微积分(B)常微分方程与差分方程 练习题
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
微积分练习题
^项 目^：综合练习 ^章 节^：第五章 定积分及其应用一、填空题.（ 1．1301x dx +⎰与1401x dx +⎰相比，大的是_____________.2．设()f x 为连续函数,则1lim ()xa x af t dt x a→-⎰=__()f a ___.. 3．设()sin ,xf x dx x x =⎰则()f x =_____________.4．325425sin 21x xdx x x -++⎰=_____0______. 5. 120sin d x dx dx =⎰ ；2sin d x dx dx=⎰ 20sin x d t dt dx =⎰ ；02sin x d t dt dx =⎰ ； 220sin x d t dt dx =⎰ ； 二、选择题. （15%）1．函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续是定积分()baf x dx ⎰存在的( )条件.A) 必要 B) 充分 C) 充要 D) 无关. 2．设()f x 是连续函数，则()()bbaaf x dx f a b x dx -+-⎰⎰=（ ）.A) 0 B) 1 C) a b + D) ()baf x dx ⎰.3．若()()xaF x xf t dt =⎰，则'()F x =（ ）.A) ()xf x B) ()()xaf t dt xf x +⎰C) ()()x a f x - D) ()[()()]x a f x f a --.4．广义积分21x xe dx +∞-⎰=（ ）.A) +∞ B) e C) 12e -D) 12e. 5．若广义积分(ln )kedxx x +∞⎰收敛，则（ ）. A) 1k > B) 1k ≥ C) 1k < D) 0k ≠. 三、计算题. （50%）解：1. 41201x dx x +⎰2.201cos22xdx π-⎰3.421x edx +⎰，4.32221sin cos dx x xππ⎰ 5.121||x x dx --⎰6.12211x dx x+-⎰7.10arctan x xdx ⎰8.401cos 2xdx xπ+⎰9.10x xdxe e -+⎰10.11ln exdx x+⎰四、应用题与证明题. （20%） 1．设0()(1)xx t t dt ϕ=-⎰在3[1,]2-内的极值. ２. 求下列各曲线所围成的图形的面积： （１）214y x =与直线3240x y --=； （２）xy e =，2xy e =与直线2y =；（３）2y x =与直线23y x =+；３. 由9,10xy x y =+=所围成的图形绕y 轴旋转，计算所得旋转体的体积。
常微分方程 练习题
常微分方程练习题常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中一门重要的分支，研究的是未知函数的导数与自变量之间的关系。
在物理、经济学、生物学等领域中，常微分方程广泛应用于描述系统的动态行为。
本文将为您提供一些常微分方程的练习题，帮助您加深对常微分方程的理解。
练习一：一阶常微分方程1. 求解初值问题：dy/dx = x^2 - y^2, y(0) = 1。
解：观察到方程右侧与左侧的差异较大，我们可以尝试寻找一个特殊的函数，使得方程变得简单。
假设y = x + u(x)，则dy/dx = 1 + u'，代入原方程得到：1 + u' = x^2 - (x + u)^2u' = x^2 - x^2 - 2ux - u^2 - 1u' = -2ux - u^2 - 1这是一个关于u和x的常微分方程。
我们可以尝试通过求解这个方程来得到y的解。
2. 求解初值问题：dy/dx = (x^2 - 1)/(y + 1), y(0) = 0。
解：将方程进行变形，得到(y+1)dy = (x^2 - 1)dx，两边同时积分：∫(y+1)dy = ∫(x^2 - 1)dx1/2(y^2 + 2y) = 1/3(x^3 - x) + C其中C为常数。
代入初值条件y(0) = 0，解得C = 0，进一步化简得到：y^2 + 2y = 2/3(x^3 - x)这就是给定初值问题的解。
练习二：二阶常微分方程1. 求解方程：y'' + 2y' + y = e^(-x)，已知初值条件y(0) = 1，y'(0) = 0。
解：我们可以使用特征方程法求解这个二阶常微分方程。
首先求解齐次方程：r^2 + 2r + 1 = 0解齐次方程得到r = -1，因此齐次方程的通解为y_h = C1e^(-x) +C2xe^(-x)。
接下来求非齐次方程的一个特解。
微积分(B)常微分方程与差分方程 练习题
For personal use only in study and research; not for commercial use2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题第六章For personal use only in study and research; not for commercial use一、选择题1. 微分方程xy y 2='的通解为 （ ） A. C ey x +=2； B. 2x Ce y =；For personal use only in study and research; not for commercial useC. 2C x y e =； D. x Ce y =.2. 函数221x c y c e +=是微分方程20y y y '''--=的 （ ） A. 通解； B. 特解；C. 不是解；D. 是解, 但既不是通解, 也不是特解.3. 设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，21,C C 是任意常数，则该方程的通解是 （ ）A. 32211y y C y C ++；B. 3212211)(y C C y C y C +-+；C. 3212211)1(y C C y C y C ---+；D. 3212211)1(y C C y C y C --++. 4. 微分方程22y x y y x +=+'是 （ ）A. 可分离变量的微分方程；B. 齐次微分方程；C. 一阶线性齐次微分方程；D. 一阶线性非齐次微分方程.二、填空题1. 微分方程y y y x ln ='的通解是 .2. 方程x y y sin 2='的奇解为_______________.3. 微分方程05532='-+y x x 的通解是 .4. 微分方程02520422=+-s dt dsdts d 的通解为 .三、解答题1. 求微分方程xy dxdy2=的通解. 2. 求下列一阶微分方程满足所给初始条件的特解． （1）xxx y dx dy sin =+，1)(=πy ； （2）x e y y x -=-'2，45)0(=y ．3. 解方程：x e y x cos 2-='''.4. 求方程83=+y dxdy满足初始条件20==x y 的特解.5. 求微分方程x e y y 24=-''的通解.6. 求微分方程xxe y y y 265=+'-''的通解. 7.设函数)()1(2x u x y +=是方程3)1(12+=+-'x x yy 的通解，求)(x u .8. 求下列贝努利方程的通解．（1）0234'2=++y x xy y x ； （2）012=++-'y xyy . 9. 求齐次方程dy xy x dx xy y )2()2(22-=-的通解．10. 求解下列初值问题： 1)(2='+''y y ，0)0(=y ，0)0(='y ． 11. 求微分方程1'''2=+xy y x 通解． 12. 求下列方程的通解．（1）054=-'-''y y y ； （2）054=-'-''y y ； （3）xe x y y y 2244=+'-''； （4）x y y y 2sin 82=-'+''．2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题第六章参考答案一、选择题1. B ；2. D ；3. D ；4. B ； 二、填空题1.Cx e y =；2.0=y ；3.C x x y ++=232151； 4. t e t C C s 2521)(+=.三、解答题1.解 原方程为分离变量的微分方程，分离变量可得x d x ydy2=， 两边积分：⎰⎰=xdx y dy 2，得12ln C x y +=，其中1C 为任意常数，整理有：2x Ce y =，其中C 为任意常数. 2.解： （1）该方程的通解为 ]s i n [11C dx e xx ey dxx dxx +⎰⎰=⎰-=]sin [ln ln C dx e x x ey x x+=⎰-=)sin (1⎰+C xdx x =)cos (1C x x+-， 又1)(=πy ，得1-=πC ，故满足条件1)(=πy 的特解为)1cos (1-+-=πx x y . （2）4121])([222++-=⎰⎰-+=-⎰x e Ce e dx e x e C y x x dx dx x， 将45)0(=y 代人，得2=C ，故所求特解为412122++-=x e e y xx ．3. 解：对所给方程接连积分三次得，12sin 21C x e y x+-=''，22cos 41C Cx x e y x +++='，)2( sin 81132212C C C x C x C x e y x =++++=.4. 解：原方程可变形为y dx dy38-=，分离变量可得dx ydy =-38， 两边积分：1383ln C x y +-=-，其中1C 为任意常数，所以383+=-xCey ，代入初始条件20==x y 有：32-=C ，则满足条件的特解为32833x y e -=-+. 5. 解：原方程所对应的齐次方程为04=-''y y ，其特征方程为042=-λ，解得特征根为2±=λ，所以方程04=-''y y 的通解为x x e C e C 2221+=-γ. 又x e x f 2)(=，由于2=λ是特征单根，于是可设原方程的特解为x axe y 2*=. x e x a y 2)21()*(+='，x e x a y 2)1(4)*(+=''.代入原方程 x x x e a x e e x a 2224)1(4=-+， x x e ae 224=，于是41=a ， 所以xxe y 241*=，于是原方程的通解为x x x xe e C e C y y 2222141*++=+=-γ.6. 解：原方程所对应的齐次方程为065=+'-''y y y ，其特征方程为0652=+-λλ，解得特征根为32或=λ，所以方程065=+'-''y y y 的通解为x x e C e C 3221+=γ. 又x xe x f 2)(=，由于2=λ是特征单根，可设原方程的特解为x e b ax x y 2)(*+=.把它代入原方程，得 x b a ax =-+-22，比较等式两边同次幂的系数，得⎩⎨⎧=-=-0212b a a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=121b a ，因此求得一个特解为xe x x y 2)121(*--=， 从而所求的通解为x xxe x x eC eC y y 223221)2(*+-+=+=γ.7. 解 对函数)()1(2x u x y +=求导，得)()1()()1(22x u x x u x y '+++='，将其与y 一起代入所给的微分方程，得32)1()()1(2)()1()()1(2+=+-'+++x x u x x u x x u x ，x x u +='1)(，故C x x u ++=2)1(21)(． 8. 解 （1）方程两边同时除以32y x ，并整理得22211)1(x y x y=⋅-'，由一阶微分方程的求解公式，有 32221][1x Cx C dx e x e yx dxx dx+=+⎰⎰=-⎰．（2）方程两边同时除以2y ，并整理得11)1(1)1(=⋅++'yx y ，由一阶微分方程的求解公式，有 211][111x x C e dx e C y x dxxdx +++=⎰⎰+=+-+⎰． 10. 解 方程不显含设y ，令p y ='，则p y '=''，原方程即12=+'p p ，分离变量，得dx pdp=-21，两边积分，得 C x p p +=-+2|11|ln ．将0)0(='y 代人，得0=C ，故x pp2|11|ln =-+，或1122+-=x x e e p ，故)1ln(112122x xx e x C dx e e y ++-=+-=⎰．将0)0(=y 代入，得2ln 1-=C ．故所求初值问题的解为chx e x y x ln )1ln(2ln 2=++--=．11. 解 方程不显含设y ，令p y ='，则p y '=''，原方程即12=+'xp p x ，即211xp x dx dp =+，由一阶微分方程的求解公式，有 )(ln 1]1[12C x x C dx e xep x dxxdx +=+⎰⎰=⎰-．即 )(ln 1]1[12C x x C dx e xey x dxxdx+=+⎰⎰='⎰-，两边积分，得2121ln ln 21)(ln 1C x C x dx C x x y ++=+=⎰．12. 解 （1）该二阶常系数线性齐次方程的特征方程为0542=--λλ，得两个不相等的实特征根1-和5，于是该方程的通解为x xe C eC y 521+=-．（2）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为042=-λλ，得两个不相等的实特征根0和4，故其对应齐次方程的通解为xe C C y 421+=．为了求得该方程的一个特解，设Ax y =*代人原方程，得054=--A ，45-=A ，于是该方程的通解为x e C C y x45421-+=． （3）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为0442=+-λλ，得两个相等的实特征根2，故其对应齐次方程的通解为xe x C C y 221)(+=．为了求得该方程的一个特解，设x e C Bx Ax x y 222)(*++=代人原方程，得121=A ，0=B ，0=C ，该方程的通解为xxe x e x C C y 24221121)(++=． （4）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为022=-+λλ，得两个不相等的实特征根2-和1，故其对应齐次方程的通解为x x e C e C y 221-+=．为了求得该方程的一个特解，设x B x A y 2sin 2cos *+=代人原方程，得 52-=A ，56-=B ，于是该方程的通解为 x x e C e C y x x 2sin 562cos 52221--+=-．仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是A．C[y1(x)-y2(x)]．B．y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]．C．C[y1(x)+y2(x)]．D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．正确答案：B 涉及知识点：常微分方程与差分方程2．y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+y2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2.B．λ=-1/2,μ=-1/2.C．λ=2/3,μ=1/3.D．λ=2/3,μ=2/3.正确答案：A 涉及知识点：常微分方程与差分方程3．微分方程y”+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y*=ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A 涉及知识点：常微分方程与差分方程填空题4．微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.正确答案：2/x 涉及知识点：常微分方程与差分方程5．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.正确答案：1/x 涉及知识点：常微分方程与差分方程6．微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.正确答案：ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点：常微分方程与差分方程7．微分方程y”-4y=e2x的通解为________.正确答案：C1e2x+C2e-2x+x/4e2x 涉及知识点：常微分方程与差分方程8．二阶常系数非齐次线性微分方程y”-4y’+3y=2e2x的通解为y=_______.正确答案：C1ex+C2e3x+2e2x 涉及知识点：常微分方程与差分方程9．差分方程yt+1-yt=t2t的通解为_______.正确答案：C+(t-2)2t 涉及知识点：常微分方程与差分方程10．差分方程2yt+1+10yt-5t=0的通解为_______.正确答案：C(-5)t+5/12(t-1/6) 涉及知识点：常微分方程与差分方程11．某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元．若以W1表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则Wt满足的差分方程是__________．正确答案：Wt=1．2t-1+2解析：第t年的工资总额W1(百万元)是两部分之和，其中一部分是同定追加额2(百万元)，另一部分比前一年的工资总额Wt-1多20％，即是Wt-1的1：2倍．于是可得Wt满足的差分方程是Wt=1.2t-1+2．知识模块：常微分方程与差分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第九章--微分方程与差分方程
的高等数学练习题 第九章 微分方程与差分方程系 专业 班 姓名 学号 第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程（一）一．选择题1．微分方程0)(43='-'+''y y y x y xy 的阶是 （ A ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．微分方程02=-'y y 的通解是 （ C ）（A ）x C y 2sin = （B ）xe y 24= （C ）xCe y 2= （D ）xCe Y =3．微分方程21"()01y y y'+=-的通解是 （ C ） （A ）12x C e C + （B ）xe C + （C ）121C x C e + （D ）12x C e C x +4．下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是 （ C ） （A ）0)sin(=+ydy dx xy x （B ）)ln(y x y +='（C ）y x dx dy sin = （D ）21y e y xy x =+' 5．微分方程0=+xdy y dx 满足43==x y 的特解是 （ B ） （A ）743=+y x （B ）2522=+y x （C ）2522=-y x （D ）722=-x y二．填空题1．微分方程21x y xy -='的通解是2arctan14(1)y ee πππ==3．2211t s dt ds --=的通解是 三．计算题1． 求0sin )1(cos =++-ydy eydx x的通解解：原方程可化为 tan 1x xe ydy dx e=-+积分，得 ln |cos |ln(1)ln xy e C =++ 故，方程的通解为 |cos |(1),0xy C e C =+>，即cos (1),xy C e C R =+∈222ln ||y x x C =-+arcsin arcsin s t C =+2．求微分方程042=-+dy dy x ydx ，满足24==x y 的特解解：原方程可化为24dy dx y x =-- 积分得 121ln ||ln ||ln 424x y C x +=+- 即 422x y Cx +=- 当24==x y 时，163C =方程的满足条件的特解为 416232x y x +=-，3．已知需求的价格弹性21E Q =-，又当0Q =时，100P =，试确定价格函数，即将价格P 表为需求Q 的函数。
(完整版)常微分方程习题及解答
常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。
常微分方程，自变量的个数只有一个。
偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。
常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。
2．举例阐述常数变易法的基本思想。
答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。
例：求()()dyP x y Q x dx=+的通解。
首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ⎰=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+l l l即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰=l 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰%l 进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,n ηηη是已知常数。
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For personal use only in study and research; not for commercial use2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题第六章For personal use only in study and research; not for commercial use一、选择题1. 微分方程xy y 2='的通解为 （ ） A. C ey x +=2； B. 2x Ce y =；For personal use only in study and research; not for commercial useC. 2C x y e =； D. x Ce y =.2. 函数221x c y c e +=是微分方程20y y y '''--=的 （ ） A. 通解； B. 特解；C. 不是解；D. 是解, 但既不是通解, 也不是特解.3. 设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，21,C C 是任意常数，则该方程的通解是 （ ）A. 32211y y C y C ++；B. 3212211)(y C C y C y C +-+；C. 3212211)1(y C C y C y C ---+；D. 3212211)1(y C C y C y C --++. 4. 微分方程22y x y y x +=+'是 （ ）A. 可分离变量的微分方程；B. 齐次微分方程；C. 一阶线性齐次微分方程；D. 一阶线性非齐次微分方程.二、填空题1. 微分方程y y y x ln ='的通解是 .2. 方程x y y sin 2='的奇解为_______________.3. 微分方程05532='-+y x x 的通解是 .4. 微分方程02520422=+-s dt dsdts d 的通解为 .三、解答题1. 求微分方程xy dxdy2=的通解. 2. 求下列一阶微分方程满足所给初始条件的特解． （1）xxx y dx dy sin =+，1)(=πy ； （2）x e y y x -=-'2，45)0(=y ．3. 解方程：x e y x cos 2-='''.4. 求方程83=+y dxdy满足初始条件20==x y 的特解.5. 求微分方程x e y y 24=-''的通解.6. 求微分方程xxe y y y 265=+'-''的通解. 7.设函数)()1(2x u x y +=是方程3)1(12+=+-'x x yy 的通解，求)(x u .8. 求下列贝努利方程的通解．（1）0234'2=++y x xy y x ； （2）012=++-'y xyy . 9. 求齐次方程dy xy x dx xy y )2()2(22-=-的通解．10. 求解下列初值问题： 1)(2='+''y y ，0)0(=y ，0)0(='y ． 11. 求微分方程1'''2=+xy y x 通解． 12. 求下列方程的通解．（1）054=-'-''y y y ； （2）054=-'-''y y ； （3）xe x y y y 2244=+'-''； （4）x y y y 2sin 82=-'+''．2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题第六章参考答案一、选择题1. B ；2. D ；3. D ；4. B ； 二、填空题1.Cx e y =；2.0=y ；3.C x x y ++=232151； 4. t e t C C s 2521)(+=.三、解答题1.解 原方程为分离变量的微分方程，分离变量可得x d x ydy2=， 两边积分：⎰⎰=xdx y dy 2，得12ln C x y +=，其中1C 为任意常数，整理有：2x Ce y =，其中C 为任意常数. 2.解： （1）该方程的通解为 ]s i n [11C dx e xx ey dxx dxx +⎰⎰=⎰-=]sin [ln ln C dx e x x ey x x+=⎰-=)sin (1⎰+C xdx x =)cos (1C x x+-， 又1)(=πy ，得1-=πC ，故满足条件1)(=πy 的特解为)1cos (1-+-=πx x y . （2）4121])([222++-=⎰⎰-+=-⎰x e Ce e dx e x e C y x x dx dx x， 将45)0(=y 代人，得2=C ，故所求特解为412122++-=x e e y xx ．3. 解：对所给方程接连积分三次得，12sin 21C x e y x+-=''，22cos 41C Cx x e y x +++='，)2( sin 81132212C C C x C x C x e y x =++++=.4. 解：原方程可变形为y dx dy38-=，分离变量可得dx ydy =-38， 两边积分：1383ln C x y +-=-，其中1C 为任意常数，所以383+=-xCey ，代入初始条件20==x y 有：32-=C ，则满足条件的特解为32833x y e -=-+. 5. 解：原方程所对应的齐次方程为04=-''y y ，其特征方程为042=-λ，解得特征根为2±=λ，所以方程04=-''y y 的通解为x x e C e C 2221+=-γ. 又x e x f 2)(=，由于2=λ是特征单根，于是可设原方程的特解为x axe y 2*=. x e x a y 2)21()*(+='，x e x a y 2)1(4)*(+=''.代入原方程 x x x e a x e e x a 2224)1(4=-+， x x e ae 224=，于是41=a ， 所以xxe y 241*=，于是原方程的通解为x x x xe e C e C y y 2222141*++=+=-γ.6. 解：原方程所对应的齐次方程为065=+'-''y y y ，其特征方程为0652=+-λλ，解得特征根为32或=λ，所以方程065=+'-''y y y 的通解为x x e C e C 3221+=γ. 又x xe x f 2)(=，由于2=λ是特征单根，可设原方程的特解为x e b ax x y 2)(*+=.把它代入原方程，得 x b a ax =-+-22，比较等式两边同次幂的系数，得⎩⎨⎧=-=-0212b a a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=121b a ，因此求得一个特解为xe x x y 2)121(*--=， 从而所求的通解为x xxe x x eC eC y y 223221)2(*+-+=+=γ.7. 解 对函数)()1(2x u x y +=求导，得)()1()()1(22x u x x u x y '+++='，将其与y 一起代入所给的微分方程，得32)1()()1(2)()1()()1(2+=+-'+++x x u x x u x x u x ，x x u +='1)(，故C x x u ++=2)1(21)(． 8. 解 （1）方程两边同时除以32y x ，并整理得22211)1(x y x y=⋅-'，由一阶微分方程的求解公式，有 32221][1x Cx C dx e x e yx dxx dx+=+⎰⎰=-⎰．（2）方程两边同时除以2y ，并整理得11)1(1)1(=⋅++'yx y ，由一阶微分方程的求解公式，有 211][111x x C e dx e C y x dxxdx +++=⎰⎰+=+-+⎰． 10. 解 方程不显含设y ，令p y ='，则p y '=''，原方程即12=+'p p ，分离变量，得dx pdp=-21，两边积分，得 C x p p +=-+2|11|ln ．将0)0(='y 代人，得0=C ，故x pp2|11|ln =-+，或1122+-=x x e e p ，故)1ln(112122x xx e x C dx e e y ++-=+-=⎰．将0)0(=y 代入，得2ln 1-=C ．故所求初值问题的解为chx e x y x ln )1ln(2ln 2=++--=．11. 解 方程不显含设y ，令p y ='，则p y '=''，原方程即12=+'xp p x ，即211xp x dx dp =+，由一阶微分方程的求解公式，有 )(ln 1]1[12C x x C dx e xep x dxxdx +=+⎰⎰=⎰-．即 )(ln 1]1[12C x x C dx e xey x dxxdx+=+⎰⎰='⎰-，两边积分，得2121ln ln 21)(ln 1C x C x dx C x x y ++=+=⎰．12. 解 （1）该二阶常系数线性齐次方程的特征方程为0542=--λλ，得两个不相等的实特征根1-和5，于是该方程的通解为x xe C eC y 521+=-．（2）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为042=-λλ，得两个不相等的实特征根0和4，故其对应齐次方程的通解为xe C C y 421+=．为了求得该方程的一个特解，设Ax y =*代人原方程，得054=--A ，45-=A ，于是该方程的通解为x e C C y x45421-+=． （3）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为0442=+-λλ，得两个相等的实特征根2，故其对应齐次方程的通解为xe x C C y 221)(+=．为了求得该方程的一个特解，设x e C Bx Ax x y 222)(*++=代人原方程，得121=A ，0=B ，0=C ，该方程的通解为xxe x e x C C y 24221121)(++=． （4）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为022=-+λλ，得两个不相等的实特征根2-和1，故其对应齐次方程的通解为x x e C e C y 221-+=．为了求得该方程的一个特解，设x B x A y 2sin 2cos *+=代人原方程，得 52-=A ，56-=B ，于是该方程的通解为 x x e C e C y x x 2sin 562cos 52221--+=-．仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。