双曲面数学方程式
各种曲面的方程
各种曲面的方程
1. 球面方程
球面是一种非常常见的曲面，它的方程为：
(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²
其中，a、b、c分别为球心的坐标，r为球的半径。
这个方程描述了一个以(a,b,c)为球心，半径为r的球面。
球面在几何学中有着广泛的应用，比如在计算机图形学中，球面可以用来表示三维空间中的物体表面，比如球体、球形天体等等。
2. 椭球面方程
椭球面是一种比球面更加复杂的曲面，它的方程为：
(x/a)² + (y/b)² + (z/c)² = 1
其中，a、b、c分别为椭球面在x、y、z轴上的半轴长度。
这个方程描述了一个以原点为中心，半轴长度分别为a、b、c的椭球面。
椭球面在几何学中也有着广泛的应用，比如在地球科学中，椭球面可以用来表示地球的形状，以及计算地球的重力场等等。
3. 双曲面方程
双曲面是一种非常特殊的曲面，它的方程为：
(x/a)² + (y/b)² - (z/c)² = 1
其中，a、b、c分别为双曲面在x、y、z轴上的半轴长度。
这个方程描述了一个以原点为中心，半轴长度分别为a、b、c的双曲面。
双曲面在几何学中也有着广泛的应用，比如在物理学中，双曲面可以用来表示电磁场中的等势面，以及计算电场、磁场等等。
曲面方程是几何学中非常重要的一部分，它们可以用来描述各种不同形状的曲面，以及在各种不同领域中的应用。
双叶双曲面和单叶双曲面的方程
双叶双曲面和单叶双曲面的方程双叶双曲面和单叶双曲面，这听起来是不是像是数学课上那些让人抓狂的公式？但是，嘿，咱们今天就来轻松聊聊这俩有趣的东西！双叶双曲面，这个名字就像是在说“我有两个叶子，快来看看我！”想象一下一个大碗，碗的两边翘起，就像一对翅膀，仿佛随时准备飞起来。
这个家伙的方程，简单来说，就是 ( z^2 = x^2 + y^2 a^2 )。
好啦，这个公式一听就有点复杂，对吧？不过别担心，重要的是它在三维空间里看起来是个啥！想象一下你在沙滩上，用手指划出一个大弧线，画出一个超级大碗，这就是双叶双曲面的样子。
它有两个“叶子”，就像两个相对的碗，互相朝外延伸。
每当你走到它的边缘，就像是站在一个大平台上，俯瞰无尽的美景。
再说说单叶双曲面，这个家伙就有点不同寻常。
它就像是一个被压扁的碗，只有一边翘起来，另一边则像个笑脸。
这种形状让人联想到一种优雅的弯曲，仿佛在低声诉说着一个秘密。
它的方程是 ( z = frac{x^2 + y^2{a )。
想象一下，你把一个碗的底部轻轻地压下去，碗的边缘就会向上翘起。
这样的形状可不仅仅是好看，它在物理和工程上都有很多应用。
比如说，某些飞行器的外形就有这种设计，能有效地减少空气阻力。
是不是很酷？当你在海边漫步，看到海浪涌来时，或许你会想到这些奇妙的几何形状在自然界中的体现。
咱们不能不提这两个曲面在数学上的一些性质。
双叶双曲面其实是个双曲线的变种，像极了数学家们在寻找曲线的终极目标。
而单叶双曲面呢，则常常被用来描述一些物理现象，比如声波的传播。
就好像你在湖边扔下一块石头，石头激起的涟漪就是一个单叶双曲面在水面上的投影。
真的，数学和自然之间的联系就像是密不可分的朋友，让人忍不住想要深入探讨。
有趣的是，双叶双曲面和单叶双曲面在生活中无处不在。
你喝的咖啡杯，可能就呈现出双叶双曲面的特征。
而那种优雅的扭曲形状的建筑，或许也是灵感来源于单叶双曲面。
艺术家和设计师们总是试图把这些数学概念融入他们的创作，仿佛在说：“嘿，数学不仅仅是公式，它还是美的一部分！”试想一下，如果没有这些曲面，世界将会失去多少美感啊？所以，下次当你在书本上看到这些曲面的方程时，不妨停下来想想。
双曲面方程
双曲面方程
双曲面方程：x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=-1。
双曲线绕其对称轴旋转而生成的曲面即为双曲面。
双曲面是一种二次曲面。
分为单叶双曲面、双叶双曲面和旋转双曲面。
右边图片中双叶双曲面的公式加号应为减号。
平行于z轴的平面与双曲面的交线都是双曲线（对于单叶双曲面，可能是一对相交的直线）。
在现实中，许多发电厂的冷却塔结构是单叶双曲面形状。
由于单叶双曲面是一种双重直纹曲面，它可以用直的钢梁建造。
这样，会减少风的阻力。
同时，也可以用最少的材料来维持结构的完整。
双曲面数学方程式
(1)§ 5双曲面为了较为直观地理解双曲面的几何特征，先看一个例子2y 2z 1b 2 2 c将yz 平面上的双曲线X分别绕虚轴（z 轴）和实轴（y 轴）旋转，得到两个旋转曲面2 2 2222xy z 1 b 2 b 2 c 2和X 2cy z 21c分别称为旋转单叶双曲面和旋转双叶双曲面.它们的图形如下所示1.单叶双曲面定义在直角坐标系下，由方程性质与形状（ii ）有界性 由方程一1）可知，单叶双曲面一1）是无界曲面 （iii ）顶点、与坐标轴的交点和与坐标面的交线单叶双曲面一1）与x ，y 轴分别交于（士 a ，0，0），（ 0，± b ，0）而与z 轴无实交点 上述四点称为单叶双曲面的实顶点，而与z 轴的交点（0, 0，士 ci ）称为它的两个虚交点—1）与三坐标平面 z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线2y_ b 22 X 2a2y_ b 2 2z 2 c(a , b , c >0)-1)所表示的图形称为单叶双曲面；而方程一 1）称为单叶双曲面的标准方程 （i ）对称性 单叶双曲面-1）关于三坐标轴，三坐标平面及原点对称 原点是一1）的对称中心1（6）仍为双曲线，但其实轴平行于 z 轴，虚轴平行于 y 轴，其顶点2 2xz~2~a c2 2 yz牙-2b c其中（1）叫单叶双曲面一1）的腰椭圆，（2）和（3）均为单叶双曲面上的双曲线 （iv ）与平行于坐标面的平面的交线为考察-1）的形状，我们先用平行于 xy 平面的平面z = k 去截它，其截线为2 2 . 2xyk 1 — 2 . 2 2a b cz k行”椭圆构成的，这些椭圆的顶点分别在二相互“垂直”的双曲线上变化 再用一族平行于 yz 平面的平面x = k 去截—1），其截线为2 2 2y zk 1 ..2 2 2b c a x k（5）当I k I < a 时，（6）为一双曲线，其实轴平行于y 轴，虚轴平行于z 轴，其顶点为k,，当I k I = a 时，（6）为二相交线，其交点为（k 2 一2,0 a这是一族椭圆，其顶点为a . 1 c 2 , 0, k，其半轴为1 2b.1 C 2，当I k I 逐渐增大时，椭圆（4）逐渐变大.可见，单叶双曲面—1）是由一系列“平k ，0，0）当 I k I >a 时,k, 0,最后，若用一组平行于 ZX 平面的平面去截-1）,其截线情况与上述相仿 .截线图形如上图所示综上，单叶双曲面一1）的图形如图（1）所示.图（1）中也画岀了腰椭圆和两条主双曲线 .一般的单叶双曲面可以理解为将本节开始时得到的旋转单叶双曲面在 X 轴方向作一个伸缩变换而得到.在直角系下，方程“虚轴” 二双叶双曲面： 1定义：在直角坐标系下，由方程1（a ，b ，c > 0）— 2）双叶双曲面；而一2）称为双叶双曲面的标准方程 .（i ） 对称性 双叶双曲面—2）关于三坐标轴，三坐标面及原点对称，原点为其中心 （ii ） 有界性 由一2）可见，双叶双曲面为无界曲面 .（iii ） 与坐标轴的交点及与坐标面的交线双叶双曲面一2）与x 轴、y 轴不交，而与 z 轴交于（0，0，± c ）,此为其实顶点 双叶双曲面一2）与三坐标面交于三条曲线b 2(5)2 2X z ~~2 ~~2 a c2X ~2 ab 22z~~2c1所表示的图形也是单叶双曲面，绘图时注意须确定其2 2 2x y z ~2 ' 2 ~2 a b c所表示的图形称为几何性质与形状：y b 7（5）是一个虚椭圆，表明双叶双曲面一 2）与xy 平面不相交（无实交点） .（6）、（ 7） 曲线，其实轴为z 轴，虚轴分别为 y 轴和x 轴，其顶点为（0，0，± c ）. （iv ）与平行于坐标面平面的交线： 为考察双叶双曲面—2）的形状，先用平行于xy 面的平面去截—2），其截线为2 2 , 2xyk 1 — 2 . 2 2a b cz k当I k I < c 时，一2）与z = k 无实交点.当 I k I = c 时，一2）与 z = k 交于（0，0，士 c ）和（7）上变化 若用平行于yz 面的平面去截-2）.其截线为2 2yzr — b c x k对任意实数k ，（9）均为双曲线，其实轴平行于z 轴，虚轴平行于 y 轴，顶点为双叶双曲面一2）的示意图如前面的图（2），但准确地说，图（2）是双叶双曲面2 2 2 0 L 乙 1 2221a b c的示意图.最后，若用平行于zx 面的平面去截-2），其截线情况与上述相仿 .在直角系下, 方程222 22 2x y - 1^― c 2 和 a 2y z1所表示的图形也是双叶双曲面2 a b 2 2 2b c最后谈谈单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别，这一点上有些学生容易岀错 两种双曲面的方程的左边都是x ，y ，z 的平方项，有正有负，右边是 1或一1.把方程的右边都化成 1，则左边有两项正，一项负的，就表示单叶双曲面.而左边有两项负, 项正均为双(8)当I k I > c 时，（8）为椭圆，其顶点为 (0, 士 bk 212c，k)，(士 a ■k 22c，0,k)， 其半轴k 22c可见，双叶双曲面一2）是由z =士 c 外的一系列“平行”椭圆构成 这些椭圆的顶点在双曲线 (6)1 k2 (9)(k ，0，± c 1k 22 a).的，就表示双叶双曲面. 把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是 1 的就表示单叶双曲面，而右边是－ 1 的，就表示双叶双曲面. 绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐标轴的标注要符合右手系的原则.。
双曲面数学方程式
§5 双曲面为了较为直观地理解双曲面的几何特征，先看一个例子.将yz 平面上的双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-012222x c z b y 分别绕虚轴（z 轴）和实轴（y 轴）旋转，得到两个旋转曲面1222222=-+c z b y b x 和 1222222=-+-cz b y c x 分别称为旋转单叶双曲面和旋转双叶双曲面. 它们的图形如下所示.x图1图21．单叶双曲面定义4.5.1 在直角坐标系下，由方程1222222=-+c z b y a x (a ，b ，c >0) (4.5－1)所表示的图形称为单叶双曲面；而方程(4.5－1)称为单叶双曲面的标准方程.性质与形状（i ）对称性 单叶双曲面(4.5－1)关于三坐标轴，三坐标平面及原点对称. 原点是(4.5－1)的对称中心.（ii ）有界性 由方程(4.5－1)可知，单叶双曲面(4.5－1)是无界曲面 （iii ）顶点、与坐标轴的交点和与坐标面的交线单叶双曲面(4.5－1)与x ，y 轴分别交于（±a ，0，0），（0，±b ，0）而与z 轴无实交点. 上述四点称为单叶双曲面的实顶点，而与z 轴的交点（0，0，±ci ）称为它的两个虚交点.(4.5－1)与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=+012222z b y ax (1)⎪⎩⎪⎨⎧==-012222y c z ax (2)⎪⎩⎪⎨⎧==-012222x c z by (3)其中（1）叫单叶双曲面(4.5－1)的腰椭圆，（2）和（3）均为单叶双曲面上的双曲线. （iv ）与平行于坐标面的平面的交线为考察(4.5－1)的形状，我们先用平行于xy 平面的平面z = k 去截它，其截线为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+k z c k b y a x 2222221 (4)这是一族椭圆，其顶点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±k c k b ，,1022，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±k c k a ,0,122，其半轴为b 221c k +和a 221ck + ，当∣k ∣逐渐增大时，椭圆（4）逐渐变大. 可见，单叶双曲面(4.5－1)是由一系列“平行”椭圆构成的，这些椭圆的顶点分别在二相互“垂直”的双曲线上变化.再用一族平行于yz 平面的平面x = k 去截(4.5－1)，其截线为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-k x a k c z b y 2222221 (5)当∣k ∣< a 时，（6）为一双曲线，其实轴平行于y 轴，虚轴平行于z 轴，其顶点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±0,1,22a k b k ，当∣k ∣= a 时，（6）为二相交线，其交点为（k ，0，0）当∣k ∣>a 时，（6）仍为双曲线，但其实轴平行于z 轴，虚轴平行于y 轴，其顶点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-±0,1,0,22a k a k .最后，若用一组平行于zx 平面的平面去截(4.5－1)，其截线情况与上述相仿. 截线图形如上图所示.综上，单叶双曲面(4.5－1)的图形如图（1）所示. 图（1）中也画出了腰椭圆和两条主双曲线.一般的单叶双曲面可以理解为将本节开始时得到的旋转单叶双曲面在x 轴方向作一个伸缩变换而得到.在直角系下，方程1222222=+-cz b y a x 或1222222=++-c z b y a x 所表示的图形也是单叶双曲面，绘图时注意须确定其“虚轴”.二 双叶双曲面：1 定义：在直角坐标系下，由方程1222222-=-+cz b y a x （a ，b ，c > 0） (4.5－2)所表示的图形称为双叶双曲面；而(4.5－2)称为双叶双曲面的标准方程.几何性质与形状：（i ）对称性 双叶双曲面(4.5－2)关于三坐标轴，三坐标面及原点对称，原点为其中心. （ii ）有界性 由(4.5－2)可见，双叶双曲面为无界曲面. （iii ）与坐标轴的交点及与坐标面的交线双叶双曲面(4.5－2)与x 轴、y 轴不交，而与z 轴交于（0，0，±c ），此为其实顶点. 双叶双曲面(4.5－2)与三坐标面交于三条曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-=+012222z b y a x (5)⎪⎩⎪⎨⎧=-=-012222y c z ax (6)⎪⎩⎪⎨⎧=-=-012222x c z by (7)（5）是一个虚椭圆，表明双叶双曲面(4.5－2)与xy 平面不相交（无实交点）. （6）、（7）均为双曲线，其实轴为z 轴，虚轴分别为y 轴和x 轴，其顶点为（0，0，±c ）.（iv ）与平行于坐标面平面的交线：为考察双叶双曲面(4.5－2)的形状，先用平行于xy 面的平面去截(4.5－2)，其截线为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+k z c k b y a x 2222221 (8)当∣k ∣< c 时，(4.5－2)与z = k 无实交点. 当∣k ∣= c 时，(4.5－2)与z = k 交于（0，0，±c ）当∣k ∣> c 时，（8）为椭圆，其顶点为(0，±b 221c k +-，k )，(±a 221ck +-，0，k )，其半轴为b 221c k +-，a 221ck +-.可见，双叶双曲面(4.5－2)是由z =±c 外的一系列“平行”椭圆构成. 这些椭圆的顶点在双曲线（6）和（7）上变化.若用平行于yz 面的平面去截(4.5－2). 其截线为⎪⎩⎪⎨⎧=--=-k x a k c z b y 2222221 (9)对任意实数k ，(9)均为双曲线，其实轴平行于z 轴，虚轴平行于y 轴，顶点为(k ，0，±c 221ak +).双叶双曲面(4.5－2)的示意图如前面的图（2），但准确地说，图（2）是双叶双曲面1222222-=+-cz b y a x 的示意图.最后，若用平行于zx 面的平面去截(4.5－2)，其截线情况与上述相仿. 在直角系下，方程1222222-=+-c z b y a x 和1222222-=++-c z b y a x 所表示的图形也是双叶双曲面. 最后谈谈单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别，这一点上有些学生容易出错.两种双曲面的方程的左边都是x ，y ，z 的平方项，有正有负，右边是1或－1. 把方程的右边都化成1，则左边有两项正，一项负的，就表示单叶双曲面. 而左边有两项负，一项正的，就表示双叶双曲面.把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐标轴的标注要符合右手系的原则.教你如何用WORD 文档 (2012-06-27 192246)转载▼ 标签： 杂谈1. 问：WORD 里边怎样设置每页不同的页眉？如何使不同的章节显示的页眉不同？答：分节，每节可以设置不同的页眉。
最新双曲面--数学--方程式
§5 双曲面为了较为直观地理解双曲面的几何特征，先看一个例子.将yz 平面上的双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-012222x c z b y 分别绕虚轴（z 轴）和实轴（y 轴）旋转，得到两个旋转曲面1222222=-+c z b y b x 和 1222222=-+-cz b y c x 分别称为旋转单叶双曲面和旋转双叶双曲面. 它们的图形如下所示.x图1图21．单叶双曲面定义4.5.1 在直角坐标系下，由方程1222222=-+c z b y a x (a ，b ，c >0) (4.5－1)所表示的图形称为单叶双曲面；而方程(4.5－1)称为单叶双曲面的标准方程.性质与形状（i ）对称性 单叶双曲面(4.5－1)关于三坐标轴，三坐标平面及原点对称. 原点是(4.5－1)的对称中心.（ii ）有界性 由方程(4.5－1)可知，单叶双曲面(4.5－1)是无界曲面 （iii ）顶点、与坐标轴的交点和与坐标面的交线单叶双曲面(4.5－1)与x ，y 轴分别交于（±a ，0，0），（0，±b ，0）而与z 轴无实交点. 上述四点称为单叶双曲面的实顶点，而与z 轴的交点（0，0，±ci ）称为它的两个虚交点.(4.5－1)与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=+012222z b y ax (1)⎪⎩⎪⎨⎧==-012222y c z ax (2)⎪⎩⎪⎨⎧==-012222x c z by (3)其中（1）叫单叶双曲面(4.5－1)的腰椭圆，（2）和（3）均为单叶双曲面上的双曲线. （iv ）与平行于坐标面的平面的交线为考察(4.5－1)的形状，我们先用平行于xy 平面的平面z = k 去截它，其截线为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+k z c k b y a x 2222221 (4)这是一族椭圆，其顶点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±k c k b ，,1022，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±k c k a ,0,122，其半轴为b 221c k +和a 221ck + ，当∣k ∣逐渐增大时，椭圆（4）逐渐变大. 可见，单叶双曲面(4.5－1)是由一系列“平行”椭圆构成的，这些椭圆的顶点分别在二相互“垂直”的双曲线上变化.再用一族平行于yz 平面的平面x = k 去截(4.5－1)，其截线为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-k x a k c z b y 2222221 (5)当∣k ∣< a 时，（6）为一双曲线，其实轴平行于y 轴，虚轴平行于z 轴，其顶点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±0,1,22a k b k ，当∣k ∣= a 时，（6）为二相交线，其交点为（k ，0，0）当∣k ∣>a 时，（6）仍为双曲线，但其实轴平行于z 轴，虚轴平行于y 轴，其顶点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-±0,1,0,22a k a k .最后，若用一组平行于zx 平面的平面去截(4.5－1)，其截线情况与上述相仿. 截线图形如上图所示.综上，单叶双曲面(4.5－1)的图形如图（1）所示. 图（1）中也画出了腰椭圆和两条主双曲线.一般的单叶双曲面可以理解为将本节开始时得到的旋转单叶双曲面在x 轴方向作一个伸缩变换而得到.在直角系下，方程1222222=+-cz b y a x 或1222222=++-c z b y a x 所表示的图形也是单叶双曲面，绘图时注意须确定其“虚轴”.二 双叶双曲面：1 定义：在直角坐标系下，由方程1222222-=-+cz b y a x （a ，b ，c > 0） (4.5－2)所表示的图形称为双叶双曲面；而(4.5－2)称为双叶双曲面的标准方程.几何性质与形状：（i ）对称性 双叶双曲面(4.5－2)关于三坐标轴，三坐标面及原点对称，原点为其中心. （ii ）有界性 由(4.5－2)可见，双叶双曲面为无界曲面. （iii ）与坐标轴的交点及与坐标面的交线双叶双曲面(4.5－2)与x 轴、y 轴不交，而与z 轴交于（0，0，±c ），此为其实顶点. 双叶双曲面(4.5－2)与三坐标面交于三条曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-=+012222z b y ax (5)⎪⎩⎪⎨⎧=-=-012222y c z ax (6)⎪⎩⎪⎨⎧=-=-012222x c z by (7)（5）是一个虚椭圆，表明双叶双曲面(4.5－2)与xy 平面不相交（无实交点）. （6）、（7）均为双曲线，其实轴为z 轴，虚轴分别为y 轴和x 轴，其顶点为（0，0，±c ）.（iv ）与平行于坐标面平面的交线：为考察双叶双曲面(4.5－2)的形状，先用平行于xy 面的平面去截(4.5－2)，其截线为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+k z c k b y a x 2222221 (8)当∣k ∣< c 时，(4.5－2)与z = k 无实交点. 当∣k ∣= c 时，(4.5－2)与z = k 交于（0，0，±c ）当∣k ∣> c 时，（8）为椭圆，其顶点为(0，±b 221c k +-，k )，(±a 221ck +-，0，k )，其半轴为b 221ck +-，a 221c k +-.可见，双叶双曲面(4.5－2)是由z =±c 外的一系列“平行”椭圆构成. 这些椭圆的顶点在双曲线（6）和（7）上变化.若用平行于yz 面的平面去截(4.5－2). 其截线为⎪⎩⎪⎨⎧=--=-k x a k c z b y 2222221 (9)对任意实数k ，(9)均为双曲线，其实轴平行于z 轴，虚轴平行于y 轴，顶点为(k ，0，±c 221ak +). 双叶双曲面(4.5－2)的示意图如前面的图（2），但准确地说，图（2）是双叶双曲面1222222-=+-cz b y a x 的示意图.最后，若用平行于zx 面的平面去截(4.5－2)，其截线情况与上述相仿. 在直角系下，方程1222222-=+-c z b y a x 和1222222-=++-cz b y a x 所表示的图形也是双叶双曲面. 最后谈谈单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别，这一点上有些学生容易出错.两种双曲面的方程的左边都是x ，y ，z 的平方项，有正有负，右边是1或－1.把方程的右边都化成1，则左边有两项正，一项负的，就表示单叶双曲面. 而左边有两项负，一项正的，就表示双叶双曲面.把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐标轴的标注要符合右手系的原则.悬链曲面（又名悬垂曲面）是一个曲面，是将悬链线绕其准线旋转而得，故为一旋转曲面。
双曲柱面方程的一般表达式
双曲柱面方程的一般表达式双曲柱面是一个弯曲的表面，它与一个双曲线曲线直线运动生成的。
双曲柱面方程的一般表达式可以通过参数方程得到。
双曲柱面的参数方程可以表示为：x(u,v) = a⋅cosh(u)⋅cos(v)y(u,v) = a⋅cosh(u)⋅sin(v)z(u,v) = b⋅sinh(u)其中，a和b是常数，cosh(u)是双曲余弦函数，sinh(u)是双曲正弦函数，u和v是参数。
让我们看一下双曲余弦函数和双曲正弦函数的定义。
双曲余弦函数cosh(u)定义为(e^u + e^(-u))/2其中e是自然对数的底数。
双曲正弦函数sinh(u)定义为(e^u - e^(-u))/2我们可以看到，这些函数的性质与普通余弦函数和正弦函数有很多相似之处。
它们同样具有周期性、增减性、对称性等特点。
但是，与普通三角函数不同的是，双曲函数是无界的，因此在数学运算中具有更广阔的应用领域。
回到双曲柱面的参数方程，我们可以看到，x(u,v)和y(u,v)分别是以cosh(u)为幅度、cos(v)和sin(v)为相位的周期函数。
z(u,v)则是以sinh(u)为幅度的周期函数。
这个参数方程给出的是双曲柱面上的所有点的坐标。
通过对参数u 和v取不同的值，我们可以得到一系列不同的点，这些点组成了双曲柱面。
参数u可以控制双曲柱面的形状，当u趋近于正无穷时，双曲柱面趋近于一个向上开口的抛物面。
当u趋近于负无穷时，双曲柱面趋近于一个向下开口的抛物面。
参数v则控制了双曲柱面在水平方向上的旋转。
需要注意的是，双曲柱面是一个无界曲面，它无法在三维空间中完全展示出来。
在绘制双曲柱面时，我们通常只绘制其局部部分，以便更好地观察其形状。
双曲柱面是数学中重要的一种曲面，它在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
在几何学中，它可以用来描述双曲线的生成曲线；在物理学中，它可以用来描述电磁场线的分布等。
另外，在计算机图形学和计算几何学中，双曲柱面也具有重要的应用价值。
双曲抛物面方程
双曲抛物面方程引言双曲抛物面方程是数学中的一个重要概念，它描述了一个具有双曲形状的曲面在三维空间中的几何特征。
本文将对双曲抛物面方程进行全面、详细、完整且深入地探讨。
什么是双曲抛物面方程双曲抛物面方程是一个二次曲面方程，可以用来描述一个双曲抛物面的几何特征。
它的一般形式可以表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是常数。
这个方程可以通过对应于椭圆抛物面方程的齐次形式进行推导得出。
双曲抛物面的几何特征双曲抛物面是一个具有双曲形状的曲面，它的横截面是一个双曲线。
双曲抛物面方程描述了曲面上的每一个点的坐标，从而揭示了双曲抛物面的几何特征。
几何图形双曲抛物面的几何图形可以通过将双曲抛物面方程的x和y变量固定，只考虑z变量的值，来进行可视化。
当A、B和C的系数都为正时，双曲抛物面打开的方向与z轴的正方向相反；当A、B和C的系数都为负时，双曲抛物面打开的方向与z轴的正方向相同。
焦点及直纹面双曲抛物面有两个焦点，它们分别位于抛物面的焦平面上，这个焦平面与z轴垂直。
焦平面是一个平面，它包含了所有双曲抛物面的焦点。
焦平面的方程可以通过将双曲抛物面方程中的z项系数消去得到。
双曲抛物面的直纹面是一族平行于结构线（焦平面和z轴的直线交点）的平面，它们与抛物面相切。
直纹面的方程可以通过将双曲抛物面方程中的z和x或y项系数消去得到。
双曲抛物面方程的应用双曲抛物面方程在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
它可以描述一些具有双曲形状的物体的几何特征，从而帮助我们理解和分析这些物体的行为。
物理学中的应用在物理学中，双曲抛物面方程可以用来描述电磁波的传播。
电磁波在空间中的传播路径与双曲抛物面的形状相似，因此可以利用双曲抛物面方程进行电磁波的建模分析。
工程学中的应用在工程学中，双曲抛物面方程可以用来描述声波在介质中的传播。
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§5 双曲面
为了较为直观地理解双曲面的几何特征，先看一个例子.
将yz 平面上的双曲线⎪⎩
⎪⎨⎧==-
0122
22x c z b y 分别绕虚轴（z 轴）和实轴（y 轴）旋转，得到两个
旋转曲面
1222222=-+c z b y b x 和 122
2222=-+-c
z b y c x 分别称为旋转单叶双曲面和旋转双叶双曲面. 它们的图形如下所示.
x
图1
图2
1．单叶双曲面
定义4.5.1 在直角坐标系下，由方程
12
2
2222=-+c z b y a x (a ，b ，c >0) (4.5－1)
所表示的图形称为单叶双曲面；而方程(4.5－1)称为单叶双曲面的标准方程.
性质与形状
（i ）对称性 单叶双曲面(4.5－1)关于三坐标轴，三坐标平面及原点对称. 原点是(4.5－1)的对称中心.
（ii ）有界性 由方程(4.5－1)可知，单叶双曲面(4.5－1)是无界曲面 （iii ）顶点、与坐标轴的交点和与坐标面的交线
单叶双曲面(4.5－1)与x ，y 轴分别交于（±a ，0，0），（0，±b ，0）而与z 轴无实交点. 上述四点称为单叶双曲面的实顶点，而与z 轴的交点（0，0，±ci ）称为它的两个虚交点.
(4.5－1)与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+01
22
22z b y a
x (1)
⎪⎩
⎪⎨⎧==-01
22
22y c z a
x (2)
⎪⎩
⎪⎨⎧==-01
22
22x c z b
y (3)
其中（1）叫单叶双曲面(4.5－1)的腰椭圆，（2）和（3）均为单叶双曲面上的双曲线. （iv ）与平行于坐标面的平面的交线
为考察(4.5－1)的形状，我们先用平行于xy 平面的平面z = k 去截它，其截线为
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+k z c k b y a x 2
2
22221 (4)
这是一族椭圆，其顶点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±k c k b ，,1022，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+±k c k a ,0,122，其半轴为b 221c k +和
a 22
1c
k + ，当∣k ∣逐渐增大时，椭圆（4）逐渐变大. 可见，单叶双曲面(4.5－1)是由一系
列“平行”椭圆构成的，这些椭圆的顶点分别在二相互“垂直”的双曲线上变化.
再用一族平行于yz 平面的平面x = k 去截(4.5－1)，其截线为
⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-k x a k c z b y 2
222221 (5)
当∣k ∣< a 时，（6）为一双曲线，其实轴平行于y 轴，虚轴平行于z 轴，其顶点为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-±0,1,22a k b k ，当∣k ∣= a 时，（6）为二相交线，其交点为（k ，0，0）当∣k ∣>a 时，（6）仍为双曲线，但其实轴平行于z 轴，虚轴平行于y 轴，其顶点⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-±0,1,0,22a k a k .
最后，若用一组平行于zx 平面的平面去截(4.5－1)，其截线情况与上述相仿. 截线图形
如上图所示.
综上，单叶双曲面(4.5－1)的图形如图（1）所示. 图（1）中也画出了腰椭圆和两条主双曲线.
一般的单叶双曲面可以理解为将本节开始时得到的旋转单叶双曲面在x 轴方向作一个伸缩变换而得到.
在直角系下，方程
122222
2=+-c
z b y a x 或122
2222=++-c z b y a x 所表示的图形也是单叶双曲面，绘图时注意须确定其“虚轴”.
二 双叶双曲面：
1 定义：在直角坐标系下，由方程
122
2222-=-+c
z b y a x （a ，b ，c > 0） (4.5－2)
所表示的图形称为双叶双曲面；而(4.5－2)称为双叶双曲面的标准方程.
几何性质与形状：
（i ）对称性 双叶双曲面(4.5－2)关于三坐标轴，三坐标面及原点对称，原点为其中心. （ii ）有界性 由(4.5－2)可见，双叶双曲面为无界曲面. （iii ）与坐标轴的交点及与坐标面的交线
双叶双曲面(4.5－2)与x 轴、y 轴不交，而与z 轴交于（0，0，±c ），此为其实顶点. 双叶双曲面(4.5－2)与三坐标面交于三条曲线
⎪⎩
⎪⎨⎧=-=+01
22
22z b y a
x (5)
⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-01
22
22y c z a
x (6)
⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-01
22
22x c z b
y (7)
（5）是一个虚椭圆，表明双叶双曲面(4.5－2)与xy 平面不相交（无实交点）. （6）、（7）均为双曲线，其实轴为z 轴，虚轴分别为y 轴和x 轴，其顶点为（0，0，±c ）.
（iv ）与平行于坐标面平面的交线：
为考察双叶双曲面(4.5－2)的形状，先用平行于xy 面的平面去截(4.5－2)，其截线为
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=+k z c k b y a x 2
2
22221 (8)
当∣k ∣< c 时，(4.5－2)与z = k 无实交点. 当∣k ∣= c 时，(4.5－2)与z = k 交于（0，0，±c ）
当∣k ∣> c 时，（8）为椭圆，其顶点为(0，±b 22
1c k +-，k )，(±a 221c
k +-，0，k )，
其半轴为b 221c
k +-，a 22
1c k +-.
可见，双叶双曲面(4.5－2)是由z =±c 外的一系列“平行”椭圆构成. 这些椭圆的顶点在双曲线（6）和（7）上变化.
若用平行于yz 面的平面去截(4.5－2). 其截线为
⎪⎩
⎪⎨⎧=--=-k x a k c z b y 2
2
22221 (9)
对任意实数k ，(9)均为双曲线，其实轴平行于z 轴，虚轴平行于y 轴，顶点为
(k ，0，±c 221a
k +). 双叶双曲面(4.5－2)的示意图如前面的图（2），但准确地说，图（2）是双叶双曲面
122
2222-=+-c
z b y a x 的示意图.
最后，若用平行于zx 面的平面去截(4.5－2)，其截线情况与上述相仿. 在直角系下，方程
122
2222-=+-c z b y a x 和1222222-=++-c
z b y a x 所表示的图形也是双叶双曲面. 最后谈谈单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别，这一点上有些学生容易出错. 两种双曲面的方程的左边都是x ，y ，z 的平方项，有正有负，右边是1或－1.
把方程的右边都化成1，则左边有两项正，一项负的，就表示单叶双曲面. 而左边有两项负，一项正的，就表示双叶双曲面.
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐标轴的标注要符合右手系的原则.
悬链曲面（又名悬垂曲面）是一个曲面，是将悬链线
绕其准线旋转而得，故为一旋转曲面。
除了平面
以外，悬链曲面也是第一个被发现的最小曲面，在1744年被莱昂哈德·欧拉发现且证明。
[1]Jean Baptiste Meusnier 也做了些早期的研究。
[2]只有两个曲面既为旋转曲面又是最小曲面，即为平面与悬链曲面。
[3] 悬链曲面可被以下参数式所定义：
其中
及
为实参数而为大于零的常数。
把两个圆形浸泡于一肥皂溶液里，再缓慢地把那两个圆形分隔开，就可以制作出一个悬链曲面的物理模型。