人教版九年级上册数学第22章二次函数 22.1.3 二次函数图像和性质 教案
人教版九年级数学上册22.1.3《二次函数的图象和性质》比赛说课稿
人教版九年级数学上册22.1.3《二次函数的图象和性质》比赛说课稿一. 教材分析《二次函数的图象和性质》是人教版九年级数学上册第22.1.3节的内容。
本节主要介绍二次函数的图象和性质，是学生在学习了二次函数的定义、标准式、顶点式的基础上进行的。
通过本节的学习，使学生掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性、对称性、周期性等性质，为学生进一步解决实际问题打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的基本概念和性质有所了解。
但学生在学习过程中，对二次函数的图象和性质的理解还不够深入，尤其对一些概念的内涵和外延认识不清晰。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从直观的图象中感知二次函数的性质，让学生在动手实践、合作交流中理解知识，提高学生的数学思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性、对称性、周期性等性质。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生从图象中感知二次函数的性质，提高学生的数学观察能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生探究数学问题的热情，培养学生的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的图象特征，二次函数的增减性、对称性、周期性等性质。
2.教学难点：二次函数性质的灵活运用，对一些特殊函数图象的理解。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用“引导发现法”、“案例教学法”和“合作学习法”。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合学习卡、练习题等辅助教学手段。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些实际问题，引导学生关注二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。
2.知识讲解：讲解二次函数的图象特征，引导学生从图象中感知二次函数的性质。
通过典型案例，使学生了解二次函数的增减性、对称性、周期性等性质。
3.课堂练习：设计一些具有针对性的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
人教版九上数学教学课件 第二十二章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
答：这个喷水池的直径 AB 是 20 m。
Thank you!
y
hO k
x
y=ax2
y=a(x-h)2+k
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管， 在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池 中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离 池中心3m，水管应多长.
解：如图,以水管与地面交点为原点，原点
3
与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直
随堂测试
基础巩固 1.抛物线y＝(x＋2)2－1可以由抛物线y＝x2平移得到，下列平 移方法中正确的是( B ) A．先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
3 4 m 处达到最高，高度为 6 m，之后落在水池边缘，求这个喷水池的直径 AB 的值．
解：设 y 轴右侧抛物线的解析式为 y＝a(x－4)2＋6，将(0，10 )代入得 3
16a＋6＝10 ，解得 a＝－1 ，∴抛物线的解析式为 y＝－1 (x－4)2＋6，令 y
3
6
6
＝0 得－1 6
(x－4)2＋6＝0，x1＝10，x2＝－2(舍) ∴AB＝10－(－10)＝20(m).
R·九年级上册
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图像和性质 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
新课导入
问题：说说抛物线y=ax2的平移规律.
y=ax2
y=ax2+k
22.1.3二次函数的图像与性质课件PPT
7
x … –1 –0.6 –0.3 0 0.3 0.6 1 …
y=3x2 … 3 1.08 0.27 0 0.27 1.08 3 …
y=3x2–1 … 2 0.08 –0.73 – 1 –0.73 0.08 2 …
（2）二次函数 y=3x²－1 的图 象与二次函数
y=3x²的图象有 什么关系？
2 y 3x2
4.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x2，y2 ) 且x1＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
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14
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口 对称性 顶点
增减性
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k>0
k<0
k>0
k<0
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
2 可以得到抛物线
y 1 x2 3 ；
2
2.对于函数y= –x2+1，当x＜0 时，函数值y随
x的增大而增大；当x ＞0 时，函数值y随x的 增大而减小；当x =0 时，函数取得最 大 值, 为1 。
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3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是(C )
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状
问题1：当自变量x取 同一数值时，这两个 函数的函数值之间有 什么关系?反映在图 象上，相应的两个点 之间的位置又有什么 关系?
7 6 5 4 3
y 2x2 1
（0，1）
2 y 2x2
1
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4
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
二次函数图像和性质教学设计(3篇)
二次函数图像和性质教学设计（3篇）二次函数的图像和性质3教学设计篇一22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计知识与技能：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象；过程与方法：结合图象确定抛物线y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴与顶点坐标及性质；情感态度与价值观：通过比较抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的关系，培养学生的观察、分析、总结的能力。
学情分析学生在学习了前两课时的基础上，对于顶点式已经有了一定的认识，可以根据类比思想比较容易得出完整顶点式的图象性质，所以这一部分主要是学生独立探究，个别指导，然后归纳总结。
之后把侧重点放在对实际问题的探究上，重点研究实际问题的建模过程，鼓励一题多解，拓展学生思维。
重点难点教学重点：画出形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的图象，能指出开口方向，对称轴，顶点。
教学难点：理解函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2及其图象的相互关系。
4教学过程一、复习导入新课师：同学们，在学习新课之前，我们先来做这样一道题。
观察y＝－x2、y＝－x2－1、y＝－(x＋1)2这三条抛物线中，第一条抛物线可以经过怎样的平移得到第二条和第三条抛物线。
（指名学生回答）。
师：同学们可不可以在这个知识点的基础上进一步猜想一下第一条抛物线能否经过怎样的平移得到抛物线y＝－(x＋1)2－1 生：向左平移一个单位，再向下平移一个单位。
师：这个猜想是否正确呢？这节课我们一起来验证一下。
（板书课题）二、探究探究一（大屏幕出示）（自探问题部分）1.画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．x y＝－(x＋1)2－1 函数… …－4－3－2－10 1 2 ……开口方向顶点对称轴最值增减性y＝－(x＋1)2－1（学生口头展示以上问题）2．师：（结合课件）把抛物线y＝－x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2－1．所以抛物线y＝－x2 与抛物线y＝－(x＋1)2－1 形状___________，位置________________．通过刚才的演示，可以证明我们前面的猜想是正确的。
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
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x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
人教版九年级上册22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质(教案)
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，将二次函数应用于生活情境，提高数学建模素养；
4.培养学生逻辑推理和数学思维能力，通过分析不同参数对二次函数图像的影响，掌握二次函数性质，提升逻辑推理素养；
5.培养学生的团队合作意识和交流能力，通过小组讨论和分享，促进学生数学表达和交流，提高数学交流素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：二次函数y=a(x-h)²+k的图像与性质的理解和应用。；
- h、k对图像位置（顶点、对称轴、与y轴交点）的影响；
-二次函数的最大值和最小值及其求解方法；
-二次函数的对称性及其应用。
-重点强调：
-通过实例和图示，让学生直观感受二次函数图像的特点；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数y=a(x-h)²+k的基本概念、图像和性质，以及它们在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次函数图像和性质的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时能够灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-对二次函数性质的应用不够灵活，如对称性在解题中的应用。
-突破方法：
-利用多媒体或实物演示，让学生观察图像的动态变化，增强直观感受；
-通过具体案例，引导学生逐步学会从实际问题中抽象出二次函数模型；
-设计不同难度的练习题，让学生通过反复练习，加深对二次函数性质的理解和运用；
-组织小组讨论和互评，鼓励学生表达自己的思考过程，相互借鉴，共同提高。
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
2.(2016广东东莞月考)抛物线y=3x2+1的开口向
标为
.
(上或下),顶点坐
答案 上;(0,1) 解析 根据抛物线的解析式y=3x2+1可知其开口向上,顶点坐标为(0,1).
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
对应点的坐标为(1,0),所以平移后,所得抛物线相应的函数解析式为y=
-(x-1)2.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
知识点三 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 6.(2017江苏宿迁中考)将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个 单位,所得抛物线相应的函数表达式是 ( ) A.y=(x+2)2+1 B.y=(x+2)2-1 C.y=(x-2)2+1 D.y=(x-2)2-1 答案 C 根据平移口诀“左加右减自变量,上加下减常数项”可知平 移得到的抛物线相应的函数表达式是y=(x-2)2+1.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
4.(2018江苏盐城阜宁期中)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正
确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(-1,2) D.与x轴没有交点
答案 D ∵y=(x-1)2+2,∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,顶点坐标为
a的符号 图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
人教版九年级数学 上第22章二次函数 222 二次函数的图象和性质教案
北屯中学电子备课教学设计表学科：数学年级：九_ _年级_上 _册第22章单元（章）课题22.1.3二次函数y=a (x-h)2的图象和性质备课人备课人段秋玲审核人赵兰授课人课标解读与教材分析课标要求1.会用描点发画出二次函数图象，能通过图像认识二次函数性质。
2.会确定二次函数的图像顶点，开口方向和对称轴。
3.经历二次函数图象平移的过程。
教材分析二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的。
二次函数的图象是二次函数性质的直观体现，因此学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题是相当重要的，为后继学习研究函数打下一定的基础。
教学目标知识与技能: 使学生能利用描点法画出二次函数y＝()2a x h-的图象。
过程与方法: 让学生经历二次函数y＝()2a x h-性质探究的过程，理解函数y＝()2a x h-的性质，理解二次函数y＝()2a x h-的图象与二次函数y＝a2x的图象的关系。
情感态度与价值观:培养学生创造思维的能力和动手实践能力，突出辩证唯物主义观点。
重点会用描点法画出二次函数y＝()2a x h-的图象，理解其性质，理解它与y＝ax2的图象的关系。
难点理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝()2a x h-的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系。
教学课时 1 课时课前准备课件教学时间年月日教学设计教学增补主备课人备教学设计一、情境引入：1.我们已经了解到，函数y=ax2+k图象可以由函数y=ax2的图象上下平移得到，平移的规律是怎样的？2.二次函数y＝－12(x－1)2的图象，是否也可以由函数y=ax2的图象平移而得到呢？若是，应该怎样平移？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？3.引出课题——二次函数y=a (x-h)2的图象和性质设计意图：渗透类比学习的方法，使学生对将要进行学习的新内容进行猜想，同时激发学生学习的好奇心和求只欲。
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情感态度与价值观 培养学生的创造型思维，突出体现辩证唯
物主义观点.
教学重 用描点法画出二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和通过配方确定
点 抛物线的对称轴、顶点坐标
教学难 点
理解二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴,顶 点坐标分别是 x＝－2ba、(－2ba，4ac4－a b2)是教学的难点。。
第3页/共6页
当 x＝6 时，函数取得最大值，最大值 y＝3
三、探究： 1．请你按照上面的方法，你能得出函数 y＝-2x2－4x ＋1 的图象和性质吗?
根据以上分析你能对任意一个二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和 顶点坐标?你能把结果写出来吗?
教师组织学生分组讨论，可各组选派代表发言，全 班交流，达成共识；
四、课堂练习： P39 练习
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五、小结： 通过学习二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图
象如图所示，
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数 a，b、c、
b2 4ac 的关系 ：
系数的符号
图像特征
a 的 a>0.
抛物线开口向
符号
a<0
抛物线开口向
b>0.
b 的符 b=0
式，并确定顶点坐标和对称轴。
解：(1)列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表；
x …3 4 5 6 7 8 9 …
y…
…
(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面
直角坐标系中描点。
(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数 y=12x2 ＋6x+21 的图象。
说明：(1)列表时，应根据对称轴是 x＝6，以 x=6 为中 心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。
板书归纳： y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋bax)＋c ＝a[x2＋bax＋(2ba)2－
(2ba)2]＋c ＝a[x2＋bax＋(2ba)2]＋c－b42a ＝a(x＋2ba)2＋4ac4－a b2 当 a＞0 时，开口向上，当 a＜0 时，开口向下。 对称轴是 x＝－2ba，顶点坐标是(－2ba，4ac4－a b2)
个交 个交 个交
六、作业：
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板书设 计
教学反 思
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教案
22.1.3 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像
课题 和性质
课时及授 时
课
授课人
课时间
年月
日
知识与技能 使学生掌握用描点法画出函数 y＝ax2＋bx＋c 的
图象并掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴
教学目 标 (学 习目标)
和顶点坐标. 过程与方法让学生经历探索二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象的 开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的性质.
y＝－4x2 的图象向右平移 2 个单位再向上平移 1 个单位
得到的)
3．函数 y＝－4(x－2)2＋1 具有哪些性质?
(当 x＜2 时，函数值 y 随 x 的增大而增大，当 x＞2
时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x＝2 时，函数取
得最大值，最大值 y＝1)
问题：不画出图象，你能直接说出函数 y=12x2＋6x+21 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 你能画出函数 y=21x2＋6x+21 的图象，并说明这个函数 具有哪些性质吗?——引出课题 二、解决问题
(2)直角坐标系中 x 轴、y 轴的长度单位可以任意定， 且允许 x 轴、y 轴选取的长度单位不同。所以要根据具 体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。
让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个 函数的性质；
当 x＜6 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x＞6 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；
号
b<0
抛物线对称轴在 y 轴的 侧 抛物线对称轴是 轴 抛物线对称轴在 y 轴的 侧
c>0. c 的符
C=0 号
c<0
抛物线与 y 轴交于 抛物线与 y 轴交于 抛物线与轴交于
b2 4ac
的 符 号 y
b2 4ac > 抛物线与 x 轴有 0. 点
b2 4ac = 抛物线与 x 轴有 0点
b2 4ac < 抛物线与 x 轴有 0点
教学用 幻灯片
具
教学方
法 (学 画图探究，自主学习，合作交流
习方法)
教 学 过 一、复习导入
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批注
程
1．你能说出函数 y＝－4(x－2)2＋1 图象的开口方
向、对称轴和顶点坐标吗？
2．函数 y＝－4(x－2)2＋1 图象与函数 y＝－4x2 的
图象有什么关系?
(函数 y＝－4(x－2)2＋1 的图象可以看成是将函数
师生共析：如果把 y=12x2＋6x+21 化成 y=a(x－h)2 ＋k 的形式，我们就容易确定相应的抛物线的开口方 向、对称轴和顶点坐标。然后我们一起采用描点法作图 的方法作出函数 y=12x2＋6x+21 的图象，进而观察得到
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这个函数的性质。 师生共析：将 y=21x2＋6x+21 化成 y=a(x－h)2＋k 形