极限的四则运算
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
极限的四则运算PPT教学课件
• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim
极限的 运算法则
x
1
3
2 2
1
1 3
．
x1
x1
x1
结论 一般地，当有理分式函数中分母的极限不为零时，有理分式在 x0 处的极 限也等于其在 x0 处的函数值．
1.1 极限的四则运算法则
例3
求
lim
x1
4x 3 x2 3x
2
．
解 因为分母的极限 lim(x2 3x 2) 12 31 2 0 ，故不能直接用商的极限 x1
lim
xx0
(a0
xn
a1xn1
an1x an ) a0 x0n a1x0n1
an1x0 an ．
1.1 极限的四则运算法则
例2
求
lim
x1
3x2
2x 2x
1
．
解 这里分母的极限不为零，故
lim
x1
3x2
2x 2x
1
lim 2x
x1
lim(3x2 2x
1)
3lim
2lim x x1
a1 x n 1 b1 x m 1
0， n m ，
an bm
a0 b0
，
n m ，（其中 a0 0 ，b0 0
， n m ，
1.1 极限的四则运算法则
例9
求
lim
n
2n 2n1
5n 5n1
．
解 当 n 时，分子、分母都是无穷大，故不能直接用商的极限法则，但可 以将分子、分母同除以 5n ，再利用极限四则运算法则计算．
高等数学
极限的运算法则
本节讨论极限的求法，主要是建立极限的四则运算法则和复合函数 的极限运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限．以后我们 还将介绍求极限的其他方法．
极限运算法则两个重要极限
极限运算法则两个重要极限1.极限四则运算法则：极限四则运算法则是指对任意两个函数的极限进行加、减、乘、除运算时的运算规则。
具体而言，设有函数f(x)和g(x)，若函数f(x)在点x=a处有极限L1，g(x)在点x=a处有极限L2，则在点x=a处有以下结果：a) 两个函数的和的极限：lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 + L2b) 两个函数的差的极限：lim(x→a) [f(x) - g(x)] = L1 - L2c) 两个函数的乘积的极限：lim(x→a) [f(x) * g(x)] = L1 * L2d) 两个函数的商的极限：lim(x→a) [f(x) / g(x)] = L1 / L2 (当L2≠0时)这些极限四则运算法则可以帮助我们简化极限运算，并且可以通过已知函数的极限值来确定复合函数的极限。
2.极限复合运算法则：极限复合运算法则是指对复合函数的极限进行计算的运算规则。
复合函数是由两个或多个函数组成的函数，记作f(g(x))或g(f(x))。
具体而言，设有函数f(x)和g(x)，若函数f(x)在点x=a处有极限L1，g(x)在点x=a处有极限L2，则在点x=a处有以下结果：lim(x→a) [f(g(x))] = L1 (若L2 = a)lim(x→a) [g(f(x))] = L2 (若L1 = a)这意味着通过已知函数的极限值，我们可以确定复合函数在特定点的极限值。
以上是对极限四则运算法则和极限复合运算法则的详细解释。
这两个极限运算法则在微积分中具有重要的应用，能够帮助我们确定函数在特定点处的极限值，进而推导出更复杂的极限运算。
理解和掌握这两个极限运算法则对于解决微积分中的问题和应用具有重要意义。
极限四则运算法则
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
极限的四则运算
lim
x x2
x 1
1 x
2 x3
0
1
0,
lim x x 2 2 x
.
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B[ f (x)
A]
A[g( x ) B ]
g( x ) B
Bg ( x )
B g( x )
f ( x ) A A g( x ) B
g( x )
B g( x )
因 l i m g x ， B对于0正数 ， x x0
使B 得当1 0 时， 0 x x0 1
2
有 g x B,所 以B 2
u u0
则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u ).
x x0
u u0
证:
当
时, 有
对上述
当
时, 有
取
则当
时
故
因此①式成立.
此定理表明： 若f (u )与g ( x )满足定理的条件
则可作代换 u g ( x )把求 lim f [ g ( x )]转化为
xx0
lim f (u ), 这里u0 lim g ( x—) —极限过程的转化
x x0
x x0
1 0, 当0
x x0
1时, 有
f (x)
A
,
2
2 0, 当0 x x 0 2时, 有 g ( x ) B ,
2
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x 0 时,
[ f (x)
g ( x )] ( A
B)
.
22
lim [ f ( x ) g ( x )] A B .
由极限运算法则可知：
第六节极限四则运算法则
极限的四则运算法则
复合函数的极限运算法则
由于根据极限的定义, 只能验证某个常数 A 是否为某个函 数ƒ(x)的极限, 而不能求出函数ƒ(x)的极限. 为了解决极限的 计算问题, 下面介绍极限的运算法则.
一、 极限的四则运算法则
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
(1)=
lim
n
1
(1
1 (1)2n 1) …
(1
1)
2.
x
1时,f
(x)
(1
1 x2n
x ) lim n
1
x 2 n1
1
x
x
1时,f ( x) (1
x ) lim n
1
x2n 1
x2n
1 x
x1 x
所以
1 x
f
(
mn
m n, mn
分子, 分母同时除以自变量的最高次幂, 然后再求极限.
例5
已知
lim
x
x
x1997 ( x 1)
,
求常数 , .
解
lim
x
x
x1997 ( x 1)
lim
x
x 1
x1997
( 1)
x 2
... 1
解 lim( x 2 3 x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
极限的四则运算
极限四则运算：
定义：所谓的极限四则运算法则：需要具有两个极限同时存在，如果有一个极限自身不存在的时候，四则运算法则无法成立。
性质：唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。
和实数运算的相容性：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
其中我们可以设：limf（x）和limg（x）存在
令：limf（x）=A，limg（x）=B，其中，B≠0；c是一个常数
备注：四则运算可以相互带入数值进行互算，第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。
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极限的四则混合运算一、口算：3.6＋4.4 = 10－5.2 = 3.4 × 0.2= 7.8÷ 6=1÷4 = 7.5÷0.3 = 9.8－ 8 = 0÷27.9=6.5 ×0.2= 0.1×0.5= 13.2＋6.8= 0.15÷15=2＋3.8= 9－4.5= 0.42×3= 11＋0.92= 4÷5= 1.8÷0.03= 75÷2.5= 0×25.4=0.125×8= 7.24 - 2.4= 17.2÷17.2= 0.99×0.1=二、计算1.简算。
7.5－0.26－1.74＋2.5 0.25×13×4 18－2.7－9.332×0.125 3.5×3＋3.5×7 4.5×20－3.5×202、脱式计算。
82.3－40.5÷0.81×1.2 4.53＋19.8÷(26.8－1.2×4)(9－0.45)÷(2.5＋1.5×3) [1－0.98×(3.51－3.51)]÷2三、列式计算。
4.5 除 3 与 1.5 的和，商是多少？ 0.5 乘4.8 与 3.5 的差，积是多少？3.6 加上 1.2 的 5 倍，再减去 2.88 ，差是多少？ 335.7除以0.7的商,加上12.5与4.8的积,和是多少?四、把下列的分步算式改写成综合算式。
（１）7.8－2.9＝4.9 （２）1－0.8＝0.24.9×0.8＝3.92 1.2÷0.2＝69.15＋3.92＝13.07 18－6＝240.5×24＝12五、应用题1、水稻专业组有两块早稻田。
一块450平方米，平均每平方米产1.3千克；另一块560平方米，平均每平方米产1.45千克。
这两块早稻田的总产量是多少千克？合多少吨？2、小红的身高是1.36米，小强比小红高0.04米，他们两人身高的和是小林身高的2倍，小林身高是多少米？3、四年级要为图书馆修补244本图书，第一天修补了49本，第二天修补了51本。
剩下的要3天修补完，平均每天要修补多少本？4、先锋小学要用长0.96米，宽0.69米的红纸布置一个光荣榜，这个光荣榜高1.92米，长 3.45米。
布置这个光荣榜需要多少张这种纸？循环小数循环小数练习题教材连线1、填空。
（1）一个小数，从小数部分的某一位起，（）或（）依次不断地（）出现，这样的小数叫做（）。
（2）在3.82，5.6，0.35，0.002，2.75，3.2727……中，（）是有限小数，（）是循环小数。
（3）8.375375……可以写作（）。
2、写出下面各循环小数的近似值（保留三位小数）0.3333……≈ 13.67373……≈ 8.534534……≈ 4.888……≈3、判断（对的在括号内画“√”错的画“×”）（1）1.4545……保留一位小数）≈1.4 （）（2）2.453453…的循环节是435。
（）（3）循环小数都是无限小数。
（）（4）1.2323…的小数部分最后一位上的数是3。
（）4、计算下面各题，除不尽的用循环小数表示商13÷11= 57÷32= 11.625÷9.3= 30.1÷33=智能升级：1、你会比较这些小数的大小吗？试试看！0.66○0.6…… 8.25……○8.25 5.41○5.41……3.888○3.08…… 7.28……○7.28 0.99……○0.99992、用简便记法表示下列循环小数3.2525…… 17.0651651…… 1.066…… 0.333……3、选择题。
（把正确的答案的序号填入括号内）（1）2.235235……的循环节是（）①2.235 ②2.35 ③235 ④235（2）下面各数中，最大的一个数是（）①3.81 ②3.81 ③3.81 ④3.8……（3）得数要求保留三位小数，计算时应算到小数点后面第（）位①二位②三位③四位④五位4、应用题（1）、五年级三个班的同学们参加植树活动，共植树220棵树，一班植的棵数是二班的2倍，二班比三班多值20棵。
三个班各植多少棵树？（2）、服装厂做一件男上衣用2.5米布料，现在有42米布料，可以做多少件这样的男上衣？（3）、每一个油桶最多装4.5千克油，购买62千克，至少要准备多少只这样的油桶？（4）、某工厂五月份用煤125吨，是四月份用煤量的2.5倍，四月份和五月份共用煤多少吨？（5）、15匹马9天喂了175.5千克饲料，每匹马一天要多少千克饲料？（6）用一部收割机收大豆，5天可以收割20.8公顷，照这样计算，7天可以收割多少公顷？60.4公顷大豆需要多少天才能收完?（7）、明明买了6本练习本,兰兰买了3本同样的练习本,明明比兰兰多花1.35元。
（1）每本练习本多少元？（2）明明和兰兰买练习本共花了多少钱？小数乘整数习题一、填空.1、小数乘以整数的方法是，先把小数看成( )再按整数乘法算出积，然后看两个因数有几位小数，就从积的右边数几位，点上( )并去掉小数点后末尾的零.2、 3.8+3.8+3.8+3.8=( )×( ) 0.04×=( )+( )+( )3、1.5×3的意义是，也可以表示改写成加法算式是 .4、3.8扩大( )倍是38. 78缩小( )倍是0.078.90缩小1000倍是( ). ( )缩小10倍是4.6.13个0.25是( ). 0.25的8倍是( ).5、0.24×15运算时先把0.24看作( )，被乘数就扩大了( )，运算结果必须缩小( )，才能得到0.24×15的积.二、判断对错。
（对的打╳错的打〇）(1)0.6时等于6分。
( ) (2)一个数的1.02倍比原来的数要大。
( )(3)两个因数的小数位数的和是4，积的小数位数也一定是4。
( )三、列式计算.(1)12个35.07元是多少元? （4）2.39的8倍是多少?(2)8个1.25是多少? （5）0.04的25倍是多少?(3)25个10.04是多少? （6）3.8的15倍是多少?四、一个正方形的边长是19.5米，它的周长多少米?五、一种日记本的单价是2.38元，买15个要付多少元钱?能力训练把1.6当成16看，原来的数扩大( )倍.把3.364当成3364看，原来的数扩大( )倍.把845.3当成8.453看，原来的数( )倍.把0.425当成425看，原来的数( )倍.把43.5当成435看，原来的数( )倍.把87.24当成8724看，原来的数( )倍.小数除法练习题1、脱式计算。
213.6÷0.8÷0.3 16.6÷5.5X 1.7 32.8X10.5÷0.6 42÷(5.25÷0.25)2．列竖式计算.4.8÷3 36.8÷16 59.51÷11 82.8÷723．列式计算①一个数的25倍是37.75，这个数是多少？②把305.2平均分成14份，一份是多少？4．应用题。
（1）一个正方形的周长是37.4分米，这个正方形的边长是多少分米？（2）一艘远洋货轮每小时的速度是29千米，要航行449.5千米，需要多少小时？（3）甲数是17.25，乙数是36，丙数是24.9，求这三个数的平均数。
1．列竖式计算下面各题。
8.4÷24 18÷48 23÷184 7.65÷250.98÷35 2.525÷25 84÷56 140.7÷352．列式计算（1）29是20的多少倍？（2）把41.4平均分345份，一份是多少？3．填空。
（1）15分=（）小时（填小数）（2）7小时39分=（）小时（填小数）（3）因为34÷85=0.4 所以3.4÷85=（）4．应用题。
（1）一个机械化养鸡场的产蛋鸡，平均每只每年产蛋294个 , 如果按照每24个蛋1千克计算，平均每只鸡每年产蛋多少千克？（2）一只大像重4吨，一头鲸鱼重145吨，鲸。
鱼的体重是大象的多少倍？（3）一个铺路队25小时铺路13米。
照这样计算，7.2小时铺路多少米？（三）1．填空题。
（1）0.45÷0.005=( )÷5 （2）1.8÷0.03=( ) ÷3 （3）两个数的商是0.95，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是（）；如果被除数扩大100倍，要使商不变，除数应（）。
（4）0.7的（）倍是1.75。
2．根据，写出下面各题的得数：81.2÷0.78= 8.12÷78= 8.112÷0.078 = 811.2÷0.78=3．口算。
1.4÷0.7= 7.2÷0.6= 7.2÷0.06= 405÷0.9= 0÷2.74= 2.4÷10=16-2.75= 1.2÷0.2= 8.4÷6= 0.15×6= 3÷0.05= 0.21÷0.7=4．计算。
1.56÷2.4= 1.44÷0.015= 2.898÷0.18=5．应用题。
（1）一辆汽车4.8小时行驶288千米，平均每小时行多少千米？（2）妈妈在菜市场买了1.5千克带鱼，交给售货员11元钱后，找回0.95元。
每千克带鱼多少元？（3）、一辆汽车从甲城开往乙城，4.6小（4）一个村今年养乌骨鸡一共收入374.8时行驶了300千米，平均每小时行驶多少万元，相当于农业收入的1.3倍，该村今年千米？（得数保留两位小数）农业收入多少万元？（得数保留整数）（5）桔子每千克1.34元，6元钱可以买（6）每支牙刷1.4元，买12支牙膏的价多少千克？（得数保留一位小数）钱等于23支牙刷的价钱，每支牙膏多少元？。