数学科学习单243立方根与乘方开方表
乘方和开方初步了解乘方和开方的概念和计算
乘方和开方初步了解乘方和开方的概念和计算乘方和开方：初步了解乘方和开方的概念和计算乘方和开方是数学中的重要概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
乘方是指将一个数乘以自身多次，而开方则是乘方的逆运算。
本文将初步介绍乘方和开方的概念，并探讨如何进行相应的计算。
一、乘方的概念乘方又称为幂，用数学符号表示为a^n，其中a为底数，n为指数。
乘方的结果是将底数a连乘n次得到的值。
例如，2^3的结果是2 × 2 ×2 = 8。
在这里，2是底数，3是指数，8是乘方的结果。
在乘方中，指数可以是正整数、零、负整数、有理数或者实数。
当指数为正整数时，乘方表示连乘的次数；当指数为零时，乘方的结果为1；当指数为负整数时，乘方的结果是底数的倒数；当指数为有理数或实数时，乘方可以通过连乘的思想进行解释。
乘方运算也满足一些基本性质，如乘方的乘法法则、乘方的零次幂和一次幂等。
借助这些性质，我们可以简化乘方的计算过程。
二、乘方的计算方法在计算乘方时，有几种基本的方法可供选择。
下面将分别介绍这些方法。
1. 逐次相乘法：逐次相乘法是指将底数连乘指数次数。
例如，计算2^5，可以进行如下计算：2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32。
逐次相乘法的优点是能够清晰地展现乘方的计算过程，适用于小规模的乘方运算。
2. 乘方幂的乘法法则：乘方幂的乘法法则是指当计算两个具有相同底数的乘方的乘积时，可以将底数保持不变，将指数相加。
例如，计算2^3 × 2^4，可以将其化简为2^(3+4)=2^7=128。
乘方幂的乘法法则能够简化复杂的乘方计算，提高计算效率。
3. 特殊乘方：一些具有常见底数和指数的乘方计算可以直接使用已知结果。
例如，2^0=1，2^1=2，2^2=4，2^3=8，2^4=16，2^10=1024等等。
三、开方的概念开方是乘方的逆运算。
开方的结果是使得底数连乘n次等于被开方数的值。
数学立方根知识点总结归纳
数学立方根知识点总结归纳数学立方根在许多方面都会有涉及到，那么有什么知识点是我们要掌握的呢?下面是小编推荐给大家的数学立方根知识点总结归纳，希望能带给大家帮助。
数学立方根知识点总结归纳知识要领：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x^3=a)，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。
立方根读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。
(a等于所有数，包括0)如果被开方数还有指数，那么这个指数(必须是三能约去的)还可以和三次根号约去。
求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
立方根的性质：⑴正数的立方根是正数.⑵负数的立方根是负数.⑶0的立方根是0.一般地，如果一个数X的立方等于a，那么这个数X就叫做a的立方根(cube root，也叫做三次方根)。
如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。
立方和开立方运算，互为逆运算。
互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。
负数不能开平方，但能开立方。
立方根如何与其他数作比较? ⑴做这两个数的立方⑵作差⑶比较被开方数(如三次根号3大于三次根号2)任何数(正数、负数、或零)的立方根如果存在的话，必定只有一个.平方根与立方根的区别与联系一、区别⑴根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写;立方根的根指数为3，且不能省略不写。
⑵ 被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以为任何数。
⑶ 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。
二、连系二者都是与乘方运算互为逆运算知识点一：平方根的概念：若x2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根，记作x=±，求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算.例1的平方根是( ).A.±9B. ±3C.9D.3解:因为=9，所以的平方根就是9的平方根，即±=±3，故选择B.注:应现将化简后再求值.知识点二:算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，0的算术平方根是0.例2若a<0，则a2的算术平方根是( ).A.-aB.aC.±aD. ±解:当a<0时，=|a|=-a，故选择A.例3一个数的算术平方根是a，则比这个数大5的数是( ).A.a+5B.a-5C. a2+5D. a2-5解:一个数的算术平方根是a，则这个数是a2，故比这个数大5的数是a2+5，从而选择C.知识点三:平方根及算术平方根的性质:1.正数有两个平方根，它们互为相反数;2. 0的平方根是0;3.负数没有平方根;4.一个非负数的算术平方根是非负数，即a≥0.例4若m的平方根是2a-3和a-12，求m的值.解:由正数有两个平方根，它们互为相反数知，(2a-3)+(a-12)=0，解得a=5，所以m=(2a-3)2=72=49.例5若2a-3和a-12是m的平方根，求的值.解析:本例与例4貌似一样，其实不然.因为"若m的平方根是2a-3和a-12"，得知2a-3和a-12互为相反数，而"若2a-3和a-12是m 的平方根"，可得知2a-3和a-12相等或互为相反数.(1)当2a-3=a-12时，a= -9.所以2a-3=-18-3=-21，所以m=(-21)2=441.(2)当(2a-3)+(a-12)=0时， a=5，所以2a-3=10-3=7，所以m=72.故m=441或=49.知识点四:立方根的概念及性质: 若x3=a，则x叫做a的立方根，记作x=.0的立方根是0，任何实数都有立方根，并且只有一个，同时立方根的符号与其本身符号相同.知识点五:利用计算器求平方根、立方根等.例8(陕西省)用计算器比较大小:(填">"、"="、"<").解析:这类题是考查学生使用计算器过程的题目，要注意按键顺序.故填>.。
乘方与乘方根的计算
乘方与乘方根的计算乘方和乘方根是数学中的重要概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍乘方和乘方根的概念、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、乘方的计算乘方，又称为幂运算，表示将一个数字乘以自身若干次。
乘方的计算可以通过重复乘法来实现，例如，2的3次方可以表示为2 × 2 × 2，记为2^3。
在计算乘方时，底数表示被乘的数字，指数表示乘方的次数。
当指数为正整数时，乘方的计算方法如下：例如，计算2的3次方：2^3 = 2 × 2 × 2 = 8对于负指数的情况，乘方的计算涉及到倒数的概念。
例如，计算2的负3次方：2^-3 = 1 / (2 × 2 × 2) = 1 / 8 = 0.125此外，计算任意实数的乘方可以借助对数的概念。
例如，计算4的1.5次方：4^1.5 = 10^(1.5 × log10(4)) = 10^log10(4^1.5) ≈ 10^2.773 ≈ 56.234二、乘方根的计算乘方根，也称为幂根，是乘方的逆运算，表示一个数的某个次方等于给定的数。
乘方根的计算方法依赖于对数的概念。
以二次方根为例，计算数值a的二次方根可以表示为：√a = a^(1/2)计算方法如下，以计算16的二次方根为例：√16 = 16^(1/2) = 4对于其他次方根的计算同样可以借助对数的概念来实现。
例如，计算数值a的三次方根可以表示为：∛a = a^(1/3)而计算数值a的n次方根可以表示为：n√a = a^(1/n)三、乘方与乘方根的应用乘方与乘方根在数学和实际问题中有着广泛的应用。
1. 几何计算中的乘方和乘方根：- 乘方的应用：计算正方形、长方形的面积、计算球的体积等。
- 乘方根的应用：计算正方形、长方形的边长，计算球的半径等。
2. 物理学中的乘方和乘方根：- 乘方的应用：计算物体的速度、加速度等。
- 乘方根的应用：计算物体的平方根速度、立方根速度等。
11.1第2课时立方根教学设计2023-2024学年华东师大版数学八年级上册
-简单立方根的计算：对于一个整数，其立方根可以通过简单的开立方运算得到。
-复杂立方根的计算：对于非整数的立方根，可以通过分数或小数的开立方运算得到。
4.立方根的应用：
-体积的计算：立方根在几何学中常用于计算立体的体积，如立方体、球体等。
-物理量的计算：在物理学中，立方根用于计算某些物理量，如电阻、电容等。
板书设计ห้องสมุดไป่ตู้
①重点知识点：立方根的定义、性质、计算方法和应用。
②关键词：立方根、三次方根、正负数的立方根、立方根的性质、立方根的计算、立方根的应用。
③句子：立方根是数学中的一种重要概念，它有着独特的性质和广泛的应用。通过学习立方根，我们可以更好地理解数学的本质和应用。
艺术性和趣味性：
①设计：将板书设计成一幅立方体形状，突出立方根的主题。
2.立方根的性质：引导学生掌握立方根的性质，如正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零等。
3.立方根的计算：教授学生如何计算立方根，包括简单的开立方运算和复杂的立方根运算。
4.立方根的应用：通过实例让学生了解立方根在实际问题中的应用，如体积的计算等。
本节课的教学目标是让学生掌握立方根的概念、性质和计算方法，并能够应用立方根解决实际问题。
-《立方根的实际应用》：展示立方根在现实生活中的应用，如建筑、工程等领域。
2.拓展要求：
鼓励学生利用课后时间进行自主学习和拓展。教师可提供必要的指导和帮助，如推荐阅读材料、解答疑问等。
要求学生观看拓展视频资源，并完成相应的阅读材料。在阅读和观看过程中，鼓励学生做笔记、总结自己的心得体会，并与同学进行交流分享。
②颜色：使用鲜艳的颜色，如蓝色、绿色等，使板书更具吸引力。
立方根及乘方开方表
?cm1-3 立方根及乘方開方表一、重點整理你知道2的三次方等於8，但你知道什麼數的三次方等於2嗎？有沒有這樣的數？這個數怎 麼表示？它到底是多少？用心學過這個單元之後，這些疑惑就可以迎刃而解了。
(1) 正數的立方根體積是125立方公分的正方體，它的邊長是多少公分？ 這個問題就是找一個正數，使這個正數的立方（三次方） 等於125。
12555553=⨯⨯=，即12553=5的立方是125，我們就稱5是125的立方根。
例題：(1)1的立方是1，即113=，1是1的立方根。
(2)2的立方是8，即823=，2是8的立方根。
(3)3的立方是27，即2733=，3是27的立方根。
(2) 負數的立方根 125)5()5()5()5(3-=-⨯-⨯-=-，即125)5(3-=-5-的立方是125-，我們就稱5-是125-的立方根。
例題：1. (1)1)1()1()1()1(3-=-⨯-⨯-=-，所以1-是1-的立方根。
(2)8)2()2()2()2(3-=-⨯-⨯-=-，所以2-是8-的立方根。
(3)27)3()3()3()3(3-=-⨯-⨯-=-，所以3-是27-的立方根。
(4)64)4()4()4()4(3-=-⨯-⨯-=-，所以4-是64-的立方根。
例題：2. (1)問3是不是27的立方根？(2)問3-是不是27的立方根？解：(1)因為2733333=⨯⨯=，所以3是27的立方根。
(2)因為2727)3()3()3()3(3≠-=-⨯-⨯-=-，所以3-不是27的立方根。
答：(1)是；(2)不是(3) 立方根的表示法 1. 正數的立方根是正的，零的立方根是零，負數的立方根是負的。
2. 表示法： 以3a (讀作三次跟號a )表示a 的立方根說明：平方跟號就是2讀作“二次根號”。
例1： (1) 823=∴2是8的立方根，記作283=(2) 8)2(3-=-∴2-是8-的立方根，記作283-=-例2： (1)3273= (2) 3273-=-(3) 0=(4) 乘方開方表我們也可以用乘方開方表來查平方根與立方根。
小学教育ppt课件教案掌握代数式的根号运算平方根和立方根的计算
运算顺序
根据运算的优先级，先进行括号 内的运算，再进行乘除运算，最 后进行加减运算。例如， √(a+b)^2≠a+b，而是等于 |a+b|。
符号问题
在进行根号运算时，需要注意符 号的处理。例如，√a^2=|a|，而 不是a；√(ab)=√a×√b（ a≥0,b≥0）。
05
CATALOGUE
典型例题分析与解答
课程目标与要求
知识与技能目标
情感态度与价值观目标
通过本课程的学习，学生应掌握代数 式根号运算的基本概念和性质，能够 熟练进行平方根和立方根的计算。
通过本课程的学习，激发学生对数学 的兴趣和热爱，培养学生的数学素养 和严谨的科学态度。
过程与方法目标
通过讲解、示范、练习等多种教学方 法，引导学生积极参与课堂活动，培 养学生的数学思维和解决问题的能力 。
动。
课程拓展与延伸学习资源
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
相关数学书籍
推荐学生阅读《数学分析》、《高等代数》等相 关数学书籍，加深对代数式根号运算、平方根和 立方根计算的理解。
在线学习资源
推荐学生使用中国大学MOOC、网易公开课等在 线学习平台，学习相关数学课程，拓展知识面。
3
数学竞赛与活动
鼓励学生参加数学竞赛和数学活动，如全国大学 生数学竞赛、数学建模竞赛等，提高学生的数学 应用能力和创新能力。
THANKS
感谢观看
例题1
化简$sqrt{8}$。
解析
例题2
首先，将8进行质因数分解， 得到$8=2times2times2$。然 后，将其写成平方数的形式， 即 $sqrt{8}=sqrt{4times2}=2sq rt{2}$。
化简$sqrt[3]{27a^3}$。
数学自学指南 实数之平方根、立方根
自学资料一、平方根【知识探索】1．如果一个正数x的平方等于a，即，如果x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根（arithmetic square root）．a的算术平方根记为“”，读作“根号a”，a叫做被开方数．【说明】规定：0的算术平方根是0．2．开平方与平方互为逆运算．【说明】（1）一个正数的平方根的平方等于这个数；（2）一个正（负）数的平方的正平方根等于这个数（这个数的相反数）．3．正数a的两个平方根可以用“”表示，其中“”表示a的正平方根（又叫算数平方根），读作“根号a”；“”表示a的负平方根，读作“负根号a”．零的平方根记作“”，．【总结】（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根．【说明】负数没有平方根，或者说负数不能进行开平方运算，这个结论只是在实属范围内正确．【错题精练】例1．若（k是整数），则k=（）第1页共10页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D例2．已知m的平方根是a+3与2a﹣15，求m的值．【答案】解：当a+3与2a﹣15是同一个平方根时，a+3+2a﹣15=0，解得a=4，此时，m=49．例3．已知（2x+y）2+=0，求x﹣2y的平方根．【答案】例4．一个正偶数的算术平方根是a，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（）A. a+2B.C.D.【答案】C例5．求下列式子中的x28x2-63=0．第2页共10页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】±【举一反三】1．下列计算正确的是（）A.B. =﹣2C.D. （﹣2）3×（﹣3）2=72【解答】A、根据算术平方根的定义即可判定；B、根据立方根的定义即可判定；C、根据立方根的定义即可判定；D、根据乘方运算法则计算即可判定．【答案】B2．一个正方形的面积是9平方单位，则这个正方形的边长是（）长度单位A. 3B.C. ±D. ±【答案】A3．下列判断正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则第3页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】B4．的平方根是（）A.B.C.D.【答案】A5．已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是A. a是无理数B. a是方程x2﹣8=0的解C. a是8的算术平方根D. a满足不等式组【答案】D6．9的平方根是__________ ，9的算术平方根是__________【答案】±3|37．求x值：（x﹣1）2=25【答案】x=6，或x=﹣48．已知，则a﹣b的值是__________ ．第4页共10页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】【答案】9．观察数表：根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第8个数是__________ ．【解答】【答案】二、立方根【知识探索】1．任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根．（1）正数的立方根是一个正数；（2）零的立方根是零；（3）负数的立方根是一个负数．2．一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（cube root）或三次方根．即，如果x3＝a，那么x就叫做a的立方根．用“”表示，读作“三次根号a”．中的“a”叫做被开方数，“3”叫做根指数．【错题精练】例1．我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；第5页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训（2）若与互为相反数，求的值．【解答】【答案】见解析例2．一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块，求每个小正方体木块的表面积。
立方根
27 3
3
1 1 即 27 3
(4) -0.064
解∵
(0.4) 0.064
3
3
∴-0.064的立方根是-0.4 即 0.064 0.4
(5) 0
解 ∵0 =0 ∴0的立方根是0
3
从上面你发 现了什么?
即 0 0
3
探究练习：
8 =______，－ 3 －2 1、
3
x a
3
其中a是被开方数，３是 ３ 根指数，符号“ ” 读做“三次根号”．
到现在我们 学了几种运 算?
+,-,x,÷,乘方, 开平方,开立方
其中a是被开方数，３是 ３ 根指数，符号“ ” 读做“三次根号”．
根指数
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ax
被开方数 立方根
注：1. 这里的3表示根指数. 2. 平方根是省写根指数的, 但两次以上的 根指数不能省写.
125 5
⑵一个数的立方根为4,
8 这个数的算术平方根____.
⑶一个数的立方根是它本身, 0 、1 、-1 这个数是_________.
1、平方根与立方根: 如果x2=a, 就称x是a的平方根. 记作: x= ± √a (a≥0) 如果x3=a , 就称x是a的立方根. 3 记作: x=√a 2、区别:
3
求下列各数的立方根 1 (1) 27 (2)-27 (3) (4)-0.064 (5) 0 27 (1)∵ 33 27 解： 即 3 27 3 ∴27的立方根是3
(2)∵ (3) 27
3
例１
∴-27的立方根是－３ 即 3
1 3 1 (3)∵ ( ) 3 27
∴
1 1 的立方根是 27 3
开方与乘方的运算
开方与乘方的运算开方和乘方都是数学中常见的运算符号。
它们在解决实际问题和推导数学关系时起着重要作用。
本文将介绍开方和乘方的定义、性质以及它们在数学和实际生活中的应用。
一、开方的运算开方是求解一个数的平方根的运算。
数学中常见的开方有平方根、立方根和n次方根。
1. 平方根平方根是对一个数进行平方运算的逆运算。
数学符号中，平方根用√表示。
对于一个非负数x，它的平方根记为√x，表示满足y²=x的非负数y。
例如，√4=2，因为2²=4。
2. 立方根立方根是对一个数进行立方运算的逆运算。
数学符号中，立方根用³√表示。
对于一个数x，它的立方根记为³√x，表示满足y³=x的数y。
例如，³√8=2，因为2³=8。
3. n次方根n次方根是对一个数进行n次方运算的逆运算。
数学符号中，n次方根用ⁿ√表示。
对于一个数x，它的n次方根记为ⁿ√x，表示满足yⁿ=x 的数y。
例如，⁵√32=2，因为2⁵=32。
二、乘方的运算乘方是对一个数进行重复乘法运算的运算。
数学符号中，乘方用上标表示。
对于一个数x和正整数n，x的n次幂记为xⁿ，表示x连乘n 次的结果。
例如，2³=2×2×2=8。
乘方具有以下性质：1. x⁰=1任何数的0次方等于1，其中x≠0。
2. x¹=x任何数的1次方等于它本身。
3. xⁿ×xᵐ=xⁿ⁺ᵐ相同底数的乘方相乘，底数不变，指数相加。
4. (xⁿ)ᵐ=xⁿᵐ乘方的指数相乘，底数不变。
5. (x×y)ⁿ=xⁿ×yⁿ乘方的底数相乘，指数不变。
三、开方和乘方在数学中的应用开方和乘方在数学中有广泛的应用。
1. 代数方程式的解由于开方和乘方是数学中的基本运算，它们在解代数方程式时起着重要作用。
例如，在求解二次方程时，需要用到平方根的概念。
2. 几何中的长度、面积和体积计算开方和乘方在几何中的应用也很广泛。
干货｜初中数学数的开方知识点梳理
干货｜初中数学数的开方知识点梳理本章内容课标的要求● 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
● 2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算会求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
● 3.了解实数和无理数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数和绝对值。
● 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。
● 5.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。
如何落实课标的要求◆ 加强对平方根、算术平方根、立方根、实数和无理数的概念的理解。
在中学数学基础知识中，数学概念是最基本的内容，也是最普遍的形式。
所谓数学概念，是指数学名词和术语，尤其是数学名词。
学习数学最有意义的是对概念、定理、公式等结论的发现和抽象概括过程，我们把这些需要探究的概念、定理和公式纳入“探究”系列之中。
如：通过以下的填空题来加强对平方根、算术平方根、立方根的理解。
◆ 让学生根据平时学习的经验，熟记1-20的数的平方，1-9的数的立方。
◆ 对本章的知识点进行综合训练数学是一门系统科学，数学知识是由概念和原理组成的系统。
每个概念总是与其他概念有关系，每个概念都包含在某个系统中。
有时也可以用类比的方法来进行辨析，类比是根据两个或“两类”对象之间有部分属性相同，从而推出它们在某些方面的某种属性也可能相同的一种逻辑推理的方法。
包括从特殊到一般，从一般到特殊的推理。
其特点是:利用一些客观事物的相似性，以一个系统的研究为手段，获取另一个系统的信息。
请认真完成上述题目查看答案请下翻！。
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a. ＝
b. ＝
c. ＝
d. ＝
※課後練習題
1.請問-8 的平方根為-2 !?□Yes□No
2.查表知 的十位數字為
3.若一個數可以表示為另一數的立方時，稱此數為完全立方數。例：8＝23；
- ＝(- )3；0.216＝0.63則8、- 、0.6均為完全平方數。現在請你寫出1000之內的所有完全立方數且為整數。
Ans：
老師評語及評分
a. 33=； 是27的立方根
b. 53=； 是125的立方根
c. (-3)3=； 是-27的立方根
d. (-5)3=； 是-125的立方根.
2.我們知道8的立方根有1個， 表示8的立方根（等於2）； 表示-8的立方根（等於-2）。請完成下列空格：
a.49的立方根：
b. ＝
c.-27的立方根：
d. ＝
數學科學習單【2.4.3】立方根與乘方開方表
班級：
座號：
姓名：
指導老師：邱翊銘
完成日期：
1.由數值實例了解立方根的意義。
2.利用乘方開方表查出正整數的方根的值或近似值。
3.正數的立方根是正cm則體積為cm343=；換句話說：4是64的立方根。請完成下列空格：