北师大版初三数学反比例函数教案

戴氏教育高考名校冲刺教育中心 数学思维训练反比例函数考点热点全攻略
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1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。

x k y =
还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征：
⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.
⑵比例系数0≠k
⑶自变量x 的取值为一切非零实数。

⑷函数y 的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法
① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线）
⑵反比例函数的图像是双曲线，x
k
y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函
数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。

⑷反比例函数x
k
y =
（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：反比例函数上任取一点P ，作P Q ⊥x 轴于点Q ，PM ⊥y 轴于点M ，则
①k y x S =⋅＝四边形OQPM ② k y x S 2
121OQP =⋅∆＝
4．反比例函数性质如下表：
函数 图象 性质
反比例函数 y ＝k
x
（0k ≠）
k>0
双曲线，位于第一、三象限象限；在每个象限
内，y 值随x 的增大而减小，与x 轴，y 轴无交点 k<0
双曲线，位于第二，四象限，在每个象限内，y 值随x 的增大而增大，与x 轴，y 轴无交点
5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,
但是反比例函数x
k
y =中的两个变量必成反比例关系。

利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题 设P 为双曲线
上任意一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，垂足
分别为M 、N ，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON 的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|
∴xy=k 故S=|k| 从而得
结论1：过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积S 为定值|k|
对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：
结论2：在直角三角形ABO 中，面积S=
结论3：在直角三角形ACB 中，面积为S=2|k| 结论4：在三角形AMB 中，面积为S=|k|
二.典型例题讲解及思维拓展
例1. 下列各题中，哪些是反比例函数关系。

（1）三角形的面积S一定时，它的底a与这个底边上的高h的关系；
（2）多边形的内角和与边数的关系；
（3）正三角形的面积与边长之间的关系；
（4）直角三角形中两锐角间的关系；
（5）正多边形每一个中心角的度数与正多边形的边数的关系；
（6）有一个角为30 的直角三角形的斜边与一直角边的关系。

例2. 在同一坐标系中，画出y
x
=
8
和
y x
=2的图象，并求出交点坐标。

例3. 当n取什么值时，y n n x n n
=++-
()
21
22是反比例函数？它的图象在第几象限内？在
每个象限内，y随x增大而增大或是减小？
例4. 若点（3，4）是反比例函数y m m x =
+-221图象上一点，则此函数图象必经过点
（ ）
A. （2，6）
B. （2，－6）
C. （4，－3）
D. （3，－4）
例5. a 取哪些值时，y a a x a a 231
22714
2+=--是反比例函数？求函数解析式？
例6. 若函数y m m x m m =+--()23
2
是反比例函数，求其函数解析式。

例7. （1）已知y y y =+12，而y 1与x +1成反比例，y 2与x 2
成正比例，并且x =1时，
y =2；x =0时，y =2，求y 与x 的函数关系式；
（2）直线l ：y kx b =+与y x =2平行且过点（3，4），求l 的解析式。

例8. 一定质量的二氧化碳，当它的体积V m =53时，它的密度ρ=198
3
./kg m （1）求ρ与V 的函数关系式； （2）求当V m =93
时二氧化碳的密度ρ。

例9. 在以坐标轴为渐近线的双曲线上，有一点P （m ，n ），它的坐标是方程t t 2
420--=的两个根，求双曲线的函数解析式。

例10. 如图，Rt ABC ∆的锐角顶点是直线y x m =+与双曲线y m
x =
在第一象限的交点，
且S AOB ∆=3
（1）求m 的值 （2）求S ABC ∆的值
模拟试题一. 选择题
1. 函数y m x m m
=+--
()2229是反比例函数，则m的值是（）
A. m=4或m=-2
B. m=4
C. m=-2
D. m=-1
2. 下列函数中，是反比例函数的是（）
A. y
x
=-
2 B.
y
x
=-
1
2 C.
y
x
=-
1
1
D.
y
x
=
1
2
3. 函数
y kx
=-与
y
k
x
=
（k≠0）的图象的交点个数是（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不确定
4. 函数
y kx b
=+与
y
k
x
kb
=≠
()0
的图象可能是（）
A B C D
5. 若y与x成正比，y与z的倒数成反比，则z是x的（）
A. 正比例函数
B. 反比例函数
C. 二次函数
D. z随x增大而增大
6. 下列函数中y既不是x的正比例函数，也不是反比例函数的是（）
A.
y
x
=-
1
9 B. 105
=-x y
: C. y x
=4
1
2
D.
1
5
2
xy=-
二. 填空题
7. 一般地，函数__________是反比例函数，其图象是_________，当k<0时，图象两支在__________象限内。

8. 已知反比例函数
y
x
=
2
，当
y=6时，x=_________
9. 反比例函数
y a x a a
=---
()3224的函数值为4时，自变量x的值是_________
10. 反比例函数的图象过点（－3，5），则它的解析式为_________
11. 若函数
y x
=4与
y
x
=
1
的图象有一个交点是（
1
2，2），则另一个交点坐标是_________
三. 解答题
12. 直线
y kx b
=+过x轴上的点A（
3
2，0），且与双曲线
y
k
x
=
相交于B、C两点，已知B点坐标为（
-
1
2，4），求直线和双曲线的解析式。

13. 已知一次函数y x
=+2与反比例函数
y
k
x
=
的图象的一个交点为P（a，b），且P到原
点的距离是10，求a、b的值及反比例函数的解析式。

14. 已知函数y m m x m m
=+-
+-
()
21
22
2
是一次函数，它的图象与反比例函数
y
k
x
=
的图象
交于一点，交点的横坐标是1
3，求反比例函数的解析式。