三角形的内切圆(课堂PPT)
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浙教版九年级数学下册课件 2.3 三角形的内切圆
2 如图，点O是△ABC的内心，若∠ACB＝70°，则 ∠AOB＝( ) A．140° B．135° C．125° D．110°
（来自《典中点》）
知2－练
3 下列说法错误的是( ) A．三角形有且只有一个内切圆 B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上 C．三角形的内心不一定都在三角形的内部 D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
（来自《典中点》）
总结
知2－讲
因为三角形的内心是三角形三条角平分线的交 点，所以三角形的内心与任一顶点的连线平分三角 形的内角．
（来自《点拨》）
13 三角形内切圆的圆心是( ) A．三个内角平分线的交点 B．三边中垂线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高线的交点
知2－练
（来自《典中点》）
知2－练
知1－讲
见切点，连半径，结合等腰三角形、等边三角形的 性质求出半径长.
（来自《点拨》）
知1－讲
例2 已知:如图, ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D， E，F.设△ABC的周长为l，求证: AE+BC= 1 l. 2
证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，E,F为切点，
∴AE=AF(根据什么？).
A
同理，BD=BF，CD=CE.
理解三角形内切圆的概念要注意以下三点： ①与各边相切； ②在三角形内部； ③圆心叫做三角形的内心．
知1－讲
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3 cm，求△ABC
的内切圆⊙O的半径.
解：如图,设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD.
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO,BO 是∠BAC, ∠ABC，
（来自《典中点》）
1. 三角形的内切圆中“切”是指三角形的三边与圆的 位置关系．
（来自《典中点》）
知2－练
3 下列说法错误的是( ) A．三角形有且只有一个内切圆 B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上 C．三角形的内心不一定都在三角形的内部 D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
（来自《典中点》）
总结
知2－讲
因为三角形的内心是三角形三条角平分线的交 点，所以三角形的内心与任一顶点的连线平分三角 形的内角．
（来自《点拨》）
13 三角形内切圆的圆心是( ) A．三个内角平分线的交点 B．三边中垂线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高线的交点
知2－练
（来自《典中点》）
知2－练
知1－讲
见切点，连半径，结合等腰三角形、等边三角形的 性质求出半径长.
（来自《点拨》）
知1－讲
例2 已知:如图, ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D， E，F.设△ABC的周长为l，求证: AE+BC= 1 l. 2
证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，E,F为切点，
∴AE=AF(根据什么？).
A
同理，BD=BF，CD=CE.
理解三角形内切圆的概念要注意以下三点： ①与各边相切； ②在三角形内部； ③圆心叫做三角形的内心．
知1－讲
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3 cm，求△ABC
的内切圆⊙O的半径.
解：如图,设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD.
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO,BO 是∠BAC, ∠ABC，
（来自《典中点》）
1. 三角形的内切圆中“切”是指三角形的三边与圆的 位置关系．
人教版九年级数学课件《三角形的内切圆》
解得 x=4.
B
典例解析
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
针对练习
2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
第二十四章第2节三角形的内切圆
人教版数学九年级上册
学习目标
了解三角形的内切圆和三角形内心的概念.
根据三角形内心的性质进行计算与证明.
切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
120°
达标检测
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
所以a-r+b-r=c,
针对练习
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
知识精讲
B
典例解析
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
针对练习
2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
第二十四章第2节三角形的内切圆
人教版数学九年级上册
学习目标
了解三角形的内切圆和三角形内心的概念.
根据三角形内心的性质进行计算与证明.
切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
120°
达标检测
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
所以a-r+b-r=c,
针对练习
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
知识精讲
3.2三角形的内切圆.ppt(公开课)
答：圆柱底面半径为 3 cm。 2
练习： 已知正三角形的边长为6cm，求它 的内切圆和外接圆的半径。
A
R2 3
.O
r 3
R
r
B
D
C
谈谈你的收获……
再见！
练习： 已知正三角形的边长为6cm，求 它的内切圆和外接圆的半径。
A
R2 3
.O
R
r
r 3
B
D
C
2、内心特点: 内心是三角形三个内角的角平分线的 交点，它到三角形三边的距离相等。
A
O
B
C
填一填:如图点O为△ABC的内心，
求 (1) 若∠BAC= 80º ,则∠BOC=__1__3_0_º.
(2) 若∠BAC= x 0
,则∠BOC=_9_0__0 __.x 0 2
A
O•
B
1
2C
探究一：如图，设△ABC的边BC=a，CA=b，AB=c，设a+b+c=L，
内切圆O和各边分别相切于D，E，F。 求证：（1）AD=AF；（2） AF+BC= 1L；
（3）若内切圆半径为r,求△AB2C的面积S(用L,r表示）.
A
b
c
D
F
rr
O
r
B aE
证明：连接OD,OF,OA.
∵⊙O是△ABC的内切圆，D,F为切点，
∴∠ADO=∠AFO=Rt∠.
又∵OD=OF,OA=OA,
龙游县三中：张力
生活实例
如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆
形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
A
B A
B
C
和三角形各边都相切的圆叫三角 形的内切圆
练习： 已知正三角形的边长为6cm，求它 的内切圆和外接圆的半径。
A
R2 3
.O
r 3
R
r
B
D
C
谈谈你的收获……
再见！
练习： 已知正三角形的边长为6cm，求 它的内切圆和外接圆的半径。
A
R2 3
.O
R
r
r 3
B
D
C
2、内心特点: 内心是三角形三个内角的角平分线的 交点，它到三角形三边的距离相等。
A
O
B
C
填一填:如图点O为△ABC的内心，
求 (1) 若∠BAC= 80º ,则∠BOC=__1__3_0_º.
(2) 若∠BAC= x 0
,则∠BOC=_9_0__0 __.x 0 2
A
O•
B
1
2C
探究一：如图，设△ABC的边BC=a，CA=b，AB=c，设a+b+c=L，
内切圆O和各边分别相切于D，E，F。 求证：（1）AD=AF；（2） AF+BC= 1L；
（3）若内切圆半径为r,求△AB2C的面积S(用L,r表示）.
A
b
c
D
F
rr
O
r
B aE
证明：连接OD,OF,OA.
∵⊙O是△ABC的内切圆，D,F为切点，
∴∠ADO=∠AFO=Rt∠.
又∵OD=OF,OA=OA,
龙游县三中：张力
生活实例
如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆
形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
A
B A
B
C
和三角形各边都相切的圆叫三角 形的内切圆
24.切线长定理及三角形的内切圆课件
作法：
M
1. 作∠ABC 和∠ACB 的平分线
BM 和 CN，交点为 O.
O
2. 过点 O 作OD⊥BC，垂足为 D.
3. 以O为圆心，OD为半径作圆O.
D
CC ☉O 就是所求的圆.
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
知识要点
1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
问题2 PA 为☉O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与
点 A 重合的点为 B．
➢ OB 是☉O 的一条半径吗？
A
➢ PB 是☉O 的切线吗？
O
P
➢ PA、PB 有何关系？ B
➢∠APO 和∠BPO 有何关系？
（利用图形轴对称性解释）
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
A
要点归纳
切线长定理：
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC.
∴ △PCA ≌ △PCB，
∴AC=BC.
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
典例精析
例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、
DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H.
D
求证：AB + CD = AD + BC.
G C
解：连接 IB，IC.
A
∵ 点 I 是△ABC 的内心，
∴ BI，CI 分别平分∠ABC，∠ACB.
I
在△IBC 中，
B
C
BIC 180° (IBC ICB)
180° 1 (ABC ACB) 180° 1 (43° 61°)
2
湘教版九年级数学下册第二章《三角形的内切圆》课件
三角形的内切圆
1．(5 分)下列命题正确的是( C ) A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B．三角形的内心不一定在三角形内部 C．等边三角形的内心与外心重合 D．一个圆有唯一一个外切三角形
2．(5 分)已知△ABC 的内切圆 O 与各边相切于点 D，E，F，那么 O 是△DEF 的( C )
S△ABC＝12BC·AD＝12×12×8＝48(cm2)，设△ABC 内切 圆半径为 r cm，12r(AB＋AC＋BC)＝48，12r(10＋10＋ 12)＝48，r＝3，∴△ABC 内切圆半径为 3 cm.
一、选择题(每小题 5 分，共 15 分)
8．在△ABC 中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝
1．__与三角形各边都相切的圆__叫做三角形的内 切圆，__内切圆的圆心__叫做三角形的内心，这个__ 三角形__叫做圆的外切三角形，三角形的内心是这个 三角形三条__角平分线__的交点．
2．设△ABC 的周长为 l，内切圆半径 r，则其面积 为__12lr__．
3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b， BC＝a，则其内切圆半径是__a＋b2－c或a＋abb＋c__．
谢谢观赏
You made my day!
OE＝r，则 PE＝r，AE＝AD＝r＋2，OP＝ 2r，OB
＝6 2－ 2r；，OB2＝BD2＋OD2，∴(6 2－ 2r)2＝(8－r)2＋r2，
解得 r＝1，∴⊙O 的半径为 1
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三2022/4/132022/4/132022/4/13 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/132022/4/132022/4/134/13/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/132022/4/13April 13, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
第19讲切线长定理与三角形内切圆复习课件(共44张PPT)
图6－19－5
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
4．如图6－19－6，△ABC中，AB＝AC， ∠A为锐角，CD为AB边上的高，点O为△ACD 的内切圆圆心，则∠AOB＝___1_3_5_°__．
【解析】 如答图，连结CO，并延长AO交 BC于点F，
图6－19－6
全效优等生
变式跟进4答图
切线长定理 1．经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的 长，叫这点到圆的切线长． 2．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆 心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 三角形的内切圆与内心 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的 内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条 内角平分线的交点． 三角形的内心到三角形三边的距离相等．
全效优等生
图6－19－4
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
【思路生成】利用等边三角形以及其内切圆的性质以及锐 角三角函数关系得出△ABC的高，再利用圆以及三角形面积公 式求．
全效优等生大师导航 归类探源自 自主招生交流平台 思维训练【解析】 D 为 BC 与⊙O 相切的切点，连结 CO，DO，由 题意，可得 OD⊥BC，∠OCD＝30°，设 BC＝2x，则 CD＝x， 故DDOC＝tan 30°，
AO＝AO， ∴△AOB≌△AOC(SAS)，∴∠AOB＝∠AOC＝135°.
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
三角形的内切圆 1．如下图所示，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E， F，△ABC的三边长为BC＝a，AC＝b，AB＝c，设⊙O的半径 为r，则有：
(1)∠BOC＝90°＋12∠A； (2)S△ABC＝12(a＋b＋c)r；
三角形的内切圆.ppt[下学期]--浙教版
![三角形的内切圆.ppt[下学期]--浙教版](https://img.taocdn.com/s3/m/349c914fa417866fb84a8ee9.png)
格价值的基础上建立了她的儿童教育理论。杜威也指出，儿童期生活有其内在的品质和意义，不可把它当作人生中一个未成熟阶段，只想让它快快地过去。 人生的各个阶段皆有其自身不可取代的价值，没有一个阶段仅仅是另一个阶段的准备。尤其儿童期，原是身心生长最重要的阶段，
也应是人生中最幸福的时光，教育所能成就的最大功德是给孩子一个幸福而又有意义的童年，以此为他们幸福而有意义的一生创造良好的基础。然而，今天的普遍情形是，整个成人世界纷纷把自己渺小的功利目标强加给孩子，驱赶他们到功利战场上拼搏。我担心，在他们未来的人生中，
艺。 “生长就是目的，在生长之外别无目的”，这是特别反对用狭隘的功利尺度衡量教育的。人们即使承认了“教育即生长”，也一定要给生长设定一个外部的目的，比如将来适应社会、谋求职业、做出成就之类，仿佛不朝着这类目的努力，生长就没有了任何价值似的。用功利目标规
范生长，结果必然是压制生长，实际上仍是否定了“教育即生长”。生长本身没有价值吗？一个天性得到健康发展的人难道不是既优秀又幸福的吗？就算用功利尺度——广阔的而非狭隘的——衡量，这样的人在社会上不是更有希望获得真正意义的成功吗？而从整个社会的状况来看，正如
在若干年后的社会上，童年价值被野蛮剥夺的恶果不知会以怎样可怕的方式显现出来。 第三条箴言：教育的目的是让学生摆脱现实的奴役，而非适应现实 这是西塞罗的名言。今天的情形恰好相反，教育正在全力做一件事，就是以适应现实为目标塑造学生。人在社会上生活，当然有适应
现实的必要，但这不该是教育的主要目的。蒙田说：学习不是为了适应外界，而是为了丰富自己。孔子也主张，学习是“为己”而非“为人”的事情。古往今来的哲人都强调，学习是为了发展个人内在的精神能力，从而在外部现实面前获得自由。当然，这只是一种内在自由，但是，正是
三角形的内切圆PPT课件
.
15
谢谢, 再见 ！
2003年12月17日
.
16
例3 三条公路AB、AC、BC两两相交与A、B、C三点（如 图所示）。已知AC⊥BC，BC=3千米，AC=4千米。现想在 △ABC内建一加油站M，使它到三条公路的距离相等，请你帮 助计算一下，加油站M应建在离公路多远的地方？
A
C
B
.
17
读句画图：①以点O为圆心，1cm为半径画⊙O ②作直线m与⊙O相切于点D，作直线n与⊙O相切于点E，
C
∴ ∠BOC=180 °－ （∠OBC＋ ∠OCB） = 180 °－60 °=120 °
（2）若∠A=80 °，则∠BOC= 130 度。 （3）若∠BOC=100 °，则∠A= 20 度。
.
9
A （4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在怎样
的数量关系？请说明理由。
O
答： ∠BOC =90 ° + ∠A
.
5
名称 确定
方法
外心
（三角 形外接 圆的圆 心）
三角形 三边中 垂线的 交点
B
内心
（三角 形内切 圆的圆 心）
三角形 三条角 平分线 的交点
B
图形
A O
A O
性质
1.OA=OB=OC ；2. 外心 不一定在三角形的内 部．
C
1. 到 三 边 的 距 离 相 等 ； 2.OA 、 OB 、 OC 分 别 平 分 ∠ BAC 、 ∠ABC、∠ACB； 3.内心在三角形内部．
C
.
6
判断题：
1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（错） 2、三角形的外心到三角形各边的距离相等 （错） 3、等边三角形的内心和外心重合； （对）
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解析：先由勾股定理得出斜边的长，再根据公式
r a b c 求出该直角三角形内切圆的半径，即可 2
得起至今的长度.
3.如图，⊙O与△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列 说法正确的是（Ａ ） A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心 C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形
解析：过O作OM⊥AB于M， ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连
（3）若∠BIC=100 °，则∠A = 20 度. （4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？
BIC90 1A.
A
2
I
B
C
2.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载： “今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其 意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步， 股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直 径是多少步．”该问题的答案是_6___步．
B
C
答:圆柱底面圆的半径为 3 cm.
2
例3 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求
AF、BD、CE的长.
A
想一想：图中你能找出哪些相等的
线段？理由是什么？
E
F O
B
C
D
解:设AF=xcm，则AE=xcm. ∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm). 由 BD+CD=BC，可得
接OK、OD、OF，根据垂径定理
和已知求出DM=KQ=FN，根据勾 股定理求出OM=ON=OQ，即点O 是△ABC的内心.故选Ａ
4.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC 的外接圆相交于点D. 求证：DI＝DB. 证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD，
R OB
2
2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆 的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
A E
OO
C
S1 2A BO F1 2A CO E 1 2B CO DF
D
1(ABACBC)r1Lr.
2
2
B
3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边 为c，则其内切圆的半径r为__r__a___b__c__（以含a、
BODC为正方形. ∴OB＝BC＝3，
∴半径r的取值范围为0＜r≤3.
A
D
·O
C
B
课堂小结
三角 形内 切圆
有关概念 内心概念及性质
应用
运用切线长定理，将相等 线段转化集中到某条边上， 从而建立方程.
B
C
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形. D 内切圆半径 BD BD 2 3cm. 外接圆半径 cos30
变式：
求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R
的比.
A
O R
r
B
C
D
r O D sin∠OBD sin30° 1 .
A
☉I是△ABC的内切
I
圆，点I是△ABC的内
心，△ABC是☉I的外
切三角形.
B
C
二 三角形内切圆的作法及内心的性质
观察与思考
问题1 如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心
O的位置有什么特点？ A
圆心O在∠ABC的平分线上.
M
O
B
N
C
问题2 如图 如果⊙O与 △ABC的内角∠ABC 的两边 相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的 圆心在什么位置？
角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使 裁下的圆的面积尽可能大呢？
讲授新课
一 三角形内切圆的相关概念
观察与思考
若要使裁下的圆形最大，则它与三角形三边应有 怎样的位置关系？
最大的圆与三角 形三边都相切
知识要点
与三角形三边都相切的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内 心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
∴BD=ID．
拓展提升： 直角三角形的两直角边分别是3cm ，4cm，试问： （1）它的外接圆半径是 5 cm；内切圆半径是 1 cm？ （2）若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都相 切，求☉O的半径r的取值范围.
A
F D O·
CE
B
解：如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、 AC的切点分别为B、D，连接OB、OD，则四边形
3. 以点O为圆心、OD为半径作☉O.
则☉O即为所作.
B
A
F
E
O
D
C
知识要点
三角形内心的性质： 三角形的内心在三角形的角平分线上. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. A
D B
F
O
E
C
典例精析
例1 如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点 I 是
△ABC的内心，求∠ BIC的度数.
圆心O在∠ABC与∠ACB的两个角的角平分线
的交点上. 线段OA，OB ，OC 分别是
∠A，∠B，∠C的平分线.
A
D 线段线段OD，OE， OF的
长度相等，等于三角形内
切圆的半径.
B
F
O
E
C
问题3 现在你知道如何画△ABC的内切圆了吗？
作法：
1. 作∠B，∠C的平分线BE，CF，
设它们交于点O.
2. 过点O作OD⊥BC于点D.
该木模可以抽象为几何如下几何图形.
解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.
∵圆O是△ABC的内切圆,
∵ △ABC是等边三角形,
∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线
A
∴ ∠OAB=∠OBA=30o
∵OD⊥AB，AB=3cm，
D
∴AD=BD= 1 AB=1.5(cm)
rO
2
3
∴OD=AD·tan30o= 2 (cm)
A
F E
O
(13-x)+(9-x)=14，
C
D
解得 x=4.
∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转 化集中到某条边上，从而建立方程.
比一比
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心
确定方法
三角形三边
中垂线的交
点
B
图形
A
O
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三 角形的内部．
学练优九年级数学下（HK） 教学课件
第24章 圆
24.5 三角形的内切圆
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 2. 掌握三角形内心的性质并能加以应用. (重点) 3. 学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思
想. (难点)
导入新课
情境引入 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三
2
b、c的代数式表示r）.
解析：过点O分别作AC，BC，
AB的垂线，垂足分别为D，E，F. 则AD=AC-DC=b-r,
BF=BC-CE=a-r,
因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,
所以a-r+b-r=c,
所以 r a b c . 2
A
c
F DrO
C
E
B
当堂练习
1.如图，在△ABC中，点I是内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=1_2_0_°__. （2）若∠A=80 °，则∠BIC =130 度.
解：连接IB，IC. ∵点 I 是△ABC的内心，
∴ IB，IC 分别是∠ B，∠C的平分线.
A
在△IBC中，
B IC 1 8 0 ( IB C IC B )
I
180 1(BC)
B
C
2
180 1(43 61) 128 . 2
例2 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等 边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上 底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边 三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.
内心：三 角形内切 圆的圆心
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
1.到三边的距离相 等；
2.OA、OB、OC分
别平分∠BAC、
O
∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内
C 部．
练一练
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外
A
接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,
O
∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
r a b c 求出该直角三角形内切圆的半径，即可 2
得起至今的长度.
3.如图，⊙O与△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列 说法正确的是（Ａ ） A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心 C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形
解析：过O作OM⊥AB于M， ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连
（3）若∠BIC=100 °，则∠A = 20 度. （4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？
BIC90 1A.
A
2
I
B
C
2.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载： “今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其 意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步， 股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直 径是多少步．”该问题的答案是_6___步．
B
C
答:圆柱底面圆的半径为 3 cm.
2
例3 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求
AF、BD、CE的长.
A
想一想：图中你能找出哪些相等的
线段？理由是什么？
E
F O
B
C
D
解:设AF=xcm，则AE=xcm. ∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm). 由 BD+CD=BC，可得
接OK、OD、OF，根据垂径定理
和已知求出DM=KQ=FN，根据勾 股定理求出OM=ON=OQ，即点O 是△ABC的内心.故选Ａ
4.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC 的外接圆相交于点D. 求证：DI＝DB. 证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD，
R OB
2
2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆 的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
A E
OO
C
S1 2A BO F1 2A CO E 1 2B CO DF
D
1(ABACBC)r1Lr.
2
2
B
3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边 为c，则其内切圆的半径r为__r__a___b__c__（以含a、
BODC为正方形. ∴OB＝BC＝3，
∴半径r的取值范围为0＜r≤3.
A
D
·O
C
B
课堂小结
三角 形内 切圆
有关概念 内心概念及性质
应用
运用切线长定理，将相等 线段转化集中到某条边上， 从而建立方程.
B
C
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形. D 内切圆半径 BD BD 2 3cm. 外接圆半径 cos30
变式：
求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R
的比.
A
O R
r
B
C
D
r O D sin∠OBD sin30° 1 .
A
☉I是△ABC的内切
I
圆，点I是△ABC的内
心，△ABC是☉I的外
切三角形.
B
C
二 三角形内切圆的作法及内心的性质
观察与思考
问题1 如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心
O的位置有什么特点？ A
圆心O在∠ABC的平分线上.
M
O
B
N
C
问题2 如图 如果⊙O与 △ABC的内角∠ABC 的两边 相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的 圆心在什么位置？
角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使 裁下的圆的面积尽可能大呢？
讲授新课
一 三角形内切圆的相关概念
观察与思考
若要使裁下的圆形最大，则它与三角形三边应有 怎样的位置关系？
最大的圆与三角 形三边都相切
知识要点
与三角形三边都相切的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内 心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
∴BD=ID．
拓展提升： 直角三角形的两直角边分别是3cm ，4cm，试问： （1）它的外接圆半径是 5 cm；内切圆半径是 1 cm？ （2）若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都相 切，求☉O的半径r的取值范围.
A
F D O·
CE
B
解：如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、 AC的切点分别为B、D，连接OB、OD，则四边形
3. 以点O为圆心、OD为半径作☉O.
则☉O即为所作.
B
A
F
E
O
D
C
知识要点
三角形内心的性质： 三角形的内心在三角形的角平分线上. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. A
D B
F
O
E
C
典例精析
例1 如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点 I 是
△ABC的内心，求∠ BIC的度数.
圆心O在∠ABC与∠ACB的两个角的角平分线
的交点上. 线段OA，OB ，OC 分别是
∠A，∠B，∠C的平分线.
A
D 线段线段OD，OE， OF的
长度相等，等于三角形内
切圆的半径.
B
F
O
E
C
问题3 现在你知道如何画△ABC的内切圆了吗？
作法：
1. 作∠B，∠C的平分线BE，CF，
设它们交于点O.
2. 过点O作OD⊥BC于点D.
该木模可以抽象为几何如下几何图形.
解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.
∵圆O是△ABC的内切圆,
∵ △ABC是等边三角形,
∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线
A
∴ ∠OAB=∠OBA=30o
∵OD⊥AB，AB=3cm，
D
∴AD=BD= 1 AB=1.5(cm)
rO
2
3
∴OD=AD·tan30o= 2 (cm)
A
F E
O
(13-x)+(9-x)=14，
C
D
解得 x=4.
∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转 化集中到某条边上，从而建立方程.
比一比
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心
确定方法
三角形三边
中垂线的交
点
B
图形
A
O
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三 角形的内部．
学练优九年级数学下（HK） 教学课件
第24章 圆
24.5 三角形的内切圆
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 2. 掌握三角形内心的性质并能加以应用. (重点) 3. 学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思
想. (难点)
导入新课
情境引入 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三
2
b、c的代数式表示r）.
解析：过点O分别作AC，BC，
AB的垂线，垂足分别为D，E，F. 则AD=AC-DC=b-r,
BF=BC-CE=a-r,
因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,
所以a-r+b-r=c,
所以 r a b c . 2
A
c
F DrO
C
E
B
当堂练习
1.如图，在△ABC中，点I是内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=1_2_0_°__. （2）若∠A=80 °，则∠BIC =130 度.
解：连接IB，IC. ∵点 I 是△ABC的内心，
∴ IB，IC 分别是∠ B，∠C的平分线.
A
在△IBC中，
B IC 1 8 0 ( IB C IC B )
I
180 1(BC)
B
C
2
180 1(43 61) 128 . 2
例2 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等 边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上 底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边 三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.
内心：三 角形内切 圆的圆心
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
1.到三边的距离相 等；
2.OA、OB、OC分
别平分∠BAC、
O
∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内
C 部．
练一练
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外
A
接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,
O
∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.