分段函数与绝对值函数练习
高中函数复习之绝对值函数与分段函数
高中函数复习之绝对值函数与分段函数(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--绝对值函数与分段函数一．与绝对值函数有关的基本知识1．V型函数||xy=2．与绝对值有关的函数变换|)(|)(xfyxfy=−−−−→−=除左右对称到左|)(|)(xfyxfy=−−−−→−=上不变下翻上二．分段函数（绝对值函数除绝对值）⎩⎨⎧<-≥==,,||xxxxxy分段函数分段处理三．典例分析例1．“2a=”是“函数()f x x a=-在区间[2,)+∞上为增函数”的条件（填充分，必要，充要）.分析：||||axyxy-=−−−→−=左右平移22[||≤∞+-=a），axy上为增则在故填充分非必要例2已知函数()22xf x=-）分析：|22|222-=−−−→−-=−−→−=xxx yyy绝对值变换平移故选B例3．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,（,a b 为整数），值域是[]1,0，则满足条件的整数数对),(b a 共有_________个. .分析：12||4124244-+=−−−→−-+=−−→−+=−−→−=x y x y x y x y 绝对值变换平移平移满足要求由题意和图像知经绝对值变换后知道求得令求得令)2,0(),2,12212)0,2(02),0,20)100124-----==-+=），（，），（，，（：），C （B （y ，，A （x x y例4．已知2)(--=a x x x f（1）若a>0,求)(x f 的单调区间;（2）若当[]1,0∈x 时，恒有0)(<x f ，求实数a 的取值范围.分析：绝对值函数转分段函数⎪⎨⎧≥--=a x ax x x f ,2)(22),(),,(),,(202,22)2()2()12222a a ：，，，a x ，x a 。
，，y ax x ax x a a 减区间为增由图知单调区间为故可画出函数图像两支函数值都为时当轴正半轴对称轴在时当且两抛物线对称轴相同对称故两段上图像关于+∞-∞-=>-=-=-+-+--102102,0)1(,0)0(]1,0[0)(,2:,2)2422->∴⎩⎨⎧<--<-<<∈<---+-=a a ：f f ，x x f ，，ax x y a既得只需要第一支函数中上恒成立在因此要使况下都小于零故第二支函数在任意情恒小于零顶点最大值为练习：1已知cos 0()(1)10x x f x f x x π->⎧⎪=⎨++≤⎪⎩，则)34()34(-+f f 的值等于 A ．2- B ．1 C ．22若函数1(),10()44,01x x x f x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，则4(log 3)f =（ ）A ．13B ．43C ．3D ．4 3函数21,(0)()(1),(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程a x x f +=)(恰有两个不等的实根，则a 的取值范围为A ．(]0,∞-B ．[)1,0C ．)1,(-∞D ．[)+∞,04设函数2,0()2,0x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，若(4)(0),(2)2f f f -=-=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为A. 4 C15.已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意0)()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有 成立，则a 的取值范围是6知函数()21,x f x a b c =-<<，且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，必成立的是A ．0,0,0a b c <<<B ．0,0,0a b c <≥>C ．22a c -<D ．222a c +<7设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数取函数()2x f x -=。
分段函数与绝对值函数练习
分段函数与绝对值函数练习一、双基题目练练手1.设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+,114,1)1(2x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( ) A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］C.（－∞，－2］∪［1，10］D.［－2，0］∪［1，10］2．(2006安徽)函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是 （ ）A．,020xx y x ⎧≥⎪=< B．2,00x x y x ≥⎧⎪=< C．,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩ D．2,0x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩3．(2007启东质检)已知21[1,0)()1[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，，，则下列函数图象错误．．的是()4.（2006全国Ⅱ）函数191()n f x x n ==-∑的最小值为 ( )（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）455.（2005北京市西城模拟）已知函数f （x ）=⎩⎨⎧<-≥-),2(2),2(2x x x 则f （lg30－lg3）=___________；不等式xf （x －1）＜10的解集是_______________.6. （2006浙江）对R b a ∈,,记则{}⎩⎨⎧≥=b a b ba ab a ＜,,,max 则函数(){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的最小值是 .7.已知函数132(0)()(01)log (1)x x f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩,当a <0时,f {f [f (a )]}=8.函数221(0)()(0)x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的值域 。
简答:1-4.ACDC;4.x=10时,取最小值90.f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-19|=|x-1|+…+|x-10|+|11-x|+…+|19-x|≥|x-1+x-2+…x-9+11-x+…19-x|+|x-10|≥|90|+0=90, 当x=10时取等号.一般地:…5. f （lg30－lg3）=f （lg10）=f （1）=－2， f （x －1）=⎩⎨⎧<-≥-.32,33x x x 当x ≥3时，x （x －3）＜10⇔－2＜x ＜5，故3≤x ＜5.当x ＜3时，－2x ＜10⇔x ＞－5，故－5＜x ＜3.解集 {x |－5＜x ＜5}6. 由()()21212122≥⇒-≥+⇒-≥+x x x x x ， ()112122x x f x x x ⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩如右图()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 7.12-;8. 当x ≥0时，x 2+1≥1；当x<0时，－x 2<0原函数值域是[1,+∞]∪(－∞,0)。
分段函数练习题
分段函数练习题一、选择题1. 若分段函数f(x)定义如下：f(x) = { x^2, 当x > 1;x, 当x ≤ 1;则f(2)的值为：A) 2B) 4C) 1D) 02. 函数g(x) = { 2x+1, 当x < 0;x^2-1, 当x ≥ 0;若g(-1) = 1，则g(1)的值为：A) 0B) 1C) 2D) 33. 已知分段函数h(x) = { 3x+2, 当x < 2; x^2, 当x ≥ 2;求h(-1)+h(3)的值为：A) 6B) 7C) 8D) 94. 若分段函数p(x)定义为：p(x) = { x+1, 当x < 3;x^2, 当x ≥ 3;则p(4) - p(2)的值为______。
5. 函数q(x) = { √x, 当x ≥ 0;-x, 当x < 0;当q(x) = 4时，x的值为______。
三、解答题6. 已知分段函数r(x) = { x-1, 当x < 0;1-x, 当0 ≤ x < 1;x+1, 当x ≥ 1;求r(-2)、r(0)和r(2)的值，并计算r(-2)+r(0)+r(2)的和。
7. 函数s(x) = { 2x, 当x < 1;x+3, 当1 ≤ x < 2;3x-1, 当x ≥ 2;若s(x) = 5，求x的值，并计算在x的取值范围内s(x)的最大值和最小值。
四、证明题8. 证明：若分段函数t(x)定义为：t(x) = { x^2-1, 当x < 0;x^2+1, 当x ≥ 0;则对于任意实数x，t(x) ≥ 0。
9. 某公司根据员工的工龄x（以年为单位）发放奖金，规则如下：奖金函数f(x) = { 1000, 当x < 1;2000+500x, 当1 ≤ x < 5;3000+300x, 当x ≥ 5;若某员工工龄为3年，求其应得的奖金总额。
10. 某商店根据顾客购买的商品数量n（以件为单位）提供折扣，规则如下：折扣函数d(n) = { 0, 当n < 10;0.1n, 当10 ≤ n < 20;0.2n, 当n ≥ 20;若顾客购买了15件商品，求其应享受的折扣金额。
微专题19 与分段函数、绝对值函数有关的最值(范围)问题
微专题19 与分段函数、绝对值函数有关的最值(范围)问题真 题 感 悟(2019·江苏卷)设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数.当x ∈(0，2]时，f (x )＝1－（x －1）2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k （x ＋2），0<x ≤1，－12，1<x ≤2，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程f (x )＝g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________.解析 当x ∈(0，2]时，y ＝f (x )＝1－（x －1）2，即(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，故f (x )的图象是以(1，0)为圆心，1为半径的半圆.结合f (x )是周期为4的奇函数，可作出f (x )在(0，9]上的图象如图所示.∵当x ∈(1，2]时，g (x )＝－12，又g (x )的周期为2，∴当x ∈(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，g (x )＝－12.由图可知，当x ∈(1，2]∪(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，f (x )与g (x )的图象有2个交点.故当x ∈(0，1]∪(2，3]∪(4，5]∪(6，7]∪(8，9]时，f (x )与g (x )的图象有6个交点.又当x ∈(0，1]时，y ＝g (x )＝k (x ＋2)(k >0)恒过定点A (－2，0)，由图可知，当x ∈(2，3]∪(6，7]时，f (x )与g (x )的图象无交点，∴当x ∈(0，1]∪(4，5]∪(8，9]时，f (x )与g (x )的图象有6个交点.由f (x )与g (x )的周期性可知，当x ∈(0，1]时，f (x )与g (x )的图象有2个交点. 当y ＝k (x ＋2)与圆弧(x －1)2＋y 2＝1(0<x ≤1)相切时，d ＝|3k |k 2＋1＝1⇒k 2＝18(k >0)⇒k ＝24. 当y ＝k (x ＋2)过点A (－2，0)与B (1，1)时，k ＝13.∴13≤k <24.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，24 考 点 整 合1.分段函数主要考查由基本初等函数所构成的分段函数的图象与性质，主要题型有以下几种：(1)解有关分段函数的不等式，只要找准分类的标准，转化为不等式组即可求解；(2)求分段函数在给定区间上的值域或根据值域求参数的范围，要根据函数的图象，对极值点或最值点与区间的位置关系分类讨论；(3)求分段函数的单调区间、最值，要通过基本函数法、图象法、导数法判断相应区间的单调性，特别注意不等式解集端点和区间端点的大小的比较，以及函数的定义域.2.含绝对值函数主要考查由基本初等函数构成的绝对值函数的单调性、极值、最值等问题.题型有以下几种：(1)探究绝对值函数的单调性、极值、最值；(2)已知绝对值函数在给定区间上的最值或单调性，求参数的范围；以上题型的处理有两种常见的方法：①转化为分段函数来讨论；②考虑绝对值内函数的图象与性质，然后根据函数的图象关系来处理.热点一 分段函数、含绝对值函数与不等式结合的范围问题【例1】 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝|x －a |－a (a ∈R ).若∀x ∈R ，f (x ＋2 016)＞f (x )，则实数a 的取值范围是________.解析 当a ＝0时，f (x )＝x ，x ∈R ，满足条件；当a ＜0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x ＞0，0，x ＝0，x ＋2a ，x ＜0为R 上的单调递增函数，也满足条件；当a ＞0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x ＞a ，－x ，－a ≤x ≤a ，x ＋2a ，x ＜－a ，要满足条件，需4a ＜2 016，即0＜a ＜504，综上，实数a 的取值范围是a ＜504.答案 (－∞，504)探究提高 (1)可以根据函数的奇偶性，将所给函数转化为分段函数的形式.(2)利用函数的单调性解决不等式问题的关键是化成f (x 1)＜f (x 2)的形式.【训练1】 (2019·天津卷改编)已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x >1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为________.解析 当x ≤1时，由f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，而二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝1>0恒成立，当a <1时，f (x )min ＝f (a )＝2a －a 2≥0，∴0≤a <1.综上，a ≥0.当x >1时，由f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立，即a ≤x ln x 恒成立.设g (x )＝x ln x (x >1)，则g ′(x )＝ln x －1（ln x ）2.令g ′(x )＝0，得x ＝e ，且当1<x <e 时，g ′(x )<0，当x >e 时，g ′(x )>0，∴g (x )min ＝g (e)＝e ，∴a ≤e.综上，a 的取值范围是0≤a ≤e ，即[0，e].答案 [0，e]热点二 分段函数、含绝对值函数与零点相关的最值(范围)问题【例2】 (1)(2019·南京、盐城一模)设函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （3－x ），0≤x ≤3，－3x＋1，x ＞3，若函数y ＝f (x )－m 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是________.解析 (1)先画出x ≥0时的函数图象，再利用偶函数的对称性得到x ＜0时的图象.令y ＝f (x )，y ＝m ，由图象可得要有四个不同的零点，则m∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，94.(2)函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x ＞2，作出该函数的图象如图所示，由图可知，当74＜b ＜2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2. 答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，94 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.【训练2】 (2019·南京模拟)已知a ＞0，若函数f (x )＝⎩⎨⎧2e 2ln x ，x ＞0，|x 3＋x |，x ≤0且g (x )＝f (x )－ax 2有且只有5个零点，则a 的取值范围是________.解析 由题意可知，x ＝0是g (x )的1个零点，当x ≠0时，由f (x )＝ax 2可得a ＝⎩⎪⎨⎪⎧2e 2ln x x 2，x ＞0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ，x ＜0， 令h (x )＝2e 2ln x x 2(x ＞0)，则h ′(x )＝2e 2（1－2ln x ）x 3. 当0＜x ＜e 时，h ′(x )＞0，当x ＞e 时，h ′(x )＜0，∴h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴h (x )≤h (e)＝e ，且当x →＋∞时，h (x )→0，当x →0时，h (x )＜0.在同一平面直角坐标系中作出h (x )和y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x 的图象， 由图可知，g (x )＝f (x )－ax 2有且只有5个零点需满足2＜a ＜e ，则a 的取值范围是(2，e).答案 (2，e)热点三 分段函数、含绝对值函数图象与性质的综合应用【例3】 (2019·连云港二模)已知函数f (x )＝e x －ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R .(1)若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x .①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；②若函数F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x ≤m ，g （x ），x ＞m的值域为R ，求实数m 的取值范围. (2)若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e.(1)解 若a ＝e ，则f (x )＝e x －e x －1.又g (x )＝(2－e)x .①h (x )＝e x －2x －1(x ∈R )，求导得h ′(x )＝e x －2.令h ′(x )＜0，得x ＜ln 2；令h ′(x )＞0，得x ＞ln 2，所以h (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2]，单调递增区间是[ln 2，＋∞).②首先，一次函数g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m ). 因为f ′(x )＝e x －e ，易得f (x )在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且当x →－∞时，f (x )→＋∞，所以在(－∞，m ]上，f (x )min ＝⎩⎨⎧f （m ）＝e m －e m －1，m ＜1，f （1）＝－1，m ≥1，其值域为[f (x )min ，＋∞). 因为F (x )的值域为R ，所以f (x )min ≤(2－e)m ，即⎩⎨⎧m ＜1，e m －e m －1≤（2－e ）m 或⎩⎨⎧m ≥1，－1≤（2－e ）m ，即⎩⎨⎧m ＜1，e m －2m －1≤0或1≤m ≤1e －2. 由①知，h (m )＝e m －2m －1在(－∞，ln 2]上单调递减，在[ln 2，1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0，所以h (m )≤0的解集为[0，1).综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1e －2. (2)证明 由f (x )＝e x －ax －1，得f ′(x )＝e x －a .当a ≤0时，f (x )在[0，2]上单调递增，不合题意；当a ＞0时，若ln a ≤0或ln a ≥2，则f (x )在[0，2]上单调，也不合题意； 当0＜ln a ＜2时，f (x )在[0，ln a ]上单调递减，在[ln a ，2]上单调递增. 由x 1，x 2∈[0，2]，f (x 1)＝f (x 2)，不妨设0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2.又因为|x 1－x 2|≥1，所以x 1∈[0，1]，且x 2∈[1，2]，从而x 1≤1≤x 2.所以f (1)≤f (x 1)≤f (0)，且f (1)≤f (x 2)≤f (2).由⎩⎨⎧f （1）≤f （0），f （1）≤f （2）得⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －1，解得e －1≤a ≤e 2－e ，得证.探究提高 (1)分段函数实质还是一个函数，它的定义域、值域分别为各段的并集.(2)求函数f (x )＝e x －e x －1在动区间上的最值，要按极值点与区间的位置关系来讨论.(3)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1，e m －2m －1≤0时，常规思路无法处理时，要能通过函数的单调性和图象来处理.(4)第(2)问的处理，需要研究函数f (x )＝e x －ax －1的图象和性质，要通过函数图象来分析，体现数形结合的思想方法.【训练3】 已知a 为正常数，函数f (x )＝|ax －x 2|＋ln x .(1)若a ＝2，求函数f (x )的单调递增区间；(2)设g (x )＝f （x ）x ，求函数g (x )在区间[1，e]上的最小值.解 (1)由a ＝2得f (x )＝|2x －x 2|＋ln x (x ＞0)，当0＜x ＜2时，f (x )＝2x －x 2＋ln x ，f ′(x )＝2－2x ＋1x ＝－2x 2＋2x ＋1x . 由f ′(x )＝0得－2x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝1＋32或x ＝1－32(舍去). 当0＜x ＜1＋32时，f ′(x )＞0； 当1＋32＜x ＜2时，f ′(x )＜0.所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32； 当x ＞2时，f (x )＝x 2－2x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －2＋1x ＝2x 2－2x ＋1x＞0. 所以f (x )在(2，＋∞)上为增函数.所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32，(2，＋∞). (2)g (x )＝f （x ）x ＝|x －a |＋ln x x ，x ∈[1，e].①若a ≤1，则g (x )＝x －a ＋ln x x .故g ′(x )＝1＋1－ln x x 2＝x 2＋1－ln x x 2. 因为x ∈[1，e]，所以0≤ln x ≤1，所以1－ln x ≥0，x 2＋1－ln x ＞0，所以g ′(x )＞0.所以g (x )在[1，e]上为增函数，所以g (x )的最小值为g (1)＝1－a ；②若a ≥e ，则g (x )＝a －x ＋ln x x ，则g ′(x )＝－1＋1－ln x x 2＝－x 2＋1－ln x x 2. 令h (x )＝－x 2＋1－ln x ，则h ′(x )＝－2x －1x ＜0.所以h (x )在[1，e]上为减函数，则h (x )≤h (1)＝0.所以g ′(x )≤0，所以g (x )在[1，e]上为减函数，所以g (x )的最小值为g (e)＝a －e ＋1e . ③当1＜a ＜e时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＋ln x x ，x ∈（a ，e]，a －x ＋ln x x ，x ∈[1，a ]，由①②知g (x )在[1，a ]上为减函数，在[a ，e]上为增函数，所以g (x )的最小值为g (a )＝ln a a .综上，g (x )的最小值为g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－a ，a ≤1，ln a a ，1＜a ＜e ，a －e ＋1e ，a ≥e.【新题感悟】 (2019·南京、盐城高三二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x ＋3|，x ≤0，x 3－12x ＋3，x ＞0，设g (x )＝kx ＋1，且函数y ＝f (x )－g (x )的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围为________.解析 当x ≤0时，f (x )－g (x )＝|x ＋3|－kx －1，须使f (x )－g (x )的图象过第三象限，所以f (－3)－g (－3)＜0，解之得k ＜13.当x ＞0时，f (x )－g (x )＝x 3－(12＋k )x ＋2，因为f ′(x )－g ′(x )＝3x 2－12－k ，所以须使f (x )－g (x )的图象过第四象限，必须⎩⎪⎨⎪⎧12＋k ＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 3－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 3＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋k ＞0，12＋k 312＋k 3＞1，∴k ＞－9.综上得－9＜k ＜13. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9，13一、填空题1.(2019·苏北四市调研)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为________. 解析 当x ≤0时，y ＝2x ∈(0，1]；当x ＞0时，y ＝－x 2＋1∈(－∞，1).综上， 该函数的值域为(－∞，1].答案 (－∞，1]2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧9，x ≥3，－x 2＋6x ，x ＜3，则不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集是________.解析 因为当x ＜3时，f (x )单调递增，且f (x )＜9，因此不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)等价于x 2－2x ＜3x －4且x 2－2x ＜3，解得1＜x ＜4且－1＜x ＜3，即所求不等式的解集为(1，3).答案 (1，3)3.(2019·南京、盐城调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0.若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围是________.解析 函数y ＝|f (x )|的图象如图.y ＝ax 为过原点的一条直线，当a ＞0时，与y ＝|f (x )|的图象在y 轴右侧总有交点，不合题意；当a ＝0时成立；当a ＜0时，找与y ＝|－x 2＋2x |(x ≤0)即y ＝x 2－2x 的图象相切的情况，设切点为(x 0，y 0)，由y ′＝2x －2，知切线方程为y ＝(2x 0－2)(x －x 0)，由分析可知x 0＝0，所以a ＝－2，综上，a ∈[－2，0].答案 [－2，0]4.(2019·天津卷改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，1x，x >1.若关于x 的方程f (x )＝－14x ＋a (a ∈R )恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为________.解析 如图，分别画出两函数y ＝f (x )和y ＝－14x ＋a 的图象. (1)先研究当0≤x ≤1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝2x 的图象只有一个交点的情况.当直线y ＝－14x ＋a 过点B (1，2)时， 2＝－14＋a ，解得a ＝94. 所以0≤a ≤94.(2)再研究当x >1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝1x 的图象只有一个交点的情况： ①相切时，由y ′＝－1x 2＝－14，得x ＝2，此时切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则a ＝1.②相交时，由图象可知直线y ＝－14x ＋a 从过点A 向右上方移动时与y ＝1x 的图象只有一个交点.过点A (1，1)时，1＝－14＋a ，解得a ＝54.所以a ≥54. 结合图象可得，所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94∪{1}.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94∪{1}5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________. 解析 g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，要使函数g (x )恰有三个不同的零点，只需g (x )＝0恰有三个不同的实数根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，－x ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x 2＋3x ＋2＝0，所以g (x )＝0的三个不同的实数根为x ＝2(x ＞a )，x ＝－1(x ≤a )，x ＝－2(x ≤a ). 再借助数轴，可得－1≤a ＜2， 所以实数a 的取值范围是[－1，2). 答案 [－1，2)6.(2018·苏州自主学习)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x ，若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f 2(x )恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 法一(利用解析式) 由当x ≥0时，定义在R 上的偶函数f (x )＝2x ，易得f (x )＝2|x |，x ∈R .由f (x ＋a )≥f 2(x )得，2|x ＋a |≥(2|x |)2，即|x ＋a |≥|2x |对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，即(3x ＋a )(x －a )≤0对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧（3a ＋a ）（a －a ）≤0，[3（a ＋2）＋a ]（a ＋2－a ）≤0，解得a ≤－32. 法二(偶函数的性质) 由当x ≥0时，定义在R 上的偶函数f (x )＝2x ，易得f (x )＝2|x |，x ∈R ，易证f 2(x )＝f (2x )，x ∈R ，故由f (x ＋a )≥f 2(x )得，|x ＋a |≥|2x |对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，下同法一. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－327.(2019·浙江卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝ax 3－x .若存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤23，则实数a 的最大值是________. 解析 由题意，得f (t ＋2)－f (t ) ＝a (t ＋2)3－(t ＋2)－(at 3－t ) ＝a [(t ＋2)3－t 3]－2＝a (t ＋2－t )[(t ＋2)2＋(t ＋2)t ＋t 2]－2 ＝2a (3t 2＋6t ＋4)－2＝2a [3(t ＋1)2＋1]－2. 由|f (t ＋2)－f (t )|≤23， 得|2a [3(t ＋1)2＋1]－2|≤23， 即－23≤2a [3(t ＋1)2＋1]－2≤23， 23≤a [3(t ＋1)2＋1]≤43，∴23·13（t ＋1）2＋1≤a ≤43·13（t ＋1）2＋1. 设g (t )＝43·13（t ＋1）2＋1，则当t ＝－1时，g (t )max ＝43.∴当t ＝－1时，a 取得最大值43.满足题意. 答案 438.(2014·江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________.解析 作出函数y ＝f (x )在[－3，4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0＜a ＜12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12二、解答题9.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －a ，x ＜1，π（x －3a ）（x －2a ），x ≥1，若f (x )恰有2个零点，求实数a的取值范围.解 当x ＜1时，函数h (x )＝3x －a 有一个零点， 则a ＝3x ，由0＜3x ＜3，得0＜a ＜3；而此时函数g (x )＝π(x －2a )(x －3a )只有一个零点， 所以⎩⎨⎧3a ≥1，2a ＜1，解得13≤a ＜12；当x ＜1时，函数h (x )＝3x －a 没有零点， 则函数g (x )＝π(x －2a )(x －3a )必有两个零点， 则h (1)＝3－a ≤0，即a ≥3时，函数g (x )＝π(x －2a )(x －3a )有两个零点2a ，3a 符合题设，故a ≥3. 综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪[3，＋∞).10.已知关于x 的方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋2－kx －2＝0有三个不相等的实数根，求实数k 的取值范围.解 由题可知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋2＝kx ＋2，分别作出函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋2及y ＝kx ＋2的图象如图所示，若关于x 的方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋2－kx －2＝0有三个不相等的实数根，则两函数图象有三个公共点.又直线y ＝kx ＋2恒过点(0，2)，可知当k ＜0，显然成立.当k ＞0且与曲线y ＝1－1x ＋2在(－∞，－2)上有两个交点时满足题意，此时1－1x ＋2＝kx ＋2， 即kx 2＋(2k ＋1)x ＋3＝0在(－∞，－2)上有两个不等实根，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2－8k ＋1＞0，－2k ＋12k ＜－2，k ·（－2）2＋（2k ＋1）·（－2）＋3＞0，解得－12＜k ＜1－32，所以0＜k ＜1－32.综上，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－32∪(－∞，0).11.(2019·北京卷)已知函数f (x )＝14x 3－x 2＋x . (1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2，4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ；(3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2，4]上的最大值为M (a ).当M (a )最小时，求a 的值.(1)解 由f (x )＝14x 3－x 2＋x 得f ′(x )＝34x 2－2x ＋1.令f ′(x )＝1，即34x 2－2x ＋1＝1，得x ＝0或x ＝83. 又f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫83＝827，所以曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程是y ＝x 与y －827＝x －83， 即y ＝x 与y ＝x －6427.(2)证明 令g (x )＝f (x )－x ，x ∈[－2，4]. 则g (x )＝14x 3－x 2，g ′(x )＝34x 2－2x ，x ∈[－2，4]. 令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝83.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下：故－6≤g(x)≤0，即x－6≤f(x)≤x.(3)解由(2)知，当a<－3时，M(a)＝F(0)＝|g(0)－a|＝－a>3；当a>－3时，M(a)＝F(－2)＝|g(－2)－a|＝6＋a>3；当a＝－3时，M(a)＝3；综上，当M(a)最小时，a＝－3.。
高中函数复习之绝对值函数与分段函数.doc
专题四：绝对值函数与分段函数一.与绝对值函数有关的基本知识1. V型函数2.与绝对值有关的函数变换除左右对称到左y = f(x) >y=\f(x)\二.分段函数(绝对值函数除绝对值)x, x > 0y=\^\=\ n［一x, x v 0分段函数分段处理三.典例分析例1・“。
=2”是“函数f(x) = \x-a\在区间［2,+呵上为增函数”的_________ (填充分，必要，充要). 分析： AEl 亠斗v=lzl \\//—d| 在［2,+oo丿上为增则6/ <2 --------------- '/ 7 ------------------ ►故填充分非必要y 二2” 平移> y 二2—2 绝曲变换〉y=| 2X-2|故选B例3.已知函数/(%) = —— -1的定义域是［a,b\ (a,b 为整数)，值域是［0,1］,则满足条件的整数数对(a,b) 1刎+2 个.•共有.分析:例4.已知/(兀) xx-a -2(1)若a>0,求/(兀)的单调区间；(2)若当xe ［0,1］时，恒有/(%) < 0 ,求实数a 的取值范围.1) v ("一处一2) + (』+血一2) = _2,故两段上图像关于2y = -2,对称，且两抛物线对称轴相同。
当。
>0时 对称轴在尢轴正半轴，当兀二。
时，两支函数值都为-2, 故可画出函数图像，由图知单调区间为.•增(YO,号)， (。
,+8),减区间为(号,a)2)y = -x 2+ ax - 2,顶点最大值为:-竽- 2,恒小于零， 故第二支函数在任意情况下都小于零，因此要使 /(%) < 0在xw ［0,1］上恒成立,只需要第一支函数中/(0) < 0, /⑴ <0,既得.•[-2<0 \d 〉一 1 \l-a-2<0练习:-COS 7TX X>0已知/(%)= A. — 2 /(x+l) + l x<0B. 1 则的值等于 J JC. 2—2,0丿由题意和图像知•(-2,0)，( -2,1/ (—2,2), ( -1,2),(0,2)满足要求(-Y -1 <x<02 若函数/(x) = 4 一 ,则/(log4 3)=( )4V, 0<x<l1 4A. -B.-C.3D.43 33函数f(x) = l2~X~K (X-0),若方程f(x) = x + a恰有两个不等的实根，则G的取值范围为[/(x-1),(兀>0)A. (—,0]B. [0,1)C. (-oo,l)D. [0,+oo)4设函数/(x) = J r+/?X + GX-°,若/(-4) = /(0),/(-2) = -2，则关于兀的方程/(x) = x的解的个数为[2,x>0 A.4 B.2 Cl D.35.已知函数/(兀)二J"(X V °)’满足对任意旺工兀2,都有/(舛)一/(兀2)<0[(a一3)x + 4a(x > 0) 兀]-x2成立，则a的取值范围是______________6知函数f(x)= 2X -1 ,a<b<c，且f(a) > f(c) > f(b),则下列结论中,必成立的是A. 6z<0,/?<0,c<0B. 6z<0,/?>0,c>0C. T a < 2rD. 2"+2"v2 7设函数= f\x）在（-g,+°°）内有定义，对于给定的正数K,定义函数/(x), /(x) < K. K, f(x) > K.取函数/（兀）=2咽。
初一数学《绝对值与零点分段法》专项练习(含答案)
零点分段法姓名：__________班级：__________考号：__________一 、填空题1.化简：212x x x -++-=二 、解答题2.化简：121x x --++.3.化简124x x --+-4.化简：2121x x x -++--5.化简12m m m +-+-的值6.阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况： ⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-零点分段法答案解析一 、填空题1.解：令10x -=，20x +=，0x =，∴零点为1x =、2x =-、0x = ∴可分四段讨论：2x <-、20x -≤<、01x ≤<、1x ≥ ①当2x <-时，则10x -<，20x +< ∴11x x -=-+，22x x +=--，x x =- ∴原式=2(1)2()222x x x x x x -+----=-+--+=2x - ②当20x -≤<时，则10x -<，20x +≥ ∴11x x -=-+，22x x +=+，x x =- ∴原式=2(1)2()222x x x x x x -+++--=-++++=4 ③当01x ≤<时，则10x -<，20x +> ∴11x x -=-+，22x x +=+，x x = ∴原式=2(1)2222x x x x x x -+++-=-+++-24x =-+ ④当1x ≥时，10x -≥，20x +> ∴11x x -=-，22x x +=+，x x = ∴原式=2(1)22222x x x x x x x -++-=-++-= 综上所述，当2x <-时，212x x x -++-=2x - 当20x -≤<时，212x x x -++-=4 当01x ≤<时，212x x x -++-=24x =-+ 当1x ≥时，212x x x -++-=2x二 、解答题2.解：令10x -=，120x --=，10x +=，∴120x --=，则3x =或1x =- ∴零点有1x =-，1x =，3x = ∴分四段进行讨论1x <-，11x -≤<，13x ≤<，3x ≥ ①当1x <-时，则10x -<，10x +<，10x --> ∴11x x -=-+，11x x +=--，11x x --=--∴原式=121x x -+---=11x x ----=11x x ----=22x -- ②当11x -≤<时，则10x -<，10x +≥，10x --≤ ∴11x x -=-+，11x x +=+，11x x --=+ ∴原式=121x x -+-++=11x x --++=11x x +++=22x + ③当13x ≤<时，10x -≥，10x +>，30x -< ∴11x x -=-，11x x +=+，33x x -=-+ ∴原式=121x x --++=31x x -++=31x x -+++=4 ④当3x ≥时，10x ->，10x +>，30x -≥ ∴11x x -=-，11x x +=+，33x x -=- ∴原式=121x x --++=31x x -++=31x x -++=22x - 综上所述，当1x <-时，121x x --++=22x -- 当11x -≤<时，121x x --++=22x + 当13x ≤<时，121x x --++=4 当3x ≥时，121x x --++=22x -3.解：令10x -=，40x -=，12x -=， ∴零点有1x =，4x =，3x =，1x =-则可以分五段来分类讨论：1x <-，11x -≤<，13x ≤<，34x ≤<，4x ≥ ①当1x <-时，10x -<，40x -<，10x --> ∴11x x -=-+，44x x -=-+，11x x --=-- ∴原式=124x x -+--+=14x x ---+=14x x ---+=23x -+ ②当11x -≤<时，10x -<，40x -<，10x --≤ ∴11x x -=-+，44x x -=-+，11x x --=+ ∴原式=124x x -+--+=14x x ---+=14x x +-+=5 ③当13x ≤<时，10x -≥，40x -<，30x -< ∴11x x -=-，44x x -=-+，33x x -=-+ ∴原式=124x x ---+=34x x --+=34x x -+-+=27x -+ ④当34x ≤<时，10x ->，40x -<，30x -≥ ∴11x x -=-，44x x -=-+，33x x -=-∴原式=124x x ---+=34x x --+=34x x --+=1 ⑤当4x ≥时，10x ->，40x -≥，30x -> ∴11x x -=-，44x x -=-，33x x -=- ∴原式=124x x --+-=34x x -+-=34x x -+-=27x - 综上所述，当1x <-时，124x x --+-=23x -+ 当11x -≤<时，124x x --+-=5 当13x ≤<时，124x x --+-=27x -+ 当34x ≤<时，124x x --+-=1 当4x ≥时，124x x --+-=27x -4.解：令210x -=，20x +=，10x -=， ∴零点有12x =，2x =-，1x =则可分四段进行讨论：2x <-，122x -≤<，112x ≤<，1x ≥①当2x <-时，210x -<，20x +<，10x -< ∴2121x x -=-+，22x x +=--，11x x -=-+ ∴原式=212(1)x x x -+----+=2121x x x -+--+-=22x -- ②当122x -≤<时，210x -<，20x +≥，10x -< ∴2121x x -=-+，22x x +=+，11x x -=-+ ∴原式=212(1)x x x -+++--+=2121x x x -++++-=2 ③当112x ≤<时，210x -≥，20x +>，10x -< ∴2121x x -=-，22x x +=+，11x x -=-+ ∴原式=212(1)x x x -++--+=2121x x x -+++-=4x ④当1x ≥时，210x ->，20x +>，10x -≥ ∴2121x x -=-，22x x +=+，11x x -=- ∴原式=212(1)x x x -++--=2121x x x -++-+=22x + 综上所述，当2x <-时，2121x x x -++--=22x -- 当122x -≤<时，2121x x x -++--=2当112x ≤<时，2121x x x -++--=4x 当1x ≥时，2121x x x -++--=22x + 5.解：令0m =，10m -=，20m -=，则零点为0m =，1m =，2m =则可分四段进行讨论：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥ ①当0m <时，10m -<，20m -< ∴m m =-，11m m -=-+，22m m -=-+ ∴原式=12m m m --+-+=33m -+ ②当01m ≤<时，10m -<，20m -< ∴m m =，11m m -=-+，22m m -=-+ ∴原式=12m m m -+-+=3m -+③当12m ≤<时，10m -≥，20m -< ∴m m =，11m m -=-，22m m -=-+ ∴原式=12m m m +--+=1m +④当2m ≥时，10m -≥，20m -≥ ∴m m =，11m m -=-，22m m -=- ∴原式=12m m m +-+-=33m -综上所述：当0m <时，12m m m +-+-=33m -+ 当01m ≤<时，12m m m +-+-=3m -+ 当12m ≤<时，12m m m +-+-=1m + 当2m ≥时，12m m m +-+-=33m -6.解：⑴令20x +=，40x -=，则2x =-，4x =⑵零点为2x =-，4x =，则可分三段进行讨论：2x <-，24x -≤<，4x ≥①当2x <-时，则20x +<，40x -< ∴2(2)2x x x +=-+=--，4(4)4x x x -=--=-+ ∴原式=24x x ---+=22x -+②当24x -≤<时，则20x +≥，40x -<∴22x x +=+，4(4)4x x x -=--=-+ ∴原式=24x x +-+=6 ③当4x ≥时，则20x +>，40x -≥ ∴22x x +=+，44x x -=- ∴原式=24x x ++-=22x - 综上所述，当2x <-时，24x x ++-=22x -+ 当24x -≤<时，24x x ++-=6 当4x ≥时，24x x ++-=22x -。
高数求解析式的题目
高数求解析式的题目
一、函数表示与转换
1.已知f(x)=3x+5，求f(f(x))的解析式。
2.已知g(x)=x^2，求g(g(x))的解析式。
二、参数方程与极坐标
1.已知参数方程x=t^2+1，y=2t，求y关于x的解析式。
2.已知极坐标方程r=2cosθ，求直角坐标方程。
三、三角函数与反三角函数
1.已知sinθ=2/3，求cos(π/3+θ)的值。
2.已知tanθ=-3，求arctan(-2)的值。
四、分段函数与绝对值函数
1.已知f(x)={x^2-1，x<0；3x+2，x≥0}，求f(-2)和f(3)的值。
2.已知g(x)=|x-3|，求g(g(2))的值。
五、复合函数与初等函数
1.已知y=sin(x+π/4)，求y'。
2.已知y=ln(x^2+1)，求y''。
六、幂级数与泰勒级数展开
1.将f(x)=x/(x+1)进行幂级数展开。
2.将g(x)=e^x进行泰勒级数展开。
七、函数性质与图像分析
1.分析函数f(x)=x^3的单调性。
2.分析函数y=sin(x)在[0,π]区间的图像特点。
八、导数与微分的应用
1.求f(x)=x^2在[0,π]区间的平均变化率。
2.求g(x)=sin(x)在[0,π]区间的最小值。
绝对值函数基础练习题(含答案解析)
绝对值函数基础练习题(含答案解析)
绝对值函数是数学中的一种基本函数，它表示一个数与零的距离。
下面是一些绝对值函数的基础练题，每个题目都包含了答案和解析。
1. 求解以下绝对值方程：
a) |2x - 3| = 5
b) |4 - 3x| = 7
答案解析：
a) 2x - 3 = 5 或者 2x - 3 = -5
解得 x = 4 或者 x = -1
b) 4 - 3x = 7 或者 4 - 3x = -7
解得 x = -1 或者 x = 11/3
2. 求解以下绝对值不等式：
a) |3x + 2| > 10
b) |5 - 2x| ≤ 8
答案解析：
a) 3x + 2 > 10 或者 3x + 2 < -10
解得 x > 8/3 或者 x < -4
b) 5 - 2x ≤ 8 或者 5 - 2x ≥ -8
解得x ≤ -1/2 或者x ≥ 13/2
3. 求以下函数的定义域：
a) f(x) = |x - 1|
b) g(x) = |2x + 3|
答案解析：
a) f(x) = |x - 1| 为一个绝对值函数，对于任意实数 x，f(x) 都有定义。
因此，f(x) 的定义域为所有实数。
b) g(x) = |2x + 3| 为一个绝对值函数，对于任意实数 x，g(x) 都有定义。
因此，g(x) 的定义域为所有实数。
以上就是绝对值函数基础练题的答案解析部分。
希望这些练题能够帮助你更好地理解和应用绝对值函数。
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分段函数与绝对值函数练习一、双基题目练练手1.设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+,114,1)1(2x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( ) A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］C.（－∞，－2］∪［1，10］D.［－2，0］∪［1，10］2．(2006安徽)函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是 （ ）A．,020xx y x ⎧≥⎪=< B．2,00x x y x ≥⎧⎪=< C．,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩ D．2,0x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩3．(2007启东质检)已知21[1,0)()1[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，，，则下列函数图象错误．．的是()4.（2006全国Ⅱ）函数191()n f x x n ==-∑的最小值为 ( )（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）455.（2005北京市西城模拟）已知函数f （x ）=⎩⎨⎧<-≥-),2(2),2(2x x x 则f （lg30－lg3）=___________；不等式xf （x －1）＜10的解集是_______________.6. （2006浙江）对R b a ∈,,记则{}⎩⎨⎧≥=b a b ba ab a ＜,,,max 则函数(){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的最小值是 .7.已知函数132(0)()(01)log (1)x x f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩,当a <0时,f {f [f (a )]}=8.函数221(0)()(0)x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的值域 。
简答:1-4.ACDC;4.x=10时,取最小值90.f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-19|=|x-1|+…+|x-10|+|11-x|+…+|19-x|≥|x-1+x-2+…x-9+11-x+…19-x|+|x-10|≥|90|+0=90, 当x=10时取等号.一般地:…5. f （lg30－lg3）=f （lg10）=f （1）=－2， f （x －1）=⎩⎨⎧<-≥-.32,33x x x 当x ≥3时，x （x －3）＜10⇔－2＜x ＜5，故3≤x ＜5.当x ＜3时，－2x ＜10⇔x ＞－5，故－5＜x ＜3.解集 {x |－5＜x ＜5}6. 由()()21212122≥⇒-≥+⇒-≥+x x x x x ， ()112122x x f x x x ⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩如右图()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 7.12-;8. 当x ≥0时，x 2+1≥1；当x<0时，－x 2<0原函数值域是[1,+∞]∪(－∞,0)。
二、经典例题做一做【例1】设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=⎩⎨⎧-+)]18([13n f f n ),2000(),2000(>≤n n 求f （2002）. 解：∵2002＞2000，∴f （2002）=f ［f （2002－18）］=f ［f （1984）］=f ［1984+13］=f （1997）=1997+13=2010. 感悟方法 求值时代入哪个解析式,一定要看清自变量的取值在哪一段上.【例2】判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性。
解：当x>0时，－x<0, f(－x)= －(－x)2(－x+1)=x 2(x －1)=f(x)；当x=0时，f(－0)=f(0)=0；当x<0时，f(－x)=( －x)2(－x －1)= －x 2(x+1)=f(x)。
因此，对任意x ∈R 都有f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数。
提炼方法：:分段函数的奇偶性必须对x 的值分类比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数的结论。
【例3】(2007启东质检)已知函数1()|1|f x x=-,(0)x > （1）当0,()()a b f a f b <<=且时，求证：1ab >；（2）是否存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域、值域都是[,]a b ，若存在，则求出,a b 的值，若不存在，请说明理由；（3）若存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域为[,]a b 时，值域为[,](0)ma mb m ≠，求m 的取值范围．解:（1）∵0x >，∴11,1,()11,0 1.x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩∴)(x f 在（0，1）上为减函数，在（1，＋∞）上是增函数．由0,()()a b f a f b <<=且，可得01a b <<<， 所以有1111a b -=-，即112a b +=．∴2ab a b =+>1>，即1ab >（2）不存在满足条件的实数,a b ．若存在满足条件的实数,a b ，使得函数1()|1|y f x x==-的定义域、值域都是[,a b ]，则0a >．由11,1,()11,0 1.x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩ ①当,a b ∈（0，1）时，1()1f x x=-在（0，1）上为减函数． 故(),().f a b f b a =⎧⎨=⎩，即11,11.b a a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得a b =． 故此时不存在适合条件的实数,a b ．②当,a b ∈[)1,+∞时，1()1f x x =-在（1，＋∞）上为增函数．故(),().f a a f b b =⎧⎨=⎩，即11,11.a a b b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 此时,a b 是方程210x x -+=的根，由于此方程无实根．故此时不存在适合条件的实数,a b ．③当a ∈（0，1），[)1,b ∈+∞时，由于1∈[,a b ]，而[](1)0,f a b =∉，故此时不存在适合条件的实数,a b ．综上可知，不存在适合条件的实数,a b ．（3）若存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域为[,a b ]时，值域为[,]ma mb ，则0,0a m >>．①当,a b ∈（0，1）时，由于()f x 在（0，1）上是减函数，值域为[,]ma mb ， 即11,11.mb a ma b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得a ＝b>0，不合题意，所以,a b 不存在． ②当(0,1)(1,)a b ∈∈+∞或时，由（2）知0在值域内，值域不可能是[,]ma mb ，所以,a b 不存在．故只有[),1,a b ∈+∞． ∵|11|)(x x f -=在（1，＋∞）上是增函数，∴(),().f a ma f b mb =⎧⎨=⎩，即11,11.ma a mb b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ,a b 是方程210mx x -+=有两个根．即关于x 的方程210mx x -+=有两个大于1的实根．设这两个根为12,x x ．则121211,x x x x m m+=⋅=∴12120,(1)(1)0,(1)(1)0.x x x x ∆>⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩即140,120.m m ->⎧⎪⎨->⎪⎩ 解得104m <<． 综上m 的取值范围是104m <<． 【例4】设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。
（Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )； （Ⅱ）求g (a )；解：（I ）∵t=x +1+x -1,∴要使t 有意义，必须1+x ≥0且1-x ≥0，即-1≤x ≤1.∵t 2=2+221x -∈[2,4],t ≥0, ① ∴t 的取值范围是[2,2]. 由①得21x -=21t 2-1, ∴m(t)=a(21t 2-1)+t=21at 2+t-a,t ∈[2,2]. (Ⅱ)由题意知g(a)即为函数m （t ）=21at 2+t-a, t ∈[2,2]的最大值. 注意到直线t=-a 1是抛物线m(t)= 21at 2+t-a 的对称轴，分以下几种情况讨论. (1)当a>0时，函数y=m(t), t ∈[2,2]的图像是开口向上的抛物线的一段，由 t=-a1<0知m(t)在[2,2]上单调递增, ∴g(a)=m(2)=a+2.(2)当a=0时，m(t)=t,t ∈[2,2], ∴g(a)=2.(3)当a<0时，函数y=m(t), t ∈[2,2]的图像是开口向下的抛物线的一段. 若t=-a1∈(0,2]，即a ≤-22，则g(a)=m(2)=2. 若t=-a 1∈(2,2]，即a ∈(-22,-21]则g(a)=m(-a 1)=-a-a 21.若t=-a 1∈(2,+ ∞)，即a ∈(-21,0),则g(a)=m(2)=a+2. 综上有g(a)=12, ,211, ,222 a a a a a a ⎧+>-⎪⎪⎪---<≤-⎨⎪≤ 核心步骤:(1) m(t)=a(21t 2-1)+t=21at 2+t-a,t ∈[2,2]. (2)求g(a)=[m(t)]max ,按对称轴相对于区间[2,2]的位置,对a 分类分类讨论.【研讨.欣赏】(2000全国)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天)解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为f (t )=⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000300t t t t ， 由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=2001(t －150)2＋100，0≤t ≤300． (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得h (t )=f (t )－g (t )即h (t )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-300200210252720012000217521200122t t t t t t ，，当0≤t ≤200时，配方整理得h (t )=－2001(t －50)2＋100， 所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得h (t )=－2001(t －350)2＋100 所以，当t =300时，h (t )取得区间[200，300]上的最大值87.5．综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．思路点拨: 题(Ⅱ)分段写出收益与时间的函数关系h(t), 是分段函数,再分段求最值.。