高中数学必修四《两角差的余弦公式》优秀教学设计
人教A版必修四《两角差的余弦公式》教案及教学反思
人教A版必修四《两角差的余弦公式》教案及教学反思一、教学目标1.掌握余弦定理的两角差公式；2.能够通过两角差公式解决相关问题；3.培养学生运用数学方法解决实际问题的能力；4.培养学生基本的计算技能和思维能力。
二、教学重点难点教学重点：掌握余弦定理的两角差公式。
教学难点：能够通过两角差公式解决相关问题。
三、教学过程1. 导入教师通过学生已经掌握的知识，引出余弦定理的推导过程，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解通过解释“两角差的余弦公式”的概念和应用，让学生了解余弦定理的两角差公式的基本形式和运用方法。
3. 练习通过讲解例题，带领学生一步一步地掌握余弦定理的两角差公式，培养学生对于公式的理解和灵活运用能力。
例如，教师可以通过如下例题的讲解来帮助学生掌握两角差公式：已知$\\tan A =\\frac{1}{3}$，$\\tan B=\\frac{1}{2}$，且$A−B=\\frac{π}{4}$，求$\\sin A$。
解析：设$A=\\alpha+B$，则$\\alpha=\\frac{π}{4}+B$。
由$\\tan A =\\frac{1}{3}$和$\\tan B=\\frac{1}{2}$得$\\frac{\\tan A}{\\tanB}=\\frac{2}{3}$。
又因为$\\tan(\\alpha+B)=\\frac{\\tan \\alpha+\\tan B}{1- \\tan \\alpha \\tanB}=\\frac{\\frac{1}{3}+\\frac{1}{2}}{1-\\frac{1}{6}}=1$，所以$\\alpha+B=kπ+\\frac{π}{4}$，其中k为整数。
又因为$0<B<\\frac{π}{2}$，所以$\\alpha$在$\\fr ac{π}{4}$和$\\frac{5π}{4}$之间。
由余弦定理的两角差公式可得：$\\cos(\\frac{π}{4})=\\cos(\\alpha-B)$$\\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\cos\\alpha \\cosB+\\sin\\alpha \\sin B$$\\frac{1}{\\sqrt{2}}=(\\cos B+\\sinB)(\\frac{1}{3}\\cos B+\\frac{1}{2}\\sin B)$$2\\sqrt{2} =6\\cos^2B+8\\sin^2B+5\\sin B \\cos B$令$u=\\cos B$，则$2\\sqrt{2}=6u^2+8(1-u^2)+5u\\sqrt{1-u^2}$。
高中数学《两角差的余弦公式》教案和教案说明
高中数学《两角差的余弦公式》教案和教案说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解和掌握两角差的余弦公式，并能运用该公式解决相关问题。
通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解两角差的余弦公式的定义和意义；2. 熟练掌握两角差的余弦公式的推导过程；3. 能够运用两角差的余弦公式解决实际问题。
教案内容：一、教学目标1. 理解两角差的余弦公式的定义和意义；2. 掌握两角差的余弦公式的推导过程；3. 能够运用两角差的余弦公式解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点：两角差的余弦公式的定义和意义，推导过程；2. 教学难点：两角差的余弦公式的运用。
三、教学准备1. 教师准备：教材、教案、PPT、黑板、粉笔；2. 学生准备：课本、笔记本、文具。
四、教学过程1. 导入：引导学生回顾已学过的三角函数知识，为新课的学习做好铺垫；2. 讲解：讲解两角差的余弦公式的定义和意义，通过示例让学生理解公式的应用；3. 推导：引导学生通过图形和逻辑推理，推导出两角差的余弦公式；4. 练习：布置一些练习题，让学生运用两角差的余弦公式解决问题；五、课后作业1. 复习本节课所学内容，巩固两角差的余弦公式的理解和运用；2. 完成课后练习题，提高运用两角差的余弦公式解决问题的能力。
教学反思：在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对两角差的余弦公式的理解和运用能力。
关注学生的学习反馈，及时解答学生的疑问，提高教学质量。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对两角差的余弦公式的理解程度，观察学生是否能清晰地解释公式的含义和应用；2. 练习题目：评估学生运用两角差的余弦公式解决问题的能力，检查解答的准确性；3. 课后作业：检查学生完成作业的情况，观察是否能正确运用公式并解决实际问题。
七、教学拓展1. 引导学生思考：两角差的余弦公式在实际生活中的应用，例如测量角度、建筑设计等；2. 介绍进一步的研究：引导学生探索更多关于三角函数的性质和公式，激发学生的学习兴趣。
高中数学必修四两角差的余弦公式教案
3.1.1 两角差的余弦公式
【课题】：两角差的余弦公式
【学情分析】：《两角差的余弦公式》是高中数学必修4第三章《三角恒等变换》的的第一节。
《三角恒等变换》这一章是在学习了《三角函数》与《平面向量》的基础上学习的内容，是从实际出发，为了解决实际问题而准备的知识。
通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，掌握它们在数学中的一些应用。
而作为本章的第一节《两角差的余弦公式》，是本章学习的基础，推导公式的方法和思维过程都是非常重要的。
【教学目标】
1.知识与技能目标：能用单位圆上的三角函数线和向量方法探索得到两角差的余弦公式，并能进行简单的三角恒等变换；通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础。
2．过程与方法目标：通过公式的探究，使学生体验由简单到复杂的变换思想方法，让学生树立并学会研究性学习的方法，树立主动学习的意识；通过公式的运用，培养和提高运用已有知识分析问题和解决问题的能力，并从中反思方程思想、整体性思想和转化思想。
3．情感、态度与价值观目标：通过课堂互动营造亲切、活跃的课堂气氛，实施多元化评价，激励学生，使学生尝试成功，以提高学生的学习兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。
【教学重点】：通过探索得到两角差的余弦公式。
【教学难点】：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等。
【课前准备】：布置学生预习、准备课件。
人教版高中数学两角差的余弦公式教案和教案说明
人教版高中数学两角差的余弦公式教案和教案说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解和掌握两角差的余弦公式，并能灵活运用到实际问题中。
通过本章的学习，学生将能够理解两角差的余弦公式的概念，学会如何运用该公式进行角度计算和问题求解。
教案内容：一、教学目标1. 了解两角差的余弦公式的定义和推导过程。
2. 学会运用两角差的余弦公式进行角度计算和问题求解。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学重难点1. 两角差的余弦公式的理解和推导。
2. 运用两角差的余弦公式解决实际问题。
三、教学准备1. 教师准备PPT或黑板，展示两角差的余弦公式。
2. 准备一些实际问题，用于学生练习和应用。
四、教学过程1. 引入：通过一些实际问题，引导学生思考如何计算两个角的差值。
2. 讲解：讲解两角差的余弦公式的定义和推导过程，让学生理解和掌握该公式。
3. 练习：让学生通过一些例题和练习题，运用两角差的余弦公式进行计算和解决问题。
4. 应用：让学生解决一些实际问题，运用两角差的余弦公式进行分析和求解。
五、教学评价1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对两角差的余弦公式的理解和掌握程度。
2. 通过学生解决问题的能力，评价学生对两角差的余弦公式的应用能力。
教案总结：本章通过引入实际问题，讲解两角差的余弦公式，并进行练习和应用，旨在帮助学生理解和掌握该公式，并能够灵活运用到实际问题中。
通过本章的学习，学生将能够掌握两角差的余弦公式的概念和运用方法，提高他们在数学问题求解中的能力。
六、教学拓展1. 引导学生思考：两角差的余弦公式是否可以推广到其他三角函数？2. 探讨：如何将两角差的余弦公式应用于解决更复杂的问题，如三角函数的和差化积、积化和差等？3. 推荐学习资源：提供一些相关的书籍、网络教程或视频，供有兴趣深入研究的学生自学。
七、课堂小结1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结两角差的余弦公式的定义、推导过程及应用。
2. 强调两角差的余弦公式在数学问题求解中的重要性，激发学生学习三角函数的兴趣。
高中数学3.1.1两角差的余弦公式教学设计新人教A版必修4
3.1.1 两角差的余弦公式教学目标(1) 了解两角差的余弦公式的推导，能够借助单位圆，运用向量的方法，推导出公式;(2) 掌握其公式并能利用它解决简单的求值和证明问题;(3) 通过对公式的推导，感受知识间的相互联系，培养逻辑思维能力，树立创新和运用意识，提高数学素养.教学重难点重点：通过探索得到两角差的余弦公式难点：探索过程的组织和适当引导教学过程一、复习引入前面我们已经学习了特殊角的三角函数，请回答： 3sin 60=1cos 602= tan 603=2sin 45= 2cos 45= tan 451= 对于上述特殊角，我们可以通过简单的-+、运算得到一系列新的角，比如6045105+=、 604515-=等等，那么如何求出它们的三角函数值呢？问题：cos15的三角函数值是多少？因为604515-=，那么能否用60,45的三角函数值表示出cos15呢？cos15cos60cos 45sin 60sin 45=+二、新课我们将问题一般化, 对于任意的角,αβ, cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+都成立?下面我们运用向量的知识来探究.在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角,αβ， 它们的终边与单位圆O 的交点分别为,A B . 则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ==由数量积的坐标表示，有(cos ,sin )(cos ,sin )OA OB ααββ⋅=⋅cos cos sin sin αβαβ=+设OA 与OB 的夹角为θ，则||||cos cos cos cos sin sin OA OB OA OB θθαβαβ⋅=⋅==+ (**)注意：[0,]θπ∈下面关键就是找到θ和,αβ之间的关系。
由图(1)知，2k αβθπ=++；由图(2)知，2k αβθπ=-+，所以(2)k θβαπ=±-+所以cos cos()θβα=-，由 (**)得，cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+所以，对于任意的角,αβ,此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-。
《两角差的余弦公式》优质课教学设计
高中数学人教A版必修4第三章《3.1.1两角差的余弦公式》（第一学时）教学设计一、教学目标：1. 通过对两角差的余弦公式的猜想和探究过程,培养学生通过交流,探索,发现和获得新知（二）新知探究在平面直角坐标系xOy 中内作单位圆O ,以Ox 为始边作角βα,，它们的终边与单位圆的交 点分别为B A ,，则()(),sin ,cos ,sin ,cos ββαα==OB OA 由向量数量积的坐标表示有：βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA 。
设向量OA 与OB 的夹角为θ，由向量数量积的定义有：θθcos ==⋅OB OA ，所以βαβαθsin sin cos cos cos +=。
已知()()Z k k Z k k ∈+=∈++=πθβαπθβα2-2或，所以()Z k k ∈±=-θπβα2，所以()θβαcos cos =-，又因为βαβαθsin sin cos cos cos +=，所以可知对任意角βα,，都有()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-。
（三）巩固理解例1、利用差角余弦公式求o15cos 的值。
分析:本题关键是将o15角分成o45与o30的差或者分解成o60与o45的差,再利用两角差的余弦公式即可求解。
例2、已知,135cos ,,2,54sin -=⎪⎭⎫⎝⎛∈=βππααβ是第三象限角，求()βα-cos 的值。
分析:观察公式()βα-cos 与本题已知条件应先计算出αcos ,βsin ,再代入公式求值。
求βαsin ,cos 的值可借助于同角三角函数的平方关系,并注意βα,的取值范围来求解。
例3、求值（1）oooo35sin 65sin 35cos 65cos + （2）απααπαsin 3sin cos 3cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+（3）oooo 40cos 110sin 50cos 110cos + （4）oooo42sin 78cos 42cos 12cos +为o50sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o60cos ；对于(4),可先用诱导公式化o 78cos 为o 12sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o 30cos 。
高中数学必修四《两角差的余弦公式》优秀教学设计
两角差的余弦公式教学设计(第一课时)【三维目标】1.知识与能力：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。
2.过程与方法：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
3.情感态度与价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
【教学重点】两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。
【教学难点】两角和与差的余弦公式的推导。
【教学过程】一创设情境，引入课题（1）问题1思考cos (60°-30°) =cos60°-cos30°吗？cos（60°+30 ）=cos60°+cos30°吗？那么cos（α- β）=cos α - cos β吗？（2）我们已经学习了向量的数量积，请用数量积的知识完成下列练习：θo s =⋅ ),,11y x （=),22y x （= 则 2121y y x x +=⋅二 层层深入，得出结论。
问题2：（一）两角差的余弦公式 设),sin ,cos αα（=),sin ,cos ββ（= 则，βαβαsin sin cos cos b a +=⋅θ=⋅βαβαθsin sin cos cos cos +=∴如果],0[πβα∈-，那么βαθ-=。
故，βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-思考：当βα-任意角时，βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-吗？ 由诱导公式总可以找到一个角都可转化)2,0[πθ∈，使)cos(cos βαθ-=。
综上所述，βαβαβαsin sin cos cos )-cos(+= ，对于任意的角βα,都成立。
三 自主探索，小试牛刀。
高中数学必修四《两角差的余弦公式》教学设计
教学设计表格（不少于4000字）探索研究、引导归纳问题1：我们把α、β放到单位圆中，找到βα-，通过向量的数量积定义和坐标表示得到公式()=-βαcosβαβαsinsincoscos+问题2：在向量中βα-角的范围是？那么这个公式适用于βα-是任意角的情况吗？问题3：引导学生关注两个向量的夹角θ与βα-的联系与区别，并通过讨论弄清θπβα±=-k2；问题4：归纳出两角差的余弦公式()=-βαcosβαβαsinsincoscos+观察公式的结构特征。
1.让学生经历怎样用向量知识做出探索过程，学生构造向量→→OBOA.，让学生通过观察、联想到α、β终边与单位圆的交点()ααsin,cosA()ββsin,cosB，同时发现公式右边与数量积的坐标表示十分接近，进而联想→→•OBOA=+βαcoscosβαsinsin，最后得到结论。
2.让学生知道结论中α、β可以取任意角最终公式推广到一般性。
3.学生观察公式的结构特征“,CCSS符号相反”。
1.加强新旧知识的联系，体会数学的化归思想方法；2.通过探索数量积两种表示形式的过程，这样有助于“为什么想得到”和“怎样想到”，凸现数学思维的自然与合理，并突破思维难点，再现“有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”这种真实的探究过程。
3.通过弄清θ与βα-，增强学生用数形结合、分类讨论的思想方法解问题的意识，感受数学思维的严谨性。
4.引导学生回顾与反思探究思路，记忆公式，强化思维发展。
巩固新知、理论迁移例1、求的值。
引导学生用和两种方法求解。
思考：如何求75sin？例2、已知54sin=α，),(2παπ∈，135cos-=β，β是第三象限角，求)cos(βα-的值。
例3、求+15cos60cos15sin60sin变式：求+15cos60cos75cos30cos课本127页练习1,2,3,4例1,引导学生用两种方法解答，又提出一个问题，让学生知道互余的两个角的正余弦值相等，为例3做铺垫。
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3.1.1两角差的余弦公式
一、教材分析
《两角差的余弦公式》是人教A 版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。
本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。
二、教学目标
1.引导学生建立两角差的余弦公式。
通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
三、教学重点难点
重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点 探索过程的组织和引导。
四、学情分析
之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
五、教学方法
1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.
2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.
3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 六、课时安排：2课时 七、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
以文峰塔高度测量为背景素材（见课件）引入问题。
并针对问题中的0cos15用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。
问题：（1）能不能不用计算器求值 ：0cos 45 ，0cos30 ，0cos15
（2）0
cos(4530)cos 45cos30-=-是否成立？
(3)如何用450和300求0cos15?
设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。
（二）、研探新知 1.三角函数线法：
问：①怎样作出角α、β、αβ-的终边。
②怎样作出角αβ-的余弦线OM
③怎样利用几何直观寻找OM 的表示式。
设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，
加强对公式结构形式的认识。
（1） 设角α终边与单位圆地交点为P 1，1,POP POx
βα∠=∠=则（2） 过点P 作P M ⊥X 轴于点M ，那么OM 就是 αβ-的余弦线。
（3） 过点P 作P A ⊥OP 1于A ，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，过点P 作PC ⊥AB 于C
那么
OA 表示
cos β
，AP 表示sin β，并且1
.PAC
POx α∠=∠= 于是 OM=OB+BM =OB+CP =OA cos α+AP sin α =cos cos sin sin βαβα+ 最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件：
α、β、αβ-都是锐角，且αβ>
2.向量法：
问：①结合图形，应选哪几个向量，它们怎么表示？
② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。
③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。
设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。
1．当(0,)αβπ-∈时
如图，(cos ,sin ),(cos ,sin )OB OA ββαα== 则cos cos sin sin OA OB αβαβ•=+
又OA OB •=||||cos()OA OB αβ-=cos()αβ- ∴cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ 2．当(0,)αβπ-∉时
思考：上面图中向量,OB OA 的夹角是怎样的？，范围是怎样的？
（αβ-，且αβ-(0,)π∈）正与向量夹角的范围相符，所以我们自然地列出了表达式OA OB •=
||||cos()OA OB αβ-，但是αβ-的范围可不可能超出(0,)π呢？
探究：将OA 旋转到下图的位置，显然此时αβ-已经不是向量,OB OA 的夹角， 在[0,2]π范围内，是向量夹角的补角. 我们设夹角为θ，则
θ＋()αβ-＝2k π
此时，OA OB •=||||cos OA OB θ＝cos[2()]cos(
k παβα--=- ∴cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+
综上，对任意角,αβ都有cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ 例1. 利用差角余弦公式求0
cos15的值
（求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题） 变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式： （1）ααπ
sin )2
cos(=-； （2）cos(2)cos παα-=
（三）、质疑答辩，排难解惑，发展思维 1.利用两角差的余弦公式，求0
cos 75,cos105 2.求值 0
000cos75
cos30sin 75sin 30+
3．cos75°cos15°－sin75°sin195°的值为( ) A ．0 B.12 C.32 D ．－12
（设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变
用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。
）
（四）小结与作业布置
本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式()C αβ-的推导，能熟练运用公式()C αβ-，注意公式()C αβ-的逆用。
在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.课下完成本
节的课后练习以及课后延展作业，课本137P 习题2.3.4
3.1.1两角差的余弦公式导学单
一、预习目标
预习《两角差的余弦公式》，体会两角差的余弦公式的推导过程 ，尤其是向量法的运用。
二、预习内容
阅读课本相关内容，并回答以下问题： 1. 三角函数线是如何定义的？
2. 观察右图思考下列问题 （1） 怎样作出角αβ-的余弦线？ （2） 在△OAP 中为什么OA 表示
cos β
，AP 表
示sin β？
（3） 在△C AP 中为什么1
.PAC
POx α∠=∠=
（4） 如何用α、β正弦余弦表示OB 和CP?
3. 如何用向量求角的余弦？向量的夹角公式是什么？
4.
观察右图思考下列问题
（1）αβ-的余弦要求应选哪几个向量，它们怎么表示？
(2) 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果?
(3)向量的夹角范围是怎样的？
(4) 当(0,
)αβπ-∉时如何解决?
X。