角的相关计算和证明(习题及答案)
同位角、内错角、同旁内角(习题及答案)
∵∠DBE=∠A（______________________________）
∴_______=∠A（______________________________）
∴BE_____AC（______________________________）
6.已知：如图，E为DF上的点，B为AC上的点，∠1=∠2，AC∥DF．
推理就是由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．其作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识．几何推理是我们中学接触最多的一种推理形式．
要想进行严格的几何推理，首先要有一些对应前提．这些前提我们叫做“基本事实”或“定理”，比如我们学过的“同位角相等，两直线平行”、“两点确定一条直线”等都是一些基本事实．这些作为大前提，是我们进行推理的主要依据．而根据这些“基本事实”或“定理”，我们对某个句子进行判断或说明的过程就是证明．
例如，如下的推理：
已知：如图，∠ABC=∠1．
求证：AD∥BC．
证明：如图，
∵∠ABC=∠1（已知）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
我们分析可知，每一个判断都有自己的条件和结论．上述推理中的条件就是∠ABC=∠1，代表着一组同位角相等，而结论就是AD∥BC．由条件得到结论的过程叫做证明，而这个证明必须依据基本事实．我们把基本事实放在结论后的括号中，表明我们是以此为依据进行推理的．
6.已知
对顶角相等
等量代换
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
已知
两直线平行，内错角相等
思考小结
1.同位角相等，两直线平行（或内错角相等，两直线平行，或同旁内角互补，两直线平行）
最新高考第一轮复习数学：4.4两角和与差、二倍角的公式(三)教案(含习题及答案)
关系： 2α+β =（ α+β ） +α ，（ α +β ）－ α =β可证得结论 .
证明： sin（ 2α +β ）－ 2cos（ α +β） sinα
=sin［（ α +β） +α ］－ 2cos（ α +β） sinα
=sin（ α +β ）cosα +cos（ α +β ） sinα － 2cos（α +β ） sinα =sin（ α +β ）cosα － cos（ α+β ） sinα =sin［（ α +β ）－ α ］=sin β. 两边同除以 sinα 得
为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”
.
2.条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的 途径把条件用上去 .常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为 目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式） 、分析法等 .
4.4 两角和与差、二倍角的公式（三）
●知识梳理
1.化简要求 （ 1）能求出值的应求出值 . （2）使三角函数种数、 项数尽量少； 分母尽量不含三角函数； 被开方式尽量不含三角函数 .
2.化简常用方法 （ 1）活用公式（包括正用、逆用、变形用） . （ 2）切割化弦、异名化同名、异角化同角等 .
3.常用技巧
2 sin 20
sin 10
sin 10
cos（30 =
3 cos 20 20 ） 2 sin 20 = 2 sin 10
1 sin 20 2 sin 10
2 sin 20
3
3
cos 20 =2
与角平分线有关的证明、计算(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：总结角平分线的相关定理：①______________________________________________；②_____________________________________________；③在下图中成立的比例_________________．问题2：总结角平分线常见的组合搭配：①等腰三角形“三线合一”，___________重合，考虑角平分线；②平行线+角平分线出现_______________________；③___________（填“三大变换”）会出现角平分线，四边形背景下会出现角平分线+_____________，进而出现等腰结构．以下是问题及答案，请对比参考:问题1：总结角平分线的相关定理：①；②；③在下图中成立的比例．答：问题2：总结角平分线常见的组合搭配：①等腰三角形“三线合一”，重合，考虑角平分线；②平行线+角平分线出现；③（填“三大变换”）会出现角平分线，四边形背景下会出现角平分线+ ，进而出现等腰结构．答：与角平分线有关的证明、计算一、单选题(共8道，每道11分)1.如图，点A，C在直线上，点B在射线AD上，，分别是∠BAE，∠CBD的平分线．若，则∠BAE的度数为( )A.150°B.168°C.135°D.160°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质2.如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为( )A.9B.10.5C.12D.15答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于点E，过E作EF∥AC交AB于F，连接CF，则下列判断正确的是( )A.BE=BFB.BE=EFC.BF=EFD.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线4.如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，连接BE，若CD=2，则BE的长为( )A. B.C.6D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等边三角形5.（用两种方法进行求解）如图，在△ABC中，若∠C=90°，，AD平分∠CAB，则sin∠CAD=______．( )（提示：从角平分线的相关思考角度出发）A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线6.（用三种方法进行求解）如图，在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，AF平分∠BAC交BC于点F，BD⊥AF，交AF的延长线于点D，则AD的长为____________．( )（提示：从角平分线的相关思考角度出发）A.8B.6C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线性质定理7.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处．若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是__________．( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题8.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且，CE交OB于点E，过点B作BF⊥CE于点F，交AC于点G，则的值为( )A.1B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质与判定二、填空题(共1道，每道12分)9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD的平分线CE交AB于点E，且CE⊥AB，BE=2AE．若四边形AECD的面积为7，则梯形ABCD的面积为____．答案：15解题思路：试题难度：知识点：三线合一。
三角函数与解三角形题型归纳及习题含详解
题型 53 终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示
（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方 法解决.
（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也 可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标
4. 熟练运用同角三角函数函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值
和简单恒等式的证明.
命题趋势探究
1.一般以选择题或填空题的形式进行考查.
2.角的概念考查多结合函数的基础知识.
3.利用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值是重要考点. 知识点精讲 一、基本概念
正角---逆时针旋转而成的角； （1）任意角 负角---顺时针旋转而成的角；
二、任意角的三角函数 1.定义 已 知 角 终 边 上 的 任 一 点 P(x, y) （ 非 原 点 O ）， 则 P 到 原 点 O 的 距 离
r OP x2 y2 0 . sin y , cos x , tan y .
r
r
x
此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对 y ，邻 x ，斜 r ， 如图 4-2 所示.
的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变.
注：弧度或 rad 可省略 （5）两制互化：一周角= 3600 2 r 2 （弧度），即 1800 .
r
1（弧度）
180
0
57.30
57018
故在进行两制互化时，只需记忆 1800 ，10 两个换算单位即可：如： 180
5 5 1800 1500 ； 360 36 .
C. 0, ，是第一、二象限角
三角形内角和综合习题精选(含答案)
三角形内角和综合习题精选一．解答题（共12小题）1．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？2．如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE=26°，求∠BFE的度数．3．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．5．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=_________，∠XBC+∠XCB=_________．（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．6．如图1，△ABC中，∠A=50°，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点．（1）求∠P的度数；（2）猜想∠P与∠A有怎样的大小关系？（3）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？（4）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？【（2）、（3）、（4）小题只需写出结论，不需要证明】8．如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．（1）若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由．9．如图所示，点E在AB上，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，∠1+∠2=90°，∠B=75°，求∠A的度数．10．如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）当∠OCD=50°（图1），试求∠F．（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．11．如图，△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O．（∠ABC＞∠C），（1）试说明∠BOA=90°+∠C；（2）当AD是高，判断∠DAE与∠C、∠ABC的关系，并说明理由．12．已知△ABC中，∠BAC=100°．（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所成的角．答案与评分标准一．解答题（共12小题）1．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？考点：三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义；垂线；三角形内角和定理。
线、面角的计算(习题及答案)
5 1. 求解异面直线所成角的处理步骤：平移找角、证明说理、利用三角形求解、结果验证．2. 转化为线线垂直关系，考虑证明线线垂直的思考角度，可考虑证明线面垂直，也可以利用三垂线定理进行证明．➢ 例题示范线、面角的计算（习题）例 1：如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，M ，N 分别是 CD ， CC 1 的中点，则异面直线 A 1M 与 DN 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°思路分析：解题过程：方法一：如图，取 CN 的中点 E ，连接 ME ，A 1E ，AM ，A 1C 1， ∵M 是 CD 的中点，∴ME ∥DN ，故 A 1M 与 DN 所成的角为∠A 1ME （或其补角），设正方体的棱长为 2，则在 Rt △A 1AM 中，A 1A =2，AM = ，∴A 1M =3，在 Rt △A 1C 1E 中，A 1C 1= 2 ，C 1E = 3 ，2∴ A 1E = 41 ，2 又ME = 1 DN = 5 ，2 2在△A 1ME 中，A 1M 2+ME 2=A 1E 2，∴∠A 1ME =90°，即异面直线 A 1M 与 DN 所成的角为90°． 方法二：如图，连接 D 1M ，∵A 1D 1⊥平面 CDD 1C 1，∴A 1D 1⊥DN ，在正方形 CDD 1C 1 中，M ，N 分别是 CD ，CC 1 的中点， 易证 D 1M ⊥DN ，又 A 1D 1 D 1M =D 1，∴DN ⊥平面 A 1D 1M ，∴DN ⊥A 1M ，则异面直线 A 1M 与 DN 所成的角为 90°．2例2：在平面四边形ABCD 中，已知AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD．如图，将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD⊥平面BCD．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M 为AD 的中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．思路分析：（1）利用面面垂直的性质定理可得AB⊥平面BCD，进而得到AB⊥CD．（2）思路一：考虑作点D 到平面MBC 的垂线，分析线面间的垂直关系，得到垂线，进而得到线面角，在直角三角形中研究边角关系求解；思路二：转化为求点D 到平面MBC 的距离，利用三棱锥的等体积法，建立等式，求解．解题过程：（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD 平面BCD=BD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．（2）由（1）可得，CD⊥平面ABD，∴CD⊥BM，CD⊥AD，在Rt△ABD 中，AB=BD，M 为AD 的中点，∴BM⊥AD，又CD AD=D，∴BM⊥平面CDM．方法一：如图，过点 D 作DE⊥CM 于点E，∵DE⊂平面CDM，∴BM⊥DE，又BM CM=M，∴DE⊥平面BCM，则∠DMC 即为直线AD 与平面MBC 所成的角，在Rt△CDM 中，CD=1，DM =2，2∴CM =6，sin∠DMC=CD=1=6，2 CM 6 322即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为 6 ． 3 方法二：利用等体积法求解，即V D -BCM 设点 D 到平面 MBC 的距离为 d ， 直线 AD 与平面 MBC 所成的角为θ，如图，取 BD 的中点 F ，连接 MF ，则 MF ∥AB ， MF = 1 ．2= V M -BCD ．∵AB ⊥平面 BCD ，∴MF ⊥平面 BCD ，在 Rt △BCD 中，BD =CD =1，∴BC = ， S = 1 ⨯1⨯1 = 1 ，△BCD 2 2在 Rt △ABD 中，AB =BD =1，M 为 AD 的中点，∴ BM = 2 ，2由 BM ⊥平面 CDM 得，BM ⊥CM ，在 Rt △BCM 中， BM = 2 ，BC =，2 ∴ CM = 6 ， S = 1 ⨯ 2⨯ 6= 3，2 △BCM 2 2 2 4 ∵V D -BCM = V M -BCD ，∴ 1 ⨯ d ⨯ 3 = 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ，解得d = 3 ，3 4 3 2 2 33则sin θ= d = DM 3 = 6 ，2 32即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为 6 ．322 2 1 DE 2∴ tan ∠CED = CD = = 2 ．22 2 在 Rt △CDE 中， CD = 2 ， DE = 1，例 3：如图，已知直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 的底面是等腰直角三角 形，∠ACB =90°，AC =1，AA 1= A -A 1B -C 的正切值．，连接 A 1B ，A 1C ，求二面角解题过程：在 Rt △ABC 中，AC =BC =1，则 AB = ， CD = BD = 2 ，2在 Rt △AA 1B 中，AB =AA 1= ，则∠A 1BA =45°，在 Rt △BDE 中， BD = 2 ，则 DE = 1 ，2 2如图，取 AB 的中点 D ，过点 D 作 DE ⊥A 1B 于点 E ，连接 CD ，CE ，则 CD ⊥AB ．在直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 中，A 1A ⊥底面 ABC ，又 CD ⊂平面 ABC ，∴A 1A ⊥CD ，又 CD ⊥AB ，且 AB A 1A =A ，∴CD ⊥平面 AA 1B 1B ，∴CD ⊥DE ，CD ⊥A 1B ，又 DE ⊥A 1B ，且 DE CD =D ，∴A 1B ⊥平面 CDE ，∴A 1B ⊥CE ，则∠CED 为二面角 A -A 1B -C 的平面角．思路分析：观察此二面角，点 C 到平面 AA 1B 的垂线易得，利用三垂线法， 先找到垂足 D ，再过 D 作棱 A 1B 的垂线 DE ，连接 CE ，即得二面角的平面角∠CED ，进而研究相关的三角形，在直角三角形中求解． 2 2➢巩固练习1. 如图，在三棱锥S-ABC 中，E 为SC 的中点，若AC= 2 3 ，SA=SB=SC=AB=BC=2，则异面直线AC 与BE 所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°第1 题图第2 题图2. 如图，在空间四边形ABCD 中，AB=CD，且AB 与CD（异面直线）所成的角为40°，若E，F 分别是BC，AD 的中点，则EF 与AB 所成的角是（）A．70°B．20°C．70°或20°D．以上均不对3. 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1 的侧棱长与底面边长都相等，则AB1 与侧面ACC1A1 所成角的正弦值是．第3 题图第4 题图4. 如图，在三棱锥O-ABC 中，三条棱OA，OB，OC 两两垂直，且OA=OB=OC，若M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的正切值是．5. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，SA⊥平面ABC，若SA=AB=BC，则二面角B-SC-A 的大小为．6.如图，已知正四面体ABCD 的棱长为a，E 为AD 的中点，连接CE．（1）求证：顶点A 在底面BCD 内的射影是△BCD 的外心；（2）求AD 与底面BCD 所成角的余弦值；（3）求CE 与底面BCD 所成角的正弦值．7.如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2．（1）求证：AC⊥SB；（2）求二面角C-SA-D 的正弦值．8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B 与B1C1 所成的角为60°．（1）求AA1 的长；（2）求平面A1BC1 与平面B1BC1 所成的锐二面角的大小．9. 如图，在直棱柱ABC-A1B1C1 中，D，E 分别是AB，BB1 的中点，AA =AC =BC =2AB ．12（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角D-A1C-E 的正弦值．【参考答案】1. C2. C3.644.5. 60°6. （1）证明略；（2）AD 与底面BCD 所成角的余弦值为3；3（3）CE 与底面BCD 所成角的正弦值为2．37. （1）证明略；（2）二面角C-SA-D 的正弦值为6．38. （1）AA1 的长为1；（2）平面A1BC1 与平面B1BC1 所成的锐二面角为60°．9. （1）证明略；（2）二面角D-A1C-E 的正弦值为6．32。
专练06 三角形中有关角的计算与证明-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)
专练06三角形中有关角的计算与证明1.已知△ABC ，点P 为其内部一点，连结PA 、PB 、PC ，在△PAB ，△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC 的三个内角分别相等，那么就称点P 为△ABC 的等角点.（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真”；反之，则写“假”. ①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；________命题； ②任意的三角形都存在等角点；________命题.（2）如图 ①，点P 是△ABC 的等角点，若∠BAC=∠PBC ，探究图 ①中∠BPC ，∠ABC ，∠ACP 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，在△ABC 中，∠BAC<∠ABC<∠ACB ，若△ABC 的三个内角的角平分线的交点P 是该三角形的等角点，直接写出△ABC 三个内角的度数.【答案】 （1） ①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点，是真命题； ②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点； 故答案为：1、真，2、假.（2）解：如图①，∵△ABC 中， ∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP ， ∠BAC=∠PBC ，∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP =∠ABC+∠ACP. （3）∵P 为三角形内角平分线的交点， ∵∠PBC=12∠ABC ，∠PCB=12∠ACB ， ∵P 为△ABC 的等角点，∴∠PBC=∠A，∴∠ABC=2∠PBC=2∠A，∴∠BCP=∠ABC=2∠A，∴∠ACB=2∠BCP=4∠A，又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+2∠A+4∠A=180°，∴∠A=180°7，∴该三角形的三个内角的度数分别为：180°7，360°7，720°7.故答案为：180°7，360°7，720°7.2.将一块直角三角板XYZ放置在AABC上，使得该三角板的两条直角边XY，XZ恰好分别经过点B，C.（1）如图1，当∠A=45°时，∠ABC+∠ACB=________度，∠ABX+∠ACX=________度.（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使该三角板的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否发生变化？若变化，请举例说明，若没有变化，请探究∠ABX+∠ACX与∠A的关系.【答案】（1）在三角形ABC中，∵∠A=45°∴∠ABC+∠ACB=180°-45°=135°∵∠A=45°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-45°=135°∵∠YXZ=90°∴∠XBC+∠XCB=90°∴∠ABX+∠ACX=135°-90°=45°（2）解：不变化，∠ABX+∠ACX =90°-∠A，理由如下∵∠x =90°,∴∠XBC+∠XCB =90°∵∠A+∠ABC+∠ACB =180°,∴∠ABX+∠ACX =(∠ABC-∠XBC)+(∠ACB-∠XCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A3.如图（1）如图，请证明∠A+∠B+∠C＝180°（2）如图的图形我们把它称为“8字形”，请证明∠A+∠B＝∠C+∠D（3）如图，E在DC的延长线上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D之间的关系，并证明（4）如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过点P作PM、PE交CD于M，交AB于E，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变，选择正确的并给予证明.【答案】（1）证明：如图1，延长BC到D，过点C作CE∥BA，∵BA∥CE，∴∠B＝∠1，∠A＝∠2，又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；（2）证明：如图2，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（3）解：如图3，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P＝180°+∠D+∠B，∴∠P＝90°+ 1（∠B+∠D）；2（4）解：②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确.理由如下：作PQ∥AB，如图4，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4＝180°，即∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，由PQ∥CD得∠5＝∠2，∵∠APQ+∠5+∠1＝90°，∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°.4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.（1）当D在线段BC上时，①求证：△BAD≌△CAE.②请判断点D在何处时，AC⊥DE，并说明理由.（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为26°，求∠ADB的度数.【答案】（1）解：①∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠DAB=∠EACAD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）；②如图，连接DE，若AC⊥DE，又∵AD＝AE，∴AC平分∠DAE，∴∠DAB＝∠CAE＝∠CAD，∴AD平分∠CAB，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴当点D在BC中点时，AC⊥DE；（2）解：当CE∥AB时，则有∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，①如图1：此时∠BAD＝26°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣26°﹣60°＝94°.②如图2，此时∠ADB＝26°，③如图3，此时∠BAD＝26°，∠ADB＝60°﹣26°＝34°.④如图4，此时∠ADB＝26°.综上所述，满足条件的∠ADB的度数为26°或34°或94°5.如图，P是等腰△ABC内一点，AB=BC，连接PA，PB，PC．图1 图2（1）如图1，当∠ABC=90°时，PA=2，PB=4，PC=6，求∠APB．（2）如图2，当∠ABC=60°时，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB．【答案】（1）解：将△APB沿点B顺时针旋转90°，得到△BCP′，连接PP′，可得∠P′BP=90°，且BP=BP′=4，∴△BPP′为等腰直角三角形，∴∠BP′P=45°，PP′=4√2，在△PP′C中，PC2=62=36，P′C2+P′P2=22+(4√2)2=4+32=36，∴PC2=P′C2+P′P2，∴△PP′C为直角三角形且∠PP′C=90°，∴∠BP′C=90°，∴∠BP′C=∠BP′P+∠BP′C=45°+90°=135°，又∵旋转，∴∠APB=∠BP′C=135°（2）解：将△APB沿点B顺时针旋转60°得到△BCP′，连接PP′，可得：BP′=BP=4，∠PBP′=60°∴△PBP′为等边三角形，∴∠BP′P=60°，PP′=4，在△PP′C中，PP′2+P′C2=42+32=25，CP2=52=25，∴△PP′C为直角三角形且∠PP′C=90°，∴∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C=60°+90°=150°，∴∠APB=∠BP′C=150°6.如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝40°，AD、BE交于点H，连接CH．（1）求证：ΔACD≌ΔBCE；（2）求证：CH 平分∠AHE；（3）求∠CHE的度数．【答案】（1）证明；∵∠ACB=∠DCE＝40°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，{CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）证明；过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAM=∠CBN，在△ACM和△BCN中，{∠CAM=∠CBN∠AMC=∠BNC=90°AC=BC，∴△ACM≌△BCN（AAS），∴CM=CN，∴CH平分∠AHE（3）解；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠AMC=∠AMC，∴∠AHB=∠ACB=40°，∴∠AHE=180°-40°＝140°，∠AHE=70º∴∠CHE= 127.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B=∠C+∠D．（1）性质理解：如图2，在“对顶三角形” △AOB与△COD中，∠EAO=∠C，∠D=2∠B，求证：∠EAB=∠B；（2）性质应用：①如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为；②如图4，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠BOD=∠A．若∠ECD比∠DBE大20∘，求∠BDO的度数；（3）拓展提高：如图5，已知BE，CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A=α，求∠P的度数（用α表示∠P）．【答案】（1）证明：据题意，得∠BAO+∠B=∠C+∠D，∴∠BAO−∠C=∠D−∠B，∵∠EAO=∠C，∠D=2∠B，∴∠BAE=∠B（2）解：①∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠C+∠B+∠E+∠D=∠FGD+∠GFD+∠D=180°；故答案为：180°；②由题意得∠ECD−∠DBE=20°，由（1）得∠EBD+∠BDO=∠ECO+∠OEC，∴∠BDO−∠OEC=20°，∵∠BOD=∠A，∴∠A+∠DOE=180°，故∠ADO+∠AEO=180°，∵∠AEO+∠CEO=∠BDO+∠ADO=180°，∴∠BDO=∠AEO，∴∠BDO+∠CEO=180°，∵∠BDO−∠OEC=20°，∴∠BDO=100°；（3）解：∠P=180∘−α4，理由如下：∵∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，∴∠BDP=∠CDP，∠BEP=∠CEP，由（1）得∠BDP+∠DBE=∠BEP+∠P①，∠CDP+∠P=∠CEP+∠DCE②，由①−②得∠DBE−∠P=∠P−∠DCE，∴∠P=12(∠DBE+∠DCE)，即∠P=14(∠ABC+∠ACB)，∴∠P=14(180°−∠A)=180°−α48.已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=________；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=________；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=________；（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=________（用含α的式子表示）；（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明.【答案】（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，所以△ACD是等边三角形.∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，所以△ECB是等边三角形.∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，又∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACE=∠BCD.∵AC=DC，CE=BC，∴△ACE≌△DCB.∴∠EAC=∠BDC.∠AFB是△ADF的外角.∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°.如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，∴△ACE≌△DCB.∴∠AEC=∠DBC，又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，∴∠EFD=90°.∴∠AFB=90°.如图3，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE.∴∠ACE=∠DCB.又∵CA=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB.∴∠EAC=∠BDC.∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°，∴∠FAB+∠FBA=120°.∴∠AFB=60°.故答案为：120°，90°，60°；（2）∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE.∴∠ACE=∠DCB.∴∠CAE=∠CDB.∴∠DFA=∠ACD.∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α.故答案为：180°﹣α；（3）解：∠AFB=180°﹣α；证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB.在△ACE和△DCB中{AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB，则△ACE≌△DCB（SAS）.则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α.∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α.9.己知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQPC=AQAB(如图1所示)（1）当AD=2，且点Q与点B重合时(如图2所示)，求线段PC的长；（2）在图1中，联结AP，当AD= 32，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，S△APQS△PBC=y，其中S△APQ表示S△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当AD<AB，且点Q在线段AB的延长线上时(如图3所示)，求∠QPC的大小【答案】（1）解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，当AD=2时，AD=AB，∴∠D=∠ABD=45°，∴∠PQC=∠D=45°，∵PQPC =AQAB，∴PQ=PC，∴∠C=∠PQC=45°，∴∠BPC=90°，∴PC=BC·sin45°=3√22（2）解：如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∵∠ABC=90°， ∴四边形EBFP 是矩形， ∴PF=BE ， 又∵∠BAD=90°， ∴PE ∥AD ，∴Rt △BEP ∽Rt △BAD ， ∴BE BA =EPAD ， ∴BEEP =BAAD =232=43， 设BE=4k ，则PE=3k ， ∴PF=BE=4k ，∵BQ=x ，AQ=AB-BQ=2-x ，∴S △APQ =12AQ·PE=12（2-x ）·3k ，S △PBC =12BC·PF=12×3×4k=6k ， ∵S △APQS △PBC=y ，∴12（2−x ）·3k 6k =y ，∴y=2−x 4（0≤x ≤78）；（3）解：∵Rt △BEP ∽Rt △BAD ， ∴BE BA =EPAD ，∴BEEP =BAAD ∴PFEP =BAAD ， ∵PCPQ =BAAD ， ∴PFEP =PCPQ ， ∴Rt △PCF ∽Rt △PQE ， ∴∠FPC=∠EPQ ，∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°，∴∠FPC+∠QPF=90°，即∠QPC=90°。
数学课件余角和补角
余角的性质包括角度和为90度、余角之间的角度差为90度等。余角的定理包括同 角或等角的余角相等、互补角的余角互为补角等。这些性质和定理是数学中关于 角度的基本规则，对于理解几何图形和解决几何问题具有重要意义。
补角的性质和定理
总结词
补角的性质和定理是数学中关于角度的基本概念，对于理解几何图形和解决几何问题具有重要意义。
计算公式
如果角A和角B互为补角，则它们 的度数之和为180度，即A + B = 180度。
实例
如果一个角是60度，那么它的补角 就是120度；如果一个角是90度， 那么它的补角就是90度。
余角和补角的综合计算
综合计算公式
如果一个角的余角和补角之和等于 180度，则这个角的度数为90度。
实例
如果一个角的余角是30度，它的补角 是150度，那么这个角的度数就是90 度。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
互补性和互余性是余角和补角的基本性质。如果两个角互为 余角或补角，则它们的角度互补或相等。此外，同角或等角 的余角或补角也相等。这些性质在几何学中非常重要，可用 于解决各种几何问题。
02
余角和补角的性质和定理
余角的性质和定理
总结词
余角的性质和定理是数学中关于角度的基本概念，对于理解几何图形和解决几何 问题具有重要意义。
解析
设这个角为x度，根据补角和余角的定义， 我们可以列出方程：180° - x = 2(90° - x)。 解这个方程可以得到x的值为60°。
余角和补角的综合练习题及解析
题目
已知一个角的余角是这个角的补角的 1/3，求这个角的度数。
解析
设这个角为x度，根据余角和补角的定 义，我们可以列出方程：90° - x = 1/3(180° - x)。解这个方程可以得到x 的值为45°。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（已知）
∴∠A+2∠B=180°
（等量代换）
∴∠A=2α
（同角的补角相等）
即∠A=2∠BCD
2
6. 已知：如图，AB∥DE，∠1=∠ACB，AC 平分∠BAD． 求证：AD∥BC．
7. 如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 为 AD 上一点， 且 EF⊥BC 于 F．若∠B=30°，∠C=70°，求 ∠DEF 的度数．
证明：如图，
设∠BCD=α
∵CD⊥AB
（已知）
∴∠BDC=90°
（垂直的定义）
∴∠BCD+_____=90° （_________________________）
∴2α+2∠B=180°
（等量代换）
∵_____________________（_________________________）
∵∠B=∠ACB
=180°-50°-70° =60°（三角形的内角和等于 180°）
5
【参考答案】 巩固练习
1. 60° 2. 270° 3. B 4. A 5. 证明：如图，
设∠BCD=α
∵CD⊥AB
（已知）
∴∠BDC=90°
（垂直的定义）
∴∠BCD+∠B=90°
（直角三角形两锐角互余）
∴2α+2∠B=180°
角的相关计算和证明（习题）
例题示范
例 1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，AE⊥BC 于点 E．若∠ADE=80°，∠EAC=20°，则 ∠B=_______．
思路分析 ①读题标注：
②梳理思路： 从条件出发，看到 AE⊥BC 想到直角三角形两锐角互余，再 结合已知的角度可求出∠DAE=10°，∠C=70°； 由 AD 平分∠BAC 可知∠BAC=60°； 把∠B 看作△ABC 的一个内角，则∠B=180°-60°-70°=50°． （思路不唯一，也可将∠B 看作△ABD 的一个内角，则∠ADE 是△ABD 的一个外角，利用三角形的外角定理进行求解．）
（等量代换）
∵∠A+∠B+∠ACB =180° （三角形的内角和等于 180°）
∵∠B=∠ACB
（已知）
∴∠A+2∠B=180°
（等量代换）
∴∠A=2α
（同角的补角相等）
即∠A=2∠BCD
6. 证明：如图，
∵AB∥DE（已知） ∴∠1=∠BAC（两直线平行，同位角相等） ∵AC 平分∠BAD（已知） ∴∠DAC=∠BAC（角平分线的定义） ∴∠1=∠DAC（等量代换） ∵∠1=∠ACB（已知） ∴∠DAC=∠ACB（等量代换） ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行） 7. 解：如图， 在△ABC 中，∠B=30°，∠C=70°（已知） ∴∠BAC=180°-∠B-∠C
解：如图， ∵DE∥BC（已知） ∴∠EFC=∠DEF（两直线平行，内错角相等） ∵∠DEF=50°（已知） ∴∠EFC=50°（等量代换）
∵EF∥AB（已知） ∴∠B=∠EFC（两直线平行，同位角相等） ∴∠B=50°（等量代换）
在△ABC 中，∠C=70°，∠B=50°（已知） ∴∠A=180°-∠B-∠C
巩固练习
1. 已知：如图，AB⊥BD 于点 B，ED⊥BD 于点 D，C 是线段 BD 上一点．若 AC⊥CE，∠A=30°，则∠E=______．
第 1 题图
第 2 题图
2. 已知：如图，△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚
线剪去∠C，则∠1+∠2=____________．
1
3. 已知：如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE=（ ）
4
2. 阅读材料 我们是怎么做几何题的？
例 1：已知：如图，DE∥BC，EF∥AB，∠DEF=50°，∠C=70°， 求∠A 的度数．
第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上；（请把条件标 注图上） 第二步：走通思路，要求∠A 的度数，怎么想？ 要求∠A，可以把∠A 看作△ABC 的一个内角，∠C 度数已知， 只需求出∠B 的度数即可； 结合题中的条件，由 DE∥BC，∠DEF=50°得∠EFC=∠DEF=50°， 再由 EF∥AB 得∠B=∠EFC=50°； 最后，利用三角形的内角和等于 180°， 得∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°． 第三步：规划过程 过程分成三块： ①由 DE∥BC，∠DEF=50°得∠EFC=∠DEF=50°； ②由 EF∥AB 得∠B=∠EFC=50°； ③利用三角形内角和定理求∠A． 第四步：书写过程
6
=180°-30°-70° =80°（三角形的内角和等于 180°） ∵AD 平分∠BAC（已知） ∴∠BAD= 1 ∠BAC 2 = 1 ×80°
2 =40°（角平分线的定义） ∵∠EDF 是△ABD 的一个外角（外角的定义） ∴∠EDF=∠B+∠BAD（三角形的外角等于与它不相邻的两个
内角的和）
∵∠B=30°（已知） ∴∠EDF=30°+40°
=70°（等量代换） ∵EF⊥BC（已知） ∴∠EFD=90°（垂直的定义） ∴∠EDF+∠DEF=90°（直角三角形两锐角互余） ∴∠DEF=90°-∠EDF
A．120°
B．115°
C．110°
D．105°
第 3 题图
第 4 题图
4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A:∠B=1:2，DE⊥AB 于 E，且
∠FCD=60°，则∠D=（ ）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
5. 已知：如，在△ABC 中，∠B=∠ACB，CD⊥AB，垂足为 D． 求证：∠A=2∠BCD．
3
8. 已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，EF⊥AD 于点 P， 交 BC 延长线于点 M．已知∠ACB=70°，∠B=40°，求∠M 的 度数．
思考小结
1. 我们在做几何证明题的时候，可以从已知出发，看条件如何 用，比如看到平行线，考虑___________________________， 看到垂直考虑______________________，_________________ _________；也可以从目标出发，根据目标倒推，比如把角看 作什么角，看作三角形的一个内角考虑__________________， 看作外角考虑_______________________________________．