高一数学综合试卷

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苏教版必修5高一数学综合练习试卷及答案

高一数学必修5综合练习一、填空题：（每小题5分，共70分）1.若点(,3)P a 在23x y +<表示的区域内，则实数a 的取值范围是___________；0a <2.在△ABC 中，若sinA ∶sinB ∶sinC = 7∶8∶9，则cosA=______； 233.已知数列，那么8是这个数列的第项；114.若不等式220x ax a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的范围为；01a <<5.设数列{}n a 的通项公式为227n a n =-+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则当 n =_______时，n S 取得最大值；136.不等式212x x -+<1的解集为____________；(2,3)- 7.在ABC ∆中，已知4,6,120,a b C ==∠= 则sinA 的值是_________8.已知变量x y 、满足约束条件102020x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数z x y =+的最大值是__ _；59.数列{}n a 中，11a =，1223n n a a +-=，则通项n a = ；2log (31)n -10.ABC ∆中，已知4,45a B =∠=︒，若解此三角形时有且只有唯一解，则b 的值应满足_____ ___；b =b ≥411.已知点(,)P x y 在经过两点(3,0),(1,1)A B 的直线上，那么24x y +的最小值是__；12.已知数列{}n b 是首项为4-，公比为2的等比数列；又数列{}n a 满足160,a = 1n n n a a b +-=，则数列{}n a 的通项公式n a =_______________；1264n +-+13.在4别填上____________和．6，414.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，如此继续．若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为2，则最小正方形的边长为； 132 二、解答题（共90分）15.ABC ∆中，已知a 、b 、c 成等差数列，SinA 、SinB 、SinC 成等比数列，试判断△ABC 的形状.解：∵,,a b c 成等差数列，∴2a cb +=①又∵sin ,sin ,sin A B C 成等比数列， ∴2sin sin sin B A C =⋅，∴2b ac = ②将①代入②得：2()2a c ac +=，∴2()0a c -=， ∴a c =代入①得bc =,从而a b c ==，∴△ABC 是正△ 16.某村计划建造一个室内面积为72m 2的矩形蔬菜温室。

高一数学上册期末强化综合试卷附答案

高一数学上册期末强化综合试卷附答案一、选择题1．设集合U =R ,{|1A x x =<-或2}x >，则UA（）A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．(,1][2,)-∞-+∞D ．(1,2)-2．下列函数中，与函数1y x=有相同定义域的是 A ．1()f x x=B ．31()f x x=C ．()ln f x x =D ．()xf x e =3．若α是第二象限角，角β的终边经过点(cos(),sin())2ππαα+-，则β为（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()1,2P --，则2sin sin 2αα+=（） A ．58B ．85C ．55D ．2555．方程340x e x +-=（其中 2.71828e =）的根所在的区间为（） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭6．为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量y （3/mg m ）与时间t （h ）成正比（102t <<）；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为1()4t a y -=（a 为常数，12t ≥），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5（3/mg m ）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作A ．30B ．40C ．60D ．907．已知幂函数()12f x x =，若()()1142f a f a -<-，则a 的取值范围是（） A ．[)1,3-B ．(),5-∞C ．[)1,5D ．()5,+∞8．已知函数()3411f x x =---，则函数()lg =-y f x x 的零点个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．以上都不对二、填空题9．下列函数为奇函数的是（）A ．()x xx x e e f x e e ---=+B ．(()ln f x x =C ．11()212x f x =+- D ．()f x =10．21x ≤的一个充分不必要条件是（） A ．10x -≤<B ．1≥xC ．01x <≤D ．11x -≤≤11．下面说法正确的有（） A ．若22ac bc >，则a b > B ．若a b >，则11a b> C ．若0b a <<，则2ab b <D ．若a ，b 为正数，则11()()4a b a b++12．对于函数()cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(其中0>ω)，下列结论正确的有A ．若()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则ω的取小值为2B ．当12ω=时，()f x 的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．当2ω=时，()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数D ．当1ω=时，()f x 的图象可由()sin g x x =的图象向左平移3π个单位长度得到三、多选题13．若命题“ R x ∃∈，220x mx m ++ ”是假命题，则实数 m 的取值范围是________． 14．已知2312a b ==，则21a b+=_______．15．设,a b 是实数，已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(,1)A a ，(2,)B b -，且1sin 3θ=，则ab 的值为____________ .16．在平面直角坐标系中，两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）间的“L 距离”定义为|P 1P 2|＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，记平面内与x 轴上两个不同的定点F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）（c ＞0）的“L 距离”之和等于定值2a （a ＞0）（大于|F 1F 2|）的点的轨迹是T ，则T 围成的面积是_____．四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}1264xA x =≤≤，{}211B x m x m =-<<+.（1）当1m =-时，求()UA B ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.18．已知函数2()cos cos()6f x x x x π=-+．（1）求()f x 的最小正周期T ；（2）若()1(1)0n f x m ++-⋅>对任意的[,]44x ππ∈-和n *∈N 恒成立，求实数m 的取值范围． 19．已知函数3()1f x x =-. （1）画出函数的草图，并用定义证明函数的单调性；（2）若[]2,7x ∈，求函数的最大值和最小值.20．杭州市将于2022年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节位、文明”为办赛理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()()()1802,0202000900070,201x x G x x x x x ⎧-<≤⎪=⎨+->⎪+⎩（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式：（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．21．如图，现有一块半径为2m ，圆心角为3π的扇形木板，按如下方式切割一平行四边形：在弧AB 上任取一点P (异于A ､B )，过点P 分别作PC ､PD 平行于OB ､OA ，交OA ､OB 分别于C ､D 两点，记AOP α∠=.（1）当点P 位于何处时，使得平行四边形OCPD 的周长最大？求出最大值；（2）试问平行四边形OCPD 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值以及相应的α的值；若不存在，请说明理由.22．已知函数()21()221x f x a =-+为奇函数，其中a 为常数. （1）求函数y =f (x )的解析式；（2）若关于x 的方程()1()212x f x k ++=在[1,1]-上有解，求实数k 的最大值；（3）若关于x 的不等式()1(21)226x f λλ++≤在[2,2]-恒成立，求实数λ的取值范围.【参考答案】一、选择题 1．B 【分析】直接根据补集的概念进行运算可得解. 【详解】因为U =R ,{|1A x x =<-或2}x >，所以UA{|12}x x -≤≤.故选：B2．C 【分析】求出函数函数y x=的定义域，分别求出函数定义域判定即可.【详解】解：函数y=(0,)+∞， A. 1()f x x=定义域为{|0}x x ≠ B.()f x =定义域为{|0}x x ≠ C. ()ln f x x =定义域为(0,)+∞D. ()xf x e =定义域为R故选：C. 3．D 【分析】由α是第二象限角及诱导公式判断cos(),sin()2ππαα+-的正负，从而判断β为第几象限角.【详解】由诱导公式：cos()=cos ,sin()=cos 2ππαααα+--，因为α是第二象限角，所以cos 0,cos 0,sin02παπαα，故β为第四象限角. 故选：D 4．B 【分析】先由正弦、余弦函数的定义得到sinαα==，再求值即可. 【详解】由正弦、余弦函数的定义有sin α==，cos α==，所以2248sin sin 2sin 2sin cos 2((55ααααα+=+=+⨯⨯=. 故选：B.【分析】由函数()y f x =的单调性和函数零点存在定理，即可判断零点所在的区间．【详解】函数()34x f x e x =+-在R 上为增函数，由1355()4202222f =-<-<，f （1）10e =->，f （1）1()02f ⋅< 结合函数零点存在定理可得方程的解在1(2，1)内．故选：B ． 6．C 【分析】计算函数解析式，取()1211()42t f t -==，计算得到答案.【详解】根据图像：函数过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭，故()1212,0211(),42t x t y f t t -⎧<<⎪⎪==⎨⎪≥⎪⎩，当12t ≥时，取()1211()42t f t -==，解得1t =小时60=分钟.故选：C . 【点睛】本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 7．C 【分析】利用函数()12f x x =的单调性解不等式，同时注意定义域的取值范围，即可得解. 【详解】由()f x 的定义域为[)0,+∞，且在定义域上为在增函数，所以若要()()1142f a f a -<-，则要01142a a ≤-<-，解得15a ≤<，故选：C.【分析】先去掉绝对值得出函数()f x 的解析式，再由函数()y f x =与lg y x =图象的交点个数，结合函数图象得出函数()lg =-y f x x 的零点个数. 【详解】当10x -≥，即1≥x 时，()342f x x =-- ①若2x ≥，()34(2)411f x x x =--=-+ ②若12x ≤<，()34(2)45f x x x =--=- 当10x -<，即1x <时，()34f x x =- ①若0x ≤，()34f x x =+ ②若01x <<，()34f x x =- 即34,034,01()45,12411,2x x x x f x x x x x +≤⎧⎪-<<⎪=⎨-≤<⎪⎪-+⎩函数()lg =-y f x x 的零点的个数即()y f x =与lg y x =图象的交点个数函数()y f x =与lg y x =的图象如下图所示由图可知，函数()lg =-y f x x 的零点有4个故选：C 【点睛】关键点睛：本题在求零点个数时，关键是将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题进行处理.二、填空题9．ABC 【分析】根据函数的奇偶性的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A 选项，函数()f x 的定义域为R ，且()()x xx x e e f x f x e e----==-+，所以A 是奇函数；对于B 选项，函数()f x 的定义域为R ，且(()ln f x x -=-，((()()ln ln 0f x f x x x -+=-+=，故B 是奇函数；对于C 选项，函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且1121()212122x x x f x --=+=+--，2111()()0122212x x x f x f x -+=+++=--，故C 是奇函数；对于D 选项，由函数()f x =101x x -≥+，解得11x -<≤，可得定义域不关于原点对称，故D 不是奇函数. 故选：ABC . 10．AC 【分析】由不等式21x ≤，求得11x -≤≤，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式21x ≤，可得11x -≤≤，结合选项可得：选项A 为21x ≤的一个充分不必要条件；选项B 为21x ≤的一个既不充分也不必要条件；选项C 为21x ≤的一个充分不必要条件；选项D 为21x ≤的一个充要条件, 故选：AC. 11．ACD 【分析】利用不等式的性质可判断ABC ，利用基本不等式可判断D. 【详解】若22ac bc >，则a b >，故A 正确当2,1a b ==时满足a b >，但11a b<，故B 不正确若0b a <<，则2ab b <，故C 正确若a ，b 为正数，则11()()224b a a b a b a b ++=++≥+，当且仅当a b =时等号成立，故D 正确故选：ACD12．ABD 【分析】对于A. 若()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立， 242()k k Z ω=+∈，结合条件0>ω判定；对于B. 当12ω=时，()1cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，验证403f π⎛⎫= ⎪⎝⎭是否成立；对于C. 当2ω=时，()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，验证函数cos y t =在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭是否单调；对于D. 当1ω=时，()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，而cos 36g x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭符合题意.【详解】解：对于A. 若()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则cos 1,61212f ωπππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭2()122426k k Z k ωππωπ∴-=∈⇒=+()k ∈Z ，又0>ω，所以ω的取小值为2，故正确；对于B. 当12ω=时，()1cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以1cos cos 04432326f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故正确﹔ 对于C. 当2ω=时，()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，此时函数cos y t =在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上先递增再递减，故不正确；对于D. 当1ω=时，()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()sin g x x =的图象向左平移3π个单位长度得到，所以sin sin 336cos 26g x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+，故正确.故选：ABD. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.三、多选题13．01m <<【分析】根据特称命题的真假可得0<，解不等式即可求解. 【详解】因为命题“ R x ∃∈，220x mx m ++ ”是假命题，所以 220x mx m ++> 恒成立，所以 0<，解出 01m <<．故答案为：01m <<14．1【分析】根据指对互化先计算出,a b 的结果，然后计算11,a b 的结果，由此即可计算出21a b+的结果.【详解】因为2312a b ==，所以23log 12,log 12a b ==，所以121211log 2,log 3a b==，所以1212121212212log 2log 3log 4log 3log 121a b+=+=+==，故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用指对互化将2312a b ==化为对数形式，然后根据对数运算法则完成计算.15．4-【分析】根据三角函数的定义，得到两个方程，解方程即可求出ab的值.【详解】由三角函数的定义，13==a < 0，解得b a ==- 所以4ab=-. 故答案为：4-16．2222a c -【分析】设平面上的点为(,)x y ,根据题意可得||||2||2x c x c y a ++-+=,然后去绝对值,化简方程,再根据轨迹T 求出面积. 【详解】解:设平面上的点为(,)x y ,由题意,得||||||||2x c y x c y a +++-+=, 所以||||2||2x c x c y a ++-+=.当x c <-,0y 时,方程化为2220x y a -+=; 当x c <-,0y <时,方程化为2220x y a ++=; 当c x c -<,0y 时,方程化为y a c =-; 当c x c -<,0y <时,方程化为y c a =-; 当x c ,0y 时,方程化为2220x y a +-=; 当x c ,0y <时,方程化为2220x y a --=. 则轨迹T 的图象如图所示:所以T 围成的面积S 221(22)()2222a c a c a c =⨯+⨯-⨯=-. 故答案为:2222a c -. 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法,考查了分类讨论思想,属中档题.四、解答题17．（1）{3x x ≤-或}6x >；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）当1m =-时，求出集合B ，利用交集和补集的定义可求得集合()UA B ；（2）分B =∅与B ≠∅两种情况讨论，根据B A ⊆可得出关于实数m 的不等式（组），综合可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）当1m =-时，{}{}21130B x m x m x x =-<<+=-<<， {}{}126406x A x x x =≤≤=≤≤，{}36A B x x ∴⋃=-<≤，因此，(){3UA B x x ⋃=≤-或}6x >；（2）当B =∅时，211m m -≥+，即2m ≥，这时B A ⊆；当B ≠∅时，有21121016m m m m -<+⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，解得122m ≤<.综上，m 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】易错点点睛：在利用集合的包含关系求参数，要注意以下两点：（1）已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；（2）在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论． 18．（1）T π=；（2）11(,)22-.【分析】（1）化简()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ⇒最小正周期22T ππ==；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()5111112sin 2636223424x x f x ππππ⎛⎫≤-≤-≤-≤-≤≤ ⎪⎝⎭． ①当n 为偶数时，()()11?0nf x m ++-> ()10f x m ⇔+-> ()1m f x ⇔>--．⇒()max 1m f x ⎡⎤>--⎣⎦．②当n 为奇数时，同理得： ()min 1m f x ⎡⎤<+⎣⎦即可求出m 的取值范围．【详解】（1）()2cos cos 6f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭1cos sin 2x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭21sin cos 2x x x x =+1sin24x x =+1sin24x x = 1sin 223x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ()f x 的最小正周期22T ππ==．（2）由（1）知()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52636x πππ≤-≤，111sin 22234x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，即()1124f x -≤≤．①当n 为偶数时，()()110nf x m ++-> ()10f x m ⇔+-> ()1m f x ⇔>--．由题意，只需()max 1m f x ⎡⎤>--⎣⎦．因为当()12f x =-时，()max 112f x ⎡⎤--=⎣⎦，所以12m >-． ②当n 为奇数时，()()110nf x m ++-> ()10f x m ⇔+-> ()1m f x ⇔>+．由题意，只需()min 1m f x ⎡⎤<+⎣⎦．因为当()12f x =-时，()min 112f x ⎡⎤+=⎣⎦，所以12m <．综上所述，实数m 的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；(2)求参数的取值范围，通常采用分离参数法．19．（1）图象见解析，证明见解析；（2）最大值为3，最小值为12. 【分析】（1）画出()f x 图象，利用定义法，证明()()120f x f x ->，结合()f x 的定义域，证得()f x 的单调区间.（2）结合()f x 的单调性来求得()f x 在区间[]2,7上的最大值和最小值. 【详解】（1）()f x 的图象如下图所示：()f x 的定义域为{}|1x x ≠，当1x <时，任取121x x <<，()()()()211212123331111x x f x f x x x x x --=-=⨯----，其中21120,10,10x x x x ->-<-<，所以()()120f x f x ->，所以()f x 在区间(),1-∞上递减. 同理可证得()f x 在区间()1,+∞上递减. （2）由（1）得()f x 在区间[]2,7上递减，所以2x =时，()f x 取得最大值为3321=-，当7x =时，()f x 取得最小值为31712=-. 20．（1）()2210050,020{9000195010,201x x x W x x x x -+-<≤=-->+；（2）29x =万台时最大利润为1360万元. 【分析】（1）由题意有()()8050W x xG x x =--，即可写出利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式.（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出020x <≤、20x >上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值.【详解】（1）由题意知：()()8050W x xG x x =--，∴2210050,020()9000101950,201x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪+⎩. （2）由（1）知：()()()22251200,020{90001960101,201x x W x x x x --+<≤=⎡⎤-+->⎢⎥+⎣⎦， ∴020x <≤时，()W x 单调递增，则max ()(20)1150W x W ==；20x >时，9000()1960210(1)13601W x x x ≤-+⋅=+，当且仅当29x =时等号成立. 综上，当年产量为29万台时，该公司获得的年利润最大为1360万元.21．（1）点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD 的周长最大，最大值为833；（2）存在，最大值为233. 【分析】过P 点作OC 的垂线，垂足为H ，从而可得PH =2sin α，OH =2cos α，43sin 3PC α=，23sin 3CH α=，得出23sin 2cos 3OC OH CH αα=-=-. （1）平行四边形OCPD 的周长为f (α) 83sin 33πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可求解. （2）4323()sin 2363S OC PH παα⎛⎫=⋅=+- ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可求解. 【详解】过P 点作OC 的垂线，垂足为H ，因为OP =2，∠AOP =α，则PH =2sin α，OH =2cos α，2sinsin3PC απ=，12CH PC ==所以2cos OC OH CH α=-= （1）设平行四边形OCPD 的周长为f (α)，则()2()4cos 4cos f OC PC ααα=+=3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为点P 异于A ､B 两点，所以03πα<<，所以当6πα=，即点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD . （2）设平行四边形OCPD 的面积为S (α)，则()2cos 2sin S OC PH ααα⎛=⋅=⋅ ⎝⎭4sin cos αα=2sin 2α=26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由（1）得，03πα<<，所以52666πππα<+<，所以当262ππα+=，即6πα=，也就是点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD 22．（1）11()212x f x =-+；（2）最大值为14；（3）13,210⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）根据奇函数的性质可得(0)0f =，代入解析式求出a =2，再根据()()0f x f x 验证即可求解. （2）令121x t =+，12,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，方程转化为2k t t =-在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求出2t t -的取值范围即可求解.（3）将不等式转化为1(21)221x λλ-≤++≤，令2x μ=，1,44μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得令()(21)2h u u λλ=++，根据函数的单调性可得11141(4)1h h ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≤≤⎩，解不等式即可求解.【详解】（1）因为函数()21()221x f x a =-+为奇函数，且定义域为R ，所以()021(0)0221f a =-=+，解得a =2. 此时11()212x f x =-+，所以1111()()0212212xx f x f x --+=-+-=++，所以函数f (x )为奇函数. 所以函数y =f (x )的解析式为11()212x f x =-+. （2）令121x t =+，因为x ∈[-1，1]，所以12,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()1()212x f x k ++=在[-1，1]上有解, ()111212122x xk ⇔-++=+在[-1，1]上有解, 2k t t ⇔=-在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，因为221124k t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，12,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以21,94k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以实数k 的最大值为14.（3）设12x x <，则()()()()2112121211112202122122121x x x x x x f x f x --=--+=>++++，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数11()212x f x =-+在R 上单调递减，因为1111(1)2126f --=-=+，1(1)6f =-，所以()()111(21)22(21)22666x x f f λλλλ++≤⇔-≤++≤()(1)(21)22(1)x f f f λλ⇔≤++≤-，1(21)221x λλ⇔-≤++≤(*)令2x μ=，则由x ∈[-2，2]，得1,44μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()(21)22(21)2x h u u λλλλ=++=++，则结合题设及(*)，得1,44μ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，1()1h u -≤≤，所以11141(4)1hh⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≤≤⎩，即21121414(21)21λλλλ+⎧-≤+≤⎪⎨⎪-≤++≤⎩，解得13 210λ-≤≤-，所以实数λ的取值范围为13,210⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.。

河北省任丘第一中学2023届高一数学第一学期期末综合测试试题含解析

对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；
对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.
故选：C
9、B
【解析】在上有解，利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】即在上有解，
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、（1）
（2）
【解析】（1）化简函数解析式为，再利用余弦函数的性质求函数的值域即可；
（2）由已知得，利用同角之间的关系求得，再利用凑角公式及两角差的余弦公式即可得解.
【小问1详解】
，，
利用余弦函数的性质知，则
【小问2详解】
16．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f（x－1）是奇函数，且当时，，则 ________
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知平面向量满足: ， |.
（1）若，求的值；
（2）设向量的夹角为，若存在，使得，求的取值范围.
（2）根据线面垂直面，得出线和面的夹角，从而得出线面角的正弦值.
【详解】（1）由，有，从而有，
且
又是边长等于的等边三角形，
.
又，从而有
又平面 .
（2）过点作交于点，连 .
由（1）知平面，得，又平面
是直线与平面所成的角.
由（1），从而为线段的中点，
，
，
所以直线与平面所成的角的正弦值为
【点评】本题需要学生具备扎实的基本功，难度较大

高一数学必修1综合试卷(带答案)

高一数学试卷时量：100分钟总分：120分一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列各项中，不可以组成集合的是（）A ．所有的正数B ．等于2的数C ．接近于0的数D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，空集的是（）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（）A ．()()A CBC B ．()()A B A CC ．()()AB BCD ．()A B C4．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形5.函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或26．已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,57．已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（）A ．1B ．1或32C ．1，32或 D 8.函数lg y x = ( )A ．是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增; B.是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减 C.是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增; D.是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减9..函数12+=-x ay (0>a ，且1≠a )的图象必经过点（） A.(0，1) B.(1，1) C. (2， 0) D. (2，2)10.已知不等式为27331<≤x ，则x 的取值范围（）A.321<≤-x B.321<≤x C. R D.3121<≤x 11.下列函数中值域为()∞+，0的是（） A.xy -=215B.xy -⎪⎭⎫⎝⎛=131 C.121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy D.xy 21-=12.甲乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达B 地，又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且二人骑车速度均比跑步速度快若某人离开A 地的距离S 与所用时间t 的函数关系可用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙各人的图象只可能是( )A.甲是图①，乙是图②B.甲是图①，乙是图④C.甲是图③，乙是图②D.甲是图③，乙是图④二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。

2024版高一上册数学综合模拟试卷

2024版高一上册数学综合模拟试卷专业课试题部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列数中，属于无理数的是（）A. √9B. √16C. √3D. √12. 下列函数中，奇函数是（）A. y=x^2B. y=x^3C. y=|x|D. y=2x3. 已知等差数列{an}，a1=1，a3=3，则公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于x轴的对称点坐标为（）A. (2, 3)B. (2, 3)C. (2, 3)D. (2, 3)5. 若a、b为实数，且a≠b，则下列等式中成立的是（）A. (a+b)^2=a^2+b^2B. (ab)^2=a^2b^2C. (a+b)(ab)=a^2b^2D. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个平行线的斜率相等。

（）2. 一元二次方程的解一定是实数。

（）3. 对角线互相垂直的四边形一定是矩形。

（）4. 任何两个实数的和都是实数。

（）5. 二项式定理的系数和为2^n。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知数列{an}的通项公式为an=3n2，则a5=______。

2. 若f(x)=x^22x+1，则f(1)=______。

3. 平行线l1：3x+4y+5=0和l2：3x+4y6=0之间的距离为______。

4. 已知三角形ABC，a=8, b=10, sinA=3/5，则三角形ABC的面积为______。

5. 概率公式P(A)=______/______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述等差数列的定义。

2. 解释什么是函数的单调性。

3. 如何求解一元二次方程的根？4. 请写出勾股定理的内容。

5. 简述概率的基本性质。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知等差数列{an}，a1=1，公差d=2，求前5项的和。

2. 解方程：2x^23x+1=0。

3. 已知三角形ABC，a=6, b=8, C=120°，求c的长度。

高一数学必修1综合试卷

高一数学必修1综合试卷本试卷分选择题和非选择题两部分,满分150分,考试用时120分钟．第一部分选择题（共50分）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的,把答案填涂在答题卡上）1．设集合{}012345U=，，，，，，{}035M =，，，{}145N =，，，则()U M N u ð=（） A ．{}5 B ．{}0,3 C ．{}0,2,3,5 D ．{}0,1,3,4,52．下列四组函数，表示同一函数的是（） A ．2)(x x f =,x x g =)( B ．x x f =)(，x x x g 2)(=C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D ．x a a x f log )(=a (＞0)1,≠a ,33)(x x g =3．函数()2log (1)f x x =+的定义域为( ) A ．[)1,3- B ．()1,3- C ．(1,3]- D ．[]1,3-4．下列函数为奇函数，且在()0,∞-上单调递减的函数是（）A.()1-=x x f B. ()2-=x x f C. ()21x x f = D. ()3x x f =5．设f ：x A 到集合B 的映射，若{1,2}B =，则A B = （）A ．{}1B ．{}2C ．∅或{}1D ．∅或{}26．已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2ab c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．ab c << B ．b c a << C ．c a b << D ．a c b << 7．设函数()338x f x x =+-,用二分法求方程3380x x +-=在(1 ,2)x ∈内近似解的过程中,计算得到(1)0 ,(1.5)0 ,(1.25)0f f f <><,则方程的根落在区间（）A ．(1 ,1.25)B ．(1.25 ,1.5)C ．(1 ,2)D ．(1.5 ,2)8．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就匀速跑步，等跑累了再匀速走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离d ，横轴表示出发后的时间t ，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）A B C D9．设3,2()log (1) 2.x e x f x x x ⎧=⎨-≥⎩＜，，，则(((10)))f f f 的值是（） A ．1 B ． 2 C ． e D ．2e 10．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数[]2,1,2∈=x x y 与函数[]1,2,2--∈=x x y 即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（）A ．x y =B ．3-=x yC ．x y 2=D ．12log y x =第二部分非选择题（共100分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．计算：（1＝；（2）021.10.5lg252lg2-++= . 12．若函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数的图象经过点(4,2)，则a ＝________.13．已知函数246y x x =-+，[1,4]x ∈，则函数的最大值为 ___ __；最小值为．14．已知函数)(x f 满足: 对任意正数12x x <，有12()()f x f x >，且1212()()()f x x f x f x ⋅=+．请写出一个满足条件的函数，则这个函数可以写为)(x f ＝（注：只需写出一个函数即可）.三．解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分12分）设全集R U=，集合A =}31|{<≤-x x ，B =}242|{-≥-x x x ．（Ⅰ）求()U A B ð；（Ⅱ）若集合C ={|0}x x a ->,满足C C B = ，求实数a 的取值范围．16．（本小题满分13分）已知函数()2a f x x x =-，且(1)3f =．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在(1,)+∞上是增函数还是减函数？并证明．17．（本小题满分13分）已知函数1()21x f x a =-+． (Ⅰ) 确定实数a 的值，使()f x 为奇函数； (Ⅱ) 当()f x 为奇函数时，若3()10f x >，求x 的取值范围．18．（本小题满分14分）已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-．（Ⅰ）求)(x f 的解析式，并画出的)(x f 图象；（Ⅱ）设()()g x f x k =-，利用图象．．．．讨论：当实数k 为何值时，函数()g x 有一个零点？二个零点？三个零点？19．（本小题满分14分）某城市出租车，乘客上车后，行驶3km 内收费都是10元，之后每行驶1km 加收2元，超过15km ，每行驶1km 加收为3元(假设途中一路顺利，没有停车等候)，若乘客需要行驶20km ．(Ⅰ) 求付费总数y 与行驶路程x 收费之间的函数关系式；(Ⅱ) 当出租车行驶了15km 后，乘客是中途换乘一辆出租车还是继续乘坐这辆出租车行驶完余下的5km 路程，哪一种方式更便宜？20．（本小题满分14分）已知集合M 是满足下列性质的函数)(x f 的全体：在定义域D 内存在0x ，使得)1(0+x f )1()(0f x f +=成立．（Ⅰ）函数x x f 1)(=是否属于集合M ？说明理由；（Ⅱ）若函数b kx x f +=)(属于集合M ，试求实数k 和b 满足的约束条件；（Ⅲ）设函数1lg )(2+=x a x f 属于集合M ，求实数a 的取值范围．参考答案及评分标准一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．填涂在答题卡上．DABAC ABCAB二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（11）*13 1.01()x y x N =⨯∈ （12）4 （13）)23,32( （14）12三．解答题：本大题共6 小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(1) )(B A C R ⋂={}36x x x <≥或; B A C R ⋃)(=R(2)[]2,8.即a 的取值范围为5a ≤-或5a ≥． ……………………… 12分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当3b =时,由方程1()4230x x f x +=--=，得2(2)2230x x -⨯-=，即(21)(23)0x x +-=，∵210x +>，∴230x -=，解得2log 3x =．…… 4分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由于y PQ =，∴2220800,025,,1404000,2530,.t t t t N y t t t t N ⎧-++<<∈=⎨-+≤≤∈⎩…… 6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知，22(10)900,025,,(70)900,2530,.t t t N y t t t N ⎧--+<<∈=⎨--≤≤∈⎩ 当025,,10t t N t <<∈=时，max 900y =（元）；当2530,,25t t N t ≤≤∈=时，max 1125y =（元）由1125900>，知max 1125y =（元），且第25天，日销售额最大．…………14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵()f x 的定义域为R ，∴任设12x x <，则121212121122()()()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x a a --=---=++++；∵12x x <，∴12220x x -<，12(21)(21)0x x ++>，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <所以不论a 为何实数，()f x 总是为增函数． ………………………… 6分 (Ⅱ)∵()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-，即112121x x a a --=-+++，解得，12a =，∴11()221x f x =-+． ……………………… 10分 (Ⅲ)由知11()221x f x =-+,∵211x +>,∴10121x <<+, ∴11021x -<-<+,∴111122212x -<-<+,即11()22f x -<<, 所以()f x 的值域为11(,)22-． …………………………14分。

高一数学必修一必修二综合测试卷(有答案)

高一数学试题四（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列说法正确的是（）A . 经过三点确定一个平面B . 经过一条直线和一个点确定一个平面C . 四边形确定一个平面D . 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2. 下列哪个函数的定义域与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同（）A . 2y x x =+B . ln 2y x x =-C . 1y x =D . 1y x x=+3. 已知集合12|log 1A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，{}|22xB x =>，则A B =（）A . 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B . 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C . ()0,+∞D . ()0,24. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则其母线与底面半径之比为（） A . 1B .2C .3D . 25. 已知函数()2f x x x a =++在区间()0,1上有零点，则实数a 的取值范围是（） A . 1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B . 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C . ()2,0-D . []2,0-6. 函数()()10,1x f x a a a -=>≠的图象恒过点A ，则下列函数中图象不经过点A 的是（）A . 1y x =-B . 2y x =-C . 21xy =-D . ()2log 2y x =7. 正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为（） A .6π B .4π C . 3π D . 2π8. 已知函数()212log 3y x ax a =-+在[)2,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（）A . 4a ≤B . 4a ≥C . 4a <-或4a ≥D . 44a -<≤9. 某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P 与点Q 在正视图与侧视图上的对应点分别为A ，B ，则在该几何体表面上，从点P 到点Q 的路径中，最短路径的长度为（） A .5B .6 C . 22D .1010. 已知函数()ln 1f x x =-，()223g x x x =-++，用{}min ,m n 表示m ，n 中最小值，设()()(){}min ,h x f x g x =，则函数()h x 的零点个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 411. 已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2x g x h x -=.若存在[]1,1x ∈-，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为（）A .315-B . 35-C . 1D . -1 12. 无论x ，y ，z 同为三条不同的直线还是同为三个不同的平面，给出下列说法：①若//x y ，//x z ，则//y z ；②若x y ⊥，x z ⊥，则y z ⊥；③若x y ⊥，//y z ，则x z ⊥；④若x 与y 无公共点，y 与z 无公共点，则x 与z 无公共点； ⑤若x ，y ，z 两两相交，则交点可以有一个，三个或无数个.其中说法正确的序号为（） A . ①③B . ①③⑤C . ①③④⑤D . ①④⑤二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 设函数()()xxf x e aea R -=+∈，若()f x 为奇函数，则a =______.14. 一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，体积为423，则它的侧面积为______. 15. 已知函数()f x 为定义在[]2,3a -上的偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22522a f m m f m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭>-+-，则m 的取值范围是______.16. 正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 和1AA 的中点.求证：CE ，1D F ，DA 交于一点.18. 已知函数()21x ax b f x x +=++是定义域为R 的奇函数. （1）求实数a 和b 的值，判断并证明函数()f x 在()1,+∞上的单调性；（2）已知0k <，且不等式()()22310f t t f k -++-<对任意的t R ∈恒成立，求实数k 的取值范围.19. 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a （单位：万元）满足8042P a =+，11204Q a =+.设甲大棚的投入为x （单位：万元），每年两个大棚的总收益为()f x （单位：万元）. （1）求()50f 的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益()f x 最大？20. 已知幂函数()()3*p N x x f p -=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上为增函数. （1）求不等式()()22132pp x x +<-的解集；（2）设()()()log 0,1a f x ax g x a a =->≠⎡⎤⎣⎦，是否存在实数a ，使()g x 在区间[]2,3上的最大值为2，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.21. 已知函数()11439x xm f x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当2m =-时，求函数()f x 在(),0-∞上的值域；（2）若对任意[)0,x ∈+∞，总有()6f x ≤成立，求实数m 的取值范围.22. 在菱形ABCD 中，2AB =且60ABC ∠=︒，点M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点，将四边形ANMC 沿着AC 转动，使得EF 与MN 重合，形成如图所示多面体，分别取BF ，DE 的中点P ，Q .（1）求证：//PQ 平面ABCD ；（2）若平面AFEC ⊥平面ABCD ，求多面体ABCDFE 的体积.参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1-5：DBCDC6-10：ABDCC11-12：AB1.【解析】A 选项考查公理2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定一个平面；B 选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定一个平面；C 选项中的四边形有可能是空间四边形，故选D .2.【解析】函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为()0,+∞，函数2y x x =+的定义域为R ，函数ln 2y x x =-的定义域为()0,+∞；函数1y x x=+的定义域为()(),00,-∞+∞，函数1y x=的定义域为()(),00,-∞+∞，故选B .3.【解析】由{}12|log 1|02A x x x x ⎧⎫=>-=<<⎨⎬⎩⎭，{}1|22|2xx x x B =⎧⎫>=>⎨⎬⎩⎭，则()0,A B =+∞，故选C .4.【解析】由已知可得2r l ππ=，所以2l r =，故2lr=.故选D . 5.【解析】函数()2f x x x a =++的图象的对称轴为12x =-，故函数在区间()0,1上单调递增，再根据函数()f x 在()0,1上有零点，可得()()00120f a f a =<⎧⎪⎨=+>⎪⎩，解20a -<<，故选C .6.【解析】函数()()10,1x f y ax a a -=>≠=的图象恒过点A ，即10x -=，可得1x =，那么1y =.∴恒过点()1,1A .把1x =，1y =带入各选项，只有A 没有经过A 点.故选A . 7.【解析】略8.【解析】()23g x x ax a =-+，则()230x a a g x x =-+>在[)2,+∞恒成立，且()23g x x ax a =-+在[)2,+∞上为增函数，所以22a≤且()240g a =+>，所以44a -<≤.故选D .9.【解析】由题，几何体如图所示（1）前面和右面组成一面此时222222PQ =+=.（2）前面和上面在一个平面此时223110PQ =+=，2210<，故选C . 10.【解析】作出函数()f x 和()g x 的图象如图，两个图象的下面部分图象，由()2230g x x x =-++=，得1x =-，或3x =，由()ln 10f x x =-=，得x e =或1x e=，∵()0g e >，∴当0x >时，函数()h x 的零点个数为3个，故选C .11.【解析】由()()2xg x h x -=，及()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，得()222x xg x -+=，()222x x h x --=.由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x x m ----≤==-+++，∵2141x y =-+为增函数，∴max 231415x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，故选A . 12.【解析】由平行于同一直线的两直线平行，平行于同一平面的两平面平行，可得①正确；由垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面；垂直于同一平面的两平面相交或平行，可得②错误；由垂直于两平行直线中的一条，也垂直于另一条；垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，可得③正确；若一条直线与另两条直线无公共点，可得另两条直线可以相交；若一个平面与另两个平面无公共点，可得另两个平面无公共点；可得④错误.若三条直线两两相交，则交点可以有一个或三个，若三个平面两两相交，则交点有无数个.故选B . 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. -1 14. 43 15. 1122m -≤< 16. 4π13.【解析】若函数()x x f x e ae -=+为奇函数，则()()f x f x -=-，即()x x x x ae ae e e --+=-+，即()()10x x e a e -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-. 14.【解析】设正四棱锥的侧棱长与底面边长相等为2a ，则24ABCD S a =，2222422h PB BO a a a =-=-=，则31442233V a =⨯=，则1a =，则 22142242BC PF a a a S ⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯⨯- ⎪⎝⎭侧24343a ==.15.【解析】由题设可得230a -+=，即5a =，故()()22122f m f m m -->-+-可化()()22122f m f m m +>-+，又2113m ≤+≤，21223m m ≤-+≤，故2211222m m m m +<-+⇒<，且12m ≥-.故应填答案1122m -≤<.16.【解析】将四面体ABCD 放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球，∵正四面体ABCD 的棱长为4，∴正方体的棱长为22，可得外接球半径R 满足()22322R =⨯，解得6R =.E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，当截面到球心O 的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O 到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为222r R =-=，得到截面圆的面积最小值为24S r ππ==.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.【解析】证明：如图所示，连接1CD 、EF 、1A B ，因为E 、F 分别是AB 和1AA 的中点，所以1//EF A B 且112EF A B =.即：1//EF CD ，且112EF CD =，所以四边形1CD FE 是梯形，所以CE 与1D F 必相交，设交点为P ，则P CE ∈，且1P D F ∈，又CE ⊂平面ABCD ，且1D F ⊂平面11A ADD ，所以P ∈平面ABCD ，且P ∈平面11A ADD ，又平面ABCD平面11A ADD AD =，所以P AD ∈，所以CE 、1D F 、DA 三线交于一点.18.【解析】（1）因为()()f x f x -=-，所以2211x a x ax bx x bx -+--=-+++， ∴0a b ==，()21xf x x =+，任取()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，()()1212221211x xf x f x x x -=-++()()()()21122212111x x x x x x --=++， ∵210x x ->，1210x x ->，()()2212110x x ++>，∴()f x 在()1,+∞单调递减.（2）()()2231f t t f k -+<--，()()2231f t t f k -+<-， ∵2232t t -+≥，11k ->，∴2231t t k -+>-，即()211k t >---， ∵t R ∈≤，∴()1,0k ∈-. 19.【解析】（1）由题可知：甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，所以()1804250150120277.5450f =+⨯+⨯+=. （2）依题意得202018020020x x x ≥⎧⇒≤≤⎨-≥⎩.故()()142250201804x x f x x =-++≤≤. 令25,65t x ⎡⎤=∈⎣⎦，则()()2211422508228244f x t t t =-++=--+，当82t =，即128x =时，()max 282f x =，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元. 20.【解析】（1）由已知得30p ->且*p N ∈，所以1p =或2p =，当2p =时，()3p f x x -=为奇函数，不合题意，当1p =时，()2f x x =.所以不等式()()22132pp x x +<-变为()()1122132x x +<-，则0132x x ≤+<-，解得213x -≤<. 所以不等式()()22132p p x x +<-的解集为21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.（2）()()2log a a g x x x =-，令()2h x x ax =-，由()0h x >得()(),0,x a ∈-∞+∞，因为()g x 在[]2,3上有定义，所以02a <<且1a ≠，所以()2h x x ax =-在[]2,3上为增函数，当12a <<时，()()()max 3log 932a g x g a ==-=，即2390a a +-=，∴3352a -±=，又12a <<， ∴3352a -+=. 当01a <<时，()()()max 2log 422a g x g a ==-=，即2240a a +-=，∴15a =-±，此时解不成立.综上：3352a -+=. 21.【解析】（1）当2m =-时，设13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵(),0x ∈-∞，∴()1,t ∈+∞，∴()()222413t t t y g t -+=-=+=，对称轴1t =，图像开口向上，∴()g t 在()1,t ∈+∞为增函数， ∴()3g t >，∴()f x 的值域为()3,+∞.（2）由题意知，()6f x ≤在[)0,+∞上恒成立，即11239xxm ⎛⎫⎛⎫⋅≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1233xx m ≤⋅-在[)0,x ∈+∞恒成立，则只需当[)0,x ∈+∞时，min 1233x x m ⎛⎫≤⋅- ⎪⎝⎭，设3xt =，()12h t t t=-，由[)0,x ∈+∞得1t ≥，设121t t ≤<，则()()()()12121212210t t t t h t h t t t -+-=<，所以()h t 在[)1,+∞上递增，()h t 在[)1,+∞上的最小值为()11h =，所以实数m 的取值范围为(],1-∞. 22.【解析】（1）取BE 中点R ，连接PR ，QR ，BD ，由P ，Q 分别是BF ，DE 的中点， ∴//PR EF ，//QR BD ，又∵//EF AC ，∴//PR 平面ABCD ，//QR 平面ABCD ，又∵PR QR R =，∴平面//PQR 平面ABCD ，又∵PQ ⊂平面PQR ， ∴//PQ 平面ABCD .（2）连接AC ，设AC ，BD 交于点O ， ∴BD AC ⊥，又∵平面AFEC ⊥平面ABCD ，平面AFEC平面ABCD AC =，∴BD ⊥平面AFEC .∴多面体ABCDFE 可以分解为四棱锥B ACEF -和四棱锥D ACEF -，菱形ABCD 中，2AB =且60ABC ∠=︒知：2AC =，23BD =，12ACEF ==，设梯形EFAC 的面积为()133244EFAC BD EF AC S =+⋅=， 1332ABCDFE EFAC V S BD =⋅⋅=.。

2024—2025学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期综合能力检测(入学分班考试)数学试卷

2024—2025学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期综合能力检测（入学分班考试）数学试卷一、单选题(★) 1. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿万1万，1兆万万亿．若1兆，则m的值为（）A．4B．8C．12D．16(★) 2. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（）A．B．C．D．(★) 3. 如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为（）A．2B．C．D．(★★★) 4. 若关于的不等式组恰好只有四个整数解，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 5. 在，，，，点P在内，分别以A，B，P为圆心画圆，圆A的半径为1，圆B的半径为2，圆P的半径为3，圆A 与圆P内切，圆P与圆B的关系是（）A．内含B．相交C．外切D．相离(★★★) 6. 对于正整数k定义一种运算：，例：，表示不超过x的最大整数，例：，．则下列结论错误的是（）A．B．或1C．D．(★★) 7. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值（）A．B．C．D．(★★) 8. 若二次函数的解析式为，且函数图象过点和点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 9. 分解因式： ______ ．(★★) 10. 直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转15°，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ______ ．(★★★) 11. 若关于的分式方程的解为整数，则整数______ ．(★★) 12. 如图，已知两条平行线，，点A是上的定点，于点B，点，分别是，上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为 ______ ．三、解答题(★★) 13. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息.a.教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）；c.评委打分的平均数、中位数、众数如上：根据以上信息，回答下列问题：①m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______91（填“”“”或“”）；(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k（k为整数）的值为______.(★★★★) 14. 根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中为椅背，为坐垫，C，D为焊接点，且与平行，支架，所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O．设计方案中，要求A，B两点离地面高度均为5厘米，A，B两点之间距离为70厘米；素材二：经研究，时，舒适感最佳．现用来制作椅背和坐垫的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求：（1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A时（如图3），F点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米．（，，）任务：(1)根据素材求底座半径；(2)计算图3中点B距离地面的高度；(3)①求椅背的长度范围；（结果精确到0.1m）②设计一种符合要求的方案．(★★★★) 15. 定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点，作该函数图象中点及点右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点及点右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为(1)函数关于直线的“迭代函数”的解析式为______．(2)若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则______．(3)已知正方形的顶点分别为：，，，，其中．①若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，求a的值；②若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，求的取值范围．(★★★) 16. 已知抛物线与轴交于点，．(1)如图1，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值；(2)如图2，点是抛物线的对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点求的最小值．。

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高一数学综合试卷（必修1）
一、选择题：（本题共12个小题，每小题3分，共36分。

）
1．设全集{}的正整数是小于9x x U =，{}3,2,1=A ，则下列选项正确的是（ B ）
A ．U ∈0
B ．A
C U ∉2 C ．A C U ⊆2
D ．{}A C U ⊆0
2．下列函数与函数x y =相等的是 ( B )
A ．2)(x y =
B ．33x y =
C ．2
x y = D ．x x y 2
= 3．已知{}{}102,73≤<=<≤=x x B x x A ，则=B A C R )( （ D ）
A ．[][]10,73,2
B ．(](]10,73,2
C ．()()10,73,2
D ．()[]10,73,2
4．设3.02131)2
1(,3log ,2log ===c b a ，则（ D ）
A ．c b a <<
B ．b c a <<
C ．a c b <<
D ．c a b <<
5．函数x
x x y 432+--=的定义域为（ C ） A ．[]1,4- B ．[)0,4- C ．[)(]1,00,4 - D ． (]1,0
6．若函数)(x f y =是函数)1,0(≠>=a a a y x 的反函数，且1)2(=f ，则=)(x f （ A ）
A ．x 2log
B ．x )21(
C ．x 21log
D ． 22-x
7．定义在R 上的函数f(x)满足⎩⎨⎧>---≤-=0
),2()1(0,)4(log )(2x x f x f x x x f ，则f （3）的值为( B )
A. -1
B. -2
C. 2
D. 1
8．要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个
草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半
径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是
（Ｃ）
Ａ．6 Ｂ．5 Ｃ．4 Ｄ．3
9．函数3)2ln(2)(--=x x x f 的零点个数是 ( B )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 10．函数2y ax bx =+与y ax b =+(0)ab ≠的图象只能是 ( D )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．函数)32(log )(2
21--=x x x f 的单调递增区间是（ A ）
A ．（－∞，－1）
B ．（－∞，1）
C ．（3，+∞）
D ．（1，+∞）
12．已知定义在R 上的奇函数)(x f y =，满足)()4(x f x f -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( B )
A.)80()11()25(f f f <<-
B. )11()80()25(f f f <<-
C. )25()80()11(-<<f f f
D. )25()11()80(-<<f f f
二、填空题：（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．集合{}{}2,1,,2,0a B a A == ,若{}16,4,2,1,0=B A ，则a 的值为 4 。

14．=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-9log 3321613440
21 4 。

15．若a x f x +-=121)(是奇函数，则=a 0.5 。

16．函数)(1
22
R x x x y ∈+=的值域是 [)1,0 。

17．已知幂函数)(x f y =的图象过点)2
2,2(，则)(x f y =的单调区间是 ()+∞,0 。

18.函数a x x x f --=2)(2
有四个零点，则实数a 的取值范围是 ()1,0 。

三、解答题：（本题共5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）
19．（本小题满分8分）
设函数)lg()(a x x f -=的定义域为A ，)11(,12)(≤≤-+-=x x x g 的值域为B 。

（1）若1=a ，求)(A C B R
（2）若φ=B A ，求a 的取值范围。

（1）[]1,1-
（2）[)+∞,3
20．（本小题满分8分）设函数x
x x f -+=11lg )( （1）求函数)(x f y =的定义域；
（2）判断并证明函数)(x f y =的奇偶性。

（1） ()1,1-
（2）奇函数
21．（本小题满分10分）已知函数31)(-+=x
x x f 。

（1）证明)(x f y =在[)+∞,1上是增函数；
（2）判断并证明)(x f y =在[)+∞,1上的零点个数。

（2）1个零点
22．（本小题满分10分）
某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后各月的产量，以这三个月产品数为依据，用一个函数模拟此产品的月产量y （万件）与月份数x 的关系，模拟函数可以选取二次函数y=px 2+qx+r 或函数y=ab x +c （其中p 、q 、r 、a 、b 、c 均为常数），已知4月份该新产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？求出此函数。

解：若y ＝c bx ax x f ++=2)( 则由题设
⎪⎩
⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++==++==++=7.035.005.03.139)3(2.124)2(1)1(r q p r q p f r q p f r q p f )(3.17.0435.0405.0)4(2万件=+⨯+⨯-=∴f
若c ab x g y x +==)( 则
⎪⎩⎪
⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==+==+=4
.15.08
.03.1)3(2.1)2(1)1(32c b a c ab g c ab g c ab g
)(35.14.15.08.0)4(4万件=+⨯-=∴g
∴选用函数c ab y x +=作为模拟函数较好
23．（本小题满分10分）
已知)(x f 为二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2-=-++。

（1）求)(x f 的解析式；
（2）当22≤≤-x 时，4)2()(-++-≥a x a x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

（1） 12)(2--=x x x f
（2） 4)2()(-++-≥a x a x f
032≥-++∴a ax x
设a ax x x g -++=3)(2
34)2()(2
2+--+=∴a a a
x x g
① 当22-≤-a
时，即4≥a 时，
φ∈∴≤∴≥+-=-=a a a g x g 37
073)2()(min
② 当222<-<-a
时，即44<<-a 时，
2426034)2()(2
min ≤<-∴≤≤-∴≥+--=-=a a a a a g x g
③ 当22≥-a 时，即4-≤a 时，
47707)2()(min -≤≤-∴-≥∴≥+==a a a g x g 综上，27≤≤-a。