2020届陕西省西安中学高三高考适应性考试(三)数学(理)试题(解析版)

2020届陕西省西安中学高三高考适应性考试（三）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =A ．{0,1}B ．{0,1,2}C ．{1,0,1}-D ．{1,0,1,2}-【答案】C【解析】试题分析：由，得，选C.【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．2．设复数z 满足(1)2i z i +=，则||z =（ ）A ．12B ．22C 2D ．2【答案】C【解析】根据复数除法得到1z i =+，再计算复数模得到答案. 【详解】(1)2i z i +=，()()()2121111i i i z i i i i -===+++-，则|2|z =故选：C.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的模，属于简单题. 3．函数2()cos 2f x x =的最小正周期是（ ） A ．2π B ．πC ．2π D ．4π 【答案】C【解析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求11()cos 422f x x =+，进而根据余弦函数的周期公式即可求解. 【详解】解：21cos 411()cos 2cos 4222x f x x x +===+， 可得()f x 的最小正周期242T ππ==. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦函数的周期公式，考查了函数思想，属于基础题.4．设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =（ ） A ．8 B ．8-C ．4D ．4-【答案】B【解析】利用等比数列的通项公式即可得出. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，121a a +=-，133a a -=-，1(1)1a q ∴+=-，21(1)3a q -=-，解得：2q =-，11a =.则34(2)8a =-=-.故选：B . 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 5．7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．42B ．35C ．28D ．21【答案】D【解析】试题分析：2x 的系数为2721C =．故选D ．【考点】二项式定理的应用．6．已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xxx xxx f x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xxy ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数．故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 8．已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】“a ＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选A ． 【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．9．记函数()f x =的定义域为D ，在区间[]4,5-上随机取一个数x ，则x D ∈ 的概率为（ ）A ．19B ．13C ．49D ．59【答案】D【解析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 【详解】由6+x ﹣x 2≥0得x 2﹣x ﹣6≤0，得﹣2≤x≤3， 则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率P=()()3254----=59， 故选：D 【点睛】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D ，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．10．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题；①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥. ②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥. ③如果//αβ，m α⊂，那么//m β.④如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对①，运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断； 对②，运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断； 对③，运用面面平行的性质定理，即可判断； 对④，由平行的传递性及线面角的定义，即可判断④． 【详解】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA '为直线m ，CD 为直线n ，ABCD 所在的平面为α，ABC D ''所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但αβ⊥不成立；命题②正确，证明如下：设过直线n 的某平面与平面α相交于直线l ，则//l n ，由m α⊥知m l ⊥，从而m n ⊥，结论正确；由平面与平面平行的定义知命题如果//αβ，m α⊂，那么//m β.③正确； 由平行的传递性及线面角的定义知命题：如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，④正确. 故选：C . 【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间线面、面面平行和垂直的位置关系，注意运用判定定理和性质定理，考查推理能力，属于中档题．11．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093【答案】D【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 12．已知函数有唯一零点，则a =A ．B ．C ．D ．1【答案】C 【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题13．已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于________ 【答案】9π【解析】 由球的体积公式，可得34363r ππ=，则3r =，所以主视图的面积为239S ππ=⨯=.14．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________． 【答案】3.10【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为3.10点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.15．已知点P 在圆221x y +=上，点A 的坐标为(2,0)-，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为_________． 【答案】6【解析】试题分析：||||cos ||||2(21) 6.AO AP AO AP AO AP θ⋅=⋅≤⋅≤⨯+=所以最大值是6.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为AO 是确定的，所以根据向量数量积的几何意义：若AO AP ⋅最大，即向量AP 在AO 方向上的投影最大，根据数形结合分析可得当点P 在圆与x 轴的右侧交点处时最大，从而根据几何意义直接得到运算结果为236⨯=.三、双空题16．已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．1- 2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,m n 关系，即得双曲线N 的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a =，解得椭圆M 的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M 的离心率为1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为ny x m=±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，， 222222234 2.m n m m e e m m ++∴===∴=， 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.四、解答题17．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值；（Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 【答案】（Ⅰ）13b =.sin A =31313.（Ⅱ）7226. 【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ，进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅰ） 解：在ABC 中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以13b =. 由正弦定理sin sin a b A B =,得sin 313sin 13a B Ab ==. 所以，b 的值为13，sin A 的值为313. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）及a c <，得213cos A =，所以12sin22sin cos 13A A A ==，25cos212sin 13A A =-=-.故πππ72sin 2sin2cos cos2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 【考点】正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA ，OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，求异面直线PM 与OB 所成的角的正切值. 【答案】（1）83π；（2）17. 【解析】（1）由已知求得圆锥的高，再由圆锥体积公式求解；（2）证明OB ⊥平面POA ，取OA 中点H ，可得PMH ∠为异面直线PM 与OB 所成的角，再证明MH PH ⊥，然后求解三角形可得异面直线PM 与OB 所成的角的正切值. 【详解】（1）由圆锥母线长为4，即4PB =，底面半径2OB =， 可得圆锥的高224223PO =-=.∴该圆锥的体积218322333V ππ=⨯⨯=；（2）PO ⊥底面AOB ，PO OB ∴⊥，又90AOB ∠=︒，即OB OA ⊥，POOA O =，OB ∴⊥平面POA ，取OA 中点H ，连接MH ，如图则MH //OB ，且112MH OB ==. PMH ∴∠为异面直线PM 与OB 所成的角.由OB ⊥平面POA ，MH //OB ，可得MH ⊥平面POA ，得MH PH ⊥. 在Rt POH △中，求得224117PH =+=， 在Rt PHM △中，可得tan 17PHPMH MH∠==. 【点睛】本题考查圆锥体积的求法，考查异面直线所成角，考查计算能力，属中档题. 19．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为40元(不足小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为11,46；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12,23；两人滑雪时间都不会超过3小时.（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()Eξ．【答案】(1)512(2)见解析【解析】试题分析：（1）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望．试题解析：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元，两人都付0元的概率为1111 4624P=⨯=，两人都付40元的概率为2121 233P=⨯=，两人都付80元的概率为31112111 (1)(1)42634624P=--⨯--=⨯=，则两人所付费用相同的概率为1231115 2432412P P P P=++=++=.(2)由题意得，ξ所有可能的取值为0,40,80,120,160.111(0)4624Pξ==⨯=，12111(40)43264Pξ==⨯+⨯=，1112115(80)46234612Pξ==⨯+⨯+⨯=，11121(120)26434Pξ==⨯+⨯=，111(160)4624Pξ==⨯=，ξ的分布列为：ξ0 40 80 120 160P 124145121412411511()040801201608024412424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(,)X B n p ），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（()E X np =）求得.20．已知函数()(1e 2-⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭x f x x x（I ）求()f x 的导函数（II ）求()f x 在区间1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上的取值范围 【答案】（I ）()()121)2x x e f x x --=>'；（II ）1210,2e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【详解】试题分析：本题主要考查函数的最大（小）值，导数的运算及其应用，同时考查分析问题和解决问题的能力．（Ⅰ）利用求导法则及求导公式，可求得()f x 的导数；（Ⅱ）令'()0f x =，解得1x =或52，进而判断函数()f x 的单调区间，结合区间端点值求解函数()f x 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）因为(1x =，()'x xe e --=-，所以'()(1(x xf x e x e --=--1)2x =>． （Ⅱ）由(1)(212)'()021xx x e f x x ----==-，解得1x =或52x =． 因为x12（12，1） 1 （1，52）52（52，+∞） ()f x '– 0+ 0–f （x ）1212e - 05212e -又21()(211)02x f x x e -=--≥， 所以f （x ）在区间1[,)2+∞上的取值范围是121[0,]2e -．【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出'()f x ，由'()f x 的正负，得出函数()f x 的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值．21．如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）⎡⎢⎣⎦.【解析】分析: （Ⅰ）设P ,A ,B 的纵坐标为012,y y y ，，根据中点坐标公式得P A ,PB 的中点坐标，代入抛物线方程，可得1202y y y +=，即得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△P AB 面积为1212PM y y -，利用根与系数的关系可表示12PM y y -，为0y 的函数，根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围. 【详解】详解：（Ⅰ）设()00,P x y ，2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程22014422y x y y ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭， 即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩所以()2221200013384PM y y x y x =+-=-，12y y -=． 因此，PAB △的面积()32212001424PABSPM y y y x =⋅-=-．因为220001(0)4y x x +=<，所以[]22000044444,5y x x x -=--+∈．因此，PAB△面积的取值范围是⎡⎢⎣⎦．点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值．【答案】（1）()22x 2y 40x -+=≠（）；（2）2+【解析】【详解】试题分析：（1）设出P 的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB 面积的最大值为2.试题解析：解：（1）设P 的极坐标为（,ρθ）（ρ＞0），M 的极坐标为()1,ρθ（10ρ＞）由题设知|OP|=ρ，OM =14cos θρ=. 由OM ⋅|OP|=16得2C 的极坐标方程4cos 0ρθρ=（＞）因此2C 的直角坐标方程为()22x 2y 40x -+=≠（）. （2）设点B 的极坐标为(),αB ρ （0B ρ＞）.由题设知|OA|=2，4cos αB ρ=，于是△OAB 面积1S AOB 4cos α|sin(α)|2|sin(2α)|2233B OA sin ππρ∠=⋅=⋅-=-≤+当α12π=-时， S 取得最大值2.所以△OAB 面积的最大值为2.点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.23．已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-.（1）求不等式()3g x <的解集；（2）若不等式()()f x g x 的解集包含[1-，1]，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）33(,)22-；（2）[1-，1].【解析】（1）将()g x 写为分段函数的形式，然后根据()3g x <，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据条件可知，若不等式()()f x g x 的解集包含[1-，1]，则当[1x ∈-，1]时，()2f x ，然后根据二次函数的性质，求出a 的取值范围.【详解】解：（1）2,1()112,112,1x x g x x x x x x >⎧⎪=++-=-⎨⎪-<-⎩.()3g x <，∴231x x <⎧⎨>⎩，或11x -，或231x x -<⎧⎨<-⎩，∴213x <<，或11x -，或112x -<<-，∴3322x -<<， ∴不等式的解集为33(,)22-.（2）当[1x ∈-，1]时，()2g x =，若不等式()()f x g x 的解集包含[1-，1]，则 当[1x ∈-，1]时，()2f x ，又()f x 在[1-，1]的最小值为{(1)min f -，f （1）}，∴只需(1)2f -且f （1）2，11a ∴-，a ∴的取值范围为[1-，1]【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和二次函数的性质，考查了分类讨论思想和转化思想，属基础题.。