二元函数极值问题

二元函数极值问题
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0x >时，
1,z x ∂=∂ 0x <时，1z
x
∂=-∂. 因此在0x =时偏导数不存在. 由此可见，函数的极值点必为f
x
∂∂及f y ∂∂同时为零或至少有一个偏导数不存在的点.
3.2极值的充分条件
设函数),(y x f z =在点的某个邻域内连续且有二阶连续偏导数,又
0),(00'
=y x f x 且0),(00'=y x fy ,记二阶连续偏导数为
A
y x f
xx
=),(00'
,B
y x f
xy
=),(00'
,C
y x f
yy
=),(00'
,
AC B -=∆2,则函数),(y x f z =在),(00y x 点处是否取得极值的条件如下:
(1) 当0<∆且0<A 时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极大值; (2) 当0<∆且0>A 时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极小值; (3) 当0>∆时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处不取得极值;
(4) 当0=∆时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处可能取得极值,也可能不取得极值.
4. 求二元函数的极值的步骤
要求函数的极值，首先要求出所有使函数的偏导数等于零或偏导数不存在的点，然后讨论该点周围函数的变化情形，以进一步判断是否有极值，为此我们讨论f ∆，若(,)f x y 的一切二阶导数连续，则由泰勒公式并注意到在极值点必须0x y f f ==，就有
222
000000200001
(,)(,)((,)22(,)(,))
x xy y f f x x y y f x y f x x y y x f x x y y x y f x x y y y θθθθθθ∆=+∆+∆-=+∆+∆∆++∆+∆∆∆++∆+∆∆.
由于(,)f x y 的一切二阶偏导数在00(,)x y 连续，记200(,)x A f x y =，
00(,)xy B f x y =，200(,)y C f x y =，那就有
6
200(,),0(0,0)x f x x y y A x y θθαα+∆+∆=+→∆→∆→
00(,),0(0,0)
xy f x x y y B x y θθββ+∆+∆=+→∆→∆→
200(,),0(0,0)y f x x y y C x y θθγγ+∆+∆=+→∆→∆→
于是
222211
[2][2]22
f A x B x y C y x x y y αβγ∆=∆+∆∆+∆+∆+∆∆+∆.
当二次形式222kf A x B x y C y =∆+∆∆+∆不为零时，注意到0,0x y ∆→∆→时，,,αβγ都是无穷小量，所以存在点000(,)M x y 的一个领域，使得在这个领域内，f ∆的符号与kf 的符号相同，而当0kf =时，f ∆的符号取决于
222x x y y αβγ∆+∆∆+∆的符号了. 对于二次型 222kf A x B x y C y =∆+∆∆+∆ 它的判别式为 2A B H AC B BC
==-.
那就有以下结论：
H>0
H<0
H=0
A<0
A>0
函数有极大值
函数有极小值
函数无极值 需进一步判定
这是因为当0H >而0A <时，二次型kf 为负定的，故0kf <，从而0f ∆<；当0H >而0A >时，二次型kf 为正定的，故0kf >，从而0f ∆>；当0H <时，二次型为不定的.所以f ∆亦可正可负的，于是函数无极值；当0H =时，二次型kf 在某些,x y ∆∆值上将等于零，于是f ∆的符号就必须进一步判断
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了.
5. 求极值的相关例题
例1 证明具有已知周长的三角形中，等边三角形有最大面积.
证明:
设三角形的边长为,,x y z ，周长
2x y z p ++=，
于是
2z p x y =--.
三角形的面积S 有如下公式：
2
(,)()()()()()()f x y S p p x p y p z p p x p y x y p
=
=---=--+-. 由 ()(22)0,()(22)0,f
p p y p x y x
f
p p x p x y y ∂=---=∂∂=---=∂
解得(,)f x y 的稳定点：
(0,)p ， (,)p p ， (,0)p ， 22
(,)33
p p .
事实上，(,)f x y 的定义域是D （如下图阴影部分）：
y
x
8
0x p <<, 0y p <<, x y p +>. (,)f x y 在D 上一定有最大值，
在D 内有唯一稳定点22
(,)33
p p ，
4221111(,)***3333327
f p p p p p p p ==, (,)f x y 在D ∂上取值为零，因此(,)f x y 一定在22
(,)33p p 取到D 内的最大
值，即
23x p =
, 23y p =, 23
z p =. 时，三角型有最大值.
例2 设通过观测或实验得到一列点(,)i i x y ，1,2,....i n = 它们大体上在一条直线上，即大体上可用直线方程来反映变量x 与y 之间的对应关系，现要确定一直线与这n 个点的偏差平方和最小. 解: 设所求直线方程为
y ax b =+，
所测得的n 个点为(,)i i x y (1,2...)i n =，现要确定,,a b 使得
21(,)()n
i i i f a b ax b y ==+-∑
为最小，为此
1
12()0,2()0
n
a i i i i n
b i i
i f x ax b y f ax b y ==⎧
=+-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩
∑∑ 把这组关于,a b 的线性方程加以整理，得
9
2
111
.1
1,n n n
i i i i i i i n n
i i i i a x b x x y a x bn y =====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑ 求此方程组的解，即得(,)f a b 的稳定点
1
1
122
111()()
n n n
i i i i
n
i i i i n n
i i i i i n x y x y a y n x x ======-=
-∑∑∑∑∑∑ ,
2
1
1
11
22
1
1
()()()()
()n
n
n
n
i i i i i i i i i n n
i i i i x y x y x b n x x ======-=
-∑∑∑∑∑∑.
为了进一步确定该点是极小值点，我们计算得
2120
n
aa i i A f x ===>∑,
1
20n
ab i i B f x ===>∑,
2bb C f n ==, 2
2
21
1
44()0n n
i i i i D AC B n x x ===-=->∑∑
由极值的充要条件知，(,)f a b 在点(,)D a b 取得极小值，由实际问题知这极小值为最小值.
结束语
多元函数的极值问题在多元函数微分学上有重要应用,在这里利用偏导讨论二元函数极值问题可以帮助我们更好的学习极值问题的求解.
参考文献：
[1] 廖可人, 李正元. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社, 1986.
[2] 陈传璋, 金福临, 朱学炎, 欧阳光中. 数学分析[M].北京：高等教育出版社, 1983. [3] 高尚华. 数学分析[M].北京：高等教育出版社,2001.
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