部分，一般用乘2取整数法，其规则如下：
• 将十进制数乘以2，所得乘积的整数部分即为对应 二进制小数最高位的值，然后对所余的小数部分乘 以2，所得乘积的整数部分为次高位的值，如此进 行下去，直到乘积的小数部分为0，或结果已满足 所需精度要求为止。
• 二进制数、八进制数、十六进制数和十进制数之间 的关系见表3.1。
表3.1 二、八、十六和十进制数的对应关系
二进制数 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
八进制数 00 01 02 03 04 05 06 07 10 11 12 13 14 15 16 17
• 假如从二进制数转换到八进制数，则以3位为1组 (用下划线表示)。
• 例3.4
(1 101.010 1)2=(001 101.010 100)2=(15.24)8 • 如从二进制数转换到十六进制数，则以4位为1组。 • 例3.5
(1 1101.0101)2=(0001 1101.0101)2=(1D.5)16 • 从八进制数或十六进制数转换到二进制数，只要顺