2018高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线课件
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2018届高三数学二轮复习课件专题五第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
考点一
题组突破
椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程
2
1．(2017· 大连双基)若抛物线y ＝ 4x上一点P到其焦点F的距离为 2，O为坐标原点，则△OFP的面 积为( B ) A. C. 1 2 3 2 B．1 D．2
设P(xP，yP)，由题可得抛 物线焦点为F(1,0)，准线 方程为x＝－1，又点P到 焦点F的距离为2，∴由 定义知点P到准线的距离 为2，∴xP＋1＝2，∴xP ＝1，代入抛物线方程得 |yP|＝2，∴△OFP的面积 1 为 S＝ · |OF|· |yP|＝ 2 1 ×1×2＝1. 2
2
真题自检
1．(2016· 高考全国卷Ⅰ)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点．已知|AB|＝4 2，|DE| ＝2 5，则 C 的焦点到准线的距离为( A． 2 C． 6 B．4 D． 8 )
2
真题自检
解析：设抛物线的方程为 y2＝2px(p＞0)，圆的方程为 x2＋y2＝r2. p ∵|AB|＝4 2，|DE|＝2 5，抛物线的准线方程为 x＝－ ， 2 ∴不妨设
B )
B. 5 13
5 D. 9
题组突破
x2 y2 根据对称性，不妨设点 A1( 在第一象限， A(x，y)，则 3 ．已知双曲线 2 － ＝ a＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半 a 12
专题五 解析几何
第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定 义、方程与性质
C
目 录
ONTENTS
高考体验 真题自检 热点聚焦 题型突破 限时规范训练
1
考情分析
圆锥曲线的定义、 方程与性质是每年必考热点， 多以选择、 填空考查，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程求法，难 度中档偏下.
高考数学总复习 教材复习课“椭圆、双曲线、抛物线”相关基础知识课件 理42页PPT
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
高考数学总复习 教材复习课“椭圆、 双曲线、抛物线”相关基础知识课件
理
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
谢谢！
高考数学：专题五 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线课件
考点与考题
第二讲
本 讲 栏 目 开 关
图形
考点与考题
范围 顶点 对称性 |x|≤a，|y|≤b (± a,0)(0，± b) |x|≥a (± a,0) x≥0 (0,0)
第二讲
关于 x 轴，y 轴和原点对称 (± c,0) 长轴长 2a， 短轴长 2b c e＝a b2 ＝ 1－ 2 a (0＜e＜1) 实轴长 2a， 虚轴长 2b c e＝a b2 ＝ 1＋ 2 a (e＞1)
解析 由 x2－y2＝2 知，a2＝2，b2＝2，c2＝a2＋b2＝4，
∴a＝ 2，c＝2.
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2.
又∵|F1F2|＝2c＝4，
4 22＋2 22－42 ∴由余弦定理得 cos∠F1PF2＝ 2×4 2×2 2 3 ＝ . 4
∴直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1). y＝2 2x－1， 联立直线与抛物线的方程 2 y ＝4x，
1 x＝2， x＝ ， 2 解之得 或 y＝2 2. y＝－ 2 1 由图知 B2，－ 2，
考点与考题
1 1 ∴S△AOB＝ |OF|· A－yB|＝ ×1×|2 2＋ 2| |y 2 2 3 ＝ 2.故选 C. 2
答案 2 7－5
题型与方法
第二讲
方法提炼 何性质.
研究圆锥曲线的几何性质，实质是求参数a、b、c或者
建立a、b、c的关系式(等式或不等式)，然后根据概念讨论相应的几
本 讲 栏 目 开 关
题型与方法
第二讲
本 讲 栏 目 开 关
变式训练 2 (1)若点 P 为共焦点的椭圆 C1 和双曲线 C2 的一个交点， F1、F2 分别是它们的左、右焦点，设椭圆离心率为 e1，双曲线离心率 1 1 → → 为 e2，若PF1· 2＝0，则 2＋ 2等于 PF (B ) e1 e2 A.1 B.2 C.3 D.4
高考数学统考二轮复习天天练第二部分专题5解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线课件理
A.1x62＋1y22 ＝1
B.x42＋y2＝1
C.x62＋y32＝1
D.x92＋y82＝1
解析：由1x62＋1y22 ＝1 得ba＝ 23；由x42＋y2＝1 得ba＝12；由x62＋y32＝1 得ba＝ 22；由x92＋y82＝
1 得ba＝232；因为12< 22< 23<232，所以最扁的椭圆为x42＋y2＝1.故选 B.
由对称性可得mb·m－n ＋2c·bac＝－－a·n21＝0
，
解得m＝aa22－＋bb22c
，
n＝a22＋abbc2
解析：不妨取 F(c,0)，l1：bx－ay＝0， 设其对称点 F′(m，n)在 l2：bx＋ay＝0，
由对称性可得mb·m－n ＋2c·bac＝－－a·n21＝0
，
解得m＝aa22－＋bb22c
则|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝( )
A．1
B．4
C．6
D．8
解析：由 a2＝1，b2＝8，得 a＝1，c＝3 则|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝|MF1|－|MF2|＋|F1F2| ＝－2a＋2c＝4.故选 B. 答案：B
2．(2019·安阳模拟)已知抛物线 y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为 3，则抛物
，
n＝a22＋abbc2
点 F′(m，n)在 l2：bx＋ay＝0，则aa22－ ＋bb22·bc＋a22a＋2bbc2＝0，整理可得ba22＝3，∴ba＝ 3， 双曲线的渐近线方程为：y＝±bax＝± 3x.故选 B.
答案：B
4．(2019·桂林、崇左模拟)以抛物线 C：y2＝2px(p>0)的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点．已知|AB|＝2 6，|DE|＝2 10，则 p 等于________．
高考数学二轮专题复习 专题五 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线课件 新人教版
(2，±2 2)，|OM|＝ 22＋8＝2 3. 答案(dáàn)：
B
第八页，共33页。
(2)已知双曲线的两条渐近线均和圆 C：(x－1)2＋y2＝51相切， 且双曲线的右焦点为抛物线 y2＝4 5x 的焦点，则该双曲线的 标准方程为________． 解析：由题意可知双曲线的c＝ 5.设双曲线xa22－by22＝1(a>0， b>0)的一条渐近线方程为kx－y＝0，根据圆心(1,0)到该直线 的距离为半径 15，得k2＝14，即ba22＝14.又a2＋b2＝( 5)2，则a2 ＝答4案，：b2x4＝2－1，y2＝所1以所求双曲线的标准方程为x42－y2＝1.
线与椭圆交于C，D两点．若 AC ·DB＋ AD·CB＝8，求k的值．
第二十页，共33页。
[解]
(1)设F(－c,0)，由
c a
＝
3 3
，知a＝
3 c.过点F且与x
轴垂直的直线的方程为x＝－c，代入椭圆方程有－a2c2＋by22＝
1，解得y＝± 36b，于是2 36b＝433，解得b＝ 2，又a2－c2＝
6k2 2＋3k2
，x1x2＝
3k2－6 2＋3k2
.
因为A(－ 3，0)，B( 3，0)，所以 AC ·DB ＋ AD ·CB ＝(x1＋ 3，y1)·( 3－x2，－y2)＋(x2＋ 3，y2)·( 3－x1，－y1)
第二十二页，共33页。
＝6－2x1x2－2y1y2 ＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 ＝6＋22k＋2＋3k122. 由已知得6＋22k＋2＋3k122＝8，解得k＝± 2.
(2)(2013·江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦
2018届高考数学二轮复习方法指导-椭圆、双曲线、抛物线课件(全国通用)
c b (1)在椭圆中:a =b +c ,离心率为e= = 1 ; a a
2 2 2
2
c b (2)在双曲线中:c =a +b ,离心率为e= = 1 . a a
2 2 2
2
x2 y 2 b 2.双曲线 =1( a >0, b >0) 的渐近线方程为 y = ± x.注意离心率e与渐近 2 2 a b a
x2 2 A. -y =1 2 2 2 y C.x - =1 3
)
y2 B.x - =1 2 x2 2 D分线为l,点F1关于l的对称点为Q,∴|PF1|=|PQ|, 而|PF1|-|PF2|=2a,∴|PQ|-|PF2|=2a,即|F2Q|=2=2a,解得a=1.又e= = 3 ⇒c=
线的斜率的关系.
典型例题
x2 y 2 (1)(2017课标全国Ⅲ,10,5分)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右 a2 b2
顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则 C的离心率为 ( A.
6 3
) C.
2 3
B.
3 3
D.
1 3
x2 y 2 (2)(2017山东,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 - =1(a>0,b> a2 b2
又∵c2=a2-b2,∴a2=8,b2=6.
x2 y 2 即椭圆的方程为 + =1. 8 6
x2 y 2 3 2.(2017湖北七市(州)联考)双曲线 2 - 2 =1(a,b>0)的离心率为 ,左、右 a b
焦点分别为F1、F2,P为双曲线右支上一点,∠F1PF2的平分线为l,点F1关 于l的对称点为Q,|F2Q|=2,则双曲线的方程为 (
2 2 2
2
c b (2)在双曲线中:c =a +b ,离心率为e= = 1 . a a
2 2 2
2
x2 y 2 b 2.双曲线 =1( a >0, b >0) 的渐近线方程为 y = ± x.注意离心率e与渐近 2 2 a b a
x2 2 A. -y =1 2 2 2 y C.x - =1 3
)
y2 B.x - =1 2 x2 2 D分线为l,点F1关于l的对称点为Q,∴|PF1|=|PQ|, 而|PF1|-|PF2|=2a,∴|PQ|-|PF2|=2a,即|F2Q|=2=2a,解得a=1.又e= = 3 ⇒c=
线的斜率的关系.
典型例题
x2 y 2 (1)(2017课标全国Ⅲ,10,5分)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右 a2 b2
顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则 C的离心率为 ( A.
6 3
) C.
2 3
B.
3 3
D.
1 3
x2 y 2 (2)(2017山东,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 - =1(a>0,b> a2 b2
又∵c2=a2-b2,∴a2=8,b2=6.
x2 y 2 即椭圆的方程为 + =1. 8 6
x2 y 2 3 2.(2017湖北七市(州)联考)双曲线 2 - 2 =1(a,b>0)的离心率为 ,左、右 a b
焦点分别为F1、F2,P为双曲线右支上一点,∠F1PF2的平分线为l,点F1关 于l的对称点为Q,|F2Q|=2,则双曲线的方程为 (
高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线课件理20181205228
热点 1 圆锥曲线的定义及标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)． (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)． (3)抛物线：|MF|＝d(d 为点 M 到准线的距离，点 F 不在准线上)． 温馨提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义 中隐含条件导致错误．
2．圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)(焦点在 x 轴上)或ay22＋xb22 ＝1(a＞b＞0)(焦点在 y 轴上)． (2)双曲线：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 x 轴上)或 ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 y 轴上)． (3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p ＞0)．
上，如图所示，设|F1F2|＝2c.
因为△PF1F2 为等腰三角形， 且∠F1F2P＝120°， 所以|PF2|＝|F1F2|＝2c. 因为|OF2|＝c，过 P 作 PE 垂直 x 轴，则∠PF2E＝60°， 所以 F2E＝c，PE＝ 3c，即点 P(2c， 3c)． 因为点 P 在过点 A，且斜率为 63的直线上， 所以2c＋3ca＝ 63，解得ac＝14， 所以 e＝14. 答案：D
由 y1＝kx1－k，y2＝kx2－k 得 kMA＋kMB＝2kx（1x2x－1－3k2（）x（1＋x2x－2）2）＋4k. 将 y＝k(x－1)代入x22＋y2＝1 得 (2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0. 所以 x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22＋－12. 则 2kx1x2 － 3k(x1 ＋ x2) ＋ 4k ＝ 4k3－4k－2k122＋k3＋1 8k3＋4k＝0.
高考数学二轮复习 专题六：第二讲《椭圆、双曲线、抛物线》 文 课件
(0，－a) (0，a) (1，＋∞) a 2 b 2 2a 2b
3．实轴和虚轴
y＝±x
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
D．(－4,0)
(2)(2010年湖南卷) 设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离
是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4
B．6
C．8
D．12
答案：(1)B (2)B
曲线的方程与方程的曲线
四、曲线的方程与方程的曲线 若二元方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，或曲线C是方程 f(x，y)＝0的曲线，则必须满足以下两个条件： (1)曲线上点的坐标都是________(纯粹性)． (2)以这个方程的解为坐标的点都是________(完备性)．
即4k2－t2＋1＞0，即t2＜4k2＋1，且 x 1 ＋ x 2 ＝ － 1 ＋ ，8 k 4 t k 2 x 1 x 2 ＝ 1 4 ＋ t 2 － 4 k 4 2
2018年高考数学二轮复习专题六解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线课件文20171218117
例1
x2 y2 (1)(2017· 湛江模拟)已知双曲线a2－ 3 ＝1(a>0)的一个焦点与抛物线
y2＝8x 的焦点重合，则 a 等于
√
A.1
B.2
C. 13
D. 19
解析 抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，
x2 y2 在双曲线a2－ 3 ＝1(a>0)中，c＝2，c2＝4，b2＝3，
所以a2＝c2－b2＝4－3＝1, 所以a＝1，故选A.
1
2
3
4
解析
答案
2.(2017· 全国Ⅱ改编)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为 3 的直线交C
于点 M(M 在 x 轴上方 ) ， l 为C 的准线，点 N 在 l 上且 MN⊥l ，则 M 到直线 NF
2 3 的距离为______.
1
2
3
4
解析
答案
x2 y2 3 3.(2017· 全国Ⅲ)双曲线 2－ ＝1(a>0)的一条渐近线方程为 y＝ x，则 a＝ 5 a 9
2
a＋c a＋c2 a＋c2 2 ＝ ， 由题设圆的半径 r＝ 2 ， 则 b ＋a－ 2 2
2 2
－1＋ 5 即 a －c ＝ac⇒e ＋e－1＝0，解得 e＝ ，故选 B. 2
解析 答案
2 x2 y2 (2)已知双曲线 C: a2－b2＝1(a>0, b>0)的焦距为 2c，直线 l 过点3a，0且
专题六 解析几何
第2讲
椭圆、双曲线、抛物线
热点分类突破
真题押题精练
Ⅰ
热点分类突破
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|). (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|). (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M. 2.求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”， 就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
高考二轮数学人教版课件：第2部分 专题5 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
第二部分 专题五 解析几何
高考二轮总复习 • 数学
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(4)因为焦点F(1,0)，所以p＝2， 设点My42，y，根据抛物线的定义得：y42＋1＝4，解得y＝±2 3， 所以点M的坐标为(3，±2 3)．
第二部分 专题五 解析几何
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圆锥曲线方程的求法
求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．
【解析】 易知直线AB不与y轴平行， 设其方程为y－2＝k(x－4)， 代入双曲线C：x22－y2＝1， 整理得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0， 设此方程两实根为x1，x2， 则x1＋x2＝8k2k22k－－11，
第二部分 专题五 解析几何
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【解析】 (1)由抛物线和圆的对称性可得B，C关于x轴对称， 再由△ABC为直角三角形可得BC为圆的直径，B，C，F三点共线， xB＝2p，代入抛物线的方程可得yB＝p， 所以圆的半径R＝p.
第二部分 专题五 解析几何
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第二部分 专题五 解析几何
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1．(1)(2020·辽宁省沈阳市一模)已知椭圆方程为
x2 m＋3
＋
y2 m－6
＝
1(m>6)，则其焦距为__6__.
(2)(2019·安徽A10联盟最后一卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，
点A在抛物线上，若点P是抛物线准线上的动点，O为坐标原点，且|AF|
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2．圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1或ay22＋bx22＝1，其中a＞b＞0； (2)双曲线的标准方程为ax22－by22＝1或ay22－bx22＝1，其中a＞0，b＞0； (3)抛物线的标准方程为x2＝±2py，y2＝±2px，其中p＞0．
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专题五
解析几何
第 2 讲 椭圆、双曲线、抛 物线
x2 y2 1．(2017· 全国卷Ⅲ)已知双曲线 C： 2－ 2＝1(a＞0， a b 5 x2 y 2 b＞0)的一条渐近线方程为 y＝ x，且与椭圆 ＋ ＝1 2 12 3 有公共焦点，则 C 的方程为( x2 y2 A. － ＝1 8 10 x2 y2 C. － ＝1 5 4 )
x2 y 2 B. － ＝1 4 5 x2 y2 D. － ＝1 4 3
b 5 解析：由题设知 ＝ ，① a 2 x2 y2 又由椭圆 ＋ ＝1 与双曲线有公共焦点， 12 3 易知 a2＋b2＝c2＝9，② x2 由①②解得 a＝2，b＝ 5，则双曲线 C 的方程为 － 4 y2 ＝1. 5
答案：B
x2 y2 [ 变式训练 ] (1)(2016· 天津卷 ) 已知双曲线 2 － 2 ＝ a b 1(a＞0，b＞0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近2 A. －y ＝1 4
2 y B．x2－ ＝1 4
)
3x2 3y2 3x2 3y2 C. － ＝1 D. － ＝1 20 5 5 20 x 2 y2 (2)已知椭圆 ＋ ＝1 的左、右焦点分别是 F1，F2， 4 2
x2 y2 (2)(2017· 天津卷)已知双曲线 2－ 2 ＝ 1(a＞0，b＞ 0) a b 的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边 长为 2 的等边三角形(O 为原点)， 则双曲线的方程为( )
x2 y2 A. － ＝1 4 12 x2 2 C. －y ＝1 3
x2 y2 B. － ＝1 12 4
所以|MB|＝3， 又且定义|MB|＝|MF|， 且|MN|＝|MF|， 所以|NF|＝|NM|＋|MF|＝2|MB|＝6. 答案：6
【命题透视】 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考 的重点，多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命 题． 2．直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其 是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高， 突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查．
(3)抛物线： y2＝2px， y2＝－2px， x2＝2py， x2＝－2py(p ＞0)．
[ 例 1] (1)(2017· 山西临汾一中质检 ) 已知等腰梯形 ABCD 的顶点都在抛物线 y2＝2px(p＞0)上，且 AB∥CD， CD＝2AB＝4，∠ADC＝60°，则点 A 到抛物线的焦点的 距离是________．
2 y 将 x＝2 代入 x2－ ＝1，得 y＝±3， 3
则|PF|＝3. 1 3 又点 A(1，3)，故△APF 的面积为 ×3×(2－1)＝ . 2 2 答案：D
x2 y2 3．(2017· 全国卷Ⅲ)已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0) a b 的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆 与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离心率为( 6 A. 3 3 2 B. C. 3 3 1 D. 3 )
热点 1 圆锥曲线的定义及标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d 为点 M 到准线的距离，点 F 不在准线上)．
温馨提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中 隐含条件导致错误．
解析：以线段 A1A2 为直径的圆是 x2＋y2＝a2，直线 bx－ay＋2ab＝0 与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离 d＝ 2ab a ＋b
2 2
＝a，
2 c 整理为 a2＝3b2.所以 a2＝3(a2－c2)⇒2a2＝3c2，即 2＝ a
2 c 6 ，e＝ ＝ . a 3 3 答案：A
2．圆锥曲线的标准方程 x2 y2 y2 x2 (1)椭圆： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)(焦点在 x 轴上)或 2＋ 2 a b a b ＝1(a＞b＞0)(焦点在 y 轴上)； x2 y2 (2)双曲线： 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 x 轴上)或 a b y2 x2 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 y 轴上)； a b
2 y 2．(2017· 全国卷Ⅰ)已知 F 是双曲线 C：x2－ ＝1 的 3
右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标 是(1，3)，则△APF 的面积为( 1 A. 3 2 C. 3 1 B. 2 3 D. 2 )(导学号 55410051)
解析：由 c2＝a2＋b2＝4，得 c＝2，所以 F(2，0)．
4．(2017· 全国卷Ⅱ)已知 F 是抛物线 C：y2＝8x 的焦 点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|＝________． 解析：因 y2＝8x，则 p＝4，焦点为 F(2，0)，准线 l： x＝－2，
如图，M 为线段 FN 的中点， 故易知线段 BM 为梯形 AFNC 中位线， 因为|CN|＝2，|AF|＝4，
2 y 故双曲线的方程为 x2－ ＝1. 3
7 3 答案：(1) (2)D 12
[规律方法] 1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义 转化到准线的距离处理． 如本例充分运用抛物线定义实施 转化，使解答简捷、明快． 2．求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后 计算” ．所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”， 就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值，最 后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．
2 y D．x2－ ＝1 3
解析：(1)由题意设 A(x1，1)，D(x1＋ 3，2)， 3 3 所以 1＝2px1，4＝2p(x1＋ 3)⇒p＝ ，x1＝ ， 2 3
p 3 3 所以点 A 到抛物线的焦点的距离是 x1＋ ＝ ＋ 2 3 4 7 3 ＝ . 12
b (2)依题意知 c＝2，a＝tan 60°＝ 3. 又 a2＋b2＝c2＝4. 解得 a2＝1，b2＝3.
解析几何
第 2 讲 椭圆、双曲线、抛 物线
x2 y2 1．(2017· 全国卷Ⅲ)已知双曲线 C： 2－ 2＝1(a＞0， a b 5 x2 y 2 b＞0)的一条渐近线方程为 y＝ x，且与椭圆 ＋ ＝1 2 12 3 有公共焦点，则 C 的方程为( x2 y2 A. － ＝1 8 10 x2 y2 C. － ＝1 5 4 )
x2 y 2 B. － ＝1 4 5 x2 y2 D. － ＝1 4 3
b 5 解析：由题设知 ＝ ，① a 2 x2 y2 又由椭圆 ＋ ＝1 与双曲线有公共焦点， 12 3 易知 a2＋b2＝c2＝9，② x2 由①②解得 a＝2，b＝ 5，则双曲线 C 的方程为 － 4 y2 ＝1. 5
答案：B
x2 y2 [ 变式训练 ] (1)(2016· 天津卷 ) 已知双曲线 2 － 2 ＝ a b 1(a＞0，b＞0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近2 A. －y ＝1 4
2 y B．x2－ ＝1 4
)
3x2 3y2 3x2 3y2 C. － ＝1 D. － ＝1 20 5 5 20 x 2 y2 (2)已知椭圆 ＋ ＝1 的左、右焦点分别是 F1，F2， 4 2
x2 y2 (2)(2017· 天津卷)已知双曲线 2－ 2 ＝ 1(a＞0，b＞ 0) a b 的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边 长为 2 的等边三角形(O 为原点)， 则双曲线的方程为( )
x2 y2 A. － ＝1 4 12 x2 2 C. －y ＝1 3
x2 y2 B. － ＝1 12 4
所以|MB|＝3， 又且定义|MB|＝|MF|， 且|MN|＝|MF|， 所以|NF|＝|NM|＋|MF|＝2|MB|＝6. 答案：6
【命题透视】 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考 的重点，多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命 题． 2．直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其 是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高， 突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查．
(3)抛物线： y2＝2px， y2＝－2px， x2＝2py， x2＝－2py(p ＞0)．
[ 例 1] (1)(2017· 山西临汾一中质检 ) 已知等腰梯形 ABCD 的顶点都在抛物线 y2＝2px(p＞0)上，且 AB∥CD， CD＝2AB＝4，∠ADC＝60°，则点 A 到抛物线的焦点的 距离是________．
2 y 将 x＝2 代入 x2－ ＝1，得 y＝±3， 3
则|PF|＝3. 1 3 又点 A(1，3)，故△APF 的面积为 ×3×(2－1)＝ . 2 2 答案：D
x2 y2 3．(2017· 全国卷Ⅲ)已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0) a b 的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆 与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离心率为( 6 A. 3 3 2 B. C. 3 3 1 D. 3 )
热点 1 圆锥曲线的定义及标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d 为点 M 到准线的距离，点 F 不在准线上)．
温馨提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中 隐含条件导致错误．
解析：以线段 A1A2 为直径的圆是 x2＋y2＝a2，直线 bx－ay＋2ab＝0 与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离 d＝ 2ab a ＋b
2 2
＝a，
2 c 整理为 a2＝3b2.所以 a2＝3(a2－c2)⇒2a2＝3c2，即 2＝ a
2 c 6 ，e＝ ＝ . a 3 3 答案：A
2．圆锥曲线的标准方程 x2 y2 y2 x2 (1)椭圆： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)(焦点在 x 轴上)或 2＋ 2 a b a b ＝1(a＞b＞0)(焦点在 y 轴上)； x2 y2 (2)双曲线： 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 x 轴上)或 a b y2 x2 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 y 轴上)； a b
2 y 2．(2017· 全国卷Ⅰ)已知 F 是双曲线 C：x2－ ＝1 的 3
右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标 是(1，3)，则△APF 的面积为( 1 A. 3 2 C. 3 1 B. 2 3 D. 2 )(导学号 55410051)
解析：由 c2＝a2＋b2＝4，得 c＝2，所以 F(2，0)．
4．(2017· 全国卷Ⅱ)已知 F 是抛物线 C：y2＝8x 的焦 点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|＝________． 解析：因 y2＝8x，则 p＝4，焦点为 F(2，0)，准线 l： x＝－2，
如图，M 为线段 FN 的中点， 故易知线段 BM 为梯形 AFNC 中位线， 因为|CN|＝2，|AF|＝4，
2 y 故双曲线的方程为 x2－ ＝1. 3
7 3 答案：(1) (2)D 12
[规律方法] 1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义 转化到准线的距离处理． 如本例充分运用抛物线定义实施 转化，使解答简捷、明快． 2．求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后 计算” ．所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”， 就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值，最 后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．
2 y D．x2－ ＝1 3
解析：(1)由题意设 A(x1，1)，D(x1＋ 3，2)， 3 3 所以 1＝2px1，4＝2p(x1＋ 3)⇒p＝ ，x1＝ ， 2 3
p 3 3 所以点 A 到抛物线的焦点的距离是 x1＋ ＝ ＋ 2 3 4 7 3 ＝ . 12
b (2)依题意知 c＝2，a＝tan 60°＝ 3. 又 a2＋b2＝c2＝4. 解得 a2＝1，b2＝3.