中考数学易错题精选-圆的综合练习题含详细答案
中考数学易错题精选-圆的综合练习题含详细答案
一、圆的综合
1.如图1,已知扇形MON 的半径为2,∠MON=90°,点B 在弧MN 上移动,联结BM ,作OD ⊥BM ,垂足为点D ,C 为线段OD 上一点,且OC=BM ,联结BC 并延长交半径OM 于点A ,设OA=x ,∠COM 的正切值为y. (1)如图2,当AB ⊥OM 时,求证:AM=AC ; (2)求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域; (3)当△OAC 为等腰三角形时,求x 的值.
【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=+y x 02<≤x 142
2
=x . 【解析】
分析:(1)先判断出∠ABM =∠DOM ,进而判断出△OAC ≌△BAM ,即可得出结论; (2)先判断出BD =DM ,进而得出
DM ME BD AE =,进而得出AE =1
22
x (),再判断出2OA OC DM
OE OD OD
==,即可得出结论; (3)分三种情况利用勾股定理或判断出不存在,即可得出结论. 详解:(1)∵OD ⊥BM ,AB ⊥OM ,∴∠ODM =∠BAM =90°. ∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ,∴∠ABM =∠DOM . ∵∠OAC =∠BAM ,OC =BM ,∴△OAC ≌△BAM , ∴AC =AM .
(2)如图2,过点D 作DE ∥AB ,交OM 于点E . ∵OB =OM ,OD ⊥BM ,∴BD =DM . ∵DE ∥AB ,∴DM ME BD AE =,∴AE =EM .∵OM 2,∴AE =1
22x (). ∵DE ∥AB ,∴2OA OC DM OE OD OD
==, ∴
22
DM OA y OD OE x =∴=+,02x ≤<
(3)(i)当OA=OC时.∵
111
222
DM BM OC x
===.在Rt△ODM
中,
222
1
2
4
OD OM DM x
=-=-.
∵
2
1
2
12
2
4
x
DM x
y
OD x
x
=∴=
+
-
,.解得142
2
x
-
=,或
142
2
x
--
=(舍).
(ii)当AO=AC时,则∠AOC=∠ACO.∵∠ACO>∠COB,∠COB=∠AOC,∴∠ACO>
∠AOC,∴此种情况不存在.
(ⅲ)当CO=CA时,则∠COA=∠CAO=α.∵∠CAO>∠M,∠M=90°﹣α,∴α>90°﹣α,∴α>45°,∴∠BOA=2α>90°.∵∠BOA≤90°,∴此种情况不存在.
即:当△OAC为等腰三角形时,x的值为
142
2
-
.
点睛:本题是圆的综合题,主要考查了相似三角形的判定和性质,圆的有关性质,勾股定理,等腰三角形的性质,建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键.
2.如图,在⊙O中,AB为直径,OC⊥AB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且EF=ED.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若tan A=
1
2
,探究线段AB和BE之间的数量关系,并证明;
(3)在(2)的条件下,若OF=1,求圆O的半径.
【答案】(1)答案见解析;(2)AB=3BE;(3)3.
【解析】
试题分析:(1)先判断出∠OCF+∠CFO=90°,再判断出∠OCF=∠ODF,即可得出结论;
(2)先判断出∠BDE=∠A,进而得出△EBD∽△EDA,得出AE=2DE,DE=2BE,即可得出结论;
(3)设BE=x,则DE=EF=2x,AB=3x,半径OD=3
2
x,进而得出OE=1+2x,最后用勾股定理
即可得出结论.
试题解析:(1)证明:连结OD,如图.∵EF=ED,∴∠EFD=∠EDF.∵∠EFD=∠CFO,∴∠CFO=∠EDF.∵OC⊥OF,∴∠OCF+∠CFO=90°.∵OC=OD,∴∠OCF=∠ODF,
∴∠ODC+∠EDF=90°,即∠ODE=90°,∴OD⊥DE.∵点D在⊙O上,∴DE是⊙O的切线;(2)线段AB、BE之间的数量关系为:AB=3BE.证明如下:
∵AB为⊙O直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADO=∠BDE.∵OA=OD,∴∠ADO=∠A,
∴∠BDE=∠A,而∠BED=∠DEA,∴△EBD∽△EDA,∴DE BE BD
AE DE AD
==.∵Rt△ABD
中,tan A=BD
AD
=
1
2
,∴
DE BE
AE DE
==
1
2
,
∴AE=2DE,DE=2BE,∴AE=4BE,∴AB=3BE;
(3)设BE=x,则DE=EF=2x,AB=3x,半径OD=3
2
x.∵OF=1,∴OE=1+2x.
在Rt△ODE中,由勾股定理可得:(3
2
x)2+(2x)2=(1+2x)2,∴x=﹣
2
9
(舍)或x=2,
∴圆O的半径为3.
点睛:本题是圆的综合题,主要考查了切线的判定和性质,等腰三角形的性质,锐角三角函数,相似三角形的判定和性质,勾股定理,判断出△EBD∽△EDA是解答本题的关键.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,⊙O交BC于点D,交CA的延长线于点E.过点D作DF⊥AC,垂足为F.
(1)求证:DF为⊙O的切线;
(2)若AB=4,∠C=30°,求劣弧?BE的长.
【答案】(1)证明见解析(2)43
π 【解析】
分析:(1)连接AD 、OD ,根据直径所对的圆周角为直角,可得∠ADB=90°,然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD ,再根据中位线的性质求出OD ⊥DF ,进而根据切线的判定证明即可;
(2)连接OE ,根据三角形的外角求出∠BAE 的度数,然后根据圆周角定理求出∠BOE 的度数,根据弧长公式求解即可.
详解:(1)连接AD 、OD .∵AB 是直径,∴∠ADB =90°. ∵AB =AC ,∴BD =CD ,
又∵OA =OB ,∴OD 是△ABC 的中位线,∴OD ∥AC , ∵DF ⊥AC ,∴OD ⊥DF
即∠ODF =90°.∴DF 为⊙O 的切线;
(2)连接OE .∵AB =AC ,∴∠B =∠C =30°,∴∠BAE =60°, ∵∠BOE =2∠BAE ,∴∠BOE =120°, ∴
=
·4π=π.
点睛:本题是圆的综合题,考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理,灵活添加辅助线是解题关键.
4.如图,AB 为O e 的直径,弦//CD AB ,E 是AB 延长线上一点,CDB ADE ∠=∠.
()1DE 是O e 的切线吗?请说明理由; ()2求证:2AC CD BE =?.
【答案】(1)结论:DE 是O e 的切线,理由见解析;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】
(1)连接OD ,只要证明OD DE ⊥即可;
(2)只要证明:AC BD =,CDB DBE V V ∽即可解决问题. 【详解】
()1解:结论:DE 是O e 的切线.
理由:连接OD .
CDB ADE ∠=∠Q , ADC EDB ∴∠=∠, //CD AB Q ,
CDA DAB ∴∠=∠, OA OD =Q ,
OAD ODA ∴∠=∠, ADO EDB ∴∠=∠, AB Q 是直径,
90ADB ∴∠=o , 90ADB ODE ∴∠=∠=o ,
DE OD ∴⊥,
DE ∴是O e 的切线.
()2//CD AB Q ,
ADC DAB ∴∠=∠,CDB DBE ∠=∠,
AC BD ∴=n
n
,
AC BD ∴=,
DCB DAB ∠=∠Q ,EDB DAB ∠=∠, EDB DCB ∴∠=∠, CDB ∴V ∽DBE V , CD DB BD BE
∴=, 2BD CD BE ∴=?, 2AC CD BE ∴=?.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,准确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型.
5.如图1,将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB,点A的运动轨迹为?AB,P是半径OB上一动点,Q是?AB上的一动点,连接PQ.
发现:∠POQ=________时,PQ有最大值,最大值为________;
思考:(1)如图2,若P是OB中点,且QP⊥OB于点P,求?BQ的长;
(2)如图3,将扇形AOB沿折痕AP折叠,使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上,求阴影部分面积;
探究:如图4,将扇形OAB沿PQ折叠,使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切,切点为C,若OP=6,求点O到折痕PQ的距离.
【答案】发现: 90°,102;思考:(1)
10
3
π
=;(2)25π?1002+100;(3)点O
到折痕PQ的距离为30.
【解析】
分析:发现:先判断出当PQ取最大时,点Q与点A重合,点P与点B重合,即可得出结论;
思考:(1)先判断出∠POQ=60°,最后用弧长用弧长公式即可得出结论;
(2)先在Rt△B'OP中,OP2+(102?10)2=(10-OP)2,解得OP=102?10,最后用面积的和差即可得出结论.
探究:先找点O关于PQ的对称点O′,连接OO′、O′B、O′C、O′P,证明四边形OCO′B是矩
形,由勾股定理求O′B,从而求出OO′的长,则OM=1
2
OO′=30.
详解:发现:∵P是半径OB上一动点,Q是?AB上的一动点,∴当PQ取最大时,点Q与点A重合,点P与点B重合,
此时,∠POQ=90°,PQ=22
OA OB
+=102;
思考:(1)如图,连接OQ,
∵点P是OB的中点,
∴OP=1
2
OB=
1
2
OQ.
∵QP ⊥OB , ∴∠OPQ=90°
在Rt △OPQ 中,cos ∠QOP=1
2
OP OQ =, ∴∠QOP=60°, ∴l BQ =
601010
1803
ππ?=; (2)由折叠的性质可得,BP =B ′P ,AB ′=AB =102, 在Rt △B'OP 中,OP 2+(102?10)2=(10-OP )2 解得OP=102?10,
S 阴影=S 扇形AOB -2S △AOP =290101
210(10210)3602
π?-???-
=25π?1002+100;
探究:如图2,找点O 关于PQ 的对称点O′,连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ,
则OM=O′M ,OO′⊥PQ ,O′P=OP=3,点O′是?B Q '所在圆的圆心,
∴O′C=OB=10,
∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切于C 点, ∴O′C ⊥AO , ∴O′C ∥OB ,
∴四边形OCO′B 是矩形,
在Rt △O′BP 中,226425-= 在Rt △OBO′K ,2210(25)=230-, ∴OM=
12OO′=1
2
×23030 即O 到折痕PQ 30
点睛:本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定,熟练掌握弧长公式l=
180
n R
π(n 为圆心角度数,R 为圆半径),明确过圆的切线垂直于过切点的半径,这是常考的性质;对称点的连线被对称轴垂直平分.
6.已知:如图,△ABC 中,AC=3,∠ABC=30°.
(1)尺规作图:求作△ABC的外接圆,保留作图痕迹,不写作法;
(2)求(1)中所求作的圆的面积.
【答案】(1)作图见解析;(2)圆的面积是9π.
【解析】
试题分析:(1)按如下步骤作图:①作线段AB的垂直平分线;②作线段BC的垂直平分线;③以两条垂直平分线的交点O为圆心,OA长为半圆画圆,则圆O即为所求作的圆.如图所示(2)要求外接圆的面积,需求出圆的半径,已知AC=3,如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°,所以圆心角∠AOC=60°,所以?AOC是等边三角形,所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积.
(2)连接OA,OB.
∵AC=3,∠ABC=30°,
∴∠AOC=60°,
∴△AOC是等边三角形,
∴圆的半径是3,
∴圆的面积是S=πr2=9π.
7.如图.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=30cm,点P在AB上,AP=10cm,点E从点P 出发沿线段PA以2c m/s的速度向点A运动,同时点F从点P出发沿线段PB以1c m/s的速度向点B运动,点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动,在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧,设点E、F运动的时间为t (s)(0<t<20).
(1)当点H落在AC边上时,求t的值;
(2)设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S.①试求S关于t的函数表达式;②以
点C为圆心,
1
2
t为半径作⊙C,当⊙C与GH所在的直线相切时,求此时S的值.
【答案】(1)t=2s或10s;(2)①S=
2
2
2
9?(02)
7
5050(210)
2
40400?(1020)
t t
t t t
t t t
?<≤
?
?
-+-<≤
?
?
-+<<
??
;②100cm2.
【解析】
试题分析:(1)如图1中,当0<t≤5时,由题意AE=EH=EF,即10﹣2t=3t,t=2;如图2中,当5<t<20时,AE=HE,2t﹣10=10﹣(2t﹣10)+t,t=10;
(2)分四种切线讨论a、如图3中,当0<t≤2时,重叠部分是正方形EFGH,S=(3t)2=9t2.b、如图4中,当2<t≤5时,重叠部分是五边形EFGMN.c、如图5中,当5<t<10时,重叠部分是五边形EFGMN.d、如图6中,当10<t<20时,重叠部分是正方形EFGH.分别计算即可;
②分两种情形分别列出方程即可解决问题.
试题解析:解:(1)如图1中,当0<t≤5时,由题意得:AE=EH=EF,即10﹣2t=3t,t=2
如图2中,当5<t<20时,AE=HE,2t﹣10=10﹣(2t﹣10)+t,t=10.
综上所述:t=2s或10s时,点H落在AC边上.
(2)①如图3中,当0<t≤2时,重叠部分是正方形EFGH,S=(3t)2=9t2
如图4中,当2<t≤5时,重叠部分是五边形EFGMN,S=(3t)2﹣1
2
(5t﹣10)2=﹣
7
2
t2+50t﹣50.
如图5中,当5<t<10时,重叠部分是五边形EFGMN,S=(20﹣t)2﹣1
2
(30﹣3t)2=﹣
7
2
t2+50t﹣50.
如图6中,当10<t<20时,重叠部分是正方形EFGH,S=(20﹣t)2=t2﹣40t+400.
综上所述:S=
2
2
2
9?(02)
7
5050(210)
2
40400?(1020)
t t
t t t
t t t
?<≤
?
?
-+-<≤
?
?
-+<<
??
.
②如图7中,当0<t≤5时,
1
2
t+3t=15,解得:t=
30
7
,此时S=100cm2,当5<t<20时,1
2
t+20﹣t=15,解得:t=10,此时S=100.
综上所述:当⊙C与GH所在的直线相切时,求此时S的值为100cm2
点睛:本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,注意不能漏解,属于中考压轴题.
8.如图,AD是△ABC的角平分线,以AD为弦的⊙O交AB、AC于E、F,已知EF∥BC.(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若已知AE=9,CF=4,求DE长;
(3)在(2)的条件下,若∠BAC=60°,求tan∠AFE的值及GD长.
【答案】(1)证明见解析(2)DE=6(318367
-
【解析】
试题分析:(1)连接OD,由角平分线的定义得到∠1=∠2,得到??
DE DF
=,根据垂径定理得到OD⊥EF,根据平行线的性质得到OD⊥BC,于是得到结论;
(2)连接DE,由??
DE DF
=,得到DE=DF,根据平行线的性质得到∠3=∠4,等量代换得到∠1=∠4,根据相似三角形的性质即可得到结论;
(3)过F作FH⊥BC于H,由已知条件得到∠1=∠2=∠3=∠4=30°,解直角三角形得到
FH=1
2
DF=
1
2
×6=3,3227
CF HF
-=,根据三角函数的定义得到
tan∠AFE=tan∠C=
37
7
HF
CH
=;根据相似三角形到现在即可得到结论.
试题解析:(1)连接OD,∵AD是△ABC的角平分线,∴∠1=∠2,
∴??
DE DF
=,
∴OD⊥EF,
∵EF∥BC,
∴OD⊥BC,
∴BC是⊙O的切线;
(2)连接DE,
∵??
DE DF
=,
∴DE=DF,
∵EF∥BC,
∴∠3=∠4, ∵∠1=∠3, ∴∠1=∠4, ∵∠DFC=∠AED , ∴△AED ∽△DFC ,
∴AE DE DF CF =,即94DE
DE =, ∴DE 2=36, ∴DE=6;
(3)过F 作FH ⊥BC 于H , ∵∠BAC=60°,
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°,
∴FH=
12
DF=1
62?=3,DH=33,
∴CH=227CF HF -=, ∵EF ∥BC , ∴∠C=∠AFE , ∴tan ∠AFE=tan ∠C=
37
HF CH =
; ∵∠4=∠2.∠C=∠C , ∴△ADC ∽△DFC , ∴
AD CD
DF CF
=, ∵∠5=∠5,∠3=∠2, ∴△ADF ∽△FDG , ∴AD DF
DF DG
=, ∴
CD DF CF DG =,即3376
DG +=, ∴DG=
18367
5
-.
点睛:本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、
平行线的性质,正确作出辅助线是解题的关键.
9.问题发现.
(1)如图①,Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =3,BC =4,点D 是AB 边上任意一点,则CD 的最小值为______.
(2)如图②,矩形ABCD 中,AB =3,BC =4,点M 、点N 分别在BD 、BC 上,求CM+MN 的最小值.
(3)如图③,矩形ABCD 中,AB =3,BC =4,点E 是AB 边上一点,且AE =2,点F 是BC 边上的任意一点,把△BEF 沿EF 翻折,点B 的对应点为G ,连接AG 、CG ,四边形AGCD 的面积是否存在最小值,若存在,求这个最小值及此时BF 的长度.若不存在,请说明理由.
【答案】(1) 125CD =;(2) CM MN +的最小值为9625.(3) 152
【解析】
试题分析:(1)根据两种不同方法求面积公式求解;(2)作C 关于BD 的对称点C ',过
C '作BC 的垂线,垂足为N ,求C N '的长即可;(3) 连接AC ,则
ADC ACG AGCD S S S =+V V 四,321GB EB AB AE ==-=-=,则点G 的轨迹为以E 为圆
心,1为半径的一段弧.过E 作AC 的垂线,与⊙E 交于点G ,垂足为M ,由
AEM ACB V V ∽求得GM 的值,再由ACD ACG AGCD S S S =+V V 四边形 求解即可.
试题解析:
(1)从C 到AB 距离最小即为过C 作AB 的垂线,垂足为D ,
22
ABC CD AB AC BC
S ??==V , ∴3412
55
AC BC CD AB ??=
==, (2)作C 关于BD 的对称点C ',过C '作BC 的垂线,垂足为N ,且与BD 交于M ,
则CM MN +的最小值为C N '的长, 设CC '与BD 交于H ,则CH BD ⊥, ∴BMC BCD V V ∽,且12
5CH =,
∴C CB BDC ∠=∠',245
CC '=, ∴C NC BCD 'V V ∽,
∴244
965525
CC BC C N BD ??==='', 即CM MN +的最小值为96
25
.
(3)连接AC ,则ADC ACG AGCD S S S =+V V 四,
321GB EB AB AE ==-=-=,
∴点G 的轨迹为以E 为圆心,1为半径的一段弧. 过E 作AC 的垂线,与⊙E 交于点G ,垂足为M , ∵AEM ACB V V ∽, ∴EM AE
BC AC
=, ∴248
55
AE BC EM AC ??=
==, ∴83
155
GM EM EG =-=-=,
∴ACD ACG AGCD S S S =+V V 四边形,
113
345225
=??+??,
2
【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识,解题的关键是利用轴对称解决最值问题,灵活运用两点之间线段最短解决问题.
10.如图①,抛物线y =ax 2+bx+c 经过点A (﹣2,0)、B (4,0)、C (0,3)三点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)点P 是y 轴上的一个动点,连接PA ,试求5PA+4PC 的最小值;
(3)如图②,若直线l 经过点T (﹣4,0),Q 为直线l 上的动点,当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时,试求直线l 的解析式. 【答案】(1)233
384
y x x =-++;(2)5PA+4PC 的最小值为18;(3)直线l 的解析式为3
34
y x =
+或3
34
y x =--.
【解析】 【分析】
(1)设出交点式,代入C 点计算即可 (2)连接AC 、BC ,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过点P 作PD ⊥BC 于点D ,易证△CDP ∽△COB ,得到比例式PC PD BC OB =,得到PD=4
5
PC ,所以5PA+4PC =5(PA+
4
5
PC )=5(PA+PD ),当点A 、P 、D 在同一直线上时,5PA+4PC =5(PA+PD )=5AE 最小,利用等面积法求出AE=
18
5
,即最小值为18 (3)取AB 中点F ,以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ =90°或∠ABQ =90°时,即AQ 或BQ 垂直x 轴,所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ =90°或∠ABQ =90°,即∠AQB =90°时,只有一个满足条件的点Q ,∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时,满足∠AQB =90°的点Q 只有一个;此时,连接FQ ,过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ,利用cos ∠QFT 求出QG ,分出情况Q 在x 轴上方和x 轴下方时,分别代入直接l 得到解析式即可 【详解】
解:(1)∵抛物线与x 轴交点为A (﹣2,0)、B (4,0) ∴y =a (x+2)(x ﹣4) 把点C (0,3)代入得:﹣8a =3
8
∴抛物线解析式为y =﹣
38(x+2)(x ﹣4)=﹣38x 2+34
x+3 (2)连接AC 、BC ,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过点P 作PD ⊥BC 于点D ∴∠CDP =∠COB =90° ∵∠DCP =∠OCB ∴△CDP ∽△COB ∴
PC PD
BC OB
= ∵B (4,0),C (0,3)
∴OB =4,OC =3,BC ∴PD =
45
PC ∴5PA+4PC =5(PA+
4
5
PC )=5(PA+PD ) ∴当点A 、P 、D 在同一直线上时,5PA+4PC =5(PA+PD )=5AE 最小 ∵A (﹣2,0),OC ⊥AB ,AE ⊥BC ∴S △ABC =12AB?OC =1
2
BC?AE ∴AE =
6318
55
AB OC BC ?==n ∴5AE =18
∴5PA+4PC 的最小值为18.
(3)取AB 中点F ,以F 为圆心、FA 的长为半径画圆 当∠BAQ =90°或∠ABQ =90°时,即AQ 或BQ 垂直x 轴,
∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ =90°或∠ABQ =90° ∴∠AQB =90°时,只有一个满足条件的点Q
∵当Q 在⊙F 上运动时(不与A 、B 重合),∠AQB =90° ∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时,满足∠AQB =90°的点Q 只有一个 此时,连接FQ ,过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ∴∠FQT =90°
∵F 为A (﹣2,0)、B (4,0)的中点 ∴F (1,0),FQ =FA =3 ∵T (﹣4,0) ∴TF =5,cos ∠QFT =
3
5
FQ TF = ∵Rt △FGQ 中,cos ∠QFT =
3
5
FG FQ =
∴FG =
35FQ =95
∴x Q =1﹣945
5=
-,QG =2
222912FQ 355FG ??-=-= ???
①若点Q 在x 轴上方,则Q (412
55
-,) 设直线l 解析式为:y =kx+b
∴404125
5k b k b -+=???-+=?? 解得:343k b ?
=??
?=? ∴直线l :3
34
y x =
+ ②若点Q 在x 轴下方,则Q (41255
--,
) ∴直线l :3
34
y x =-
- 综上所述,直线l 的解析式为3
34
y x =
+或3
34
y x =--
【点睛】
本题是二次函数与圆的综合题,同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点,综合度比较高,需要很强的综合能力,第三问能够找到满足条件的Q 点是关键,同时不要忘记需要分情况讨论
11.如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F,且∠ACB=∠DCE.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=2,BC=2,求⊙O的半径.
【答案】(1)直线CE与⊙O相切,理由见解析;(2)⊙O的半径为
6 4
【解析】
【分析】
(1)首先连接OE,由OE=OA与四边形ABCD是矩形,易求得∠DEC+∠OEA=90°,即OE⊥EC,即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切;
(2)首先易证得△CDE∽△CBA,然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求得DE的长,又由勾股定理即可求得AC的长,然后设OA为x,即可得方程
222
3)6)
x x
-=,解此方程即可求得⊙O的半径.
【详解】
解:(1)直线CE与⊙O相切.…
理由:连接OE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=∠BAD=90°,BC∥AD,CD=AB,
∴∠DCE+∠DEC=90°,∠ACB=∠DAC,
又∠DCE=∠ACB,
∴∠DEC+∠DAC=90°,
∵OE=OA,
∴∠OEA=∠DAC,
∴∠DEC+∠OEA=90°,
∴∠OEC=90°,
∴OE⊥EC,
∵OE为圆O半径,
∴直线CE与⊙O相切;…
(2)∵∠B=∠D,∠DCE=∠ACB,
∴△CDE∽△CBA,
∴BC AB
DC DE
=,
又CD =AB =2,BC =2, ∴DE =1
根据勾股定理得EC =3, 又226AC AB BC =
+=,…
设OA 为x ,则222(3)(6)x x +=-, 解得6x =
, ∴⊙O 的半径为
6.
【点睛】
此题考查了切线的判定与性质,矩形的性质,相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用,注意辅助线的作法.
12.在中,
,
,,分别是边,
的中点,若等腰
绕点逆时针旋转,得到等腰,设旋转角为
,记直线
与
的交点为.
(1)问题发现 如图1,当时,线段的长等于_________,线段
的长等于_________.
(2)探究证明 如图2,当时,求证:
,且
.
(3)问题解决 求点到
所在直线的距离的最大值.(直接写出结果)
【答案】(1);;(2)详见解析;(3)
中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
中考数学易错题题目(经典)
O G F B D A C E 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm ,点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2 cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区 进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2 EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2 ADFE S AF DE =g 四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.是 . 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福 娃们的讨 论,请你解该题,你选择的答案是( ) 贝 贝:我注意 s t O A s t O B s t O C s t O D A D C E F G B s 80 O v t 80 O v 80 O t v O A . B. C . D . 80 A D B F E 第20题图 D C B P A 函数2y x x m =-+(m 为常数)的图象如左图, 如果x a =时,0y <;那么1x a =-时, 函数值( ) A .0y < B .0y m << C .y m > D .y m = x y O x 1 x 2
历年中考数学易错题汇编-旋转练习题及答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB,
中考数学易错题精选-锐角三角函数练习题及答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗
来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗?(附答案) 作者:学大教育编辑整理 来源:网络 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 一、初一数学代数式解答题压轴题精选(难) 1.任何一个整数N,可以用一个的多项式来表示: N= . 例如:325=3×102+2×10+5. 一个正两位数的个位数字是x,十位数字y. (1)列式表示这个两位数; (2)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新的两位数,试说明新数与原数的和能被11整除. (3)已知是一个正三位数.小明猜想:“ 与的差一定是9的倍数。”请你帮助小明说明理由. (4)在一次游戏中,小明算出、、、与等5个数和是3470,请你求出这个正三位数. 【答案】(1)解:10y+x (2)解:根据题意得:10y+x+10x+y=11(x+y),则所得的数与原数的和能被11整除(3)解:∵ - =100a+10b+c-(100b+10c+a)=99a-90b-9c =9(11a-10b-c),∴ 与的差一定是9的倍数 (4)解:∵ + + + + + =3470+ ∴222(a+b+c)=222×15+140+ ∵100<<1000,∴3570<222(a+b+c)<4470,∴16<a+b+c≤20.尝试发现只有a+b+c=19,此时 =748成立,这个三位数为748. 【解析】【分析】(1)由已知一个正两位数的个位数字是x,十位数字y ,因此这个两位数是:十位上的数字×10+个位数的数字。 (2)根据题意将新的两位数和原两位数相加,再化简,即可得出结果。 (3)分别表示出两个三位数,再求出它们的差,就可得出它们的差是否为9的倍数。(4)根据题意求出a+b+c的取值范围,再代入数据进行验证即可。 2.|a|的几何意义是数轴上表示数a的点与原点O的距离,例如:|3|=|3﹣0|,即|3﹣0|表示3、0在数轴上对应两点之间的距离.一般地,点A、B在数轴上分别表示数a、b,那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|,解决下面问题: (1)数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是________;数轴上P、Q两点的距离为6,点P表示的数是2,则点Q表示的数是________; (2)点A在数轴上表示数为x,点B、C在数轴上表示的数分别为多项式2m2n+mn﹣2的常数项和次数.________ ①若B、C两点分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度同时向右运动t秒.当OC =2OB时,求t的值;________ ②用含x的绝对值的式子表示点A到点B、点A到点C的距离之和为________,直接写出 一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A,曲线DE是双曲线y= (3≤x≤12)的一部分,记作G1,且D(3,m)、E(12,m﹣3),将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位,得到抛物线G2. (1)求双曲线的解析式; (2)设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C,且B在C的左侧,则线段BD的长为________; (3)点(6,n)为G1与G2的交点坐标,求a的值. (4)解:在移动过程中,若G1与G2有两个交点,设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点,若MN<,直接写出a的取值范围. 【答案】(1)把D(3,m)、E(12,m﹣3)代入y= 得,解得, 所以双曲线的解析式为y= ; (2)2 (3)解:把(6,n)代入y= 得6n=12,解得n=2,即交点坐标为(6,2), 抛物线G2的解析式为y=﹣(x﹣a)2+9, 把(6,2)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(6﹣a)2+9=2,解得a=6± , 即a的值为6± ; (4)抛物线G2的解析式为y=﹣(x﹣a)2+9, 把D(3,4)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(3﹣a)2+9=4,解得a=3﹣或a=3+ ; 把E(12,1)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(12﹣a)2+9=1,解得a=12﹣2 或a=12+2 ; ∵G1与G2有两个交点, ∴3+ ≤a≤12﹣2 , 设直线DE的解析式为y=px+q, 把D(3,4),E(12,1)代入得,解得, ∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5, ∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点, ∴M(a,﹣ a+5),N(a,), ∵MN<, ∴﹣ a+5﹣<, 整理得a2﹣13a+36>0,即(a﹣4)(a﹣9)>0, ∴a<4或a>9, ∴a的取值范围为9<a≤12﹣2 . 【解析】【解答】解:(2)当y=0时,﹣x2+9=0,解得x1=﹣3,x2=3,则B(﹣3,0),而D(3,4), 所以BE= =2 . 故答案为2 ; 【分析】(1)把D(3,m)、E(12,m﹣3)代入y= 得关于k、m的方程组,然后解方程组求出m、k,即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标;(2)先解方程﹣x2+9=0得到B(﹣3,0),而D(3,4),然后利用两点间的距离公式计算DE的长;(3)先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为(6,2),然后把(6,2)代入y=﹣(x ﹣a)2+9得a的值;(4)分别把D点和E点坐标代入y=﹣(x﹣a)2+9得a的值,则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ,再利用待定系数法求出直线DE的 解析式为y=﹣ x+5,则M(a,﹣ a+5),N(a,),于是利用MN<得到﹣ a+5﹣<,然后解此不等式得到a<4或a>9,最后确定满足条件的a的取值范围. 2.如图直角坐标系中,矩形ABCD的边BC在x轴上,点B,D的坐标分别为B(1,0),D(3,3). 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( C ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( A ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( B ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( B ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( C ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2 ,则两圆的位置关系是( B ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 中考数学易错题集锦 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交点 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b七年级数学代数式易错题(Word版 含答案)
历年中考数学易错题汇编-反比例函数练习题附答案
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