高中数学-函数待定系数法练习
待定系数法练习题及答案
待定系数法练习题及答案一、选择题1. 下列关于待定系数法的说法，正确的是（）。
A. 待定系数法适用于求解一阶线性微分方程B. 待定系数法适用于求解二阶线性微分方程C. 待定系数法适用于求解非线性微分方程D. 待定系数法适用于求解所有类型的微分方程2. 在使用待定系数法求解非齐次线性微分方程时，假设特解形式为（）。
A. y = eaxB. y = ebxC. y = ax + bD. y = x^2 + ax + b3. 对于二阶线性非齐次微分方程 y'' + py' + qy = f(x)，其中f(x)为已知的函数，下列关于特解形式的说法，正确的是（）。
A. 当f(x) = eax时，特解形式为y = AeaxB. 当f(x) = cosbx时，特解形式为y = Acosbx + BsinbxC. 当f(x) = e^(x)时，特解形式为y = Ax + BD. 当f(x) = x^2时，特解形式为y = x^2 + ax + b二、填空题1. 使用待定系数法求解非齐次线性微分方程时，需要求出其______（通解/特解）。
2. 对于一阶线性非齐次微分方程 y' + py = f(x)，当f(x) = eax时，其特解形式为______。
3. 对于二阶线性非齐次微分方程 y'' + py' + qy = f(x)，当f(x) = cosbx时，其特解形式为______。
三、解答题1. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y' y = 2x2. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y'' + y = sinx3. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y''' 3y'' + 3y' y = e^(x)4. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y'' + 4y = 4x^2 + 3x + 25. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y'' 2y' + y = e^x cosx四、应用题1. 某物体在直线运动中，其加速度a(t)与时间t的关系为a(t) = 4 t^2，初始速度为v(0) = 0，求物体在t时刻的速度v(t)。
3 例析利用待定系数法解题题型 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习
【学生版】例析利用待定系数法解题题型待定系数法的实质是方程的思想，这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中，从而通过解方程（或方程组）求得未知数。
所谓待定系数法：就是要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法。
其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f (x)g(x)=的充要条件是：对于一个任意的x 值，都有f (x)g(x)=；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决；如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利 用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
一、利用待定系数法解决函数问题中学里的初等函数，一般都有特定的解析式与相应的限制条件，所以待定系数法往往是解决函数问题的有效方法。
例1、求一次函数y f (x)=，使得f{f[f (x)]}8x 7=+。
待定系数法(学生版)
解题方法及提分突破训练：待定系数专题一．真题链接1．（2012•玉林）一次函数y=mx+|m-1|的图象过点（0，2），且y 随x 的增大而增大，则m=（ ）A ．-1B ．3C ．1D ．-1或32．（2012•南昌）已知一次函数y=kx+b （k ≠0）经过（2，-1）、（-3，4）两点，则它的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2011•泰安）若二次函数y=ax2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：则当x=1时，y 的值为（ ）A ．5B ．-3C ．-13D ．-274.把分式21172x x x-+-化为部分分式． 5.分解因式：2x 2－xy －y 2+13x+8y －76．（2011•嘉兴）如图，已知二次函数y=x2+bx+c 的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是 ．二．名词释义概念：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的方法之一。
经验：待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。
其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。
详解：1.待定系数法在分解因式时的运用待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
在初中竞赛中经常出现。
例如：分解因式x －x －5x －6x －4分析：已知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
高中数学：2.2.3待定系数法 _1
第二章 函 数
解：因为已知函数 f(x)的顶点为(1，4)，故设二次函数的解析 式为 f(x)＝a(x－1)2＋4(a≠0)， 又经过(－1，0)， 所以 0＝a(－1－1)2＋4，所以 a＝－1， 所以 f(x)＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3， 所以 f(x)＝－x2＋2x＋3．
栏目 导引
第二章 函 数
由函数图象求函数的解析式，关键在于分析图象由哪几种函 数组成，然后就每一类函数利用待定系数法求相应解析式．
栏目 导引
第二章 函 数
在体育测试时，高一的一名高个男同学推铅球， 已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图 所示．
如果这个男同学出手处 A 点的坐标是(0，2)，铅球路线的最 高处 B 点的坐标是(6，5)．
栏目 导引
第二章 函 数
二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式， 选择合适的表达式能起到事半功倍的效果． (1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式； (2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们 可考虑函数的顶点式； (3)若题目中给出函数与 x 轴的交点或二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0 的两根，可设函数的两根式．
栏目 导引
第二章 函 数
3．已知抛物线 y＝ax2(a≠0)与直线 y＝kx＋1(k≠0)交于两点， 其中一交点为(1，4)，则另一交点为________． 解析：将(1，4)的坐标分别代入 y＝ax2 与 y＝kx＋1， 得44＝＝ak，＋1，解得ak＝＝43，. 再联立yy＝ ＝43xx2＋，1，解得xy＝＝41，，或xy＝＝14－. 14， 答案：－14，14
栏目 导引
第二章 函 数
求二次函数的解析式 已知二次函数的图象过点(1，4)，且与 x 轴的交点为 (－1，0)和(3，0)，求函数的解析式．
方法3.3待定系数法(测)2017年高考数学(理)二轮复习讲练测(无答案)
2017届高三二轮复习之讲练测之测案【新课标版理科数学】方法三 待定系数法总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______（一）选择题（12*5=60分）1. 【2016届高三天津统考】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 2.【2016届高三·杭州调研】已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6D ．－83.【2016届高三陕西联考】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟4. 一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=错误！未找到引用源。
相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A ）53-或35- （B ）32- 错误！未找到引用源。
或23- 错误！未找到引用源。
（C ）54-或45- （D ）43-或34-5.【2016届高三长春市十一中阶段性考试】将函数)46sin(π+=x y 的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位，所得函数图像的一个对称中心是（ ） A.⎪⎭⎫⎝⎛0,16π B. ⎪⎭⎫⎝⎛0,9π C. ⎪⎭⎫⎝⎛0,4π D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,2π 6.【2016届高三福建省厦门双十中学期中考试】设斜率为2的直线l 过抛物线2y ax ＝()0a ≠的焦点F ，且和y 轴交于点A. 若(OAF O △为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为（ ） A ．y 2＝4x B ．y 2＝8xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±8x7.【2016届高三浙江省效实中学届高三期中考试】中心为原点，焦点在x 轴上，离心率为e =y x =+ ） A ．2213216x y += B ．22163x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 8.【2016届高三河南省师范大学附属中学届高三月考】已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点为F ，左顶点为C ，过点F 作圆O ：222x y a +=的两条切线，切点为A 、B ，若0120ACB ∠=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．3y x =±C ．y =D ．2y x =± 9.【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测】已知某三角函数的部分图象如图1所示，则它的解析式可能是（ ）A ．sin()4y x π=+B ．3sin(2)4y x π=+C. cos()4y x π=+ D ．3cos(2)4y x π=+10.【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试】已知函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则把函数()f x 的图像向左平移6π后得到的函数图象的解析式是（ ）A ．2sin 2y x =B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭11.【山西省孝义市2017届高三上学期二轮模考】已知数列{}n a ，{}n b ，其中{}n a 是首项为3，公差为整数的等差数列，且313a a >+，425a a <+，2log n n a b =，则{}n b 的前n 项和n S 为（ ）A ．8(21)n- B ．4(31)n- C.8(41)3n - D ．4(31)3n - 12.【浙江省效实中学2016届高三上学期期中】中心为原点，焦点在x 轴上，离心率为e =y x =+ ）A ．2213216x y += B ．22163x y += C ．22184x y += D ．221124x y += （二）填空题（4*5=20分）13. 一个圆经过椭圆221164x y +=错误！未找到引用源。
必修一函数待定系数法含答案
必修一函数待定系数法含答案SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#2．2.3待定系数法一、选择题1．将二次函数y＝x2的图象沿y轴向下平移h个单位，沿x轴向左平移k 个单位得到y＝x2－2x＋3的图象，则h，k的值分别为( )A．－2，－1B．2，－1C．－2,1D．2,12．二次函数y＝－x2－6x＋k的图象的顶点在x轴上，则k的值为( ) A．－9B．9C．3D．－33．已知二次函数的图象顶点为(2，－1)，且过点(3,1)，则函数的解析式为( )A．y＝2(x－2)2－1B．y＝2(x＋2)2－1C．y＝2(x＋2)2＋1D．y＝2(x－2)2＋14．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求此二次函数的解析式为( )A．4x2＋4x＋7B．4x2－4x－7C．－4x2－4x＋7D．－4x2＋4x＋75．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图中的( )6．设函数f(x)＝，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为( )A．1B．2C．3D．4题号123456答案二、填空题7.如图所示，抛物线y＝－x2＋2(m＋1)x＋m＋3与x轴交于A、B两点，且OA ＝3OB，则m＝________.8．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.9．若一次函数y＝f(x)在区间[－1,3]上的最小值为1，最大值为3，则f(x)的解析式为__________．三、解答题10．已知二次函数f(x)对一切x∈R，有f(2－x)＝f(x)，f(－1)＝0，且f(x)≥－1.(1)求二次函数解析式；(2)若直线l过(1)中抛物线的顶点和抛物线与x轴左侧的交点，求l在y轴上的截距．11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y＝－x2＋2x＋3的形状相同，开口方向相反，与直线y＝x－2的交点坐标为(1，n)和(m,1)，求这个二次函数的解析式．能力提升12．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f(ax＋b)＝0的解集为__________．13．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．1．待定系数法的理论依据是多项式恒等，即等式左右两边对应项系数相等．2．利用待定系数法解决问题的步骤(1)根据已知条件写出待定函数的一般式；(2)由x、y的几对值，或图象上的几个点的坐标或其他条件，建立以待定系数为未知数的方程或方程组；(3)解方程(组)得到待定系数的值；(4)将求出的系数代回所设函数解析式中得函数解析式．用待定系数法求函数解析式步骤简缩成：第一步：设；第二步：代；第三步：求；第四步：写．即“设、代、求、写”．2．2.3 待定系数法知识梳理1．这个函数的一般形式一般形式题设条件待定系数2．(1)y＝kx(k≠0) (2)y＝kx＋b(k≠0) (3)y＝(k≠0) (4)①y＝ax2＋bx＋c(a≠0) ②y＝a(x－h)2＋k(a≠0)③y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)作业设计1．A2．A [∵y＝－(x＋3)2＋k＋9，∴k＋9＝0，k＝－9.]3．A [设顶点式y＝a(x－2)2－1，将(3,1)代入得a＝2.]4．D [设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意有解之，得∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.]5．D [由已知可知a>0，c<0，且f(1)＝0，所以选D.]6．C [由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，解得b＝4，c＝2，∴f(x)＝∴方程f(x)＝x?或解得x＝2或x＝－1或x＝－2，均合题意．]7．0解析设B(x0,0)(x0<0)，则A(－3x0,0)，y＝－(x－x0)(x＋3x0)展开得：，解得m＝0或m＝－，由x0<0得m＋1>0，m>－1，∴m＝0.8．2解析f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3又f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，∴，∴或.∴5a－b＝2.9．f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋解析设f(x)＝kx＋b(k≠0)．当k>0时，，解得.当k<0时，，解得.∴f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋.10．解(1)由f(2－x)＝f(x)，得二次函数图象的对称轴为x＝1，由f(x)≥－1对一切x∈R成立，得二次函数的最小值为－1.设二次函数的解析式为f(x)＝a(x－1)2－1，∵f(－1)＝0，∴4a－1＝0，∴a＝，∴f(x)＝(x－1)2－1＝x2－x－.(2)设直线l的解析式为g(x)＝kx＋b.由(1)知，抛物线顶点为C(1，－1)，由x2－x－＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴l过点A(－1,0)，∴，解得，∴一次函数为y＝－x－.在y轴上的截距为b＝－.11．解∵y＝ax2＋bx＋c的图象与y＝－x2＋2x＋3的形状相同，开口方向相反，∴a＝.∴二次函数解析式变为y＝x2＋bx＋c.将点(1，n)和(m,1)代入直线方程y＝x－2，得解得∴二次函数与直线的交点为(1，－1)和(3,1)．将这两个点的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c，得解得∴所求的二次函数的解析式为y＝x2－x－.12．?解析∵f(x)＝x2＋2x＋a，∴f(bx)＝(bx)2＋2bx＋a＝b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2.则有即∴f(2x－3)＝(2x－3)2＋2(2x－3)＋2＝4x2－8x＋5＝0.∵Δ＝64－80<0，∴方程f(ax＋b)＝0无实根．13．解(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，∴f(x)＝ax2＋bx＋1.∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，∴，∴，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－)2－－m，其对称轴为x＝，∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.。
待定系数法的练习题
待定系数法的练习题一、基础题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，且f(1) = 3，f(1) = 5，f(2) = 10，求a、b、c的值。
2. 设函数g(x) = mx^3 + nx^2 + px + q，已知g(0) = 4，g(1) = 7，g(1) = 0，g(2) = 26，求m、n、p、q的值。
3. 已知函数h(x) = kx^4 + lx^3 + rx^2 + sx + t，且h(0) = 1，h(1) = 2，h(1) = 3，h(2) = 8，h(2) = 16，求k、l、r、s、t的值。
二、进阶题1. 已知函数p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，且p(0) = 2，p(1) = 0，p(2) = 3，p(3) = 4，求a、b、c、d的值。
2. 设函数q(x) = ex^4 + fx^3 + gx^2 + hx + i，已知q(0) = 1，q(1) = 2，q(1) = 3，q(2) = 4，q(2) = 5，求e、f、g、h、i的值。
3. 已知函数r(x) = jx^5 + kx^4 + lx^3 + mx^2 + nx + o，且r(0) = 6，r(1) = 5，r(1) = 4，r(2) = 3，r(2) = 2，求j、k、l、m、n、o的值。
三、应用题1. 某企业生产一种产品，每件产品的成本为C(x) = 200x + 1000，其中x为生产数量。
已知当生产10件产品时，总成本为3000元；当生产20件产品时，总成本为5000元。
求C(x)中的系数。
2. 一辆汽车行驶的距离S(t)与时间t的关系为S(t) = at^2 + bt，已知汽车从静止出发，2秒后行驶了20米，4秒后行驶了80米，求a、b的值。
3. 某城市的人口增长模型为P(t) = ct^2 + dt + e，其中t为年份，P(t)为人口数量。
已知该城市在t=0时人口为100万，t=5时人口为150万，t=10时人口为200万，求c、d、e的值。
待定系数法练习
待定系数法练习要点：待定系数法：就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引进一些待定的系数，转化为方程组来解决问题的方法。
一，填空题。
1、设f(x)是一次函数，且其在定义域内是增函数，又f －1[f －1(x)]=4x －12，则f(x)的表达式为2、 若函数y=sin2x ＋acos2x 的图象关于直线x=－8π对称，那么a 的值为 3、二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是{x|－21<x<31}，则a ＋b 的值为 4、已知f(x)=log a (2－ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是5、若函数y=5sin 2x ＋3sinxcosx ＋6cos 2x ＋m 能表示成y=Asin(ωx ＋θ)的形式(0≤θ<π)， 则实数m 的值为6、已知集合M={(x ，y)|13+-x y =1}，N={(x ，y)|y=kx ＋2}，且M I N=Φ，则实数k 的值 为7、已知一个多边形的内角成公差为5︒的等差数列，它的最小内角为120︒，则其边数为8、已知函数y=Asin(ωx ＋ϕ)在一个周期内，当x=12π时取最大值2，当x=127π时取最小 值－2，那么此函数的解析式是9、 在直角坐标系内有两点A(－1，m)、B(－1，3)，点A 在抛物线x 2=2py 上，F 为抛物线的焦点，若|AB|＋|AF|=27，则m 的值为 10、不等式0≤x 2－2x ＋q ≤4至多有一解，则q 的取值范围是11、若方程2x 2＋mxy ＋3y 2－5y －2=0的图象是两条直线，则m 为12、双曲线以原点为中心，坐标轴为对称轴，且与圆x 2＋y 2=17交于点A(4，－1)，如果圆在点A 的切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的方程为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
13、若对于任意a ∈[－1，1]，都有ax 2－1≤x ＋a 成立，则x 的取值范围为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学-待定系数法练习
课时过关·能力提升
1反比例函数的图象经过点(-2,3),则其还经过点()
A.(-2,-3)
B.(3,2)
C.(3,-2)
D.(-3,-2)
解析设反比例函数为f(x)= (k≠0),
则3=,k=-6,即f(x)=,
故其还经过点(3,-2).
答案C
2二次函数y=x2+ax+b,若a+b=0,则它的图象必经过点()
A.(-1,-1)
B.(1,-1)
C.(1,1)
D.(-1,1)
解析当x=1时,y=12+a×1+b=a+b+1=1,因此图象一定经过定点(1,1).
答案C
3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(2,-1),与y轴的交点为(0,11),则()
A.a=1,b=-4,c=11
B.a=3,b=12,c=11
C.a=3,b=-6,c=11
D.a=3,b=-12,c=11
解析由已知可设二次函数f(x)=a(x-2)2-1(a≠0).
因为点(0,11)在二次函数f(x)=a(x-2)2-1的图象上,
所以11=4a-1,解得a=3.
所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11.
故a=3,b=-12,c=11.
答案D
4已知x3+2x2-5x-6=(x+a)(x+b)(x+c),则a,b,c的值分别为()
A.1,2,3
B.1,-2,-3
C.1,-2,3
D.1,2,-3
解析∵(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc=x3+2x2-5x-6,
∴
解得a=1,b=-2,c=3.
答案C
5设函数f(x)=若f(-1)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
解析由f(-1)=f(0),f(-2)=-2,
可得
解得
故f(x)=
令f(x)=x,解得x=2或x=-2.
答案B
6抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A与点B,与y轴相交于点C,如果OB=OC=OA,那么b的值为()
A.-2
B.-1
C.-
D.
解析由图象可知c>0,且B(c,0),A(-2c,0).
设f(x)=a(x-c)(x+2c),
则a(x-c)(x+2c)=ax2+bx+c,
即ax2+acx-2ac2=ax2+bx+c.
故即ac=-,b=-.
答案C
7已知一次函数的图象经过(5,-2)和(3,4),则这个函数的解析式为. 解析设一次函数为y=kx+b(k≠0),
则有解得
答案y=-3x+13
8如图所示为二次函数y=ax2+bx+c的图象,则该函数的解析式为.
解析设二次函数为y=a(x+1)(x-3).
∵点(0,-2)在图象上,
∴-2=a(0+1)(0-3).∴a=.
∴y=(x+1)(x-3)=x2-x-2.
答案y=x2-x-2
9已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴的两交点间的距离为6,则这个二次函
数的解析式为.
解析由题意知,抛物线的对称轴为x=4,抛物线与x轴的两交点坐标是(1,0)与(7,0),如图所示.
设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由条件可得抛物线的顶点为(4,-3),且过点(1,0)和(7,0),将三个点的坐标代入,得
解得
故所求二次函数的解析式为f(x)=x2-x+.
答案f(x)= x2-x+
10抛物线经过点(2,-3),它与x轴交点的横坐标是-1和3.
(1)求出抛物线的解析式.
(2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标.
(3)画出草图.
(4)观察图象,x取何值时,函数值y小于零?x取何值时,y随x的增大而减小?
解(1)设抛物线的解析式为f(x)=a(x+1)(x-3)(a≠0).
因为抛物线经过点(2,-3),
所以-3=a(2+1)(2-3),解得a=1.
故抛物线的解析式为f(x)=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.
(2)f (x)=x2-2x-3=(x-1)2-4.
由此可知抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-4).
(3)抛物线的草图如图所示.
(4)由图象可知,当x∈(-1,3)时,函数值f(x)小于零;
当x∈(-∞,1]时,f(x)随x的增大而减小.
★11已知定义在[-6,6]上的奇函数f(x),在[0,3]上为一次函数,在[3,6]上为二次函数,且x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3,f(6)=2,求f(x)的解析式.
解当x∈[3,6]时,
∵f(x)≤f(5)=3,
∴设f(x)=a(x-5)2+3(a≠0).
又f(6)=2,
∴f(6)=a(6-5)2+3=2,解得a=-1.
∴f(x)=-(x-5)2+3,x∈[3,6].
∴f(3)=-(3-5)2+3=-1.
故x∈[0,3]和x∈[3,6]时,f(x)的图象均过点(3,-1).
∵当x∈[0,3]时,f(x)为一次函数,
∴设f(x)=kx+b(k≠0).
∵f(x)在[-6,6]上是奇函数,∴f(0)=0,
∴b=0,即f(x)=kx(k≠0).
将点(3,-1)代入,得-1=3k,即k=-.
故f(x)=-x,x∈[0,3].
因此,f(x)=
又f(x)为奇函数,
∴当x∈[-3,0]时,f(x)=-f(-x)=-x.
当x∈[-6,-3]时,f(x)=-f(-x)=(-x-5)2-3=(x+5)2-3.
∴f(x)=
★12已知直线AB过x轴上的一点A(2,0)且与抛物线y=ax2相交于点B(1,-1)与点C.
(1)求直线和抛物线的解析式.
(2)问抛物线上是否存在一点D,使S△OAD=S△OBC?若存在,求出点D坐标;若不存在,请说明理由.解(1)设直线的解析式为y=kx+b.
∵直线过点A(2,0),B(1,-1),
∴解得k=1,b=-2,
∴直线的解析式为y=x-2.
又抛物线y=ax2过点B(1,-1),
∴a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-x2.
(2)直线与抛物线相交于B,C两点,故
解得B,C两点坐标为B(1,-1),C(-2,-4),
由图可知,S△OBC=S△OAC-S△OAB
=×|-4|×2-×|-1|×2=3.
假设抛物线上存在一点D,使S△OAD=S△OBC,
设D(m,-m2),
可得S△OAD=×2×m2=m2,即m2=3,
故m=或m=-,即存在这样的点D(,-3)或D(-,-3)满足题意.。