二元函数极值问题

二元函数极值问题

2

3

4

5

0x >时，

1,z x ?=? 0x <时，1z x ?=-?. 因此在0x =时偏导数不存在. 由此可见，函数的极值点必为

f x

??及f y ??同时为零或至少有一个偏导数不存在的点.

3.2极值的充分条件 设函数),(y x f z =在点的某个邻域内连续且有二阶连续偏导数,又

0),(00'=y x f x 且0),(00'=y x fy ,记二阶连续偏导数为

A y x f xx =),(00',

B y x f xy =),(00',

C y x f yy =),(00',

AC B -=?2,则函数),(y x f z =在),(00y x 点处是否取得极值的条件如下:

(1) 当0

(2) 当0A 时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极小值;

(3) 当0>?时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处不取得极值;

(4) 当0=?时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处可能取得极值,也可能不取得极值.

4. 求二元函数的极值的步骤

要求函数的极值，首先要求出所有使函数的偏导数等于零或偏导数不存在的点，然后讨论该点周围函数的变化情形，以进一步判断是否有极值，为此我们讨论f ?，若(,)f x y 的一切二阶导数连续，则由泰勒公式并注意到在极值点必须0x y f f ==，就有

222

000000200001(,)(,)((,)22(,)(,))

x xy y f f x x y y f x y f x x y y x f x x y y x y f x x y y y θθθθθθ?=+?+?-=+?+??++?+???++?+??.

由于(,)f x y 的一切二阶偏导数在00(,)x y 连续，记200(,)x A f x y =，00(,)xy B f x y =，200(,)y C f x y =，那就有

6 200(,),0(0,0)x f x x y y A x y θθαα+?+?=+→?→?→

00(,),0(0,0)

xy f x x y y B x y θθββ+?+?=+→?→?→

200(,),0(0,0)y f x x y y C x y θθγγ+?+?=+→?→?→

于是

222211[2][2]22

f A x B x y C y x x y y αβγ?=?+??+?+?+??+?. 当二次形式222kf A x B x y C y =?+??+?不为零时，注意到0,0x y ?→?→时，,,αβγ都是无穷小量，所以存在点000(,)M x y 的一个领域，使得在这个领域内，f ?的符号与kf 的符号相同，而当0kf =时，f ?的符号取决于222x x y y αβγ?+??+?的符号了.

对于二次型 222kf A x B x y C y =?+??+?

它的判别式为 2A B H AC B BC =

=-.

那就有以下结论：

H>0

H<0 H=0

A<0 A>0 函数有极

大值 函数有极小值 函数无极值 需进一步判定

这是因为当0H >而0A <时，二次型kf 为负定的，故0kf <，从而0f ?<；当0H >而0A >时，二次型kf 为正定的，故0kf >，从而0f ?>；当0H <时，二次型为不定的.所以f ?亦可正可负的，于是函数无极值；当0H =时，二次型kf 在某些,x y ??值上将等于零，于是f ?的符号就必须进一步判断