高中数学必修二第一章测试题及答案 2
2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章章末综合检测
(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果空间中有四个点，其中任意三点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面( )A ．可能有三个，也可能有一个B ．可能有三个，也可能有两个C ．可能有四个，也可能有一个D ．可能有四个，也可能有两个解析：选C.当四个点共面时，只有一个；当四个点不共面时，任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面．2．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为(以线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立坐标系)( )A.34a 2B.38a 2C.68a 2D.616a 2 解析：选D.求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边长和高，也就是原来实际图形中的高线在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据来求出相应的高线即可，直观图的面积是原图形面积的24.如图所示的实际图形和直观图，由图(2)可知A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图(2)中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a ，所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12·a ·68a ＝616a 2.3．下面四个说法中正确的个数是( )①如果a 、b 是两条直线，a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何一个平面；②如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行；③如果直线a 、b 满足a ∥α，b ∥α，则直线a ∥b ；④如果直线a 、b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⃘α，那么b ∥α.A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选B.若a 、b 共面，则说法①不正确；如图所示中的a 与b ，则说法②不正确；满足说法③的a 、b 平行、相交、异面三种位置关系都有可能．∴只有④正确．4.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.13B.23 C ．1 D ．2解析：选C.空间几何体的直观图为平放的直三棱柱，且直三棱柱底面为直角三角形，两直角边边长分别为1和2，侧棱长为2，直接利用公式可知V ＝2×12×1×2＝1.5．已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( ) A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直C ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直D ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直解析：选C.若β内存在直线n 与m 平行，由m ⊥α知n ⊥α，从而α⊥β，但α与β相交却不一定垂直，所以不一定存在直线与m 平行；又设α∩β＝a ，由m ⊥α知m ⊥a ，即β中有直线与m 垂直．故选C.6．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是( ) A ．平面DD 1C 1C B ．平面A 1DCB 1 C ．平面A 1B 1C 1D 1 D ．平面A 1DB 解析：选B.连接A 1D 、B 1C ，由ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体可知， AD 1⊥A 1B 1，AD 1⊥A 1D . 故AD 1⊥平面A 1DCB 1.7．以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 的中线CD 为棱，将△ABC 折叠，使平面ACD ⊥平面BCD ，则AC 和BC 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．不确定 解析：选B.如图，令CD ＝AD ＝BD ＝1， 则AC ＝BC ＝2，又∵AD ⊥BD ，∴AB ＝2， ∴∠ACB ＝60°.8.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线( )A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条解析：选D.在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，当M 取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这三条异面直线都有交点，如图所示，故选D.9．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3解析：选D.由球的体积公式可得球的半径R ＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a ，高即侧棱长为h ，则h ＝2R ＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有32a ×13＝R ＝2，解得a ＝4 3.所以此三棱柱的体积V ＝12×32×(43)2×4＝48 3.10．已知二面角α-l -β为60°，动点P ，Q 分别在面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 3 D ．4解析：选C.如图所示，分别作QA ⊥α于A ，AC ⊥l 于C ，PB ⊥β于B ，PD ⊥l 于D ，连接CQ ，BD ，则CQ ⊥l ，BD ⊥l ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝23，BP ＝3，∴AC ＝PD ＝2. 又PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP 2≥2 3.当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时，PQ 取最小值2 3.二、填空题(本大题共5小题．把答案填在题中横线上)11．在数值上若球的体积与其表面积相等，则球的半径是________．解析：设球的半径为R ，由题意4πR 2＝43πR 3，∴R ＝3.答案：312．如图，在△ABC 中，BC ＝39，G 是△ABC 的重心．过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ＝__________.解析：∵BC ∥平面α，平面α∩平面ABC ＝MN ， ∴BC ∥MN .又∵G 是△ABC 的重心， ∴AG ∶GD ＝2∶1，∴AG ∶AD ＝2∶3， ∴MN ∶BC ＝2∶3.在△ABC 中，BC ＝39.∴MN ＝2339.答案：233913．如图所示，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件__________时，有A 1C ⊥B 1D 1.(填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)解析：由直四棱柱可知CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1ACC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，正方形等条件．答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)14．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，P 点到三个平面的距离分别为3,4,5，则OP 的长为__________．解析：构造一个长方体，令O 为长方体的一个顶点，P 为长方体内的一个点，OP ＝32＋42＋52＝50＝5 2. 答案：5 215．一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是__________．解析：设圆柱桶的底面半径为R ，高为h ，油桶直立时油面的高度为x ， 则⎝⎛⎭⎫14πR 2－12R 2h ＝πR 2x ， ∴x h ＝14－12π. 答案：14－12π三、解答题(本大题共5小题．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝6，将矩形沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．(1)求证：BC ⊥A 1D ；(2)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1BD .证明：(1)∵A 1在平面BCD 上的射影O 在CD 上， ∴A 1O ⊥平面BDC .又BC 平面BCD ，∴BC ⊥A 1O .又BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，∴BC ⊥平面A 1CD . 又A 1D 平面A 1CD ，∴BC ⊥A 1D .(2)∵四边形ABCD 为矩形，∴A 1D ⊥A 1B .由(1)知A 1D ⊥BC ，A 1B ∩BC ＝B ，∴A 1D ⊥平面A 1BC . 又A 1D 平面A 1BD ，∴平面A 1BC ⊥平面A 1BD .17．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是BC 上一点，且A 1B ∥平面AC 1D ，D 1是B 1C 1的中点，求证：平面A 1BD 1∥平面AC 1D . 证明：如图，连接AB 1交A 1B 于点E ， 则E 为AB 1的中点，连接ED 1. 又∵D 1是B 1C 1的中点， ∴ED 1为△B 1AC 1的中位线， ∴ED 1∥AC 1.∵ED 1平面AC 1D ，AC 1平面AC 1D ， ∴ED 1∥平面AC 1D ，又∵A 1B ∥平面AC 1D ，且ED 1∩A 1B ＝E ， ∴平面A 1BD 1∥平面AC 1D .18．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其中有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解：(1)画圆锥及内接圆柱的轴截面，如图，设所求圆柱的底面半径为r ，则它的侧面积为S 圆柱侧＝2πr ·x ， ∵r R ＝H －x H ，∴r ＝R －R Hx . ∴S 圆柱侧＝2πRx －2πR H ·x 2.(2)S 圆柱侧＝2πRx －2πR H x 2＝－2πR H ⎝⎛⎭⎫x －H 22＋πRH2. 则这个二次函数有最大值，这时圆柱的高x ＝H 2>0，且x ＝H2<H ，满足题意，∴当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．19.如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB .(1)求证：CE ⊥平面P AD ； (2)若P A ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝2，∠CDA ＝45°，求四棱锥P ABCD 的体积．解：(1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CE 平面ABCD ，所以P A ⊥CE . 因为AB ⊥AD ，CE ∥AB ， 所以CE ⊥AD .又P A ∩AD ＝A ，所以CE ⊥平面P AD . (2)由(1)可知CE ⊥AD . 在Rt △ECD 中， DE ＝CD ·cos 45°＝1，CE ＝CD ·sin 45°＝1.又因为AB ＝CE ＝1，AB ∥CE ，所以四边形ABCE 为矩形．所以S 四边形ABCD ＝S 矩形ABCE ＋S △ECD ＝AB ·AE ＋12CE ·DE ＝1×2＋12×1×1＝52.又P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，所以V 四棱锥P -ABCD ＝13S 四边形ABCD ·P A ＝13×52×1＝56.20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面P AD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．解：(1)证明：∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面P AD.(2)证明：如图，连接PG.∵△P AD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，PG平面PGB，BG平面PGB，∴AD⊥平面PGB.∵PB平面PGB，∴AD⊥PB.(3)当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：在△PBC中，FE∥PB，又在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE平面DEF，DE平面DEF，FE∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.由(1)知，PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.。
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第一章 空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图 左视图 俯视图 (第1题) A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋2B ．221＋C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )．A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶36．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．A ．29πB ．27πC ．25πD ．23π7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．1608．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )．A ．29 B ．5 C ．6 D ．2159．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D ．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．(第8题)(第10题)二、填空题11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．(第14题)15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm，求它的深度．18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第19题)20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第一章 空间几何体参考答案A 组一、选择题 1．A解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2．3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径， l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D解析：V ＝V 大－V 小＝31πr 2(1＋1.5－1)＝23π．7．D解析：设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而21l ＝152－52，22l ＝92－52，而21l ＋22l ＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面＝4×8×5＝160． 8．D解析：过点E ，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，V ＝2×31×43×3×2＋21×3×2×23＝215．9．B解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．10．D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D. 二、填空题11．参考答案：5，4，3．解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．12．参考答案：1∶22∶33．r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，31r ∶32r ∶33r ＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33．13．参考答案：361a ．解析：画出正方体，平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点， 三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝33a ，V ＝31Sh ＝31×43×2a 2×33a ＝61a 3． 另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1，它的高为AO ，等腰三角形OB 1D 1为底面．14．参考答案：平行四边形或线段．15．参考答案：6，6．解析：设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则V = abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1， l ＝1＋2＋3＝6． 16．参考答案：12．解析：V ＝Sh ＝πr 2h ＝34πR 3，R ＝32764×＝12． 三、解答题 17．参考答案：V ＝31(S ＋S S ′＋S )h ，h ＝S S S S V ′＋′＋3＝6001＋4002＋60030001903×＝75．18．参考答案：如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则CC'＝a ，OC ＝22a ，OC'＝R ．(第18题)在Rt △C'CO 中，由勾股定理，得CC' 2＋OC 2＝OC' 2，即 a 2＋(22a )2＝R 2． ∴R ＝26a ，∴V 半球＝26πa 3，V 正方体＝a 3． ∴V 半球 ∶V 正方体＝6π∶2． 19．参考答案：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22 ＝(60＋42)π． V ＝V 台－V 锥 ＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1 ＝3148π．20．解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝31Sh ＝31×π×(216)2×4＝3256π(m 3)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积COAV 2＝31Sh ＝31×π×(212)2×8＝3288π(m 3)．(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ． 棱锥的母线长为l ＝224＋8＝45， 仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)． 如果按方案二，仓库的高变成8 m ．棱锥的母线长为l ＝226＋8＝10，仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)．(3) 参考答案：∵V 2＞V 1，S 2＜S 1，∴方案二比方案一更加经济些．。
2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章§6.1知能演练轻松闯关
1．(2013·焦作水平测试)经过平面外一点作与此平面垂直的平面，则这样的平面() A．只能作一个B．只能作两个C．可以作无数个D．可作一个或无数个解析：选C.过平面外一点作该平面的垂线，只能做一条，但过该直线的平面有无数个，这些平面与此平面都是垂直的，故选C.2．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若a⊥b，a∥α，则b⊥αB．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析：选D.A错；B错；C错，可能aα.只有D正确．3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析：选D.对于A，m∥α且m∥β而α∩β＝l，所以m∥l.因为AB∥l，所以AB∥m.对于B，因为AC⊥l，l∥m，所以AC⊥m.对于C，AB∥l，ABβ，所以AB∥β.对于D，当点C∉α时，AC不垂直于β.4．已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，下面说法正确的个数是()①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β②若m⊥α，n⊥α，则m∥n③若mα，nβ，且m⊥n，则α⊥βA．1 B．2C．3 D．0解析：选A.对于①，垂直于同一个平面的两平面相交或平行，故①错误；对于②，垂直于同一平面的两直线平行，故②正确；③错，故选A.5．在正四面体P-ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC解析：选C.可画出对应图形(图略)，则BC∥DF，又DF平面PDF，BC平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面P AE，故B成立；又DF平面ABC，∴平面ABC⊥平面P AE，故D成立．6．空间四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝CD，则AC与BD的位置关系是__________．解析：如图所示，取BD 的中点M ，连接AM ，CM ，因为AB ＝AD ，BC ＝CD ，所以AM⊥BD ，CM ⊥BD ，因此BD ⊥平面ACM ，又因为AC 平面ACM ，可得：AC ⊥BD .答案：AC ⊥BD7.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AH ⊥A 1C ，垂足为H ，则A 1H ∶HC ＝__________.解析：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，连接AC.设AB ＝a ，则AC ＝2a ，A 1C ＝3a .∵AA 1⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ，∴AA 1⊥AC ，又AH ⊥A 1C ，∴A 1H AA 1＝AA 1A 1C. ∴A 1H ＝AA 21A 1C ＝a 23a ＝33a . ∴HC ＝A 1C －A 1H ＝3a －33a ＝233a ， ∴A 1H HC ＝33a 233a ＝12， 即A 1H ∶HC ＝1∶2.答案：1∶28．正四面体A -BCD 的侧面ABC 与底面BCD 所成的二面角的余弦值是__________． 解析：如图所示，设正四面体A BCD 的棱长为1，顶点A 在底面BCD 上的射影为O ，连接DO 并延长交BC 于点E ，连接AE ，则E 为BC 的中点，故AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，所以∠AEO 为侧面ABC 与底面BCD 所成的二面角的平面角， 在Rt △AEO 中，AE ＝32， EO ＝13ED ＝13×32＝36， 则cos ∠AEO ＝EO AE ＝13. 答案：139.如图，二面角α-l -β的大小是60°，线段AB α，点B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，求AB 与平面β所成的角的正弦值．解：如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连接OB 、OC ，则OC ⊥l ，设AB 与β所成的角为θ，则∠ABO ＝θ，由图得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝34.10.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，点D 是AB 的中点，求证：平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B .证明：∵AC ＝BC ，点D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ，∵CD 平面ABC ，∴CD ⊥B 1B ，又∵AB ∩B 1B ＝B ，∴CD ⊥平面AA 1B 1B ，∵CD 平面CA 1D ，∴平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B .1．把边长为a 的正三角形ABC 沿高线AD 折成60°的二面角，这时顶点A 到BC 的距离是( )A ．a B.32a C.34a D.154a 解析：选D.如图所示：取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，∵BD ＝CD ＝a 2，且BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，∴∠BDC ＝60°，且△BCD 为等边三角形，且边长为a 2，AD ⊥平面BCD . ∵△ABD ≌△ACD ，∴AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，∴AE 为A 到BC 的距离． ∵AD ＝32a ，DE ＝34a ，且AD ⊥DE ， ∴AE ＝AD 2＋DE 2＝ 3a 24＋316a 2＝15a 4. 即A 到BC 的距离为15a 4.2．如图所示，在五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形符号)解析：易判断①④正确．⑤中△PMN 是正三角形且AM ＝AP ＝AN ，因此三棱锥A －PMN是正三棱锥，故图⑤中l ⊥面MNP .同理可否定③，因为AM ≠AP ≠AN ，也易否定②.答案：①④⑤3.如图，在正方体ABCD A1B 1C 1D 1中，M ，N ，E 分别是棱B 1C 1，A 1D 1，D 1D 的中点．求证：A 1E ⊥平面ABMN .证明：在△AA 1N 与△A 1D 1E 中：AA 1A 1N ＝A 1D 1D 1E＝2，∠AA 1N ＝∠A 1D 1E ＝90°，所以△AA 1N ∽△A 1D 1E ，此时∠A 1AN ＝∠D 1A 1E ，∵∠A 1AN ＋∠A 1NA ＝90°，∴∠D 1A 1E ＋∠ANA 1＝90°，∴A 1E ⊥AN ，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面A 1ADD 1，∵A 1E 平面A 1ADD 1，∴A 1E ⊥AB ，∵AN ∩AB ＝A ，AN 平面ABMN ，AB 平面ABMN ，∴A 1E ⊥平面ABMN .4．如图，P 是边长为a 的正方形所在平面ABCD 外一点，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ，E 为AB 上的点．是否存在点E ，使平面PCE ⊥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置；若不存在，请说明理由．解：存在．当E 为AB 的中点时满足要求．如图，分别取PC ，CD 的中点F ，G ，连接EF ，FG ，GE .∵CD ⊥AD ，P A ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .∵F ，G 分别为PC ，CD 的中点，∴FG ∥PD ，∴CD ⊥FG ，∵CD ⊥EG ，EG ∩FG ＝G ，∴CD ⊥平面EFG ，∴CD ⊥EF .∵P A＝AB＝BC，AE＝BE，∴Rt△P AE≌Rt△CBE，∴PE＝CE.又∵EF为△PEC的中线，∴EF⊥PC.∵PC∩CD＝C，∴EF⊥平面PCD.∵EF平面PCE，∴平面PCE⊥平面PCD.。
2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章§2知能演练轻松闯关
1．利用斜二测画法，下列叙述正确的是( ) A ．正三角形的直观图是正三角形 B ．平行四边形的直观图是平行四边形 C ．相等的线段在直观图中仍然相等 D ．全等三角形的直观图一定全等解析：选B.斜二测画法主要保留了原图的三个性质：①保平行；②保共点；③保平行线段的长度比，所以平行四边形的直观图是平行四边形．2．下列说法正确的个数是( ) ①三角形的直观图是三角形； ②正方形的直观图是正方形； ③菱形的直观图是菱形．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①正确；但是斜二测画法中平行于y 轴的线段在直观图中长度为原来的一半，故正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图也不是菱形，所以②③错．3．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是图中的( )解析：选A.在斜二测画法所作出的图形中，O ′M ′＝2，因此在平面直角坐标系中相应的OM ＝22，选项中只有A 满足题意，故选A.4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )A.1＋22B.2＋22C ．1＋ 2D ．2＋ 2解析：选D.根据平面图形斜二测直观图的画法，所求平面图形为四边形，由“横不变”知，四边形为梯形，且上底边长为1，依据直观图可求得下底边长为1＋2，由直观图的底角为45°知这个梯形为直角梯形，再由“竖取半”知，直腰长为2，∴S ＝1＋1＋22×2＝2＋ 2.5．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )解析：选A.由题意应看到正方体的上面、前面、和右面，由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知A 正确．6．用斜二测画法画一个水平放置的正五边形的直观图，则得到的图形的各个角__________(填“相等”“不相等”“不全相等”)．解析：通过斜二测画法后，图形的各个角有的变大有的变小，得到的各个角不再全相等． 答案：不全相等7.如图所示，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且A ′B ′＝A ′C ′，那么△ABC 是________．解析：因为A ′B ′∥x 轴，A ′C ′∥y ′轴，所以AB ∥x 轴，AC ∥y 轴．所以在直角坐标系中，∠BAC ＝90°.又因为A ′B ′＝A ′C ′，所以AC ＝2AB . 所以△ABC 为直角三角形． 答案：直角三角形8．如图，△ O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的面积是________．解析：按斜二测画法，将直观图中△O ′A ′B ′还原成原图形，即△OAB (如图)，则△OAB 的面积是S ＝12×6×4＝12.答案：129．画出如图中四边形OABC 的直观图(图中数据已给出)．解：以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，如图所示：作∠C ′O ′B ′＝45°，其中O ′B ′是水平的，O ′B ′＝4，O ′D ′＝3，O ′C ′＝1，过D ′作∠B ′D ′A ′＝135°，使A ′D ′＝1，顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，所得四边形即为四边形OABC 的直观图(如图所示)：10．画出底面边长为1.2 cm 的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm 的四棱锥的直观图．解：画法如下：(1)画轴，画x 轴、y 轴、z 轴，∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°.(2)画底面，以O 为中心在xOy 平面内，画出正方形的直观图ABCD ，使AB ＝1.2 cm. (3)画顶点，在Oz 轴上截取OP ，使OP ＝1.5 cm.(4)成图，连结P A ，PB ，PC ，PD ，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，即得四棱锥的直观图．1.(2013·焦作水平测试)如图所示是水平放置的三角形的直观图，D 是△ABC 中BC 边的中点，那么AB ，AD ，AC 三条线段在原图形中( )A ．最长的是AB ，最短的是AC B ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AD ，最短的是AC解析：选C.由直观图易知AD ∥y ′轴，根据斜二测画法规则，在原图中应有AD ⊥BC ，又因为AD 为BC 边上的中线，所以△ABC 为等腰三角形，AD 为BC 边上的高，则有AB ，AC 相等且最长，AD 最短，比较各选项可知C 正确．2．如图，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则在直观图中梯形的高为__________．解析：∵OA ＝6，CB ＝2， ∴OD ＝2.又∵∠COD ＝45°， ∴CD ＝2.梯形的直观图如图．则C ′D ′＝1，∴梯形的高C ′E ′＝22. 答案：223．画一个上、下底面边长分别为0.8 cm 、1.5 cm ，高为1.5 cm 的正三棱台的直观图． 解：(1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴三轴相交于O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°；(2)画下底面．以O 为中点，在x 轴上截取线段AB ，使AB ＝1.5 cm ，在y 轴上截取线段OC ，使OC ＝383cm ，连接BC ，CA ，则△ABC 为正三棱台的下底面；(3)画上底面．在z 轴上截取线段OO ′，使OO ′＝1.5 cm.过O ′点作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy .建立坐标系x ′O ′y ′，在x ′O ′y ′中，重复(2)的步骤得上底面A ′B ′C ′(取A ′B ′＝0.8 cm ，O ′C ′＝35cm)．(4)连线成图．连接AA ′，BB ′，CC ′，擦去辅助线，被遮线画为虚线，则三棱台ABC A ′B ′C ′为要求画的三棱台的直观图．4．已知如图，四边形ABCD 的面积为S ，用斜二测画法作出的直观图为四边形A ′B ′C ′D ′，面积为S ′.求S ∶S ′.解：过D ，C 分别作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，以E 为坐标原点，AB 为x 轴，ED 为y 轴建立坐标系，如图所示：相应的直观图如下图所示：在图1中，四边形ABCD 的面积S ＝S △AOD ＋S 梯形DOFC ＋S △BFC ＝12OA ·OD ＋12(OD ＋CF )·OF＋12BF ·CF ， 在图2中，过D ′，C ′分别作D ′M ⊥A ′B ′，C ′N ⊥A ′B ′，则：D ′M ＝O ′D ′·sin 45°＝22·12OD ＝24OD ，C ′N ＝C ′F ′·sin 45°＝22·12CF ＝24CF ，此时S △A ′O ′D ′＝12A ′O ′·D ′M ′＝12A ′O ′·24OD＝28AO ·OD ， S △C ′F ′B ′＝12B ′F ′·C ′N ＝12BF ·24CF ＝28BF ·CF ，过F ′作F ′G ⊥O ′D ′于G ，则F ′G ＝O ′F ′·sin 45°＝OF ·22＝22OF ，因此：S 梯形D ′O ′F ′C ′＝12(D ′O ′＋C ′F ′)·F ′G ＝12⎝⎛⎭⎫12DO ＋12CF·22OF＝28(DO＋CF)·OF，∴四边形A′B′C′D′的面积S′＝S△A′O′D′＋S梯形D′O′F′C′＋S△C′F′B′＝28AO·OD＋28(DO＋CF)·OF＋28BF·CF＝24S，∴S∶S′＝S24S＝2 2.。
2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章§1.2知能演练轻松闯关
1．如果一个棱锥的各个侧面是等边三角形，那么这个棱锥不可能是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D.若是六棱锥，各侧面顶角之和为6×60°＝360°，即各侧面就成为平面图形．2．由五个面围成的几何体是()A．三棱柱B．三棱台C．四棱锥D．不能确定解析：选D.可用排除法，三棱柱，三棱台，四棱锥都是由五个面围成的几何体，故选D.3.(2013·宜春高中质检)如图所示，在三棱台A′B′C′-ABC中，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体解析：选B.剩余部分是四棱锥A′BB′C′C，故选B.4．下列说法正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点解析：选D.由棱柱、棱锥、棱台的定义可知D正确．5．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是()解析：选C.将四个选项的平面图形折叠，看哪一个可以复原为正方体，只有C选项中相应图形才能复原为正方体，故选C.6．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成__________个三角形．解析：用三根木棒，摆成三角形，用另外3根木棒，分别从三角形的三个顶点向上搭起，搭成一个三棱锥，共有4个三角形．答案：47．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱的长为__________ cm.解析：由于棱柱共有10个顶点，所以该棱柱有5条侧棱，因此每条侧棱的长为60÷5＝12 cm.答案：128.如图，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1，过BC 和AD 分别作一个平面交底面A 1B 1C 1D 1于EF 、PQ ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是________．解析：该长方体被分成的三个几何体都是棱柱，分别为三棱柱AA 1P DD 1Q ，三棱柱BB 1E CC 1F 和四棱柱ABEP DCFQ .答案：39．已知正三棱锥V ABC ，底面边长为8，侧棱长为26，计算它的高和斜高．解：如图所示，设O 是底面中心，则D 为BC 的中点．∴△VAO 和△VCD 是直角三角形． ∵底面边长为8，侧棱长为2 6.∴AO ＝33×8＝833，CD ＝4， ∴VO ＝VA 2－AO 2＝ (26)2－⎝⎛⎭⎫8332＝23 6.VD ＝VC 2－CD 2＝ (26)2－42＝2 2.即正三棱锥的高是236，斜高为2 2. 10.如图所示，在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？(2)水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)和第(2)题对不对？解：(1)不对．水面的形状就是用一个与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，一定是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对．水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是不是矩形的平行四边形，因而水面的形状可以是不是矩形的平行四边形；水的形状可以是棱锥、棱柱，但不可能是棱台．1．已知集合A ＝{棱柱}，集合B ＝{正棱柱}，集合C ＝{斜棱柱}，集合D ＝{直棱柱}，则( )A ．A CB B ．A D BC ．A CD D ．A D C解析：选B.棱柱的分类如下：．由以上分类知，应选B.2．有一枚正方体骰子，每一个面都有一个英文字母，如图所示的是从3种不同角度看同一枚骰子的情况，则与H相对的字母是__________．解析：由这三个图知，与标有S的面相邻的四个面分别标有字母H，E，O，F.翻转图(2)，使S面调整到正前面，则O为正下面，所以与H相对的字母是O.答案：O3.如图所示，有12个小正方体，每个正方体6个面上分别写着数字1、9、9、8、4、5，用这12个小正方体拼成一个长方体，那么图中看不见的那些小正方体的面有多少个，并求这些面上的数字和．解：这12个小正方体，共有面数6×12＝72个，图中看得见的面共有3＋4×4＝19个，故图中看不见的面有72－19＝53个，12个小正方体各个面的数字的和为(1＋9＋9＋8＋4＋5)×12＝432.而图中看得见的数字的和为131，所以看不见的那些小正方体的面上的数字的和为432－131＝301.4．(创新题)求函数f(x)＝x2＋4＋x2－10x＋34的最小值．解：将函数解析式化为f(x)＝x2＋22＋(x－5)2＋32，构造长方体ABCD A′B′C′D′，其中AB＝2，BC＝3，BB′＝5，E为BB′上一点，如图所示．设BE＝x，则AE＝x2＋22，EC′＝(5－x)2＋32，所以f(x)＝AE＋EC′.这样问题就转化为在长方体ABCD-A′B′C′D′的棱BB′上找一点E，使折线AEC′的长度最短，展开侧面，使AB与B′C′共面，连接AC′，可得f(x)min＝52，即函数f(x)＝x2＋4＋x2－10x＋34的最小值为5 2.。
人教版高中数学必修二第一章测试题及答案
人教版高中数学必修二第一章测试题及答案高一数学人教版必修二第一章测试题及答案一、选择题1.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()．答案：C．2＋2/22.棱长都是1的三棱锥的表面积为()．答案：B．2√23.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()．答案：B．50π4.正方体的棱长和外接球的半径之比为()．答案：B．3∶25.在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是()．答案：A．π/96.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()．答案：D．1607.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝3/2，且EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()．答案：B．58.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是()．答案：D．水平放置的圆的直观图是椭圆二、填空题9.若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是1∶2∶3.10.正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－A1BD1的体积为a^3/6.11.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是√29，它的体积为√108.12.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为4厘米.三、解答题暂无。
解析：V = Sh = πr²h = πR³，其中R = 364 × 27 = 12.三、解答题13.参考答案：V = (S + SS' + S')h，其中h =14.参考答案：V = 1/3( S + SS' + S')h = 1/3 × × 75 = xxxxxxx/3.S表面积 = S下底面积 + S台侧面积 + S锥侧面积 = π×5² + π×(2+5)×5 + π×2²×2 = (60+42)π.V台= 1/3πr₁²h = 1/3π(5²+5×2+2²)×5 = 148π/3.V锥 = 1/3πr₁²h = 1/3π5²×5 = 25π/3.V = V台 - V锥= 148π/3 - 25π/3 = 123π/3 = 41π.。
2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章§1.1知能演练轻松闯关
1．下列几何体是圆柱的是()解析：选B.由圆柱的结构特征：上、下底面为两个相等的圆面，可知选B.2．下列说法：①直线绕直线旋转形成柱面；②曲线平移一定形成曲面；③直角梯形绕一边旋转形成圆台；④半圆绕直径旋转形成球面．其中，正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．0解析：选A.①错，当两直线相交时，不能形成柱面；②错，曲线平移并不一定能形成曲面；③错，若绕底边旋转，则形成的不是圆台；④对，据球面的定义知④是正确的，故选A.3．如图1所示的几何体是由图2中某个平面图形旋转得到的，则这个平面图形是()解析：选A.由旋转体的概念及结构特征可判断只有选项A中的平面图形，绕着轴线旋转才可形成图1的几何体，故选A.4．下列说法中正确的是()A．用一个平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台B．在圆锥的侧面上画出的线段只能是曲线段不能是直线段C．圆台的母线有无数条，它们都互相平行D．以一个等腰梯形上、下底的中点的连线为旋转轴，将各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆台解析：选D.A不正确，因为截面与底面不一定平行；B不正确，因为所有母线都是直线段；C不正确，因为所有母线延长后相交于一点；D正确，符合圆台的结构特征．5．如图所示的平面结构，绕中间轴旋转180°，所形成几何体的形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B.由于外面圆旋转成球体，而中间矩形旋转形成一个圆柱．故选B.6．圆柱、圆锥和圆台过轴的截面分别是__________．解析：根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征，得：圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分别为矩形、等腰三角形和等腰梯形．答案：矩形、等腰三角形和等腰梯形7．球的半径有__________条，直径有__________条．解析：根据球的概念及结构特征得：球的半径、直径都有无数条．答案：无数无数8.如图所示的是某单位公章，这个几何体是由简单几何体中的__________组成的．解析：最上部为半球体，中间为圆柱，最下部为圆台．答案：半球、圆柱、圆台9．用一个平面去截一个几何体，如果截面形状是圆，你能想象出这个几何体是什么吗？解：这个几何体可能是圆柱或圆锥或圆台或球或是由这些几何体组成的简单组合体．10．如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥？哪些不是？并指出圆柱与圆锥的结构名称．解：由圆柱定义知③是圆柱，①不是圆柱．③圆柱OO′，其轴为OO′，底面为⊙O与⊙O′，母线为A′A、B′B等．由圆锥定义知②为圆锥，④不是圆锥．②圆锥SO，其轴为SO，底面为⊙O，母线为SA、SB等．1．(2013·焦作水平测试)有下列几种说法：①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．其中正确说法的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.由圆柱的定义知①②均正确，③不一定围成圆柱．2．轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r ，则其轴截面面积为__________．解析：由圆锥的结构特征，可知轴截面为等腰直角三角形，其高为r ，∴S ＝12×2r 2＝r 2. 答案：r 23．如图，底面直径为1，高为2的圆柱，在A 点有一只蚂蚁．现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A 点爬到B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解：把圆柱的侧面沿AB 剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB ′，则AB ′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB ＝A ′B ′＝2，AA ′为底面圆的周长，且AA ′＝π×1＝π， ∴AB ′＝A ′B ′2＋AA ′2＝4＋π2.即蚂蚁爬行的最短距离为4＋π2.4．用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，过这个圆柱的轴作一个轴截面，求这个轴截面的面积．解：设圆柱母线长为l ，底面半径为r ， 则轴截面的面积S ＝l ·2r ＝2lr ，当l ＝4 cm 时，2πr ＝8 cm ，即r ＝4πcm ， 此时S ＝2lr ＝32πcm 2； 当l ＝8 cm 时，2πr ＝4 cm ，即r ＝2πcm ， 此时S ＝2lr ＝32πcm 2， 综上可知，所得圆柱的轴截面积为32πcm 2.。
高中数学必修2(人教A版)第一章几何空间体1.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、学习任务认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．二、知识清单典型空间几何体空间几何体的结构特征 组合体展开图 截面分析三、知识讲解1.典型空间几何体空间几何体的概念只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2.空间几何体的结构特征多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体．其中，四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体．旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______．解：棱锥；棱台．⋯⋯余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱或棱柱 ．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥 或者棱锥 ．棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．⋯⋯⋯⋯ABCDEF−A′B′C′D′E′F′DA′⋯⋯⋯⋯S−ABCD S−AC棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）．圆台的结构特征例题：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱台与圆台统称为台体．球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字母 表示．O下列命题中，正确的是（ ）A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形解：D如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱，令四边形 是梯形，可知 ，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．ABCD−A1B1C1D1ABCD面AB∥面DCB1A1C1D1若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥解：D如下图，正六边形 中，，那么正六棱锥中，，即侧棱长大于底面边长．ABCDEF OA=OB=⋯=AB S−ABCDEF SA>OA=AB描述：3.组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．如图所示的几何体中，是台体的是（ ）A．①② B．①③ C．③ D．②③解：C利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧棱的延长线能交于一点且截面与底面平行．有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．其中错误的有（ ）A．个 B． 个 C． 个 D． 个解：D圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交于一点，③错；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面，故④错误．1234例题：描述：4.展开图空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．描述图中几何体的结构特征．解：图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）解：D）不在同一平面内的有______对．3内．解：C描述：例题：5.截面分析截面用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面．平行截面、中截面与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面．轴截面包含立体图形的轴线的截面称为轴截面．球截面球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截面称为球的小圆．球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有 ，其中 为球的半径， 为截面圆的半径， 为球心到截面的距离．+=r 2d 2R 2R r d 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱解：B如图所示，是一个三棱台 ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：如图，过 ，， 三点作一个平面，再过 ，， 作一个平面，就把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 ，，．ABC −A ′B ′C ′A ′B C A ′B C ′ABC −A ′B ′C ′−ABC A ′−B B ′A ′C ′−BC A ′C ′如图，正方体 中，，， 分别是 ，， 的中点，那么正方体中过点 ，， 的截面形状是（ ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P QR作截面图如图所示，可知是六边形．ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则 解：四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是 ．A ．B ．C ．D ．C ()=2,AB =3,=3,BC =4A 1B 1B 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =3A 1B 1B 1C 1A 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =4A 1B 1B 1C 1A 1C 1AB =,BC =,CA =A 1B 1B 1C 1C 1A 1答案：2. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标" "的面的方位是 ．A ．南B ．北C ．西D ．下B △()3. 向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是．A ．H V h ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
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第一章空间几何体
一、选择题
1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．
主视图左视图俯视图
(第1题)
A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()．A．2＋ B． C． D．
3．棱长都是的三棱锥的表面积为()．
A． B．2 C．3 D．4
4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()．
A．25π B．50π C．125π D．都不对
5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )．
A．∶1 B．∶2 C．2∶ D．∶3
6．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是()．
A．π B．π C．π D．π
7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()．
A．130 B．140 C．150 D．160
8．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，且EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()．
(第8题)
A． B．5 C．6 D．
9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是()．
A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是()．
(第10题)
二、填空题
11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．
12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是
_____________．
13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．
(第14题)
15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．
三、解答题
17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm，求它的深度．
18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]
19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
(第19题)
20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？
第一章空间几何体
参考答案
A组
一、选择题
1．A
解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．
2．A
解析：原图形为一直角梯形，其面积S＝(1＋＋1)×2＝2＋．
3．A
解析：因为四个面是全等的正三角形，则S表面＝4×＝．
4．B
解析：长方体的对角线是球的直径，
l＝＝5，2R＝5，R＝，S＝4πR2＝50π．
5．C
解析：正方体的对角线是外接球的直径．
6．D
解析：V＝V大－V小＝πr2(1＋1.5－1)＝π．
7．D
解析：设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，而＝152－52，＝92－52，
而＋＝4a2，即152－52＋92－52＝4a2，a＝8，S侧面＝4×8×5＝160．8．D
解析：过点E，F作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，
V＝2×××3×2＋×3×2×＝．
9．B
解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于z 轴的线段的平行性和长度都不变．
10．D
解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D.
二、填空题
11．参考答案：5，4，3．
解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．
12．参考答案：1∶2∶3．
r1∶r2∶r3＝1∶∶，∶∶＝13∶()3∶()3＝1∶2∶3．
13．参考答案：．
解析：画出正方体，平面AB1D1与对角线A1C的交点是对角线的三等分点，
三棱锥O－AB1D1的高h＝a，V＝Sh＝××2a2×a＝a3．
另法：三棱锥O－AB1D1也可以看成三棱锥A－OB1D1，它的高
为AO，等腰三角形OB1D1为底面．
14．参考答案：平行四边形或线段．
15．参考答案：，．
解析：设ab＝，bc＝，ac＝，则V = abc＝，c＝，a＝，b＝1，
l＝＝．
16．参考答案：12．
解析：V＝Sh＝πr2h＝πR3，R＝＝12．
三、解答题
17．参考答案：
V＝(S＋＋S)h，h＝＝＝75．
18．参考答案：
如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R，正方体的棱长为a，则CC'＝a，OC＝a，OC'＝R．
C'
A'
C
O
A
(第18题)
在Rt△C'CO中，由勾股定理，得CC' 2＋OC2＝OC' 2，
即a2＋(a)2＝R2．
∴R＝a，∴V半球＝πa，V正方体＝a．
∴V半球∶V正方体＝π∶2．
19．参考答案：
S表面＝S下底面＋S台侧面＋S锥侧面
＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2
＝(60＋4)π．
V＝V台－V锥
＝π(＋r1r2＋)h－πr2h1
＝π．
20．
解：(1)参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积
V1＝Sh＝×π×()2×4＝π(m3)．
如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积
V2＝Sh＝×π×()2×8＝π(m3)．
(2)参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m．
棱锥的母线长为l＝＝4，
仓库的表面积S1＝π×8×4＝32π(m2)．
如果按方案二，仓库的高变成8 m．
棱锥的母线长为l＝＝10，
仓库的表面积S2＝π×6×10＝60π(m2)．
(3)参考答案：∵V2＞V1，S2＜S1，∴方案二比方案一更加经济些．。