不等式证明练习题
高一数学不等式解题技巧精析及针对练习题(含答案)
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
不等式及其性质练习题
不等式及其性质练习题一、填空题1. 若 a > b，则 a + 3 与 b 2 的大小关系是______。
2. 若 x 5 < 0，则 x 的取值范围是______。
3. 若 |x| > 5，则 x 的取值范围是______。
4. 若 a < b < 0，则a² 与b² 的大小关系是______。
5. 若 |x 1| = |x + 3|，则 x 的值为______。
二、选择题1. 下列不等式中，正确的是（）A. a² > b²B. a + b > aC. (a + b)²= a² + b²D. |a| = a2. 若 a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a b > 0B. a < bC. a² < b²D. a/b < 13. 若x² 5x + 6 < 0，则 x 的取值范围是（）A. x < 2 或 x > 3B. 2 < x < 3C. x < 2 且 x > 3D. x ≠ 2 且x ≠ 3三、解答题1. 已知 a > b，证明：a² > ab。
2. 设 x 为实数，证明：若x² 3x + 2 > 0，则 x < 1 或 x > 2。
3. 已知 |x 1| + |x + 2| = 5，求 x 的值。
4. 若 a、b、c 为实数，且 a < b < c，证明：a + c < 2b。
5. 设 a、b 为正数，证明：若 a/b < 1/2，则 2a < b。
四、应用题1. 某商店举行优惠活动，满 100 元减 20 元，满 200 元减 50 元，满 300 元减 80 元。
小明购物满 300 元，实际支付了 220 元，求小明原价购物金额。
不等式练习题
不等式练习题一、基本不等式1. 已知a > b，求证：a + c > b + c。
2. 已知x > 3，求证：x^2 > 9。
3. 已知0 < x < 1，求证：x^3 < x。
4. 已知a, b均为正数，求证：a^2 + b^2 > 2ab。
5. 已知|x| > |y|，求证：x^2 > y^2。
二、一元一次不等式1. 解不等式：3x 7 > 2x + 4。
2. 解不等式：5 2(x 3) ≤ 3x 1。
3. 解不等式：2(x 1) 3(x + 2) > 7。
4. 解不等式：4 3(x 2) ≥ 2x + 5。
5. 解不等式：5(x 3) + 2(2x + 1) < 7x 9。
三、一元二次不等式1. 解不等式：x^2 5x + 6 > 0。
2. 解不等式：2x^2 3x 2 < 0。
3. 解不等式：x^2 4x + 4 ≤ 0。
4. 解不等式：3x^2 + 4x 4 > 0。
5. 解不等式：x^2 + 5x 6 < 0。
四、分式不等式1. 解不等式：x / (x 1) > 2。
2. 解不等式：1 / (x + 3) 1 / (x 2) ≤ 0。
3. 解不等式：(x 1) / (x + 1) < 0。
4. 解不等式：(2x + 3) / (x 4) ≥ 1。
5. 解不等式：(3x 2) / (x^2 5x + 6) > 0。
五、含绝对值的不等式1. 解不等式：|x 2| > 3。
2. 解不等式：|2x + 1| ≤ 5。
3. 解不等式：|3x 4| < 2。
4. 解不等式：|x + 3| |x 2| > 1。
5. 解不等式：|x 5| + |x + 1| < 6。
六、综合应用题1. 已知不等式组：$\begin{cases} 2x 3y > 6 \\ x + 4y ≤ 8 \end{cases}$，求x的取值范围。
基本不等式习题及答案
基本不等式习题及答案基本不等式习题及答案不等式是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的大小关系。
在初等数学中，我们学习了许多基本的不等式，它们在解决实际问题和推导其他数学知识时起着重要的作用。
在本文中，我们将探讨一些基本的不等式习题，并给出相应的答案。
1. 习题一：证明对于任意的正实数a和b，有(a+b)² ≥ 4ab。
解答：我们可以使用平方差公式来证明这个不等式。
根据平方差公式，我们有(a+b)² = a² + 2ab + b²。
由于a和b都是正实数，所以a²和b²都大于等于0。
因此，我们只需要证明2ab大于等于0即可。
由于a和b都是正实数，所以它们的乘积ab也是正实数。
根据乘法的性质，正实数的乘积仍然是正实数，因此2ab大于等于0。
所以，我们证明了(a+b)²≥ 4ab。
2. 习题二：证明对于任意的正实数a，b和c，有(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。
解答：我们可以使用AM-GM不等式来证明这个不等式。
根据AM-GM不等式，对于任意的正实数x和y，有(x+y)/2 ≥ √(xy)。
将x替换为a+b，y替换为b+c，我们有(a+b+b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。
进一步简化得到(a+2b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。
同样地，将x替换为b+c，y替换为c+a，我们有(b+c+c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。
进一步简化得到(2b+2c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。
将x替换为c+a，y替换为a+b，我们有(c+a+a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。
进一步简化得到(2c+2a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。
将上述三个不等式相乘，我们得到((a+2b+c)/2)((2b+2c+a)/2)((2c+2a+b)/2) ≥ (√((a+b)(b+c)))(√((b+c)(c+a)))(√((c+a)(a+b)))。
不等式练习题及讲解高中答案
不等式练习题及讲解高中答案### 不等式练习题及讲解#### 一、基础不等式练习题1. 题目一：若 \( a, b, c \) 均为正数，证明不等式 \( a + b\geq 2\sqrt{ab} \) 成立。
2. 题目二：已知 \( x \) 和 \( y \) 均为实数，且 \( x^2 + y^2 = 1 \)，求证 \( x + y \leq \sqrt{2} \)。
3. 题目三：若 \( a, b \) 均为正整数，证明 \( a^2 + b^2 \geq 2ab \)。
4. 题目四：对于任意实数 \( x \)，证明 \( \frac{x^2}{2} +\frac{1}{2x^2} \geq 1 \)。
5. 题目五：若 \( x, y, z \) 均为正数，证明 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{9}{xy + yz + zx} \)。
#### 二、不等式练习题讲解题目一讲解：利用算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）：\[ a + b \geq 2\sqrt{ab} \]这是因为对于任意非负实数 \( a \) 和 \( b \)，它们的算术平均数总是大于或等于它们的几何平均数。
题目二讲解：由于 \( x^2 + y^2 = 1 \)，我们有 \( (x + y)^2 \leq 2(x^2 +y^2) = 2 \)，从而 \( x + y \leq \sqrt{2} \)。
题目三讲解：同样使用AM-GM不等式：\[ a^2 + b^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2} = 2ab \]当且仅当 \( a = b \) 时，等号成立。
题目四讲解：利用AM-GM不等式：\[ \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} \geq 2\sqrt{\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{2x^2}} = 1 \]等号成立条件是 \( x^2 = 1 \)，即 \( x = \pm 1 \)。
100道不等式练习题
3
8abc(
1 a2
) 1
11: a,b, c 0, pro :
(a b)2 (a b)2
(a c)(b c) a2 b2 c2
由柯西 : LHS (a b)2 (b c)2 (c a)2 (a c)(b c) (b a)(c a) (c b)(a b)
ab c 1 1 1 1 1 1 1 c 1 1 1
1 ab 1 c
1 ab (1 c)2 1 2c c2 1 ab (1 c)2 ab 2 c
20 : x, y, z 0; pro : x y yz z x 1 引理 : 0 x, y 1 x y x
27
(4 xy)(4 xy)( x
y)2
27 x2 [
y2
10xy ]3
4( x 2
xy
y2 )3
16
16
3
8 : a,b, c 0, a b c 3, pro : 1 1 1 1 ab a 1 bc b 1 ca c 1
(a x 1)(b y 1) (a x 1)(b y 1)(c z 1)
(a a2
b)2 b2 c2
12
:
a,b, c
0;
pro
:
1 a
1 b
1 c
a
9 b
c
4(
a
1
) b
两边乘以(a
不等式练习题及答案
不等式练习题及答案一、单项选择题1. 若 x > -3，下列不等式成立的是：A) x > 2 B) x < -2 C) x < 3 D) x > -1答案：D) x > -12. 若 2x + 5 < 13，下列不等式成立的是：A) x < 4 B) x < 3 C) x < 6 D) x < -4答案：C) x < 63. 若 -2x + 3 > -7，下列不等式成立的是：A) x > 2 B) x < -2 C) x > 5 D) x < -3答案：A) x > 2二、填空题1. 若 -4x + 5 < -3，解得 x > ______。
答案：-2/32. 若 2x - 7 > 13，解得 x > _______。
答案：103. 若 3x + 2 < -4，解得 x < _______。
答案：-2三、证明题证明：对于任意实数 x，都成立 x + 7 > x + 3。
解答：假设 x 为任意实数。
我们需要证明当 x + 7 > x + 3。
首先，将 x + 7 和 x + 3 分别展开，得到：x + 7 > x + 3由于两边都有 x，我们可以将其消去，得到：7 > 3由于 7 大于 3，所以原不等式成立。
证毕。
四、应用题若某数与它的倒数的和大于5/2，求这个数的取值范围。
解答：假设该数为 x。
根据题意，我们有不等式：x + 1/x > 5/2为了处理分式，我们可以先将不等式转化为二次方程的形式，即：2x^2 + 2 - 5x > 0化简后得到：2x^2 - 5x + 2 > 0为了求解该二次不等式，我们需要找到其根的位置。
通过求解 x 的二次方程 2x^2 - 5x + 2 = 0，得到两个根 x = 1/2 和 x = 2。
基本不等式的应用场景练习题及答案解析
基本不等式的应用场景练习题及答案解析练题一已知对于任意实数 a 和 b，有以下不等式成立：a - b > 0。
根据该不等式，请解决以下问题：1. 证明对于任意的正数 x，-x < 0；2. 证明对于任意的实数 x，-x ≤ 0；3. 如果 a = 5 和 b = 3，a - b 的值是多少？答案解析1. 首先，由于 x 是正数，那么 -x 是负数。
假设 -x > 0，则两边同时乘以 -1，得到 x < 0，与 x 是正数矛盾。
因此，-x < 0 成立。
2. 对于任意实数 x，有以下两种情况：- 当 x > 0 时，根据第一题解析可知，-x < 0 成立；- 当 x = 0 时，-x = 0，即 -x ≤ 0 成立；综上所述，对于任意实数 x，-x ≤ 0 成立。
3. 当 a = 5 和 b = 3 时，a - b = 5 - 3 = 2。
练题二已知不等式 x - 2 > 3，根据该不等式，请回答以下问题：1. 证明对于任意实数 x，x > 5；2. 如果 x = 10，该不等式是否成立？答案解析1. 首先，由于 x - 2 > 3，将 2 移到右侧得到 x > 5。
2. 当 x = 10 时，代入不等式中得到 10 - 2 = 8，8 > 3 成立。
练题三已知不等式 2x + 1 < 9，根据该不等式，请回答以下问题：1. 证明对于任意实数 x，x < 4；2. 证明对于任意实数 x，2x < 8；3. 如果将不等式变形为 2x < 8，该不等式是否成立？答案解析1. 首先，由于 2x + 1 < 9，将 1 移到右侧得到 2x < 8。
然后，两边同时除以 2 得到 x < 4。
2. 对于任意实数 x，2x < 2 * 4 = 8 成立。
3. 当将不等式变形为 2x < 8 时，不等号的方向没有发生改变，因此该不等式成立。
柯西不等式的练习题
柯西不等式的练习题柯西不等式是数学中的一个重要定理，它在不等式证明和优化问题中有着广泛的应用。
本文将通过一些练习题来加深对柯西不等式的理解。
练习题一：设a、b、c、d为实数，求证：(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)≥(a+b+c+d)^2解答：根据柯西不等式，有：(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)≥(a+b+c+d)^2化简得：4(a^2+b^2+c^2+d^2)≥(a+b+c+d)^2展开得：4a^2+4b^2+4c^2+4d^2≥a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 化简得：3a^2+3b^2+3c^2+3d^2≥2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd再次化简得：3(a^2+b^2+c^2+d^2)≥2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)由于平方数都是非负数，所以左边大于等于0，右边也大于等于0，因此不等式成立。
练习题二：设a、b、c为正实数，求证：(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≥(a+b+c)^2根据柯西不等式，有：(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≥(a+b+c)^2化简得：3(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)^2展开得：3a^2+3b^2+3c^2≥a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc化简得：2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2ac+2bc再次化简得：a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc这是平方和的非负性质，所以不等式成立。
练习题三：设a、b、c为正实数，求证：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b+c)^2/ab+bc+c a解答：根据柯西不等式，有：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b+c)^2/ab+bc+ca化简得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/ab+bc+ca展开得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a^2+b^2+c^2)/ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)/ab+化简得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/ab+bc+ca 再次化简得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b+c)^2/ab+bc+ca这是平方和的非负性质，所以不等式成立。
高中反证法练习题及讲解
高中反证法练习题及讲解### 高中数学反证法练习题及讲解#### 练习题一：不等式的证明题目：证明对于任意正整数 \( n \)，有 \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 \geq n^2 \)。
解答：假设存在某个正整数 \( n \)，使得 \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 < n^2 \)。
考虑 \( n \) 的最小值，即 \( n = 1 \)，显然 \( 1^2 = 1 \)，不等式成立。
现在考虑 \( n > 1 \) 的情况，我们有：\[ 1^2 + 2^2 + \ldots + (n-1)^2 + n^2 < n^2 \]将 \( n^2 \) 移项，得到：\[ 1^2 + 2^2 + \ldots + (n-1)^2 < 0 \]但是，由于每一项都是非负的，它们的和不可能小于零。
这与我们的假设矛盾，因此原命题成立。
#### 练习题二：几何命题的证明题目：证明在直角三角形中，斜边的中点到三个顶点的距离相等。
解答：假设在直角三角形 \( ABC \) 中，斜边 \( AC \) 的中点为 \( M \)，且 \( M \) 到顶点 \( A \)、\( B \) 和 \( C \) 的距离不相等。
不失一般性，设 \( MA < MB \)。
由于 \( M \) 是斜边的中点，我们有 \( MC = MA \)。
考虑直角三角形 \( ABM \)，由于 \( MA < MB \)，根据勾股定理，我们有 \( AM^2 + BM^2 = AB^2 \)，这与 \( MA < MB \) 矛盾。
因此，我们的假设不成立，原命题成立。
#### 练习题三：数列的性质题目：证明对于任意实数 \( a \) 和 \( b \)，如果 \( a < b \)，则 \( a^2 < b^2 \)。
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1．设,a b c n N >>∈，且
c
a n
c b b a -≥
-+-11恒成立，则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
2． 若(,1)x ∈-∞，则函数222
22
x x y x -+=-有（ ）
A ．最小值1
B ．最大值1
C ．最大值1-
D ．最小值1- 3
．设P =
Q =
R =,,P Q R 的大小顺序是（ ）
A ．P Q R >>
B ．P R Q >>
C ．Q P R >>
D ．Q R P >> 4．设不等的两个正数,a b 满足3322
a b a b -=-，则a b +的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．4(1,)3 C ．4[1,]3
D ．(0,1)
5．设,,a b c R +
∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c
=---，则必有（ ） A ．108M ≤<
B ．1
18
M ≤< C ．18M ≤< D ．8M ≥ 6．若,a b R +∈
，且,a b M ≠=
+
N =M 与N 的大小关系是 A ．M N > B ．M N < C ．M N ≥ D ．M N ≤ 1．若log 2x y =-，则x y +的最小值是（ ）
A ． 2233
B ．3323
C ．
2
3
3 D ．
3
2
2
2．,,a b c R +
∈，设a b c d
S a b c b c d c d a d a b
=
+++
++++++++， 则下列判断中正确的是（ ）
A ．01S <<
B ．12S <<
C ．23S <<
D ．34S << 3．若1x >，则函数21161
x
y x x x =+
+
+的最小值为（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．非上述情况 4．设0b a >>，
且P =
，2
11Q a b
=+，
M = 2a b N +=
，R =
， 则它们的大小关系是（ ）
A ．P Q M N R <<<<
B ．Q P M N R <<<<
C ．P M N Q R <<<<
D ．P Q M R N <<<<
二、填空题 1．函数23(0)1
x
y x x x =
<++的值域是 .
2．若,,a b c R +
∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是
3．已知1,,1a b c -<<，比较ab bc ca ++与1-的大小关系为 .
4．若0a >，则1a a +
的最大值为 . 5．若,,x y z 是正数，且满足()1xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小值为______。
1．设0x >，则函数1
33y x x
=--
的最大值是__________。
2．比较大小：36log 4______log 7
3．若实数,,x y z 满足23()x y z a a ++=为常数，则2
2
2
x y z ++的最小值为 4．若,,,a b c d 是正数，且满足4a b c d +++=，用M 表示
,,,a b c a b d a c d b c d ++++++++中的最大者，则M 的最小值为__________。
5．若1,1,1,10x y z xyz ≥≥≥=，且lg lg lg 10x
y z x y z ⋅⋅≥，则_____x y z ++=。
1．若0a b >>，则1
()
a b a b +
-的最小值是_____________。
2．若0,0,0a b m n >>>>，则
b a , a b , m a m b ++, n
b n a ++按由小到大的顺序排列为 3．已知,0x y >，且2
2
1x y +=，则x y +的最大值等于_____________。
4．设10101011
1111
2212221
A =++++++-，则A 与1的大小关系是_____________。
5．函数212
()3(0)f x x x x
=+>的最小值为_____________。
三、解答题
1．已知1a b c ++=，求证：2
2
2
13
a b c ++≥
2．解不等式7340x x +-->
3．求证：2
2
1a b ab a b +≥++-
4．证明：1)1...
<<
1．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，求参数a 的取值范围。
23
a b c
++≥
3．当3,n n N ≥∈时，求证：22(1)n
n ≥+
4．已知实数,,a b c 满足a b c >>，且有2
2
2
1,1a b c a b c ++=++=，求证：413
a b <+<
1． 设,,a b c R +
∈，且a b c +=，求证：222333
a b c +>
2．已知a b c d >>>，求证：1119
a b b c c a a d
++≥
----
3．已知,,a b c R +∈，比较333a b c ++与222
a b b c c a ++的大小。
4．求函数y =
5．已知,,x y z R ∈，且2
2
2
8,24x y z x y z ++=++= 求证：444
3,3,3333
x y z ≤≤≤≤≤≤。