线性代数：线性代数
线性代数-章节知识点及习题
第一章 行列式一、教学要求1、了解行列式定义；2、掌握行列式的性质和展开法则；3、会利用化三角法和行列式展开法则计算低阶行列式以及简单n 阶行列式；4、了解克莱姆法则；重点、难点：熟练运用行列式性质，掌握行列式计算方法二、主要知识点及练习 1、 行列式性111213111112132122232121222331323331313233223=1223=223a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，则。
练习：若行列式---311234=1303=101313a b c a b c ，则。
练习：若行列式+++2、 代数余子式13122,112D x x D=则中的系数为。
练习：设行列式11111111x x 是关于的一次多项式，该式中的一次项系数是。
练习：--- 3、 行列式计算1） 对角线法------计算二阶、三阶行列式212103214111213212223313233--、a a a a a a a a a 练习：计算三阶行列式2） 利用行列式性质计算行列式------将行列式化为上三角、下三角、对角行列式222222222(1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)11231123(3)(4)11131121(1)ab b b x x x ba b b y y y bb a b z z z b b b ax ab ac aex bd cdde x bf cfefx 练习：计算下列行列、式、、的值+++++++-+-+-+3） 利用行列式展开法计算行列式------将行列式降阶0110100111011110练习：四阶行列式。
=11121314313233441111123456224816123434D A A A A A A A A 练习：已知行列式，则，。
==+++=++--+=123,1,3D A A 练习：设三阶行列式的第二行元素分别为,,第一行元素的代数余子式的值分别为,,则。
线性代数基础知识
线性代数基础知识导言：线性代数是现代数学的重要分支之一，广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍线性代数的基本概念、运算规律和应用，以帮助读者建立对线性代数的基础知识。
一、向量与向量空间1.1 向量的定义与性质向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对或矩阵形式表示。
向量的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
1.2 向量空间的定义与性质向量空间是由一组向量和运算规则构成的数学结构，包括加法和数量乘法运算。
向量空间满足加法和数量乘法的封闭性、结合律、分配律以及零向量和负向量的存在等性质。
二、矩阵与线性方程组2.1 矩阵的定义与性质矩阵是由一组数按照矩形排列组成的数学对象，可以表示为一个二维数组。
矩阵的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
2.2 线性方程组的表示与求解线性方程组可以用矩阵和向量表示，形式为Ax=b。
其中，A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
线性方程组的解可以通过消元法、矩阵的逆或行列式等方法求得。
三、线性变换与特征值特征向量3.1 线性变换的定义与性质线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数量乘法运算。
线性变换满足加法封闭性、乘法封闭性和保持零向量不变等性质。
3.2 特征值与特征向量线性变换的特征值和特征向量是线性变换的重要性质。
特征值为标量，特征向量为非零向量，满足Av=λv。
其中，A为线性变换的矩阵表示，λ为特征值，v为对应的特征向量。
四、内积空间与正交性4.1 内积空间的定义与性质内积空间是一个向量空间，具有额外定义的内积运算。
内积满足对称性、线性性、正定性和共轭对称性等性质。
4.2 正交性与正交基在内积空间中，若两个向量的内积为零，则它们互为正交。
正交基是一个向量空间中的基，其中任意两个基向量互相正交。
五、特殊矩阵与特殊向量5.1 对称矩阵与正定矩阵对称矩阵是满足A^T=A的矩阵，其中A^T为A的转置矩阵。
线性代数课件PPT
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
线性代数简介
序 言1.什么是线性代数：线性代数名曰代数，是代数学乃至整个数学的一个非常重要的学科，顾名思义，它是研究线性问题的代数理论，具体来说是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。
1.1 那么什么是代数呢？代数英文是Algebra ，源于阿拉伯语，其本意是“结合在一起”的意思。
也就是说代数的功能是把许多看似不相关的事物“结合在一起”，也就是进行抽象。
抽象的目的不是为了显示某些人智商高，而是为了解决问题的方便，为了提高效率，把许多看似不相关的问题化归为一类问题。
比如线性代数中的一个重要的抽象概念是线性空间（对所谓的要满足“加法”和“数乘”等八条公理的元素的集合），而其元素被称为向量。
也就是说，只要某个集合里的元素满足那么几条公理，元素之间的变化满足这些规律，我们就可以对这个集合（现在可以改名为线性空间了）进行一系列线性化处理和分析，这个陌生的集合的性质和结构特点我们一下子就全知道了，因为宇宙间的所有的线性空间类的集合的性质都一样，地球人都知道（如果地球人都学了线性代数的话）。
多么深刻而美妙的结论！这就是代数的一个抽象特性。
1.2 那么线性问题又是什么样的问题呢？在大家的科技实践中，从实际中来的数学问题无非分为两类：一类线性问题，一类非线性问题。
线性问题是研究最久、理论最完善的；而非线性问题则可以在一定基础上转化为线性问题求解。
因此遇到一个具体的问题，首先判断是线性还是上非线性的；其次若是线性问题如何处理，若是非线性问题如何转化为线性问题。
下面我们通过介绍一个重要的概念来逐渐的把握线性这个核心意思。
“线性”的意义线性代数里面的线性主要的意思就是线性空间里的线性变换。
线性变换或线性映射是把中学的线性函数概念进行了重新定义，强调了函数的变量之间的变换的意义。
线性函数的概念线性函数的概念在初等数学和高等数学中含义不尽相同（高等数学常常把初等数学的关键概念进行推广或进一步抽象化，初等数学的概念就变成了高等数学概念的一个特例）。
第一讲线性代数
an2
a1m
aim
km
a
jm
anm
b1
a11
a12
bj
a
j1
a
j2
k1 k2
bi
ai1
ai 2
bn
an1
an2
a1m
a
jm
km
aim
anm
b1
a11
于是
• 当 l ≠ 0 且 l ≠－3 时，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解．
bj
a j1
aj2
bn an1 an2
a1m
aim
ka jm
km
a jm
anm
由此可见，若以向量 1,2, ,m ,
为列的矩阵
A 1,2, ,m,
经初等行变换，变成以向量1, 2, , m, 为列的矩阵 B 1,2, ,m,
k11 k22 kmm
由此可见，有的向量可由某一向量组线性表示， 而有的向量则不能。那么如何判断一个向量能否由 某一向量组线性表示呢？
关于向量的线性表示，有以下明显的事实：
b1
a11
a12
bi
ai1
ai 2
k1 k2
b
j
a
j1
a
j
2
bn
an1
1,2 ,3, 1
2
1
4 2
1 1
3
r3 r1
r4 3r1
0
3
6
3
3
1 2 2
0Байду номын сангаас
0
5
0 0 3
4 5
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标（1）理解线性代数的基本概念和原理；（2）掌握线性代数的基本运算方法和技巧；（3）能够应用线性代数解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组；（2）矩阵及其运算；（3）线性空间和线性变换；（4）特征值和特征向量；（5）二次型。
二、第一章：线性方程组1. 教学目标（1）理解线性方程组的定义和性质；（2）掌握线性方程组的求解方法；（3）能够应用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组的定义和性质；（2）线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则；（3）线性方程组的应用：线性规划、电路方程等。
三、第二章：矩阵及其运算1. 教学目标（1）理解矩阵的定义和性质；（2）掌握矩阵的运算方法；（3）能够应用矩阵解决实际问题。
2. 教学内容（1）矩阵的定义和性质；（2）矩阵的运算：加法、数乘、乘法；（3）矩阵的逆矩阵及其求法；（4）矩阵的应用：线性方程组、线性变换等。
四、第三章：线性空间和线性变换1. 教学目标（1）理解线性空间和线性变换的定义和性质；（2）掌握线性变换的表示方法；（3）能够应用线性变换解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性空间的定义和性质；（2）线性变换的定义和性质；（3）线性变换的表示方法：矩阵表示、坐标表示；（4）线性变换的应用：图像处理、信号处理等。
五、第四章：特征值和特征向量1. 教学目标（1）理解特征值和特征向量的定义和性质；（2）掌握特征值和特征向量的求法；（3）能够应用特征值和特征向量解决实际问题。
2. 教学内容（1）特征值和特征向量的定义和性质；（2）特征值和特征向量的求法：幂法、矩阵对角化；（3）特征值和特征向量的应用：线性变换、振动系统等。
六、第五章：二次型1. 教学目标（1）理解二次型的定义和性质；（2）掌握二次型的标准形和规范形；（3）能够应用二次型解决实际问题。
2. 教学内容（1）二次型的定义和性质；（2）二次型的标准形和规范形：配方法、矩阵的对角化；（3）二次型的应用：最小二乘法、优化问题等。
线性代数-线性方程组的解
0 0 0 0
R(A) = R(B) < 3,方程组有无穷多解 .
其通解为
x1 x2
=1− = x2
x2
−
x3
x3 = x3
(x2 , x3为任意实数 ).
(2) 当λ ≠ 1时,
1 1 λ
λ2
B ~ 0 1 −1 −λ
0
0
2+λ
(1
+
λ
)2
=
−2
x3
−
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 = c1, x4 = c2，把它写成通常的参数 形式
x1
x2 x3
=
= =
2c2
+
5 3
c2
,
−2c2
−
4 3
c2
c1 ,
,
x4 = c2,
∴
x1 x2 x3 x4
=
c1
2 −2 1 0
+
c2
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5
x4 = a4 + x5
(x5为任意实数 ).
例５ 设有线性方程组
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
B
~
0 0 0
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n阶行列式的定义
a11 a12 D a21 a22
a1n
a1n
(1)t a1p1 a2 p2
三阶行列式
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
aa2311
x1 x1
a22 x2 a32 x2
a23 x3 a33 x3
b2 b3
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
第一章
2、 全排列及其逆序数
排列
❖ 全排列 123,231,312 ……,一共 Pn n!
❖ 标准排列 12345(不妨假设是从小到大排列)
❖ 逆序：两个元素的排序相反。 53,21,……
❖ 逆序数：所有逆序的数量总和。321->3
❖ 54321->10 ❖ n,n-1,n-2,…,3,2,1 －>
代数
❖ 多项式方程（超过四次方程没有求根公式）
3x 5 12 x2 2x 15 0 x3 4x2 5x 6 0 x4 5x 1 0
线性代数
❖ 多元一次方程组
a11x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a11 a12
a1n
a21 a22
a1n
an1 an2
ann
(1)t a1p1 a2 p2 anpn
(a11a22 a12a21 )x1 b1a22 b2a12
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
二阶行列式
行
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
a 列
12
元素 行标、列标
克拉默法则（p22）
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
b1 2
1 2 4 D 2 2 1 (4) 32 (6) 24 8 4
3 4 2
11 1 2 3 x 0 4 9 x2 3x2 18 4x 2x2 9x 12 x2 5x 6 (x 2)(x 3) 0
范德蒙德行列式（P18)
推广到n阶
❖ 三阶行列式 ❖ 3个元素相乘 ❖ 不同行、不同列 ❖ 全部可能组合都出现 ❖ 一半正号，一半负号
两个主要概念
行列式
2x 3y 8 3x 4y 5
矩阵（P29）
2
3
3 4
x y
8 5
23 3 4
2 3
3
4
第一章 行列式
1、 二阶与三阶行列式
二阶与三阶行列式
二元线性方程组与二阶行列式
消元法解二元方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 a31 a32 a33
b1
x1
b2 a11
a21
a12 a22 D1 , a12 D a22
a11
x2
a21 a11
a21
b1 b2 D2 a12 D a22
3x 2 y 12
2x y 1
3 2
D
7
21
12 2
D1 1
14 1
3 12
D2 2
31 2 12 21 1
x D1 2 D
y D2 3 D
anpn
an1 an2
ann
t是p1, p2 , , pn的逆序数
3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3
按照定义共有24项，计算比较复杂。 其中出现0,会减少一些单项。
对角行列式
1 2
稀疏行列式
a11
12 n D a21 a22
n
an1 an2
a11 a12
1
D
a22
amn xn bm
鸡兔同笼问题
❖ 鸡和兔子一共有10只 ❖ 一共有28条腿
x y 10 2x 4y 28
a c
b
线性组合(P82)
❖ 能否用两个向量线性组合出另一个向量？
2 3 8
x1
3
x2
4
5
32xx1143xx22
8 5
齐次线性方程组(P25)
❖ 是否存在一个向量和已知的两个向量垂直？
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
0
n
0
a11a22 ann ann
下三角行列式
a1n a2n a11a22 ann ann
上三角行列式
简化行列式
❖ 如何让行列式中尽量多出现0 ❖ 行列式可以什么样的变换？
线性变换
Cn2
❖ 逆序数奇偶性区分排列：奇排序，偶排列。
32514
逆序数＝5
第一章
3、 N阶行列式的定义
观察二阶和三阶行列式定义
❖ 将行标排列成标准顺序 ❖ 观察列标的逆序数以及单项的符号
❖ 二阶：12 偶排列 正号，21 奇排列 负号
❖ 三阶：123、231、312 偶排列 正号 aa121113aa212、22 2a1113a、22 3a2121a2奇1 排列 负号
x
1 4
y
z
2
5
3 6
x 2y 3z 0 4x 5y 6z 0
线性相关(P87)
❖ 三个向量是否能组合出零向量？
1 2 3 0
k1
4
k2
5
k3
6
0
3 6 9 0
k1 2k2 3k3 0 4k1 5k2 6k3 0 3k1 6k2 9k3 0