初等数论§1整除
初等数论及其应用
= 251649
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课堂练习
计算: 将237894与251649都转换为二进制.
解: 其八进制表示分别为(720506) 8与(753401)8
易知对八进制0 − 7有如下二进制转换
0 −> 000 1 −> 001 2 −> 010 3 −> 011
4 −> 100 5 −> 101 6 −> 110 7 −> 111
因此, (720506) 8 = (111010000101000110) 2
(753401) 8 = (111101011100000001) 2
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总结
自然数或者正整数指的是数1, 2,…, 而整数指的是数
0,±1,±2,⋯. 全体整数的集合记为ℤ, 而全体正整数或
除法:
66 = 2 × 33 + 0 (低位)
33 = 2 × 16 + 1
16 = 2 × 8 + 0
8=2×4+0
4=2×2+0
2=2×1+0
1 = 2 × 0 + 1 (高位)
按从低位到高位顺序, 依次取出上述除法中的余数, 得到
(66)10 = (1000010)2.
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余数的定义
定义1.1.2 带余除法 = + 中的为用除得出
② 如果|, ≠ 0, 那么|.
③ 如果|, |, 那么对任意, ∈ ℤ, 有| + .
④ 如果|, |, 那么 = 或 = −.
初等数论
3 同余
性质：同余关系是等价关系。 模m等价类: 在模m同余关系下的等价类. [a]m, 简记作[a]。 Zm: Z在模m同余关系下的商集。 在Zm上定义加法和乘法如下: a, b, [a]+[b]=[a+b], [a]· [b]=[ab]. 例6：写出Z4的全部元素以及Z4上的加法表和乘法表. 解 Z4={[0],[1],[2],[3]}, 其中[i]={4k+i |k∈Z}, i=0,1,2,3. + [0] [1] [2] [3] [0] [1] [2] [3] [0] [1] [2] [3] [1] [2] [3] [0] [2] [3] [0] [1] [3] [0] [1] [2] · [0] [1] [2] [3] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [2] [0] [2] [0] [2] [3] [0] [3] [2] [1]
解 150=2×3×52, 168=23×3×7. gcd(150,168)=21×31×50×70=6, lcm(150,168)=23×31×52×71=4200.
欧几里得算法-辗转相除法
除法算法: a=qb+r, 0≤r <|b|, 记余数r=a mod b
例如, 20 mod 6=2, 13 mod 4=3, 10 mod 2=0
RSA公钥密码
私钥密码:加密密钥和解密密钥都必须严格保密 公钥密码 (W.Diffie,M.Hellman,1976 ):加密密钥公开,解密 密钥保密
整数. 则 min( rk , sk ) min( r1 , s1 ) min( r2 , s2 ) gcd(a,b)= p1 p2 pk ,
max( rk , sk ) max( r1 , s1 ) max( r2 , s2 ) p p p lcm(a,b)= 1 2 k
初等数论 高等数论
1111
数论是一门研究整数性质的数学分支，它包括了初等数论和高等数论两个方面。
初等数论主要研究整数的基本性质，如整除性、质数、合数、最大公约数、最小公倍数等。
这些概念和性质在小学和初中的数学课程中就已经涉及到了，因此也被称为“小学数论”或“初中数论”。
初等数论的研究方法主要是通过观察、归纳和证明来得出结论，它的研究对象比较具体，结论也比较直观。
高等数论则是在初等数论的基础上，进一步深入研究整数的性质和结构。
它涉及到的概念和方法更加抽象和复杂，如素数分布、数的几何、代数数论、解析数论等。
高等数论的研究需要运用到高等数学的知识和方法，如微积分、线性代数、抽象代数等。
高等数论的研究成果不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在计算机科学、物理学、密码学等领域也有着重要的应用。
总的来说，初等数论是高等数论的基础，高等数论则是初等数论的延伸和深化。
无论是初等数论还是高等数论，它们都是数学中非常重要的分支，对于我们深入理解整数的性质和结构、推动数学的发展都有着重要的意义。
初等数论
序言数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王，数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。
我将会介绍数论中最基本的概念和理论，希望大家能对这门学问产生兴趣，并且对中小学时代学习过的一些基本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍数、辗转相除法等，有较深入的了解。
第一章整数的整除性§1.1整除的概念一、基本概念1、自然数、整数2、正整数、负整数3、奇数、偶数一个性质：整数+整数=整数整数-整数=整数整数*整数=整数二、整除1、定义：设a，b是整数，b≠0。
如果存在一个整数q使得等式：a=bq成立，则称b能整除a或a能被b整除，记作b∣a；如果这样的q不存在，则称b不能整除a。
2、整除的性质（1）如果b∣a，c∣b，则c∣a.（2）如果b∣a，则cb∣ca.（3）如果c∣a，则对任何整数d，c∣da.（4）如果c∣a，c∣b，则对任意整数m，n，有c∣ma+nb.（5）如果a∣b，b∣a，则a=±b.3、质数、合数质数（素数）是指在大于1的自然数中，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为素数（质数）。
初等数论的性质与定理总结
初等数论的性质与定理总结初等数论是数论中的一个基础分支，研究整数的性质和整数运算规律。
本文将总结初等数论中的一些重要性质与定理。
一、整数的整除性质1. 整数的除法基本性质：对于任意整数a、b和非零整数c，存在唯一的整数q使得a = bq + c。
2. 整除关系的传递性：如果a能整除b，且b能整除c，则a能整除c。
3. 整除关系的辗转相除法：对于任意整数a和非零整数b，存在唯一的整数q和r使得a = bq + r（其中0 ≤ r < |b|）。
二、质数与合数1. 质数的定义：质数是指大于1且只能被1和自身整除的整数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
2. 质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积。
3. 最大公约数与最小公倍数的性质：对于任意整数a和b，记a和b 的最大公约数为gcd(a, b)，最小公倍数为lcm(a, b)，则有以下性质： - gcd(a, b) = gcd(b, a)- gcd(a, 0) = |a|- lcm(a, b) = |ab| / gcd(a, b)三、模运算与同余1. 模运算的基本性质：对于任意整数a、b和正整数n，有以下性质：- (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n- (a - b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n- (a * b) mod n = (a mod n * b mod n) mod n2. 同余关系的性质：对于任意整数a、b和正整数n，如果a与b模n同余（记作a ≡ b (mod n)），则有以下性质：- a + c ≡ b + c (mod n)- ac ≡ bc (mod n)- 如果a ≡ b (mod n)，则a^k ≡ b^k (mod n)对于任意正整数k四、费马小定理与欧拉定理1. 费马小定理：如果p是质数，a是任意正整数且p不整除a，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
初等数论知识点
初等数论知识点数论是数学的一个重要分支，而初等数论则是数论中较为基础和入门的部分。
它主要研究整数的性质和相互关系，虽然看似简单，却蕴含着深刻的数学思想和广泛的应用。
一、整除整除是初等数论中最基本的概念之一。
如果整数 a 除以整数 b（b≠0），所得的商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，或者b 能整除 a，记作 b ｜ a。
例如，6 能被 3 整除，因为 6÷3 ＝ 2，没有余数；而 7 不能被 3 整除，因为 7÷3 ＝ 21，有余数 1。
整除具有一些基本性质，比如：1、如果 a ｜ b 且 b ｜ c，那么 a ｜ c。
2、如果 a ｜ b 且 a ｜ c，那么对于任意整数 m、n，有 a ｜（mb＋ nc)。
二、因数和倍数如果 a 能被 b 整除（b≠0），那么 b 就是 a 的因数，a 就是 b 的倍数。
一个数的因数是有限的，其中最大的因数是它本身；一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
例如，12 的因数有1、2、3、4、6、12；12 的倍数有12、24、36、48三、质数和合数质数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。
合数则是指除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的自然数。
例如，2、3、5、7 是质数；4、6、8、9 是合数。
1 既不是质数也不是合数。
质数在数论中有着重要的地位，寻找大质数是密码学等领域中的关键问题。
四、公因数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
求最大公因数可以用辗转相除法。
例如，求 24 和 36 的最大公因数，36÷24 ＝ 112，24÷12 ＝ 2，所以24 和 36 的最大公因数是 12。
五、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
初等数论闵嗣鹤第三版pdf
初等数论闵嗣鹤第三版pdf初等数论是数学的一个分支，它主要研究自然数的性质和规律，以及数字之间的关系，是数学的基础之一。
其中，闵嗣鹤所撰写的《初等数论》是一本经典的教材，在广大数学爱好者和学生中享有很高的声誉。
下面是闵嗣鹤第三版《初等数论》的主要内容及划分：一、自然数与整数自然数和整数是初等数论的基础，闵嗣鹤在第一章中详细地探讨了这两个概念的定义、性质和运算法则。
其中，自然数之间的关系包括大小关系、奇偶性、质因数分解等，而整数之间的关系包括最大公因数、最小公倍数、同余等。
二、素数与分解定理素数是指在大于1的自然数中，除了1和本身之外，没有其他因数的数。
在第二章中，闵嗣鹤详细探讨了素数的性质、分布规律、筛法等，并引入了分解定理，即任何大于1的自然数都可以唯一地写成素数的积的形式。
三、同余与模运算同余是指两个数除以同一个自然数的余数相等。
闵嗣鹤在第三章中解释了同余的概念和性质，并介绍了模运算，即对于任何整数a和正整数n，都可以得到一个余数r，也就是a mod n=r。
四、数论函数与数论约束问题数论函数是指把自然数映射为自然数的函数，闵嗣鹤在第四章中介绍了数论函数的类型、性质和应用，如欧拉函数、莫比乌斯函数等。
另外，数论约束问题是数论中一个重要的研究方向，指在一定条件下求出自然数的个数或性质，如高斯整数环中最大不同平方因子数量的值等。
五、二次剩余与离散对数二次剩余是指一个数的平方模一个素数后的余数，闵嗣鹤在第五章中详细探讨了二次剩余的性质和应用，如欧拉定理、勒让德符号等。
离散对数则是指解一个同余方程中未知数的问题，其在密码学领域中有重要应用。
六、多项式与代数数论多项式是数论中的一个重要分支，涉及到的问题包括多项式的根、因式分解等。
闵嗣鹤在第六章中介绍了多项式的性质和运算法则，以及代数数论的相关知识。
综上所述，闵嗣鹤第三版《初等数论》是一本内容丰富、系统完备、知识详尽的经典教材，不仅适用于初学者，也适合用于深入研究数论的专业人士。
初等数论
初等数论初等数论从表面意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。
准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。
它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。
纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。
第一部分：整除初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。
整除理论首先涉及整除。
现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。
从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。
但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。
首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差别，当然整数的定义改变就相对少得多。
另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。
在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。
自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。
Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件：（ⅰ）对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素（或后继）；（ⅱ）有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继；（ⅲ）N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b;(ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈S则必有n+ ∈S,那么，S=N.这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。
其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。
数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。
主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：（第二种数学归纳法）设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。