电场电势习题课详解

R 0 R R2dr 0 rdr
U外 E外 dr E内 dr
r
R
r
2 0r
R 2 0
R2 R R2
ln
2 0 r 4 0
19
E ~ r 曲线和 U ~ r 曲线
RR
r
hS
E
r
1 r
oR
r
U
o r2 R
r
对数曲线
20
练习6. 电量 q均匀分布在长为2L的细棒上 。求：
Rsindq 4 0 R3
cossin 2 0
d
沿 x 方向 。
(4) 能不能由 dE 直接积分？ 积分限如何确定？
因为各圆环在o 点处 dE 同向, 可直接积分 。
E0
dE
2
cossin
d
0
2 0
4 0
沿 x方向 。
7
[练习3] 求半径R ，电荷体密度 k r
（ k 为常数 ，r R ）带电球体内外的场强 .
(2) E 为路径上各点总场，若各区域 E 表达式不同，
应分段积分.
(3) 积分值与零势点选取有关 . 选取原则：
电荷有限分布选 U 0 电荷无限分布选 U有限处 0
15
2. 叠加法 思路： dq dU U dU
注意：应用典型带电体的电势公式
选取相同的零势点.
典型带电体的电势：
点电荷：
x
解：1）
R
dq Rd
dE
dE
dq
4 0 R2
;沿径向
4
dq y
dE
d o
x
用分量叠加，由对称性：
Ey dEy 0
R
dE
Ex dEx dE sin
dq
sind
0 4 0 R 2 0 R
Eo
i 2 0 R
5
[练习2] 求均匀带电半球面(已知R, ) 球心处电场 .
y
Rx
o
思考：〈1〉用哪种方法求解?
如果你老是在你的舒服区里头 打转，你就永远无法扩大你的视 野，永远无法学到新的东西。只 有你跨出舒服区以后，你才能使 自己人生的圆圈变大，你才能挑 战自己的心灵，使之变得更加坚 强，最终把自己塑造成一个更优 秀的人。
－－（美）布伦达.乌尔巴奈克
1
习题课：E , U 的计算
一. E 的计算
(1) 由定义求
所求场强 EP E1 E2而 E1、E2均可由高斯定理求出.
12
(2) 作高斯面 S1 , S2 求 E1 , E2 .
R1 o1
E
r1 a
2
E1
P s
R2or22
2
s1
R1 a
o1
E
R2o2
E1
4r12
1
0
E2
4r22
1
0
4 3
r13
E1
4 3
r23
E2
r1 3 0
r2
3 0
E内
2kr 2 4 0r 2
k
2 0
沿径向
2kR2 kR2 E外 4 0r 2 2 0r 2
沿径向
10
k
E内 2 0
E外
kR 2
2 0r 2
沿径向
〈5〉对结果的定性理解：
q内 r 2
1 E r2
总效果: E内大小为恒量
dr
S
r
r oR
E
k
2 0
1 r2
o Rr
11
练习4. 在半径R1 ，体电荷密度 的均匀带电球体内挖
q U
4 0r
均匀带电圆环轴 线上：
q
U
4 0(
R2
x2
)1 2
均匀带电球面：
q
U内 4 0 R
q
U外 4 0r
16
练习5. 求无限长均匀带电圆柱体 ( R , ) 电势分布。
R
解： 场强积分法 .
先由高斯定理求电场分布.
高
高
r
斯 面
r
斯 面
如何选高斯面？ l
l
17
RR
r
hS
选高 h 半径 r 的同轴圆柱面 为高斯面 .
去一个半径R2的球形空腔。空腔中心o2与带电球体中心
o1 相距为a [(R2+ a )< R1],
求空腔内任一点电场 。
思考 (1) 选用何种方法求解？ 挖去空腔 —— 失去球对称性,
R1 o1
E
r1 a
2
P
R2or22
E1
能否恢复对称性？补偿法！
半径 半径
R R
12均 均匀 匀带 带电 电 实实心心 球球体体在在 PP点点 的的场场强 强： ：EE12
a
EP
E1
E2
3 0
( r1
r2 )
3 0
腔内为平行于 o1o2 a
的均匀电场！ 13
(3) 思考：请总结获得均匀电场的方法
R1 a
o1
E
R2o2
EE2 0 NhomakorabeaE
0
……
14
二 . U 的计算
场强积分法 叠加法
1. 场强积分法 ： 注意
零势点
Ua E dl
a
(1) 积分与路径无关，可依题意选最简便的积分路径.
(2) 由点电荷(或典型电荷分布) E 公式
和叠加原理求 (3) 由高斯定理求
(4) 由 E 与 U 的关系求
E U grad U
2
典型静电场
点电荷：
qr
E 4 0r 3
均匀带电圆环轴线上：
E
1
4 0
(
qxi R2 x2
)3 2
无限长均匀带电直线： E
( 带电直线）
2 0r
E dS E 2rh
1
s
0
q内
r R .
q内 R2h
r R .
q内 r 2h
R2 E外 2 0r 径向
E内
r 2 0
径向
18
RR
r
hS
令 r = 0 处U= 0, 沿径向积分
0
0
r dr
U内 E内 dr
r
r
2 0
0
r 2
rdr
2 0 r
4 0
r ro R
dq dV k 4r2dr
r
r R :
q内
R 0
dV
R 0
k r
4r2dr
2kR2
r R :
q内
r 0
dV
r 0
k r
4r2dr
2kr 2
9
dr
S
r ro R
<4> 电场强度的大小，方向 ？
由高斯定理：
E dS
1
s
0
q内
E 4r 2 1
0
q内
得：
均匀带电球面：
E内 0 ,
E外
qr
4 0r 3
无限大均匀带电平面：
E
( 带电平面）
2 0
3
[练习1] 求半径 R 的带电半圆环环心处的电场强度
1. 均匀带电，线密度为
2. 上半部带正电，下半部带负电，线密度为
3. 非均匀带电，线密度为 0 sin
y dq
d o
思路：叠加法
dq dE E
叠加法：dq dE dE
〈2〉 dq ? 是否一定取点电荷？
yy
dldl
dE
R
y
xx
ox
将半球面视为由许多圆环拼成 .
dq dS 2ydx
对否？
dq 2ydl 2Rcos Rd
6
y
(3) dE的大小，方向？
dl
dE
R
xdq
xx
dE
4 0 (
y2
x2
)3 2
ox
思考〈1〉选用哪种方法求解更方便？
o
k r 未破坏电场分布的球对称性.
R
S
用高斯定理求解方便 .
选高斯面
E dS
1
s
0
q内 求 E
S
r
r
o
R
〈2〉选高斯面 ？
同心球面 S (半径 r )
E dS E 4r 2 s
8
( 3 ) q内 ?
q内
V
k r
4 3
r3
对否 ？
dr
S