第二章 长度测量基础

1 y e 2
2 2 2
高斯曲线反映随机误差以下基本特征： ① 集中性（单峰性）：
绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多，图形呈单
峰。
② 对称性：
绝对值相等的正、负误差，出 现的机会相同，图形对称分布。
③ 有限性（有界性）：
在一定条件下，误差的绝对 值不会超过一定的限度。
④ 抵消性：
对同一量在同一条件下进行测量，随着重复测量次数 的增多，随机误差的算术平均值趋近于零，即绝对值相等 的正、负误差之和可以相互抵消。
2) 评定随机误差的尺度——标准偏差 标准偏差σ
1 y e 2
ymax 1 2
2 2 2
0
σ1＜σ2＜ σ3 ,
y1max ＞ y2max ＞ y3max
量块是没有刻度的，截面为矩形的平面平行的断面量具
◆量块的作用：
尺寸传递；检定和校准量具和量仪； 比较 测量中用于调整量具或量仪的 零 位；也用于加工中机床的调整和 工件的检验等。
◆量块的形状： 长方形平面六面体，它有 两个测量面和四个非测量面，
测量面极为光滑、平整其表 面粗糙度Ra值达0.012μm以 上， 两测量面之间的距离即为量 块的工作长度（标称长度）。
特点：可以归结为某一因素或几个因素的函数， 这种函数一般可用解析式、曲线或数表来 表示。可以给予修正。
③粗大误差：指超出在规定条件下预计的 误差。 正确的测量结果不应包含粗大误差，应将 粗大误差剔除。
系统误差和随机误差不是绝对的，它们 在一定条件下可以互相转换。
4.随机误差
对随机误差所作的概率统计处理时，通常 将系统误差剔出。 1）随机误差的分布规律 大量测量实践证明，多次重复测量随机误 差服从正态分布。
x
vi2 n 1
1 n 2 vi n 1 i 1
3)算术平均值的标准偏差 我们常以算术平均值作为测量结果，所以有必要知道 算术平均值的精密程度，即用算术平均值的标准偏 差表示
x x
n
式中，n—多次重复测得的次数。 4)测量列的极限误差δlim和测量结果

t
拉普拉斯函数
4) 极限误差: δlim
由于超出δ=±3σ的概率很小,故将δ=±3σ
看作随机误差的极限值.
lim 3
§2.5直接测量列的数据处理

1.测量列中随机误差的处理 1) 算术平均值 对某一量进行一系列等精度测量时, 以算术平均值作为测量结果.
x1 x2 xN x n
标称长 度到5.5mm的
量块，其公称值刻印在上
测量面上；标称长度大于 5.5mm的量块，其公称长 度值刻印在上测量面左侧 较宽的一个非测量面上 。
◆量块的粘合性：两量块能研合在一起。
◆量块的精度：
量块按制造精度分为 00、0、1、2、3、K 六级；
量块按检定精度分为 1、2、3、4、5、6 六等 按“级”使用时，以标记在量块上的标称尺寸 作为工作尺寸，该尺寸包含其制造误差。 按“等”使用时，必须以检定后的实际尺寸作 为工作尺寸，该尺寸不包含制造误差，但包含 了检定时的测量误差。 就同一量块而言，检定时的测量误差要比制 造误差小得多。所以，量块按“等”使用时其 精度比按“级”使用要高
E = /Q*100%
2.测量误差的来源

1）计量器具误差 2）测量方法误差 3）测量环境误差 4）人员误差 总之，造成测量误差的因素很多，有些是可以 避免的有些是不可避免的。测量时尽量消除或减 少它们对测量结果的影响，保证测量精度。
3.测量误差的种类和特性： 随机误差 系统误差 粗大误差
◆量块的规格： 量块共有17种套别，每套数目分别为83、46等 量块是单值量具，一个量块只代表一个尺寸， 为了满足一定尺寸范围的不同尺寸要求，量块 可以组合使用，为了减少量块的组合误差，应 尽量减少量块的组合数目，一般不超过4块。 ◆量块的选用： 从消去量块最小尾数开始，逐一选取。每 选一块至少应减去所需尺寸的一位尾数。
绝对测量 相对测量
非接触测量
大型工具显微镜
万能测长仪
粗糙度轮廓仪 万能测齿仪
平面度检查仪
偏摆仪
§2.4 测量误差 1.测量误差的基本概念 测量误差—指测量结果与测量的真值之差
δ= x – Q
δ可能是正值或负值
QБайду номын сангаасx ±

大小决定了测量的精确度， 越大测得离真值 越远，测量精度越低。反之，越高。
x
i 1
n
i
n
由正态分布性质四知，当测量次 数n增大时，x愈接近真值。
我们近似地认为其等于真值Q


剩余误差 vi xi x（残差），因δ是未知量，常用残 差代替随机误差 当测量次数你n足够多是，残值的代数和趋近于零。
v v v n 1
2 1 2 2 2 N
2）测量列中任意测得值的标准偏差
正八面棱体
§2.3 计量器具与测量方法
1.计量器具的分类：
按结构和工作原理分 按用途分 机械式计量器具 标准计量器具 通用计量器具
光学式计量器具
气动式计量器具
检验计量仪器
电动式计量器具
光电式计量器具
2.测量方法的分类：
直接测量
单项测量
综合测量 接触测量
在线测量
离线测量 在线测量 离线测量
间接测量
适用于服从正态分布，重复次数又比较
多的情况。
4.直接测量列的数据处理
在同一条件下，对某一量进行n次重复测量，获得测量 列 x1，x2，…xn
1.判断有无定值系统误差 x

2.求算术平均值 3.求残余误差
i
n
vi xi x

4.根据“残差观察法”判断有无变值系统误差
5.求标准偏差
§2.2 长度与角度计量单位与量值传递
1. 长度单位与量值传递系统 目前使用的两种实体基准: 线纹尺、量块
国家基准米尺
1等线纹尺
工作基准米尺
3等线纹尺 工件尺寸
2等线纹尺
光波波长
工作计量器具1
工作计量器具2
1等量块 5等量块
2等量块 6等量块
3等量块
4等量块 工件尺寸
各种计量器具
长度量值传递系统
为了保证量值统一，必须把基准的量值准确地传递 到生产中应用的计量器具和工件上去，需从组织上和技术 上建立一套严密而完整的系统。 2. 量块
第二章 测量技术基础
§2.1 概述
1. 测量的基本概念
测量就是为确定量值而进行的实验过程. q=L∕E
L—被测量值 E—采用的计量单位 测量四要素: 测量对象、 计量单位、 测量方法、 测量精确度。
测量对象：主要指几何量。包括长度、角度、 表面粗糙度以及形位误差等。 计量单位：机械制造常用的单位mm。 长度计量单位：米（m）、毫米（mm）、 微米（um） 角度测量单位：度、分、秒 测量方法：指在进行测量时所采用的计量器具 和测量条件的总和。 测量的精确度:指测量结果与真值的一致程度。


x
x
N

1.3 0.35um 15
（7）计算测量算术平均值的测量极限误差：

lim
3 x 3*0.35 1.05um

（8）确定测量结果
d
e
x 24.957 0.002mm
例1已知某仪器单次测量的极限误差为±0.004mm，今 对一零件进行测量： 1)如果测量一次，读数为30.380mm，试写出测量结果。 2)如果重复测量四次，读数分别为30.375，30.378， 30.376，30.379（单位为mm），试写出测量结果。 3)如果要使测量方法的测量极限误差为±0.001mm， 应重复测量几次？ 例2、某仪器已知其标准偏差为σ=±0.002mm，
用以对某零件进行四次等精度测量，测量 值为67.020、67.019、67.018、67.015mm， 试求测量结果。（提示：求出测量列算术 平均值的标准偏差和算术平均值，即可得 到测量结果）。

v
2 i
n 1
6.判断粗大误差
vi 3
7.求算术平均值的标准偏差




n
8.测量结果
多次测量结果的表示：

lim( x )
3 x
Q x 3
x
1.有无定值系统误差 2. 3.
L

l
n

序 号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
li
30.049 30.047 30.048 30.046 30.050 30.051 30.043 30.052 30.045 30.049
残差
vi/μm
+2 -2 +1 0 +1 -1 0 +1 -2 0 +2 -2 -1 0 +1
残差的平方
4 4 1 0 1 1 0 1 4 0 4 4 1 0 1


解： （1）判断定值系统误差 假设经过判断，测量列中不存在定值系统 误差。 （2）求出算术平均值 = x =24.957 x

1 2 n
2 2
2
n

i2
i 1
n
n
3) 极限误差: δlim
p yd 1


p


1 yd e 2

2 2 2
d
变量置换 t 2
dt
d

2 p 2
e
0
t

t 2
dt 2 t
例如，从83块一套的量块中 选取尺寸为36.745mm的量 块组，选取方法为：
36.745 …… 所需尺寸 － 1.005 …… 第一块量块尺寸 － 1.24 ………第二块量块尺寸 － 4.5 ……… 第三块量块尺寸 30.0 ……… 第四块量块尺寸
3.角度 单位与量值传递系统 一个圆周角360°。 多面棱体有4、6、 8、12、24、36、72面等
N i 1 i

（3）计算残差 各残差的的数值列于上表中。按残差观察法， 这些残差的符号大体上正、负相间，但不是周期变 化，因此可以判断测量列中不存在变值系统误差。 （4）计算测量列单次测量值的标准偏差
x
N
v
i 1
N
2 i
26 1.3um N 1 15 1


(5)判断粗大误差 测量列中没有出现绝对值大于3.9μm的残差，因此可以判断 测量列中不存在粗大误差。 （6）计算测量算术平均值的标准偏差
L

vi li L
+0.001 -0.001 0 -0.002 +0.002 +0.003 -0.005 +0.004 -0.003 +0.001
30.048

vi
2
i
vi l i L
4.有无变值系统误差 5. 6.

vi
2
n 1
0.0028
vi 3

n
L
3 3 0.0028 0.0084
①随机误差: 在相同条件下多次测量同一量值时, 误差值的大小,符号以不可预定的方 式变化. 特点:对单次测量,随机误差的大小、符号是无规律 可循的，但进行多次重复测量时，随机误差 服从统计规律，常用概率论和统计原理进行 处理。
②系统误差：在同一条件下多次测量同一量值 时，误差的大小，符号均不变或 按一定规律变化。

综合例题

对某一轴径d等精度测量15次，按测量顺序将各测 得值依次列于下表中
测量序列
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
测得值
xi/mm
24.959 24.955 24.958 24.957 24.958 24.956 24.957 24.958 24.955 24.957 24.959 24.955 24.956 24.957 24.958
7.
L
0.000001 0.000001 0 0.000004 0.000004 0.000009 0.000025 0.000016 0.000009 0.000001
0.00088
li
n
v
i 1
n
i
0
vi 0.00007
2 i 1
n
8.
L 3 30.048 0.0026
. 若σ 1＜σ 2＜ σ
3
,
则y1max ＞ y2max ＞ y3max
σ愈小,正态分布曲线愈陡, 表明随机误差分布愈集中, 测量方法的精密度愈高; 反之, σ愈大,正态分布曲 线愈平坦,表明随机误差分 布愈分散,测量方法的精密 度愈低.
根据误差理论，标准偏差σ等于该系列测 得值的随机误差平方和的平均值的平方根
lim 3
x x 3 x
2.测量列中系统误差的处理 1)系统误差的发现 a.定值系统误差的发现 定值系统误差：通过实验对比法发现，用修正值 消除。 b.变值系统误差的发现：残差观察法发现。 修正值法、对称测量法等消除。
2)系统误差的消除 a.从产生误差根源上消除 b.用加修正值的方法消除 c. 用两次读数的方法消除 d.用对对称法消除 e.用半波法消除 3.测量列中粗大误差的处理 拉依达准则： ∣ Vi∣﹥3σ