注重“一题多变” 提高课堂效率——高三数学复习课变式教学一例
变式教学策略在高三数学复习中的实施
2021.01真情 教育探索237变式教学策略在高三数学复习中的实施丁光辉云南省武定民族中学摘要：当前，我国许多中学对高三学生采用大量的题海复习战术，这不仅加重了学生的学习负担，还容易促使其造成畏难心理。
针对这个问题，变式教学法在高中数学课堂上的应用不仅有利于提高学生对数学知识的观察与总结能力，还能通过多种变化方式来训练学生的思维迁移能力，帮助学生从多个角度去发现和解决问题，从而有效提高学生对数学知识的认知度。
关键词：高三数学；变式教学；复习；教学策略随着高考复习方式的不断变化，复习对于学生的要求不仅仅限于对课本内容的考查，更倾向于提升学生的思维能力。
对此，教师在教学过程中可将变式教学法引入数学课堂，通过变式概念性和过程性等多种形式的教学将数学知识呈现给学生，提高学生在课堂上的学习效率，培养学生变式思维能力，从而提高学生的数学水平。
本文从数学教学的现状出发，简要分析了高中教师在教学过程中如何运用变式教学法提高学生的复习效率，并提出了相应的教学策略。
一、结合教学内容，给学生生渗透变式思想高中数学课本内容丰富，其中包含了较多的思想因素。
对此，教师在教学过程中要结合学生的学习特点深入挖掘教材内在的思想和方法，在上课时引领学生从不同角度去发现其中的内在联系，既帮助学生认识到知识本质，同时也要给学生渗透变式思想。
首先，教师要切合学生的实际学习情况针对课堂内容作以调整，将不同的思想方法、解题方式以及牵涉其他的知识点等给学生一一作以总结，然后在上课时将这些内容由简至难地呈现出来，并将其利用哪种方法解决、每一部分知识点牵涉哪种方法等都要给学生讲明白。
其次，为有效地给学生渗透变式思想，教师也要注重对教学主线的设计，可按照“认识概念、提出问题、分析问题、解决问题、利用多种方式解决问题、总结其中思想方法、再总结”等步骤逐步拓展学生的思考思路，使学生更好地理解数学知识的外延和内涵。
例如，在“解三角形”一课复习时，在讲课前，教师可从学生的考试成绩、答题水平以及平时表现等方面先对其思维能力做一个预估，并照其大致水平设计好课堂内容。
复习课变式教学一例
: 筹
生 良好的认知结构 , 促使学生 能力 的提高 的有 效途径. 倘若在复习课 中合理引入变式教学 , 能 有效地克服" 知识疏理+例题选讲 +归纳小结" 套路 的不足.下面是笔者在高二年级一节复 习
课的教学过程及其评述.
P / E > N/平面 C E N/B =P / B 同理, /平面 C E > MP/ B -平面MN ‖平面 C E = P B MN/平面 C E / B. MP / B A j B A jMP, /C , B _ C B_ 同理 AB _ P jN
面面的垂直 , 只涉及立几 中的位置关 系, 而来 涉 及其数量关系 , 所以我们提出这样的问题 : 变式 1 若两正方形所在平 面互相垂直 , : 则
当 M, 到达何处 时使 MN 最短?并求这 个最 N
小值.
维普资讯
上 海 中 学数 学 · 0 5年 第 1期 20
1
面角 的平面角, 易求得 ac s r o ÷. c
0
[ 评注]三个变式尽管 由教师提 出, 这些 但
问题一环扣一环 , 且建立在 直线与 平面 的知 识 结构及学生原有 的知识 基础 上, 激起学生 的 易
经过独立解题学生提供了以下解法: 设动线 段 A 的长为 z 则 F A M , N= M=z 如图 3 ( )
[ 评注]以上证法均 由学生提供 , 这里既复 习了线面平行与垂 直的有关知识 , 又强化 了线
面平行与垂直证明的有关技能和方法.
, l , E
( )问题的变式与解 决 二
师: 上述解答涉及 了线线 , 面, 面平行 线 面
图1
图2
A /B = F/ E >
高三数学复习课变式教学策略的探究
技法点拨高三数学复习课变式教学策略的探究■郑艳摘要：本课题主要是在高三复习课中充分贯彻变式教学，把高中三年的零散知识，通过知识的内在联系结合学生个性的认知习惯，使学生在脑海中形成一个优良的知识体系。
通过本课题的实施使学生能够达到举一反三，触一题而通一类的效果，从而优化教学成效，在教学中通过学生主动参与，提高学生的学习兴趣，从而避免机械重复的学习，大大提高学生的学习效率。
关键词：高三数学；复习课；变式；探究一、本课题的研究内容（一）显性内容1.形成了适合我校学生学情的变式教学学习模式。
第一：课前准备阶段1.研究教材和课程标准，研究学生，确定学习目标。
2.整合教学资源，围绕学习目标设计课堂活动。
第二：课堂教学阶段环节一：创设情境，提出问题通过创设一定的情境，帮助学生主动地投入后面的探究过程中。
由于高中学生已具有一定的抽象思维能力，他们会通过感知材料，积极思考，带着富有挑战性和价值性的问题参与学习过程，怀着一定程度的好奇心和求知欲，这正是问题意识的萌芽，也是探究活动的开始。
教学中教师要精心设置问题情境，帮助学生主动地投入到教学活动中。
环节二：合作交流，变式探究变式的难度要有“梯度”，要循序渐进，逐层递进，不能一步到位，否则会使学生产生畏惧心理，影响问题的解决和教学的效果从而降低学习效率。
问题变式的数量要“适度”，不能多多益善，否则会物极必反，引起学生的反感。
要创设变式情境，提高学生的参与度，唤起学生的求知欲，使学生在40分钟的课堂时间里始终保持有浓厚的学习兴趣。
环节三：活动体验，探究发现课堂上教师应更多地为学生创设一种轻松、民主、和谐的探究氛围，营造出教师---学生，学生---学生间自由交流，平等合作的环境。
环节四：归纳综合，拓展创新教师要适时的引导学生对共同探究的结果进行归纳、提升和评价，还应根据不同的学习内容、目标及学生的实际情况，给学生留下适当拓展延伸的空间和时间，使学生的思维由课内延伸到课外，使课堂的探究活动得以继续。
“变”出精彩“变”出高效——记高三的一堂复习课
碰撞上产 生大量 的火花 ，所有这 一切体 现在学 生上课 时炯炯有
神的 眼光 ，体现 在学生 聚精会 神专注 的神情 ，体 现在解 决 问题
过程 中的沉着冷静 ，体现在解决 问题后 的心 旷神怡 ． 以上题 组 中引 出一般 的解题规律 ，努力 改进 以上暴 露 出来 的问题 ，让 学 在 的训 练过程 中 ，我们不难 发现 题 目固然 在变 ，但本质 不变 ，所 生每节课 学有所获 ．
创 造 ’过 程 ． ”
） ．
（ ）４ Ｃ
（ ） 、 Ｄ ２／
变式３ ： 知Ａ 是椭圆 ＋０一 ＝ ＞ ＞ ）的长轴， ． 已 Ｂ １ 导 １ ｂ ０．
Ｐ是椭圆上异于 Ａ、Ｂ的点 ，求证 ：ｋ ｋ ・ ＝一 ．
ｆ ｉ－
二、抛 出问题 。指引思考
在投影 仪上 展 出三个 例题 ，特 别选 择 了函数 、立体 几何 、
Ｎ． ０１ Ｏ６ ２ １
Ｊ ｕ ａ ｆ Ｃ ｉ ｅｅ Ｍａｈ ｍａｉｓ Ｅ ｕ ａｉｎ ｏ ｒ ｌｏ ｈｎ ｓ ｔｅ ｔ ｄ ｃ ｔ ｎ ｃ ｏ
２１ ０ １年
第 ６期
摘要 ：在新课 程 背景下 ，如何 优化教 学过程 ，提 高教 学效
变式 ２１ ．：已知 三 棱锥 Ｏ－ Ｂ Ａ Ｃ，且 Ｏ Ａ、Ｏ Ｂ、Ｏ Ｃ两 两 垂 变式 ２２ ．：已知 一个 四面体 三组对棱 分别相 等 ，ＡＢ＝Ｃ Ｄ＝
，
益 ，已成 为广 大一 线教 师研讨的主题． 对 目前部 分高三学生学 直 ，Ｏ 针 Ａ＝１ Ｂ＝２ Ｃ＝３ ，Ｏ ，Ｏ ，求三棱锥 外接球 的面积 与体积．
得辛苦 ， 但数学成绩止步不前的现象，设计了一节高三复习课 ，
从例题 出发 ，注重 引导 学生进行创造性的 变式 ，期望有所突破 ．
注重高三数学复习课的效率——变式教学一例
在上 题中 ， 将定点Ａ（ １ ， ０ ） 变成 了在某条定直线 上运动的动点 ， 彻底改变 了题 目的条件背景 ， 促成 了 圆锥曲线 与直线知识的交 汇。如此处理对激 发学 生 的求 知欲 、 培养他们 的知识迁移 能力有促进作用。 变式４有一 抛物线 以（ ３ ， ０ ） 为顶 点 ， 且 以 轴 为 对称轴 。如果动点Ａ满足直线方 程ｚ ： ３ ＋ ４ ＝ １ ２ ， 且 到 此抛物线上 的点 的最小距离为 ，求此抛物线 方
Ｐ （ ａ ＋ ｌ ， ＋ 、 ） 。
二、 变 化 问题 形 式 ． 深 化 概 念 理解
笔者从教学实践 中体会 到 ：学生如果只会机械 地 套 用 解题 模 式 去 处 理 问题 的话 ， 思想 容 易 僵 化 ， 思
维容易呆板 。 若将问题形式略加变化 ， 引导学生 回归
基本概念 、 基本知识 ， 则 会 在 一定 程 度 上 克 服 机 械套 用解题模式 的思维定式。 比如将原题 中抛物线上 的 点“ 到 一 个 定 点 的最 小 距 离 ” 变更为 “ 到 两 个 定 点 的
０
思 路 方 法
≮
落 高三 教 学 复 习课 的
０ ”
变 式 教 学 一例
● 卢 成
平行时Ｉ Ｉ ＋ Ｉ Ｐ Ｎ 最小 ， 易求得此时Ｐ （ ， １ ） 。
２
对于高三复习课 ， 教 师应该精心设计教学 ， 尽量 使知识 系统 化 、 方法大众化 、 题 型模 型化 、 答题规 范 化、 思维策 略化 。 从课本 中的一个 简单 习题开始变式 设计 ， 一题多用 、 一题多变 、 由浅入深 、 体 现梯度 、 形 成系统 ， 使不 同程度的学生都有所发展 。 在知识 应用 的过程 中， 让学生体会试题编制的大致方法 ， 体会到 高考题源于课本 ， 高于课本 ， 消除对高考试题中神秘 感和畏难情绪 ， 使学生形成有效的复习策略。 本文以 道解析几何题 的变式教学为例 ，重点谈谈高三数 学复习课中如何做到 以静制动、 举一反 三的问题 。 例题 ： 求抛物线 上与原点距离近的点 的坐标 。 解析 ： 设所求的点Ｐ 的坐标为（ ， Ｙ ） ，
实施科学变式训练实现高三数学有效复习
实施科学变式训练，实现高三数学有效复习 ――2013年湖北省高中青年数学教师优秀课观摩有感 所谓数学变式教学，即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式以及问题从不同角度、不同层次、不同背景下做出有效的变化，其呈现形式虽然发生了变化，但内在本质特征却保持不变。
在高三数学复习课中实施科学变式训练，可以切实让学生从题海中走出来，真正实现教学的有效性。
2013年11月在荆门举行的湖北省高中青年数学教师优秀课评比中就有10多位老师设计了不同形式的题组变式训练，本文就高三复习课中的有效变式训练实施方法作以说明。
一、并列型变式，有效促成基本技能。
例1、在ABC ∆中，AB=2，AC=4，若点P 是线段BC 的中点，求AP BC 的值。
变式1：若点P 是ABC ∆的外心，求AP BC 的值。
变式2：若点P 是ABC ∆的重心，求AP BC 的值。
变式3：若点P 是ABC ∆的内心，求AP BC 的值。
点评：现代心理学的研究表明，各种知识对人的大脑皮层的刺激与反应的影响相似因素越多，越容易引起迁移。
在本例中，先出示学生已掌握的问题让学生解决（利用平面向量的基底或建立坐标系或向量数量积的几何意义——投影来解决例1），然后巧妙地应用并列型变式过渡到一个新的问题，在并行型变式中让学生利用知识间的类比（→→→中点外心内心重心），去分析、探讨相似内容的知识，即用已知来探讨未知，有效促成学生利用代数或几何的方法来求解向量数量积的基本技能。
二、对比型变式，有效揭示概念内涵。
例2：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D - 的棱AB 上任取一点P ，求点P 到点A 的距离小于等于1的概率。
变式1：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的面11AA B B 上任取一点P ，求点P 到点A 的距离小于等于1的概率。
变式2：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中任取一点P ，求点P 到点A 的距离小于等于1的概率。
高三数学复习中的问题变式教学
二.问题变式的常见形式
1.交换题目的条件和结论 2.改变题型结构 3.改变题目中的图形 4.具体化题目的条件 5.改变题目的载体
三.问题变式在高三复习中运用
（一）题后反思，树立 “变”的意识
反思是题目变式的源泉和基础， 是题目变式的内在动因
（二）精心备课，把握“变”的切入点 （三）注重落实，过手 “变”后问题的求解
m | m x 2 x, x R 1 [ , ) 4
A B 1
3x 例2．求函数 y x 2 4 的值域。
解：（ 法）
2
yx 4 y 3x
2
yx 3x 4 y 0
①
y 0 时，x 0 符合题意； y 0 时， 9 16 y 2 0
原函数的值域为：
3 y | y 2, y , y R 4
3x (0 x 3) 的值域 变式2：求函数 y 2 x 4
4 ，由 x 4 解：1） x 0 时，y 4 x x x
3
3 y (0, 4 ]
2）
x 0 时，y 0
3 综上，原函数的值域为：y [0, ] 4
3x 2 (0 x 3) 的值域 变式3：求函数 y 2 x 4
思路：（换元法）令
t 3x 2
t [1,10]
9t , 则 y 2 t 4t 40
2
2 x 3x 10 (0 x 3)的值域 变式4：求函数 y 2 x 4 思路：（分离常数法）
略解：集合A是抛物线 集Leabharlann B是直线 yB
yx
2
上点的集合，
例说“变式教学”在高三数学复习课中的应用
对于紧张备考的高三教师来说，如何提高课堂效率，让学生学会举一反三、融会贯通，成为广大高三一线教师一直以来追求的目标。笔者在高三授课的具体实践中，尝试应用“变式教学”、“一题多解”的方式，对于打造高效课堂，提高备考效率成效显著。
高中数学内容有“两多”：知识点多，题型多。教师使用“举一反三”的方法进行教学，可以达到以点带面、触类旁通的目的。对学习能力较强的学生而言，能拓宽知识面，提高知识的应用能力。因此，在教学中，尤其是在高三复习中，如果能引导学生运用题组训练构建数学知识网络，实现一题多解，对于提升学生解决问题的能力是有很大帮助的。
由于高考数学（理）中对抛物线的考查要求比较高，因此在高三复习中，大部分教师都会给学生推导一些常见的结论，比如焦点半径公式，焦点弦长公式，以焦点弦为直径的圆与准线相切等等。这些结论的给出，固然给人一种“赏心悦目”的感觉，但是如果无法在做题中加以应用，似乎又显得“徒有虚名”，因此，笔者尝试着引导学生应用这些结论。于是我们提出第二种解决此问题的方法如下：
现以一道复习备考题为例，谈谈“变式教学”在高三复习课中的应用。
题目：已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（-2,2），过点F且斜率为K的直线l与C交于A,B两点，若MA·MB=0，则k=（ ）。
A.2B.C.D.2
解法一：该题显然是一道直线与抛物线的位置关系问题，常规的解题思路是：用点斜式表示出直线方程，通过联立抛物线与直线方程，消元后得到关于x的一元二次方程，再用韦达定理表示出A,B两点坐标之间的关系，进而表示出向量MA与向量MB的坐标，由其数量积为0，可以得到一个关于k的方程，解出k即可。
解法二：根据结论“以焦点弦为直径的圆与准线相切”，则以AB为直径的圆与准线x=-2相切。因为MA⊥MB，所以M点在以AB为直径的圆上，又因为点M在准线上，所以点M是切点，设AB中点N，则MN∥x轴，故点N的纵坐标为2，再利用“点差法”，即可求出AB的斜率。