宇宙双星模型教学教材
双星及三星模型教学内容
双星及三星模型收集于网络，如有侵权请联系管理员删除《双星及三星模型》导学提纲设计人：班级： 组名： 姓名：【学习目标】 1. 理解双星模型特点2. 掌握双星及三星运动的向心力来源 【导读流程】一．双星模型条件及特点 ：例1 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为（ ）A.T k n 23B.T k n 3C.T kn 2D.T k n例2（2015•天门模拟）经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1：m 2=3：2．则可知（ ）A. m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3：2B. m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3：2C. m 1做圆周运动的半径为 2/5LD. m 2做圆周运动的半径为 2/5L二． 三星模型的向心力来源 ：例3. （2015安微理综）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况）。
若A 星体质量为2m ，B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：（1）A 星体所受合力大小F A ；（2）B 星体所受合力大小F B ；（3）C 星体的轨道半径R C ；（4）三星体做圆周运动的周期T。
2021学年高中物理微专题四双星三星模型课件人教版必修2.ppt
(1)对第一种形式中 A 而言，B、C 对 A 的万有引力的合力提
供 A 做圆周运动的向心力，则有
GRm12 2＋G2Rm122＝mR1(2Tπ)2. (2)对第二种形式中 A 而言，B、C 对 A 的万有引力的合力提
供 A 做圆周运动的向心力，则有Gm2 r2源自cos30°＋Grm2 2
cos 30°＝mR22Tπ2
答案：BD
练 2 月球与地球质量之比约为 1:80，有研究者认为月球和
地球可视为一个双星系统，它们都围绕地月连线上某点 O 做匀
速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕 O 点运动线速度大
小之比约为( )
A．1:6 400 B．1:80
C．80:1
D．6 400:1
解析：月球和地球绕 O 点做匀速圆周运动，它们之间的万有引 力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等．且月球、地球 和 O 点始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期．因此有 mω2r＝Mω2R，所以vv′＝Rr ＝Mm，线速度和质量成反比．故选 C.
微专题(四) 双星、三星模型
模型建构
模型一 双星模型
1．模型构建 在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引 力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的星 球称为双星．
2．模型特点：它们间的距离为 L.此双星问题的特点是：
(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某 一点．
【解析】 双星系统周期相同(角速度相同)，所受万有引力作 为向心力相同，所以 B 项错误，D 项正确；由 F＝mω2r，m1r1ω2＝ m2r2ω2，得 m1v1＝m2v2，vv12＝mm21＝23，A 项错误；rr12＝mm21又 r1＋r2＝L，
2019届二轮复习 微专题3 宇宙双星及多星系统模型 课件(23张)
速度相同，故vr11＝vr22，即vv21＝rr12＝mm21，B错误；
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A星受到B星的引力为F＝G
m1m2 d2
，等效为放在O点的星体对A
星的引力为F′＝G
m1m′ r21
，有G
m1m2 d2
＝G
m1m′ r21
，代入r1＝
m2 m1＋m2
d可得m′＝
m32 m1＋m22
m1ω12r1，GmL12m2＝m2ω22r2. (2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2. (3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L. (4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即mm21＝rr21.
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[应用提升练] 1．银河系的恒星中大约四分之一是双星系统，某双星系统 由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互间的万有引力作 用下绕两者连线上某一点C做匀速圆周运动．由天文观察测 得其运行周期为T，S1到C点的距离为r1，S2的质量为m，已 知引力常量为G，由此可求出两星间的距离r及两星的总质量 M分别为( )
量为m′的星体对它的引力，则m′＝
m32 m1＋m22
D．若在O点放一个质点，则此质点受到的合力一定为零
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[思路探究] (1)A星和B星做匀速圆周运动所需的向心力来源 是什么？ (2)万有引力公式F＝GMr2m中“r”指的是什么？ (3)A星和B星是否一直保持连线过“图中O点”？
m2 l2
，
对任一星受力分析，如图所示．由图中几
何关系和牛顿第二定律可得 3 F＝ma＝
mω2 l ，联立可得ω＝ 3
3Gm l3
，a＝ω2
l 3
9教案双星问题省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件
解：（1）按题意画出三星运动示意图，如图
依据星体1做圆周运动条件： 解得线速度 星体运动周期
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（2）设圆周运动半径为r，模型如图，
对星体1，星体2、3对其万有引力 协力，提供它做匀速圆周运动所需 向心力，即
其中 则相邻两星体之间距离
解得
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点评 一、三星系一统主要模型有两种：
你能得出什么结论？
r1=0，r2=L 物理含义是什么？
双星系统中，若质量差异很大，则质量较大天体， 可认为是不转，只有小质量天体转动。比如：月 球绕地球，地球绕太阳运动，都能够看成是双星 模型近似。
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4、双星运动角速度、周期、速度
Gm1 m2
L3
T 2
L3
Gm1 m2
v1 m2 v2 m1
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练习两个星球组成双星，它们在相互之间万有引力作用下，绕 连线上某点做周期相同匀速圆周运动。现测得两星中心距离为
R，其运动周期为T，求两星总质量。（引力常量为G）
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区分两个距离： （1）万有引力定律中r为两天体之间距离 （2）向心力公式中r为所研究天体做圆周
运动轨道半径。
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二、模型应用
1．地—月双星系统中应用 2．一线穿珠中应用 3．探知未知天体
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1．地—月双星系统中应用
例1．月球与地球质量之比约为1∶80，若
月球和地球可视为一个由两质点组成双星 系统，二者都围绕月地连线上某点O做匀 速圆周运动．则月球与地球绕O点运动线
向心力由万有引力提供。
双星模型示意图
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2、确定双星旋转半径
已知双星质量m1、m2和距离L，求双星半径r1 =? r2 =? 解：对双星分别利用向心力公式
第七章 专题强化：双星或多星模型 课件 -高一下学期物理人教版(2019)必修第二册
若已知某双星系统的运转周期为T，两星到共同圆心的距离分别为R1和R2，引力常 量为G，那么下列说法正确的是
A.这两颗恒星的质量必定相等
√B.这两颗恒星的质量之和为4π2R1＋R23 GT 2
√C.这两颗恒星的质量之比m1∶m2＝R2∶R1 √D.其中必有一颗恒星的质量为4π2R1R1＋R22
一种三星系统如图所示.三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个 顶点，三角形边长为R.忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一 平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则
质量表达式为 M1＝ωG2L2R2＝4GπT2L22R2，M2＝ωG2L2R1＝4GπT2L22R1，两天体总质 量表达式为 M1＋M2＝ωG2L3＝4GπT2L23，两天体的总质量不变，天体之间的距离 L 不变，因此天体的周期 T 和角速度 ω 也不变，质量较小的黑洞 M2 的质量 增大，因此恒星的圆周运动半径增大，根据 v＝2πTR，可知，恒星的线速度 增大，故 C 正确，D 错误。
1.(双星模型)(多选)有一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图所
示.若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为 圆心做匀速圆周运动.根据所学知识，下列说法中正确的是
A.双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1
√B.双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1
C.双黑洞的线速度大小之比v1∶v2＝M1∶M2
30°＝2×GMRM2 ×
3＝ 2
3GMRM2 ，星体运动的轨道半径
r＝23Rcos30°＝23×R×
3＝ 2
33R，
万有引力提供向心力 F＝ 3GMRM2 ＝Mω2r，解得ω＝
2024届高考一轮复习物理教案(新教材鲁科版)：卫星变轨问题 双星模型
专题强化七 卫星变轨问题 双星模型目标要求 1.会处理人造卫星的变轨和对接问题.2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题.3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题．题型一 卫星的变轨和对接问题1．变轨原理(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G Mmr 12＝m v 2r 1，如图所示．(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G Mm r 12<m v A 2r 1，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在椭圆轨道B 点(远地点)将做近心运动，G Mm r 22>m v B 2r 2，再次点火加速，使G Mmr 22＝m v ′2r 2，进入圆轨道Ⅲ. 2．变轨过程分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v 3>v B . (2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B 点的加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知T 1<T 2<T 3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 1、E 2、E 3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则E 1<E 2<E 3.考向1 卫星变轨问题中各物理量的比较例1 2021年2月，“天问一号”探测器成功实施近火制动，进入环火椭圆轨道，并于2021年5月软着陆火星表面，开展巡视探测等工作，探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图如图所示，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆．探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，O、Q还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点．下列关于探测器说法正确的是()A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速B．在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期C．在轨道Ⅱ上运行的线速度大于火星的第一宇宙速度D．在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度大于运行到Q点的线速度答案 A解析由高轨道进入低轨道需要点火减速，则由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速，A正确；根据开普勒第三定律有r23T22＝a33T32，因轨道Ⅱ的半径大于轨道Ⅲ的半长轴，所以在轨道Ⅱ上运行的周期大于在轨道Ⅲ上运行的周期，B错误；根据v＝GMR可知，在轨道Ⅱ上运行的线速度小于火星的第一宇宙速度，C错误；根据开普勒第二定律可知，近地点的线速度大于远地点的线速度，所以在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度小于运行到Q点的线速度，D错误．例2嫦娥五号完美完成中国航天史上最复杂任务后，于2020年12月17日成功返回，最终收获1 731克样本．图中椭圆轨道Ⅰ、100公里环月轨道Ⅱ及月地转移轨道Ⅲ分别为嫦娥五号从月球返回地面过程中所经过的三个轨道示意图，下列关于嫦娥五号从月球返回过程中有关说法正确的是()A．在轨道Ⅱ上运行时的周期小于在轨道Ⅰ上运行时的周期B．在轨道Ⅰ上运行时的加速度大小始终大于在轨道Ⅱ上运动时的加速度大小C．在N点时嫦娥五号经过点火加速才能从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ返回D．在月地转移轨道上飞行的过程中可能存在不受万有引力的瞬间答案 C解析 轨道Ⅱ的半径大于椭圆轨道Ⅰ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅱ上运行时的周期大于在轨道Ⅰ上运行时的周期，故A 错误；在轨道Ⅰ上的N 点和轨道Ⅱ上的N 点受到的万有引力相同，所以在两个轨道上经过N 点时的加速度相同，故B 错误；从轨道Ⅱ到月地转移轨道Ⅲ做离心运动，在N 点时嫦娥五号需要经过点火加速才能从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ返回，故C 正确；在月地转移轨道上飞行的过程中，始终在地球的引力范围内，不存在不受万有引力的瞬间，故D 错误．考向2 变轨问题中的能量变化例3 2020年我国北斗三号组网卫星全部发射完毕．如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r 1＝r 的圆轨道上做匀速圆周运动，到A 点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B 点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r 2＝2r 的圆轨道做匀速圆周运动．已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A 点时的速度为v ，卫星的质量为m ，地球的质量为m 地，引力常量为G ，则发动机在A 点对卫星做的功与在B 点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)( )A.34m v 2＋3Gm 地m 4r B.34m v 2－3Gm 地m 4r C.58m v 2＋3Gm 地m 4r D.58m v 2－3Gm 地m 4r答案 D解析 当卫星在r 1＝r 的圆轨道上运行时，有G m 地m r 2＝m v 02r ，解得在此圆轨道上运行时通过A点的速度为v 0＝Gm 地r ，所以发动机在A 点对卫星做的功为W 1＝12m v 2－12m v 02＝12m v 2－Gm 地m 2r ；当卫星在r 2＝2r 的圆轨道上运行时，有G m 地m (2r )2＝m v 0′22r ，解得在此圆轨道上运行时通过B 点的速度为v 0′＝Gm 地2r，而根据卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值可知，在椭圆轨道上通过B 点时的速度为v 1＝r 1r 2v ＝12v ，故发动机在B 点对卫星做的功为W 2＝12m v 0′2－12m v 12＝Gm 地m 4r －18m v 2，所以W 1－W 2＝58m v 2－3Gm 地m 4r ，D 正确．考向3 飞船对接问题例4 北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时．为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动．对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)．为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是( ) A ．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，合适位置减速靠近即可 B ．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，合适位置减速靠近即可 C ．飞船到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可 D ．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可 答案 D解析 根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，合适位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可，故选D.题型二 双星或多星模型1．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω12r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2. ②两星的周期、角速度相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2.③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r 1＋r 2＝L . ④两星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1.⑤双星的运动周期T ＝2πL 3G (m 1＋m 2).⑥双星的总质量m 1＋m 2＝4π2L 3T 2G .2．多星模型所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．常见的多星及规律：常见的三星模型①Gm 2(2R )2＋GMm R 2＝ma 向②Gm 2L2×cos 30°×2＝ma 向 常见的四星模型①Gm 2L 2×cos 45°×2＋Gm 2(2L )2＝ma 向②Gm 2L 2×cos 30°×2＋GmM ⎝⎛⎭⎫ L 3 2＝ma 向例5 (多选)(2023·福建龙岩市调研)有科学家认为，木星并非围绕太阳运转，而是围绕着木星和太阳之间的某个公转点进行公转，因此可以认为木星并非太阳的行星，它们更像是太阳系中的“双星系统”．假设太阳的质量为m 1，木星的质量为m 2，它们中心之间的距离为L ，引力常量为G ，则下列说法正确的是( )A ．太阳的轨道半径为m 1m 1＋m 2LB ．木星的轨道半径为m 2m 1LC ．这个“双星系统”运行的周期为2πLLG ()m 1＋m 2D ．若认为木星绕太阳中心做圆周运动，则木星的运行周期为2πL L Gm 1答案 CD解析 双星是同轴转动模型，其角速度相等，有相同的运动周期，根据万有引力提供向心力，对太阳有Gm 1m 2L 2＝m 14π2T 2R ，对木星有Gm 1m 2L 2＝m 24π2T 2r ，其中L ＝R ＋r ，联立解得R ＝m 2m 1＋m 2L ，r ＝m 1m 1＋m 2L ，T ＝2πL 3G (m 1＋m 2)＝2πLLG (m 1＋m 2)，故A 、B 错误，C 正确；若认为木星绕太阳中心做圆周运动，则有Gm 1m 2L 2＝m 24π2T ′2L ，解得T ′＝2πLLGm 1，故D 正确． 例6 (多选)2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布．在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统．在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称为“潮汐瓦解事件”．天鹅座X －1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示．在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是( )A ．两者之间的万有引力变大B ．黑洞的角速度变大C ．恒星的线速度变大D ．黑洞的线速度变大 答案 AC解析 假设恒星和黑洞的质量分别为M 、m ，环绕半径分别为R 、r ，且m <M ，两者之间的距离为L ，则根据万有引力定律有G MmL 2＝F 向，恒星和黑洞的距离不变，随着黑洞吞噬恒星，在刚开始吞噬的较短时间内，M 与m 的乘积变大，它们间的万有引力变大，故A 正确；双星系统属于同轴转动的模型，角速度相等，根据万有引力提供向心力有G MmL2＝mω2r ＝Mω2R ，其中R ＋r ＝L ，解得恒星的角速度ω＝G (M ＋m )L 3，双星的质量之和不变，则角速度不变，故B 错误；根据mω2r ＝Mω2R ，得M m ＝rR，因为M 减小，m 增大，所以R 增大，r 减小，由v恒＝ωR ，v 黑＝ωr ，可得v 恒变大，v 黑变小，故C 正确，D 错误．例7 (多选)如图所示，质量相等的三颗星体组成三星系统，其他星体对它们的引力作用可忽略．设每颗星体的质量均为m ，三颗星体分别位于边长为r 的等边三角形的三个顶点上，它们绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动．已知引力常量为G ，下列说法正确的是( )A ．每颗星体所需向心力大小为2G m 2r 2B ．每颗星体运行的周期均为2πr 33GmC ．若r 不变，星体质量均变为2m ，则星体的角速度变为原来的2倍D ．若m 不变，星体间的距离变为4r ，则星体的线速度变为原来的14答案 BC解析 任意两颗星体间的万有引力大小F 0＝G m 2r 2，每颗星体受到其他两个星体的引力的合力为F ＝2F 0cos 30°＝3G m 2r 2，A 错误；由牛顿第二定律可得F ＝m (2πT )2r ′，其中r ′＝r 2cos 30°＝3r3，解得每颗星体运行的周期均为T ＝2πr 33Gm ，B 正确；星体原来的角速度ω＝2πT＝3Gm r 3，若r 不变，星体质量均变为2m ，则星体的角速度ω′＝2πT ′＝6Gmr 3，则星体的角速度变为原来的2倍，C 正确；星体原来的线速度大小v ＝2πr ′T ，若m 不变，星体间的距离变为4r ，则星体的周期T ′＝2π(4r )33Gm＝16πr 33Gm ＝8T ，星体的线速度大小v ′＝2πT ′×4r ′＝πr ′T ，则星体的线速度变为原来的12，D 错误．题型三 星球“瓦解”问题 黑洞1．星球的瓦解问题当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即GMmR 2＝mω2R ，得ω＝GMR 3.当ω>GMR 3时，星球瓦解，当ω<GMR 3时，星球稳定运行． 2．黑洞黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的2倍)超过光速时，该天体就是黑洞．考向1 星球的瓦解问题例8 (2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3答案 C解析 脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有G Mm r 2≥mr 4π2T 2，又知M ＝ρ·43πr 3，整理得密度ρ≥3πGT 2＝3×3.146.67×10－11×(5.19×10－3)2 kg/m 3≈5.2×1015 kg/m 3，故选C.考向2 黑洞问题例9 科技日报北京2017年9月6日电，英国《自然·天文学》杂志发表的一篇论文称，某科学家在银河系中心附近的一团分子气体云中发现了一个黑洞．科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的2倍)超过光速时，该天体就是黑洞．已知某天体与地球的质量之比为k ，地球的半径为R ，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v 1, 光速为c ，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于( ) A.2v 12R kc2 B.2kc 2R v 12C.k v 12R 2c 2D.2k v 12R c2答案 D解析 地球的第一宇宙速度为v 1＝GMR ，则黑洞的第一宇宙速度为v 2＝GkMr，并且有2v 2>c ，联立解得r <2k v 12Rc2，所以D 正确，A 、B 、C 错误．课时精练1．(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( ) A ．卫星的动能逐渐减小B ．由于地球引力做正功，引力势能一定减小C ．由于稀薄气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变D ．卫星克服稀薄气体阻力做的功小于引力势能的减小量 答案 BD解析 在卫星轨道半径变小的过程中，地球引力做正功，引力势能一定减小，卫星轨道半径变小，动能增大，由于稀薄气体阻力做负功，机械能减小，选项A 、C 错误，B 正确；根据动能定理，卫星动能增大，卫星克服稀薄气体阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力势能的减小量，所以卫星克服阻力做的功小于引力势能的减小量，选项D 正确．2.在高空运行的同步卫星功能失效后，往往会被送到同步轨道上空几百公里处的“墓地轨道”，以免影响其他在轨卫星并节省轨道资源．如图所示，我国实践21号卫星在地球同步轨道“捕获”已失效的北斗二号G2卫星后，成功将其送入“墓地轨道”．已知同步轨道和墓地轨道的轨道半径分别为R 1、R 2，转移轨道与同步轨道、墓地轨道分别相切于P 、Q 点，地球自转周期为T 0，则北斗二号G2卫星( )A ．在墓地轨道运行的速度大于其在同步轨道运行的速度B ．在转移轨道上经过P 点的加速度大于在同步轨道上经过P 点的加速度C ．若要从Q 点逃脱地球的引力束缚，则在该处速度必须大于11.2 km/sD ．沿转移轨道从P 点运行到Q 点所用最短时间为T 04(R 1＋R 2)32R 13答案 D解析 根据GMm R 2＝m v 2R可得v ＝GMR，可知在墓地轨道运行的速度小于其在同步轨道运行的速度，故A 错误；在转移轨道上经过P 点和在同步轨道上经过P 点时受到的万有引力相同，有GMmR 2＝ma ，可知在转移轨道上经过P 点的加速度等于在同步轨道上经过P 点的加速度，故B 错误；卫星要逃脱地球引力束缚，则卫星离开地球时的速度必须大于等于11.2 km/s ，卫星从离开地球到墓地轨道过程中动能减少，所以卫星要从墓地轨道逃脱地球，需要的速度比第二宇宙速度11.2 km/s 小，故C 错误；由开普勒第三定律有R 13T 02＝(R 1＋R 22)3T 12，可得沿转移轨道从P 点运行到Q 点所用最短时间为t ＝T 12＝T 04(R 1＋R 2)32R 13，故D 正确． 3.(2023·重庆市模拟)我国2021年9月27日发射的试验十号卫星，轨道Ⅱ与Ⅰ、Ⅲ分别相切于A 、B 两点，如图所示，停泊轨道Ⅰ距地面约200 km ，卫星沿轨道Ⅰ过A 点的速度大小、加速度大小分别为v 1、a 1；卫星沿转移椭圆轨道Ⅱ过A 点的速度大小、加速度大小分别为v 2、a 2，过B 点的速度大小、加速度大小分别为v 3、a 3；同步轨道Ⅲ距地面约36 000 km ，卫星沿轨道Ⅲ过B 点的速度大小、加速度大小分别为v 4、a 4.下列关于试验十号卫星说法正确的是( )A ．a 1<a 2 v 1<v 2B ．a 2>a 3 v 2＝v 3C ．a 3＝a 4 v 3<v 4D ．a 2＝a 4 v 2<v 4答案 C 解析 卫星无论沿轨道Ⅰ过A 点还是沿转移椭圆轨道Ⅱ过A 点，受到的万有引力相同，根据GMm r 2＝ma 可知，加速度a 1＝a 2，但是卫星过A 点由轨道Ⅰ到转移椭圆轨道Ⅱ需要点火加速，所以v 1<v 2，故A 错误；由题图可知，卫星沿转移椭圆轨道Ⅱ过A 点受到的万有引力大于过B 点受到的万有引力，根据GMm r 2＝ma 可知a 2>a 3，由开普勒第二定律可知v 2>v 3，故B 错误；同理可得，卫星沿转移椭圆轨道Ⅱ过B 点的加速度等于轨道Ⅲ过B 点的加速度，即a 3＝a 4，卫星由转移椭圆轨道Ⅱ经B 点到轨道Ⅲ需要点火加速，故v 3<v 4，故C 正确；根据GMm r2＝ma 可知a 2>a 4，由GMm r 2＝m v 2r可知v 1>v 4，则v 2>v 4，故D 错误． 4．一近地卫星的运行周期为T 0，地球的自转周期为T ，则地球的平均密度与地球不因自转而瓦解的最小密度之比为( )A.T 0TB.T T 0C.T 02T 2D.T 2T 02 答案 D解析 对近地卫星，有 G Mm R 2＝m (2πT 0)2R ，地球的质量M ＝ρ1·43πR 3，联立解得ρ1＝3πGT 02，以地球赤道处一质量为m 0的物体为研究对象，只有当它受到的万有引力大于等于它随地球一起旋转所需的向心力时，地球才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为ρ2，则有G Mm 0R2＝m 0(2πT )2R ，M ＝ρ2·43πR 3，联立解得ρ2＝3πGT 2，所以ρ1ρ2＝T 2T 02，故选D. 5．(多选)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．设某双星系统A 、B 绕其连线上的某固定点O 做匀速圆周运动，如图所示．若A 、B 两星球到O 点的距离之比为3∶1，则( )A ．星球A 与星球B 所受引力大小之比为1∶1B ．星球A 与星球B 的线速度大小之比为1∶3C ．星球A 与星球B 的质量之比为3∶1D ．星球A 与星球B 的动能之比为3∶1答案 AD解析 星球A 所受的引力与星球B 所受的引力均为二者之间的万有引力，大小是相等的，故A 正确；双星系统中，星球A 与星球B 转动的角速度相等，根据v ＝ωr 可知，线速度大小之比为3∶1，故B 错误；A 、B 两星球做匀速圆周运动的向心力由二者之间的万有引力提供，可得G m A m B L 2＝m A ω2r A ＝m B ω2r B ，则星球A 与星球B 的质量之比为m A ∶m B ＝r B ∶r A ＝1∶3，故C 错误；星球A 与星球B 的动能之比为E k A E k B ＝12m A v A 212m B v B 2＝m A (ωr A )2m B (ωr B )2＝31，故D 正确． 6．(2023·安徽蚌埠市检测)2022年7月24日14时22分，中国“问天”实验舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得圆满成功．“问天”实验舱入轨后，顺利完成状态设置，于北京时间2022年7月25日3时13分，成功对接于离地约400 km 的“天和”核心舱．“神舟”十四号航天员乘组随后进入“问天”实验舱．下列判断正确的是( )A ．航天员在核心舱中完全失重，不受地球的引力B ．为了实现对接，实验舱和核心舱应在同一轨道上运行，且两者的速度都应大于第一宇宙速度C ．对接后，组合体运动的加速度大于地球表面的重力加速度D ．若对接后组合体做匀速圆周运动的周期为T ，运行速度为v ，引力常量为G ，利用这些条件可估算出地球的质量答案 D解析 航天员受到的地球的引力充当绕地球做圆周运动的向心力，处于完全失重状态，A 错误；为了实现对接，实验舱应先在比核心舱半径小的轨道上加速做离心运动，逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接，但速度小于第一宇宙速度，B 错误；对接后，组合体运动的加速度a ＝GM r 2<GM R 2＝g ，C 错误；对接后，若已知组合体的运行周期T 、运行速度v 和引力常量G ，可由GMm r 2＝m v 2r 、v ＝2πr T ，联立得M ＝v 3T 2πG，D 正确． 7.(2023·福建厦门市模拟)如图所示，设地球半径为R ，假设某地球卫星在距地球表面高度为h 的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，运行周期为T ，到达轨道的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近地点B 时，再次点火进入近地轨道Ⅲ绕地做匀速圆周运动，引力常量为G ，不考虑其他星球的影响，则下列说法正确的是( )A ．地球的质量可表示为4π2R 3GT 2B ．该卫星在轨道Ⅲ上B 点的速率大于在轨道Ⅱ上A 点的速率C ．卫星在圆轨道Ⅰ和圆轨道Ⅲ上做圆周运动时，轨道Ⅰ上动能小，引力势能大，机械能小D ．卫星从远地点A 向近地点B 运动的过程中，加速度变小答案 B解析 卫星在轨道Ⅰ上运动过程中，万有引力提供向心力，故G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )，解得M ＝4π2(R ＋h )3GT 2，故A 错误；卫星在轨道Ⅰ上过A 点做匀速圆周运动，即G Mm r 2＝m v Ⅰ2r，卫星在轨道Ⅱ上过A 点做近心运动，即G Mm r 2>m v Ⅱ2r，所以卫星在轨道Ⅰ上A 点速率大于在轨道Ⅱ上A 点的速率．由v ＝GM r可知，在轨道Ⅲ上B 点的速率大于在轨道Ⅰ上A 点的速率，因此该卫星在轨道Ⅲ上B 点的速率大于在轨道Ⅱ上A 点的速率，故B 正确；从B 运动到A 的过程中，地球引力对卫星做负功，引力势能增大，因卫星在轨道Ⅲ上的速度大于轨道Ⅰ上的速度，故此过程中卫星的动能减小，在Ⅲ轨道上B 点点火，卫星加速并做离心运动，则卫星的机械能增大，在Ⅱ轨道上A 点再次点火加速，使卫星由低轨道进入高轨道，因此卫星的机械能增大，故C 错误；根据万有引力提供向心力有G Mm r 2＝ma ，可得a ＝GM r2，所以卫星距离地球越远，其向心加速度越小，故卫星从远地点到近地点运动过程中，加速度变大，故D 错误．8.(2023·福建龙岩市第一中学模拟)天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX －3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，其质量分别为m A 和m B .不考虑其他天体的影响，A 、B 围绕连线上的O 点做匀速圆周运动，两者之间的距离保持不变，已知AB ＝l ，A 、B 轨道半径之差为Δr .下列说法错误的是( )A ．A 和B 两星体的角速度相同B ．暗星B 的速率v B 与可见星A 速率v A 的比值为m A ∶m BC ．A 、B 两星的轨道半径之比为l l －ΔrD ．A 、B 两星的质量之比为l －Δr l ＋Δr答案 C解析 双星系统中的两星始终处于同一直线上，故周期相同，角速度也相同，故A 正确；由Gm A m B L 2＝m A ω2r A ＝m B ω2r B 得m A r A ＝m B r B ，m A v A 2r A ＝m B v B 2r B ，联立得v B v A ＝m A m B，故B 正确； 由r A >r B ，r A ＋r B ＝l ，r A －r B ＝Δr 知，r A ＝l ＋Δr 2，r B ＝l －Δr 2，故A 、B 两星的轨道半径之比为l ＋Δr l －Δr，故C 错误；A 、B 两星的质量之比为m A m B ＝r B r A ＝l －Δr l ＋Δr，故D 正确． 9.(多选)(2023·广东省模拟)如图所示为发射某卫星的情景图，该卫星发射后，先在椭圆轨道Ⅰ上运动，卫星在椭圆轨道Ⅰ的近地点A 的加速度大小为a 0，线速度大小为v 0，A 点到地心的距离为R ，远地点B 到地心的距离为3R ，卫星在椭圆轨道的远地点B 变轨进入圆轨道Ⅱ，卫星质量为m ，则下列判断正确的是( )A ．卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为13a 0 B ．卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为3a 0R 3C ．卫星在轨道Ⅱ上运行周期为在轨道Ⅰ上运行周期的33倍D ．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为ma 0R 6－m v 0218答案 BD解析 设卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为a 1，由GMm r 2＝ma 得a ＝GM r 2，则a 1＝R 2(3R )2a 0＝19a 0，故A 错误；设卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为v 1，有a 1＝v 123R ，解得v 1＝13a 0R ＝3a 0R 3，故B 正确；根据开普勒第三定律有T 22T 12＝(3R )3(2R )3，解得T 2T 1＝364，故C 错误；设卫星在椭圆轨道远地点B 的线速度大小为v ，根据开普勒第二定律有v 0R ＝v ×3R ，解得v ＝13v 0，卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为W ＝12m v 12－12m v 2＝ma 0R 6－m v 0218，故D 正确． 10.(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m 的星体位于边长为L 的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G .下列说法中正确的是( )A ．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心B ．每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为(4＋2)Gm 2L 3C ．若边长L 和星体质量m 均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍D ．若边长L 和星体质量m 均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变 答案 BD解析 四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A 错误；由2G m 2L 2＋G m 2(2L )2＝(12＋2)G m 2L 2＝mω2·22L ，可知ω＝(4＋2)Gm 2L 3，故B 正确；由(12＋2)G m 2L2＝ma 可知，若边长L 和星体质量m 均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的12，故C 错误；由(12＋2)G m 2L 2＝m v 222L 可知星体做匀速圆周运动的线速度大小为v ＝(4＋2)Gm 4L，所以若边长L 和星体质量m 均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D 正确．11．黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．已知某黑洞的逃逸速度为v ＝2GM R，其中引力常量为G ，M 是该黑洞的质量，R 是该黑洞的半径．若天文学家观测到与该黑洞相距为r 的天体以周期T 绕该黑洞做匀速圆周运动，光速为c ，则下列关于该黑洞的说法正确的是( )A ．该黑洞的质量为GT 24πr3 B ．该黑洞的质量为4πr 3GT2 C ．该黑洞的最大半径为4π2r 3c2 D ．该黑洞的最大半径为8π2r 3c 2T2 答案 D解析 天体绕黑洞运动时，有GMm r 2＝m (2πT )2r ，解得M ＝4π2r 3GT2，选项A 、B 错误；黑洞的逃逸速度不小于光速，则有2GM R ≥c ，解得R ≤2GM c 2＝8π2r 3c 2T2，选项C 错误，D 正确． 12．质量均为m 的两个星球A 和B ，相距为L ，它们围绕着连线中点做匀速圆周运动．观测到两星球的运行周期T 小于按照双星模型计算出的周期T 0，且T T 0＝k .于是有人猜想在A 、B 连线的中点有一未知天体C ，假如猜想正确，则C 的质量为( )A.1－k 24k2m B.1＋k 24k 2m C.1－k 2k2m D.1＋k 2k2m 答案 A解析 两星球绕连线的中点转动，则有G m 2L 2＝m ·4π2T 02·L 2，所以T 0＝2πL 32Gm ，由于C 的存在，星球所需的向心力由两个力的合力提供，则G m 2L 2＋G Mm (L 2)2＝m ·4π2T 2·L 2，又T T 0＝k ，联立解得M ＝1－k 24k 2m ，可知A 正确，B 、C 、D 错误．。
高中物理必修二：无中心天体——双星模型
圆周运动时总是位于旋转中心的 两侧，且三者在一 条直线
学以致用
【例1】观测表明，由于万有引力，恒星有“聚集” 的特点.众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单 的恒星系统是双星，两颗星各以一定速率绕其连线上 某一点匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸 引在一起.已知双星质量分别为m1、m2，间距始终为 L，引力常量为G.
（2）设第二种情形下星体做圆周运动的半径为r
则相邻两星体间距离
则相邻FF两n 星G 体( 3m之3Fmr间)2 的m万Gr3mr有22T2引力2 为：
F s Fn
r
由以上三式可得:
S 3r 3 12 R 5
• [典例] (2012·重庆高考)冥王星与其附近的另一 星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1， 同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由 此可知，冥王星绕O点运动的( )
G
m1m2 L2
m1
2
T
2
R1
m2
4 2L2R1
GT 2
同理对m2分析：m1
4 2L2R2
GT 2
m总
m1
m2
4 2L3
GT 2
R2 R1
认真体会万有引力公式 中的r和向心力公式中 的r的区别！
三星模型
宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗 星组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力.稳定 的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一 直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上 运行；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上， 并沿外接圆运行.
求：(1)双星旋转的中心O到
专题2 双星与多星系统(课件)高一物理(人教版2019必修第二册)
周运动，A运．在动国周际期单为位制T1中，，它引们力的常轨量在道数半值径上分等于别两为个R质A、量R是B，1kgR的A 质< 点R相B，距C1为m时B的万有卫引星力，的绕大B小做逆时针
B．在不同的单位制中，引力常量的数值是相同的
匀速圆周运动，周期C．为计T算2，不同忽物略体A间与相C之互作间用的的引万力有引，力万时引，力引力常常量量为的G值，是则不以同的下说法正确的是
）
则合A．力在大国际小单为C位．制计中算，不B引．同F力在B物x常不体量同间F在A的相B数c单互o值s位作上6制用0等中的于，万F两C引有B个力引质常力2量G量时是ma的，122数引kg值力的是常质相量点同的相的值距是1m不时同万的有引力的大小
D．若距离L不变，四颗星的质量m均变为2m，则在三角形顶点的三颗星角速度变为原来的2倍
课堂练习
【练习5】我国发射的“悟空”探测卫星,多年来积极开展了人类对暗物质
的观测研究.现发现宇宙空间中两颗质量分别为m和3m的星球绕其连线某点
转动时,理论计算的周期与实际观测周期不符,且 T 理论 =5;科学家认为,在两 T 关于引力常量，下列说法正确的是（ ） 观测
三、科普暗物质（视频）
第五部分：总结提升
课堂小结
T 2
L3
G(m1 m2 )
双星
m1
m2
4 2L3
GT 2
三星
• 四星
暗物质
T 2R 4 R3
v
5Gm
课堂练习
【练习1】如图所示，2022年7月15日，由清华大学天文系祝伟教授牵头的国际团
队近日宣布在宇宙中发现两个罕见的恒星系统。该系统均是由两颗互相绕行的中
D．著名的“月—地检验”是在已知引力常量的数值后才进行的
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[典例 3] 宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的
四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作
L r2
运动的周期、角速度相等,即ω1＝ω2，T1＝T2 (3) “半径反比”--两星体绕同一圆心做圆周运动,圆心在两颗行
星的连线上,且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行 星的质量成反比．
【例4】 2015年4月,科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外星系中, 发现了一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统,如图所示。这也是天 文学家首次在正常星系中发现超大质量双黑洞。这对验证宇宙学与星 系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的 意义。我国今年底也将发射全球功能最强的暗物质探测卫星。若图中 双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做 匀速圆周运动。根据所学知识，下列选项 正确的是( ) A.双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1 B.双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1 C.双黑洞的线速度之比v1∶v2＝M1∶M2 D.双黑洞的向心加速度之比a1∶a2＝M1∶M2
由万有引力提供向心力得 GML1M2 2＝M1(2Tπ)2r1＝M2(2Tπ)2r2，
得 M2＝G4πT22r1L2，M1＝G4πT22r2L2，
总质量 M1＋M2＝4GπT2L23，选项 C 正确。
答案 C
解析显隐
物理建模
(二)宇宙三星模型
宇宙三星模型
(1)如图 4-5-8 所示，三颗质量相等的行
则 RC＝
43a2＋12a2＝
47a⑥
(4)三星体运动周期相同，对 C 星体，由
FC＝FB＝ 7Gma22＝m(2Tπ)2RC⑦
可得 T＝π 6am3 ⑧
答案
m2 (1)2 3G a2
m2 (2) 7G a2
7 (3) 4 a
(4)π
a3 6m
物理建模 宇宙四星模型
(三)宇宙四星模型
(1)如图4-5-11所示，四颗质量相
根据双星模型的特点分析 本题各物理量的比值
转解析
【拓展延伸】在【例 4】中若双黑洞间的距离为 L，其运动周期为
T，引力常量为 G，则双黑洞总质量为( )
GL3
4π2L3 4π2L3 4π2T3
A.4π2T2 B.3GT2 C. GT2 D. GL2
解析 设双黑洞质量分别为 M1 和 M2，绕连线上 O 点做匀速圆周 运动的半径分别为 r1、r2， 则有 r1＋r2＝L。
图5
(1)A星体所受合力大小FA； (2)B星体所受合力大小FB； (3)C星体的轨道半径RC； (4)三星体做圆周运动的周期T。
解析 (1)由万有引力定律，A 星体所受 B、C 星体引力大小 为 FBA＝GmArm2 B＝G2am22＝FCA① 方向如图所示
则合力大小为 FA＝FBAcos 30°＋FCAcos 30°＝2 3Gma22② (2)同上，B 星体所受 A、C 星体引力大小分别为 FAB＝GmArm2 B＝G2am22③ FCB＝Gmacm2 B＝Gma22④ 方向如图所示 由余弦定理得合力 FB＝ F2AB＋F2CB－2FABFCBcos 120°＝ 7Gma22⑤ (3)由于 mA＝2m，mB＝mC＝m 通过分析可知，圆心 O 在 BC 的中垂线 AD 的中点
星位于一正三角形的顶点处，
都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行
星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万 有引力的合力来提供。
图 4-5-9
GLm2 2×2×cos 30°＝ma
其中 L＝2rcos 30°。
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的
大小相等。
5.[三星模型](2015·安徽理综，24)由三颗星体构成的系统，忽略其 它星体对它们的作用，存在着一种运动形式；三颗星体在相互之 间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某 一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动 (图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A星体 质量为2m、B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
用。设四星系统中每个星体的质量均为 m，半径均为 R，四颗
星稳定分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上。已知引力常量
为 G。关于宇宙四星系统，下列说法错误的是
()
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为a2
C．四颗星表面的重力加速度均为GRm2
D．四颗星的周期均为 2πa
等的行星位于正方形的四个顶点上，
沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周
运动，GLm2 2×2×cos 45°＋ G2mL22＝
ma，其中r＝
2 2
Байду номын сангаас
L。
图4-5-11
四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的
大小相等。
(2)如图4-5-12所示：三颗质量相等 的行星位于正三角形的三个顶点，另一 颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗 行星以O点为圆心。
第四章 曲线运动 万有引力与航天
物理建模： 宇宙多星模型
一、模型特点
➢1.模型特点
解题模板
物理建模 宇宙双星模型
模型特点
绕公共圆心转动的两个星体称为“双星”
(1) “向心力等大反向”--向心力由它们间的
r1
万有引力提供,大小为F向＝ GMm/L2,方向相反
(2) “周期、角速度相同”--两星体做匀速圆周
星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗
行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位 于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行 图 4-5-8
星由其余两颗行星的引力提供向心力：Grm2 2＋G2mr22＝ma
两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小
相等。
(2)如图 4-5-9 所示，三颗质量相等的行
2a 4＋ 2Gm
解析
【备选】 (2013·山东卷，20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星
在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同
的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总
质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆
周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来