专题综合检测(七)(30分钟 50分)

专题综合检测(七)
（30分钟 50分）
一、选择题(每小题5分，共15分)
1.(2012·聊城中考)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1,2,3,4……同心圆与直线y=x和y=-x 分别相交于A1,A2,A3,A4……则A30的坐标为( )
(A)(30,30) (B)(83,83
-)
(C)(42,42
- )
-) (D)(42,42
2.(2012·兰州中考)如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2 cm,F是弦BC的中点,
∠ABC=60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动,设运动时间为t(s)(0≤t<3),连结EF.当△BEF是直角三角形时,t的值为( )
(A)7
4 (B)1 (C)7
4
或1 (D)7
4
或1或9
4
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线
BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合
条件的点P共有( )
(A)4个
(B)5个
(C)6个
(D)7个
二、填空题(每小题5分，共10分)
4.一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23,33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个，3个和4个连续奇数的和，即23=3+5；33=7+9+11；43=13+15+17+19；……；若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是________.
5.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的
边长为
2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米.当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE＝_________米时,有DC2＝AE2＋BC2.
三、解答题(共25分)
6.(12分)(2012·娄底中考)如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N.
(1)求证：△BMD∽△CNE;
(2)当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？
(3)设BD=x,五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式(要写出自变量x的取值范围)；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值.
【探究创新】
7.(13分)已知：如图(1)，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4 cm,BC=3 cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cm/s；点Q
由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2 cm/s；连结PQ．若设运动的时间为t(s)(0＜t＜2)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，PQ∥BC？
(2)设△AQP的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
(4)如图(2)，连结PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
答案解析
1.【解析】选C.根据图形的排列规律，在第一象限内与y=x相交的交点A1,A5,
A9,…，A4n-3，同理可推，第二象限内与y=-x相交的交点依次为A4n-2，第三象限内与y=x相交的交点依次为A4n-1，第四象限内与y=-x相交的交点依次为A4n，所以A30应在第二象限，即4×8-2=30.根据直线y=x位置特征与勾股定理可计算得，A30(42,42
).
【归纳整合】探索规律的常用方法：
(1)逐个计算前面的几个数据，找出其中的循环规律.
(2)找出每一个数据与前面一个之间的关系，从而找出变化规律.
(3)找出每个数据与其所在位置的关系，从而找出其中的规律.
2.【解析】选D.由题意知∠ACB=90°,∠ABC=60°,则当BE=2BF或
BF=2BE时
△BEF是直角三角形.当BE=2BF时,有4-2t=2,解得t=1;当BF=2BE
时,有2t-4=1
2或4-2t=1
2
,解得t=9
4
或t=7
4
.
3.【解析】选B.作线段AB的垂直平分线，交AC于点P1,交BC于点P2,以点B为圆心，以BA为半径画圆，交AC于点P3,交BC于点P2和P4;以点A为圆心，以AB为半径画圆，交AC于点P5,交BC于点P2和B.以上5个点P1,P2,P3,P4,P5都符合题意.
4.【解析】根据题意，得53=21+23+25+27+29，63=31+33+35+37+39+41，所填41.
答案：41
5.【解析】因为∠A＝30°,∠B＝90°,
BC＝6米，所以AC＝12米.
设AE=x，则EC＝12－x，
由DC2＝AE2＋BC2,DC2＝DE2＋EC2，
得22＋(12－x)2＝x2＋36，解得x＝14
.
3
答案：14
3
6.【解析】(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠C=30°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=∠FED=60°，
∴∠MDB=∠NEC=120°,
∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°,
∴△BMD∽△CNE；
(2)过点M作MH⊥BC交BC于点H，
∵以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，∴MH=MF，
设BD=x,
则由(1)可得DM=BD=x,
∴MH=MF=DF-MD=4-x,
在Rt △DMH 中， sin ∠MDH=sin60°=MH 4x 3
MD x 2
-==
, 解得：x=16-83,
∴当BD=16-83时，以M 为圆心，以MF 为半径的圆与BC 相切;
(3)过点M 作MH ⊥BC 交BC 于点H ，过点A 作AK ⊥BC 交BC 于点K, ∵AB=AC ， ∴BK=12BC=12
×8=4, ∵∠B=30°, ∴AK=BK ·tan ∠B=343
433
⨯
=
, ∴S △ABC =1
2
BC ·AK=12
×8×433=163
3
. 由(2)得：MD=BD=x, ∴MH=MD ·sin ∠MDH=32
x, ∴S △BDM =1
2
·x ·
32x=34
x 2, ∵△DEF 是等边三角形且DE=4，BC=8，
∴EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x, ∵△BDM ∽△CEN ，
∴S △BDM ∶S △CEN =()
2
22
(E )BD x C 4x =-, ∴S △CEN =
()2
34x 4
-, ∴y=S △ABC -S △CEN -S △BDM =
()2
216333x 4x 344--- =2343
x 23x 23-
++
=()2
3103
x 20x 42
3
()--+
≤≤. 当x=2时，y 有最大值，最大值为
103
3
.
7.【解析】(1)在Rt △ABC 中，AB=22BC AC +=5， 由题意知：AP=5-t,AQ=2t, 若PQ ∥BC ，则△APQ ∽△ABC,
∴
AQ AP
AC AB =, ∴2t 5t 45-= , ∴t=107
s.
(2)如图①过点P 作PH ⊥AC 于H.
∵∠C=90°， ∴AC ⊥BC ， ∴PH ∥BC ， ∴△APH ∽△ABC,
∴
PH AP
BC AB =, ∴PH 5t
35
-=, ∴PH=3-3
5t,
∴y=12·AQ ·PH=12×2t ×(3-35t)
=-3
5
t 2+3t. (3)若PQ 把△ABC 周长平分， 则AP+AQ=BP+BC+CQ. ∴(5-t)+2t=t+3+(4-2t),解得t=1. 若PQ 把△ABC 面积平分， 则S △APQ =12
S △ABC , 即-35
t 2+3t=3.
∵t=1代入上面方程不成立,
∴不存在这一时刻t,使线段PQ 把Rt △ACB 的周长和面积同时平分. (4)过点P 作PM ⊥AC 于M ，PN ⊥BC 于N ，
若四边形PQP ′C 是菱形，那么PQ=PC. ∵PM ⊥AC 于M ， ∴QM=CM.
∵PN ⊥BC 于N ，易知△PBN ∽△ABC.
∴
PN BP AC AB =,∴PN t
45
=, ∴PN=4t
5
,
∴QM=CM=4t
5
,
∴45t+45t+2t=4,解得：t=109
. ∴当t=10
9
s 时，四边形PQP ′C 是菱形.
此时PM=3-35t=73,CM=45t=8
9
,
在Rt △PMC 中， PC=224964505
PM CM 9819
-=
+=
(cm)， ∴菱形PQP ′C 边长为
505
9
cm.。