第4章参数估计和假设检验

15.8
27.1 23.8
23.2
22.0 35.3
20.3
36.1 21.6
33.5
23.0 35.7
30.0
22.1 30.8
37.8
26.5 22.7
24.4
22.9 24.5
26.9
26.9 21.9
29.0
30.2 26.5
27.7
25.2 50.3
SPSS输出结果（数据：tv.xls） 操作：分析->描述统计->探索
有限总体校正系数
Finite Population Correction Factor

简单随机抽样、不重复抽样时，样本均值 抽样分布的方差略小于重复抽样的方差， 等于 2 N n n N 1
N n 这一系数称为有限总体校正系数。 N 1


当抽样比（n/N）<0.05时可以忽略有限总 体校正系数。
1
2 3 4
1.0
1.5 2.0 2.5
1.5
2.0 2.5 3.0
2.0
2.5 3.0 3.5
2.5
3.0 3.5 4.0
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样本均值的抽样分布
12
所有样本均值的均值和方差
x
2 x
x
i 1
n
i
M
n i 1
1.0 1.5 4.0 2.5 16
i
M (1.0 2.5) 2 (4.0 2.5) 2 2 0.625 16 n 1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值
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有限总体不重复抽样时，样本比例的方 差也需要乘以“有限总体校正系数”， 即
p ˆ
ˆ (1 p ˆ) N n p n N 1
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21
关于置信度含义的说明
在所有的置信区间中， 有(1-)*100% 的区间包 含 总体真实值。 对于计算得到的一个具 体区间，“这个区间包 含总体真实值”这一结 论有(1-)*100% 的可能 是正确的。 /2
39.4
38.7 9.5 20.6 21.3
35.5
27.2 21.0 19.7 22.8
19.5
26.5 42.4 38.6 23.4
29.3
14.7 13.9 37.1 32.5
31.2
15.6 32.8 17.0 11.3
20.6
28.4 29.8 15.1 43.8
34.9
24.0 32.9 23.4 30.8

指随着样本容量的增大，估计量越来越接 近被估计的总体参数。
P(X )
较大的样本容量
B A
较小的样本容量

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X
区间估计

根据事先确定的置信度1-给出总体参数的 一个估计范围。 根据样本统计量的分布推断出总体参数的 置信区间。
置信区间

置信下限
估计值(点估计)
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置信上限
由于在实践中总体参数的真实值是未 知的，因此实际抽样误差是不可知的； 由于样本估计值随样本而变化，因此 实际抽样误差是一个随机变量。

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28
抽样平均误差

抽样平均误差：样本均值的标准差，也称为标准误。 它反映样本均值（或比例）与总体均值（比例）的 平均差异程度。 ˆ )2 ˆ E ( 例如对简单随机抽样中的样本均值有：
2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n
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(x
x )
2
M为样本数目
样本均值的抽样分布与总体分布的 比较
总体分布
.3 .2 .1 0
.3 .2 .1 P(x)
抽样分布
1
2
3
4
0
= 2.5
σ2 =1.25
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
样本均值的抽样分布
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17
总体均值的 置信区间
σ2已知？
是

2
是 总体正态？
否
n≥30？ 否 是 否
x Z
n
x t
s
2
n
x Z 2

n
增大n？数学 变换?
实际中总体方差总是未知的， 因而这是应用最多的公式。在 大样本时t值可以用z值来近似。
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根据中心极限定理得 到的近似结果。 σ未知时用s来估计。
x
n

或 x
n
N n （不重复抽样） N 1

我们通常说“抽样调查中可以对抽样误差进行控 制”，就是指的抽样平均误差。由上面的公式可知 影响抽样误差的因素包括：总体内部的差异程度； 样本容量的大小；抽样的方式方法。
最大允许误差


最大允许误差（allowable error)：在确定 置信区间时样本均值（或样本比例）加减 的量，一般用E来表示，等于置信区间长 度的一半。在英文文献中也称为margin of error。 置信区间= x E 最大允许误差是人为确定的，是调查者在 相应的置信度下可以容忍的误差水平。

无偏性：估计量的数学期望与总体待估参 数的真值相等： E ( ˆ)
ˆ) P(
无偏 有偏
A
B

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ˆ
点估计量的常用评价准则： 有效性

在两个无偏估计量中方差较小的估 计量较为有效。
ˆ) P(
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
6

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估计量的常用评价准则：一致性
总体比例的置信区间

ˆ 5, n(1 p ˆ) 5 np 当 时总体比例的置 信区间可以使用正态分布来进行区间估计。 ˆ ，总体比例记为π） （样本比例记为 p
z
ˆ p ~ N (0,1) (1 ) n ˆ (1 p ˆ) p ˆ Z 2 p n
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参数估计与假设检验
4.1参数估计 4.2假设检验
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4.1 参数估计
4.1.1 参数估计的基本概念 4.1.2 总体均值和比例的区间估计 4.1.3 必要样本容量的确定

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2
4.1.1 参数估计的基本概念
总体 样本
参数
统计量
?
算术平均数
x
用来推断总体参数的统计量称为估计量（estimator), 其取值称 为估计值（estimate) 。 同一个参数可以有多个不同的估计量。 参数是唯一的，但估计量（统计量）是随机变量，取值是不确 定的。
样本均值的 抽样分布
σ_
x
1 -
/2
_
X
x =
说“总体均值有(1)*100% 的概率落入某 一区间”是不严格的， 因为总体均值是非随机 的 。
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22
Example：用SPSS进行区间估计

例：儿童电视节目的赞助商希望了解儿童每周看电 视的时间。下面是对100名儿童进行随机调查的结 果（小时）。计算平均看电视时间95%的置信区间。
39.7 21.5 19.5 29.9 34.7 15.0 27.0 16.4 41.3 36.8 15.1 23.4 20.5 24.1 31.3 28.9 18.3 23.4 17.0 24.4
40.6
15.5 43.9 33.0 21.0
46.4
31.6 20.6 38.0 21.8
23.6
38.9 29.1 28.7 29.3
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简单随机抽样下估计总体均值时 样本容量的确定
E Z / 2

Z , n 2 E n
2
/2
2
式中的总体方差可以通过以下方式估计： 根据历史资料确定 通过试验性调查估计
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31
简单随机抽样下估计总体比例时 样本容量的确定
E Z / 2

(1 )
均值 均值的 95% 置信区间 下限 上限 5% 修整均值 中值 方差 标准差 极小值 极大值 统计量 27.191 25.530 28.852 26.977 26.500 70.104 8.3728 9.5 50.3 标准误 .8373
总体比例的置信区间：例子
1986年对悉尼995 名青少年的随机 调查发现，有216 人每天都抽烟。 试估计悉尼青少 年中每天都抽烟 的青少年比例的 90%的置信区间。
2 2
=
(1645) . (45)
2
2
(5)
2
= 219.2≈ 220
X
x 50
X
总体分布
抽样分布
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15
中心极限定理
从均值为，方差为2的一个任意总体中抽取容量为 n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似 服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布。
x
f(X)
n
大样本(n 30)
小样本
x
X
4.2 总体均值和比例的区间估计
ˆ 5, n(1 p ˆ) 5 解：显然有 np 因此可以用正态分布进行估计。 Ｚ/2=1.645
ˆ Z p
2
ˆ (1 p ˆ) p n
0.217(1 0.217 ) 0.217 1.645 995 0.217 0.0215
结论：我们有 90 ％的把握认为悉尼青少年中每 天都抽烟的青少年比例在19.55%~23.85%之间。