知识梳理_平面向量的数量积及应用_提高

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平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文

三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线

第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例-高考状元之路

第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例预习设计基础备考知识梳理1．平面向量的数量积若两个向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量叫做a 与b 的数量积（或内积），记作规定：零向量与任一向量的数量积为两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是2．平面向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度∣a ∣与b 在a 方向上的投影的乘积．3．平面向量数量积的重要性质=⋅=⋅e a a e )1((2)非零向量⇔⊥b a b a ,,(3)当a 与b 同向时，=⋅b a当a 与b 反向时，=⋅b a =⋅a a , =||a=θcos )4(||)5(b a ⋅.|||b a4．平面向量数量积满足的运算律=⋅b a )1( （交换律）；=⋅=⋅)())(2(b a b a λλ （A 为实数）；=+c b a ).)(3(5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量),,(),,(2211y x b y x a ==则=⋅b a 由此得到：(1)若),,(y x a =则=2||a ，或=||a(2)设),,(),,(2211y x B y x A 则A ，B 两点间的距离=||AB =||(3)设),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a典题热身1．下列四个命题中真命题的个数为 ( )①若,0=⋅b a 则;b a ⊥②若,c b b a ⋅=⋅且,0=/b 则⋅=c a);().(C b a c b a ⋅⋅=⋅③.)(222b a b a ⋅=⋅④4.A 2.B 0.c 3.D答案：C2．在△ABC 中，,10,2,3===BC AC AB 则=⋅. ( )23.-A 32.-B 32.c 23.D 答案：D3．已知平面向量b a b a +-=-=λ),2,4(),3,1(与a 垂直，则=λ( )1.-A 1.B2.-c 2.D答案：A4．已知),7,4(),3,2(-==b a 则a 在b 上的投影为( )13.A 513.B 565.c 65.D答案：C5．已知,2)(,6||,1||=-⋅==a b a b a 则向量a 与b 的夹角是( )6π⋅A 4π⋅B 3π⋅c 2π⋅D 答案：C课堂设计方法备考题型一平面向量的数量积运算和向量的模【例1】已知向量),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos x x b x x a -==且⋅-∈]4,3[ππx (1)求b a ⋅及|;|b a +(2)若|,|)(b a b a x f +-⋅=求)(x f 的最大值和最小值，题型二利用向量的数量积求其夹角【例2】已知,21)()(,21,1||=+⋅-=⋅=b a b a b a a 求 (l)a 与b 的夹角；(2)a-b 与a+b 的夹角的余弦值．题型三利用向量的数量积解决平行与垂直问题【例3】设向量,(cos ),cos 4,(sin ),sin ,cos 4(βββαα===c b a ).sin 4β-(1)若a 与b-2c 垂直，求)tan(βα+的值；(2)求||c b +的最大值；(3)若,16tan tan =βα求证：.//b a题型四平面向量数量积的应用【例4】已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量),,(b a m =),sin ,(sin A B n = ).2,2(--=a b p(1)若,//n m 求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若,p m ⊥边长,2=c 角,3π⋅=C 求△ABC 的面积．技法巧点1．向量数量积性质的应用向量数量积的性质⇔=⋅⋅=⋅=0,||||cos ,||b a b a b a a a a θ,b a ⊥因此，用平面向量数量积可以解决有关长度、角度、垂直的问题．2．证明直线平行、直线、线段相等等问题的基本方法(1)要证,CD AB =可转化证明22CD =或.||||=(2)要证两线段,//CD AB 只要证存在一实数,0=/λ使等式λ=成立即可．(3)要证两线段,CD AB ⊥只需证.0..= 失误防范1．数量积a ·b 中间的符号“．”不能省略，也不能用“×”来替代．0.2=⋅b a 不能推出0=a ，或.0=b 因为0=⋅b a 时，有可能.b a ⊥)0(.3=/⋅=⋅a c a b a 不能推出.c b =4．一般地，,).()(a c b c b a =/⋅即乘法的结合律不成立．因b a ⋅是一个数量，所以c b a )(⋅表示一个与c 共线的向量，同理右边a c b )(⋅表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，故一般情况下.)()(a C b c b a ⋅=/⋅5．向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，><,应为,120 而不是.60随堂反馈1．（2011．清远调研）在△ABC 中，已知a ，b ，c 成等比数列，且,43cos ,3==+B c a 则⋅等于 ( ) 23.A 23.-B 3.c 3.-D答案：B2．（2011,台州一模）已知向量a ，b 的夹角为,1||,120=a ,5||=b 则|3|b a -等于( )7.A 6.B 5.C 4.D答案：A3．(2011．湖北高考)若向量),1,1(),2,1(-==b a 则b a +2与b a -的夹角等于( )4.π-A 6π⋅B 4π⋅c 43.πD 答案：C4．(2011．全国卷)设向量a ，b 满足=⋅==b a b a ,1||||,21-则=+|2|b a ( ) 2.A 3.B 5.c 7.D答案：B5．（2011．江苏高考）已知21,e e 是夹角为32π的两个单位向量，⋅+=-=2121,2e ke b e e a 若,0=⋅b a 则实数k 的值为答案：45 高效作业技能备考一、选择题1．(2010．安徽高考)若向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( ) ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a c -.与b 垂直 b a D //. 答案：C2．(2010．重庆高考)若向量a ，b 满足===⋅||,1||,0b a b a ,2则=-|2|b a ( )0.A 22.B 4.C 8.D答案：B3．(2010．四川高考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，如果BC -=+=162那么||等于 ( ) 8.A 4.B 2.C 1.D答案：C4．（2010．辽宁高考）平面上O ，A ，B 三点不共线，若,a =,b =则△OAB 的面积等于( )222)(|.|.b a b a A ⋅- |222)(|.b a b a B ⋅+⋅222)(||||21.b a b a c ⋅-⋅ 222)(21.b a b a D ⋅+⋅ 答案：C5．(2010．杭州质检)向量.2),1,(),2,1(b a c x b a +===,2b a d -=若,//d c 则实数x 的值等于（）21.A 21.-B 61.c 61.-D 答案：A6．(2011．汕头模拟)如图所示，在△ABC 中，=∠==ABC BC AB ,4,30 AD 是边BC 上的高，则. 的值等于( )0.A 4.B 8.c 4.-D答案：B二、填空题7．（2011．天津高考）已知直线梯形ABCD 中，,//BC AD ,90 =∠ADC ,2=AD P BC ,1=是腰DC 上的动点，则|3|+的最小值为答案：58．（2010．浙江高考）若平面向量),0(,b a a b a =/=/满足=||b ,1且a 与b-a 的夹角为,120则||a 的取值范围是答案：)332,0(9．（2011．浙江高考）若平面向量βα、满足,1||,1||≤=βα且以向量βα、为邻边的平行四边形的面积为,21则βα和的夹角θ的取值范围是答案：]65,6[ππ三、解答题10．（2010．江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点).1,2(),3,2()2,1(----C rB A(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足,0)(=⋅-t 求t 的值．11．(2011．湖南高考)已知向量).2,1(),sin 2cos ,(sin =-=b a θθθ(1)若a∥b，求θtan 的值；(2)若,00|,|||π<<=b a 求θ的值．12．(2011．江苏高考)已知向量]).0,[)(sin ,(cos πααα-∈=OA 向量),5,0(),1,2(-==n m 且).(n OA m -⊥(1)求向量;(2)若,0,102)cos(πβπβ<<=-求).2cos(βα-。

平面向量的数量积及应用

平面向量的数量积及应用复习一、知识要点： 1．向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2π时，a ，b 垂直。

2．平面向量的数量积：定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ 叫作a 与b的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. 3．向量的数量积的性质：①设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： 0a b a b ⊥⇔•=； ②当a ，b 同向时，a •b ＝a b ，特别地，222,a a a a a a =•==；当a 与b 反向时，a •b ＝－a b ；当θ为锐角时，a •b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a •b ＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b a bθ•=；④||||||a b a b •≤。

⑤e ·a =a ·e =︱a ︱cos θ (e 为单位向量); 4．平面向量数量积的坐标表示：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角．(1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)模：|a |＝2a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.(4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (5)| a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.5．平面向量数量积的运算律：(1) a ·b ＝b ·a (交换律)． (2)λa ·b ＝λ(a b b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)( a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)． 6．重要结论:①向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别地()()AB AC AB AC ABACABAC+⊥-。

平面向量的数量积

∴ （a – b）·（a + 3 b）=0 即 a · a + 3 a· b – b · a – 3 b · b = 0 即 a · a + 2 a· b– 3 b · b = 0 ∴ (a + b)2 = 4 b2 即 | a + b |2 = 4 | b |2
∴|a+b| =2|b|
例2、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂直，求a与b的夹角。 cosθ=
|
• • 特别地：a · a=| a |
2
或 |a|=
• （4）cosθ=
（5）| a· b|≤|a||b
|
3、平面向量的数量积满足的运算率（1） (交换律） a ·b = b ·a （2）（实数与向量结合律）
（λ a ）· b =λ（a · b ）=a · （λb ）
（3）（分配律）（a + b ）· c =a· c+b· c
2 已知 |a| =12，|b| =9，a ·b =-54√2，求a和b 的夹角 3、已知△ABC中，a =5，b =8，C=600，求BC · CA
A
B C
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹角为
三、典型例题
• 例1、已知（a – b）⊥（a + 3 b），求证： ab + b（ |= 23 |b b | 解：∵ （| a– ）⊥ a+ ）
四、巩固练习
1、已知△ABC中，AB=a，AC=b，当a· b<0, a· b=0时， △ABC各是什么样的图形？ 2、已知| a |=3，| b |=4，且a与b的夹角θ=1500，求a · b， ( a + b )2，| a + b | 3、设a是非零向量，且b ≠ c，求证：a · b=a· c的充要条件是a⊥（b - c） 4、若b =（1，1）且a · b =0，（a – b）2=3，求向量a的模 5、证明：（λ a ）· b =λ（a · b ）=a · （λb ）

平面向量的数量积及其应用

突破点(一) 平面向量的数量积1．向量的夹角；21.第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可．2．根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．[典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12(2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且u u u r BE ＝23u u u r BC ，u u u r DF ＝16u u u r DC ，则u u u r AE ·u u u r AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，所以a ·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52. (2)取u u u r BA ，u u u r BC 为一组基底，则u u u r AE ＝u u u r BE －u u u r BA ＝23u u u r BC －u u u r BA ，u u u r AF ＝u u u r AB ＋u u u r BC ＋u u u r CF ＝－u u u r BA ＋u u u r BC ＋512u u u r BA ＝－712u u u r BA ＋u u u r BC ，∴u u u r AE ·u u u r AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 u u u r BC －u u u r BA ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－712 u u u r BA ＋u u u r BC ＝712|u u u r BA |2－2518u u u r BA ·u u u r BC ＋23|u u u r BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918[易错提醒](1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”．突破点(二) 平面向量数量积的应用的关系1.第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足u u u r AB ＝2a ，u u u r AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥u u u r BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 [解析] (1)在△ABC 中，由u u u r BC ＝u u u r AC －u u u r AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又u u u r AB ＝2a 且|u u u r AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·u u u r BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥u u u r BC ，D 正确，故选D.(2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－6)．∴(2k －3，－6)·(2,1)＝0，即(2k －3)×2－6＝0.∴k ＝3.[答案] (1)D (2)C[易错提醒]x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．平面向量模的相关问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a 2＝a ·a ＝|a |2； (2)|a ±b |＝a ±b 2＝a 2±2a ·b ＋b 2.[例2] (1)(2017·衡水模拟)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，那么|4a －b |＝( ) A ．2 B ．6 C ．2 3 D ．12(2)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________. [解析] (1)|4a －b |2＝16a 2＋b 2－8a ·b ＝16×1＋4－8×1×2×cos π3＝12.∴|4a －b |＝2 3. (2)∵e 1·e 2＝12，∴|e 1||e 2|cos e 1，e 2＝12，∴e 1，e 2＝60°.又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴b ，e 1＝b ，e 2＝30°.由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝132＝233.[答案] (1)C (2)233 [方法技巧] 求向量模的常用方法(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.(2)若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．平面向量的夹角问题第一步由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积第二步分别求出这两个向量的模第三步根据公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解出这两个向量夹角的余弦值第四步根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角[例3] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝22|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) D ．π(2)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.[解析] (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a ||b |cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0.∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. (2)∵a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－2×3×2×13＝9，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－2×3×1×13＝8， a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－9×1×1×13＝8，∴cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223.[易错提醒](1)向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线．(2)向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线．突破点(三) 平面向量与其他知识的综合问题平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具.在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查.[例1] 已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R.(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．[解] (1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1. 又0<A <π，故π3<2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. ∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②，可得b ＝3，c ＝2. [方法技巧]平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路(1)向量平行(共线)、垂直与三角函数的综合：此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．(2)向量的模与三角函数综合：此类题型主要是利用向量模的性质|a |2＝a 2，如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解．此类题型主要表现为两种形式：①利用三角函数与向量的数量积直接联系；②利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合．[例2] (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若u u u r AC ·u u u r BE ＝1, 则AB的长为________．(2)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若u u u r AE ·u u u r AF ＝1，则 λ的值为________． [解析] (1)设|u u u r AB |＝x ，x ＞0，则u u u r AB ·u u u r AD ＝12x .又u u u r AC ·u u u r BE ＝(u u u r AD ＋u u u r AB )·(u u u r AD －12u u u r AB )＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12. (2)由题意可得u u u r AB ·u u u r AD ＝|u u u r AB |·|u u u r AD |cos 120°＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2，在菱形ABCD 中，易知u u u r AB ＝u u u r DC ，u u u r AD ＝u u u r BC ，所以u u u r AE ＝u u u r AB ＋u u u r BE ＝u u u r AB ＋13u u u r AD ，u u u r AF ＝u u u r AD ＋u u u r DF ＝1λu u u r AB ＋u u u r AD ， u u u r AE ·u u u r AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u u u r AB ＋13 u u u r AD ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ u u u r AB ＋u u u r AD ＝4λ＋43－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λ＝1，解得λ＝2.[答案](1)12 (2)2 [方法技巧]平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．[检验高考能力]一、选择题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－1解析：选A 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3. 2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，u u u r AB ＝(1，－2)，u u u r AD ＝(2,1)，则u u u r AD ·u u u r AC ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2 解析：选A 由四边形ABCD 是平行四边形，知u u u r AC ＝u u u r AB ＋u u u r AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故u u u r AD ·u u u r AC ＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( )A ．(3，－6)B ．(－3,6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则－λ2＋2λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，故选A.4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94 解析：选B ∵n⊥(t m ＋n )，∴n·(t m ＋n )＝0，即t m·n ＋|n |2＝0，∴t|m||n|cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0.又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n|2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B. 5．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则u u u r AF ·u u u r BC 的值为( )A ．－58 解析：选B 如图所示，u u u r AF ＝u u u r AD ＋u u u r DF .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以u u u r AD ＝12u u u r AB ，u u u r DF ＝12u u u r AC ＋14u u u r AC ＝34u u u r AC ，所以u u u r AF ＝12u u u r AB ＋34u u u r AC .又u u u r BC ＝u u u r AC －u u u r AB ，则u u u r AF ·u u u r BC ＝12u u u r AB ＋34u u u r AC ·(u u u r AC －u u u r AB )＝12u u u r AB ·u u u r AC －12u u u r AB 2＋34u u u r AC 2－34u u u r AC ·u u u r AB ＝34u u u r AC 2－12u u u r AB 2－14u u u r AC ·u u u r AB .又|u u u r AB |＝|u u u r AC |＝1，∠BAC ＝60°，故u u u r AF ·u u u r BC ＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. 6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足u u u r AP ＝λu u u r AB ，uuu r AQ ＝(1－λ)u u u r AC ，λ∈R ，若uuu r BQ ·uuu r CP ＝－32，则λ＝( )解析：选 A ∵uuu r BQ ＝uuu r AQ －u u u r AB ＝(1－λ)u u u r AC －u u u r AB ，uuu r CP ＝u u u r AP －u u u r AC ＝λu u u r AB －u u u r AC ，又uuu r BQ ·uuu r CP ＝－32，|u u u r AB |＝|u u u r AC |＝2，A ＝60°，u u u r AB ·u u u r AC ＝|u u u r AB |·|u u u r AC |cos 60°＝2，∴[(1－λ)u u u r AC －u u u r AB ]·(λu u u r AB －u u u r AC )＝－32，即λ|u u u r AB |2＋(λ2－λ－1)u u u r AB ·u u u r AC ＋(1－λ)|u u u r AC |2＝32，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝32，解得λ＝12. 二、填空题7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________.解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－82＝8 2.答案：828．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．解析：∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.答案：2π39．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则u u u u r AM ·u u u u r AN 的最大值为________．解析：设u u u u r AN ＝λu u u r AB ＋μu u u r AD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.u u u u r AM ＝u u u r AD ＋12u u u r DC ＝12u u u r AB ＋u u u r AD .所以u u u u r AM ·u u u u r AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 u u u r AB ＋u u u r AD ·(λu u u r AB ＋μu u u r AD )＝λ2u u u r AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2u u u r AB ·u u u r AD ＋μu u u r AD 2＝λ2×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤u u u u r AM ·u u u u r AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，u u u u r AM ·u u u u r AN 有最大值9，此时，N 位于C 点．答案：9三、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0.由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m ||n |cos π3＝1×1×12＝12，即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12. 12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小； (2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且u u u r CA ·(u u u r AB －u u u r AC )＝18，求边c 的长．解：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )，对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0＜C ＜π，∴sin(A ＋B )＝sin C ，∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，∴sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . ∵u u u r CA ·(u u u r AB －u u u r AC )＝18，∴u u u r CA ·uuu r CB ＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，∴c ＝6.。

初中数学点知识归纳平面向量的数量积和向量积计算

初中数学点知识归纳平面向量的数量积和向量积计算初中数学点知识归纳：平面向量的数量积和向量积计算在初中数学中，平面向量是一个重要的概念，它能够描述物体在平面内的位移和方向。

平面向量具有多种运算，其中包括数量积和向量积的计算。

本文将对初中数学中平面向量的数量积和向量积进行归纳介绍。

一、平面向量的数量积（又称点积或内积）数量积是平面向量中常用的一种运算。

设有两个平面向量a和b，它们的数量积记作a·b。

数量积的计算公式为：a·b = |a| × |b| × cosθ其中，|a|表示向量a的模（长度），|b|表示向量b的模，θ表示向量a和b之间的夹角。

从公式可以看出，数量积的结果是一个实数。

数量积具有以下几个性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 结合律：(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)，其中k为实数3. 对于零向量0，有0·a = 0利用数量积，我们可以计算两个向量的夹角。

根据公式a·b = |a| ×|b| × cosθ，我们可以求解出夹角θ的大小。

二、平面向量的向量积（又称叉积或外积）向量积是另一种平面向量的运算。

设有两个平面向量a和b，它们的向量积记作a×b（注意，向量积的结果是一个向量）。

向量积的计算公式为：a×b = |a| × |b| × sinθ × n其中，|a|表示向量a的模，|b|表示向量b的模，θ表示向量a和b之间的夹角，n为一个垂直于平面的单位向量，其方向由“右手定则”确定。

向量积具有以下几个性质：1. 反交换律：a×b = -b×a2. 结合律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 分配律：a×(kb) = (ka)×b = k(a×b)，其中k为实数4. 对于平行或共线的向量a和b，它们的向量积为零向量，即a×b = 0向量积的计算可以用几何法或坐标法。

平面向量积的运算及应用

平面向量积的运算及应用平面向量的积是指两个向量的乘积，包括数量积（点积）和向量积（叉积）。

这两种运算在数学和物理中都有广泛的应用。

1. 数量积（点积）：数量积是两个向量的标量积，表示为a·b 或者a•b，其中a 和b 分别表示两个向量。

a·b = a b cosθ其中 a 和 b 表示两个向量的模，θ表示两个向量之间的夹角。

数量积的运算结果是一个实数，其符号表示两个向量的夹角和两个向量的方向之间的关系。

当θ为锐角时，数量积为正；当θ为钝角时，数量积为负；当θ为直角时，数量积为零。

数量积的应用有：（1）计算两个向量之间的夹角。

根据数量积的定义，我们可以通过计算向量a·b 和向量的模 a 、b ，来求解两个向量之间的夹角θ。

θ= arccos(a·b / ( a b ))。

（2）判断两个向量之间的关系。

根据数量积的符号，我们可以判断两个向量是平行的（夹角为0 或π）、垂直的（夹角为π/2）还是成锐角或钝角。

2. 向量积（叉积）：向量积是两个向量的矢量积，表示为a×b，其中a 和b 分别表示两个向量。

c = a×b向量积的运算结果是一个向量c，其方向垂直于a 和b 所确定的平面，符合右手定则。

向量c 的模与向量a 和b 之间的夹角sinθ成正比，即c 的模等于 a b sinθ。

向量积的应用有：（1）计算平行四边形的面积。

设a 和b 是平行四边形的两条边，那么平行四边形的面积等于向量积的模 c 。

S = a×b 。

（2）计算三角形的面积。

设a 和b 是三角形的两条边，那么三角形的面积等于向量积的模的一半。

S = 1/2 a×b 。

（3）判断三个向量的共面性。

如果三个向量a、b、c 共面，那么它们的向量积a×b·c 等于零；如果a×b·c 不等于零，则说明a、b、c 不共面。

（4）计算力的矩阵。

平面向量的数量积及平面向量的应用举例

3．求向量模的常用方法：利用公式 |a|2＝a2，将模的运算转化为向量数量积的运算．
失误防范
1．零向量：(1)0 与实数 0 的区别，不可写错：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·＝ 0 0≠0；(2)0 的方向是任意的，并非没有方向，0 与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．
课前热身
1．若向量a，b，c满足a∥b 且a⊥c，则c· (a＋2b)＝( )
A．4
C．2
B．3
D．0
答案：D
2．已知向量 a，b 满足 a· b＝0，|a|＝1， |b|＝2，则|2a－b|＝( A．0 C．4 ) B．2 2 D．8
答案：B
3． (2011· 高考大纲全国卷)已知抛物线 C： y2＝4x 的焦点为 F，直线 y＝2x－4 与 C 交于 A，B 两点，则 cos∠AFB＝( 4 3 A. B. 5 5 3 4 C．－ D．－ 5 5 )
a· b 2 则 cosθ＝＝＝， |a||b| 2 2 1× 2 π 又 θ∈[0，π]，∴θ＝ . 4 π 即 a 与 b 的夹角为 . 4
1 2
(2)∵(a－b)2＝a2－2a· 2 b＋b 1 1 1 ＝1－2× ＋＝， 2 2 2 2 ∴|a－b|＝， 2 ∵(a＋b)2＝a2＋2a· 2 b＋b 1 1 5 ＝1＋2× ＋＝， 2 2 2
量积等于0说明两向量的夹角为直角,
数量积小于0且两向量不共线时两向量
的夹角是钝角．
考点3 两向量的平行与垂直关系
向量的平行、垂直都是两向量关系中的特殊情况，判断两向量垂直可以借助数量积公式．如果已知两向量平行或垂直可以根据公式列方程(组)求解
例3
已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角

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平面向量的数量积及应用编稿：李霞审稿：孙永钊【考纲要求】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、向量的数量积 1. 定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos θa b 叫做a 和b 的数量积（或内积），记作⋅a b ，即||||cos ⋅=θa b a b .规定：零向量与任一向量的数量积为0. 要点诠释：（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与余弦值决定 . （2）在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围0︒≤θ≤180︒.此外，由于向量具有方向性，一定要找准 θ是哪个角.2. 平面向量的数量积的几何意义我们规定||cos θb 叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，||cos θb 为正值；当θ为钝角时，平面向量数量积及应用平面向量的数量积平面向量的应用平面向量的坐标运算||cos θb 为负值；当θ=0︒时，||cos ||θ=b b ；当θ=90︒时，||cos 0θ=b ；当θ=180︒时，||cos ||θ=-b b .⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与 b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积.要点诠释：b 在a 方向上的投影是一个数量，它可正、可负，也可以等于0.3. 性质：（1） 0⊥⇔⋅=a b a b(2) 当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b . 特别地22||||⋅==，即a a a a a(3) cos ||||⋅θ=a ba b(4) ||||⋅≤a b a b 4. 运算律设已知向量a 、b 、c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： (1) ⋅=⋅a b b a (交换律) (2) ()()()λ⋅=λ⋅=⋅λa b a b a b (3) ()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c 要点诠释：①当0≠a 时，由0⋅=a b 不一定能推出0=b ，这是因为对任何一个与a 垂直的向量b ，都有0⋅=a b ；当0≠a 时，⋅=⋅a b a c 也不一定能推出=b c ，因为由⋅=⋅a b a c ，得()0⋅-=a b c ，即a 与()-b c 垂直.也就是向量的数量积运算不满足消去律.②对于实数,,a b c ，有()()a b c a b c ⋅=⋅，但对于向量来说，()()⋅⋅=⋅⋅a b c a b c 不一定相等，这是因为()⋅⋅a b c 表示一个与c 共线的向量，而()⋅⋅a b c 表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以()⋅⋅a b c 与()⋅⋅a b c 不一定相等.5. 向量的数量积的坐标运算①已知两个非零向量11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，那么1212x x y y ⋅=+a b ；②若(,)x y =a ，则2222,x y x y ⋅==+=+a a a a③若1122(,),(,)x y x y ==A B ，则(AB x ==AB 离公式；④若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则12120x x y y 0⊥⇔⋅=⇔+=a b a b 6. 重要不等式若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则||||||||-≤⋅≤a b a b a b1212x x y y ⇔≤+≤ 考点二、向量的应用（1）向量在几何中的应用①证明线段平行，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件；1221//x y x y 0⇔=λ⇔-=a b a b （0→≠b ）②证明垂直问题，常用垂直的充要条件；12120x x y y 0⊥⇔⋅=⇔+=a b a b③求夹角问题；利用夹角公式：121cos cos ,||||x θ⋅=<>==⋅+a ba b a b 平面向量,a b 的夹角[0]θπ∈，④求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模2x =⋅=+a a a 或(AB x ==AB （2）向量在物理中的应用①向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用； ②向量在速度的分解与合成中的应用. 【典型例题】类型一、数量积的概念【高清课堂：平面向量的数量积及应用401196 例4】例1．已知向量5(1,2),(2,4),||5,(),2a b c a b c a c =--=+⋅=若则与的夹角为（） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【解析】∵2=-b a ，∴,a b 是共线向量，(1,2)+=--a b∴5()||||cos ,55cos ,2+⋅=+<+>=⨯⨯<+>=a b c a b c a b c a b c ，∴1cos ,2<+>=a b c ， ∴向量+a b 和c 所成角为060，又a 与+a b 共线且方向相反， ∴向量a 和c 所成角为0120，从而选项C 正确.【总结升华】+a b 仍旧是一个向量，本题的关键之处就是注意到a ，b ，+a b 是共线向量，从而将a 和c 的夹角问题进行有效的转化.举一反三：【变式1】已知向量a 与b 的夹角为120°，1,3==a b ，则5-=a b ________ 【答案】7【解析】 22222215(5)25102511013()3492-=-=-⋅+=⨯-⨯⨯⨯-+=a b a b a a b b , ∴57-=a b .【变式2】已知||2=a , ||1=b , 与a b 夹角为060，则向量2=+m a b 与向量4=-n a b 的夹角的余弦值为________.【答案】147-【解析】由向量的数量积的定义，得0||||cos 21cos 601⋅=⋅θ=⨯⨯=a b a b∵2=+m a b ，4=-n a b , ∴222||(2)4421=+=+⋅+=m a b a a b b222||(4)81623=-=-⋅+=n a b a a b b设m 与n 的夹角为θ，则22(2)(4)2743⋅=+-=-⋅-=-m n a b a b a a b b∴cos 14|||21⋅θ===-⋅m n m n | 即向量m 与n 的夹角的余弦值为147-. 【变式3】两个非零向量a 、b 互相垂直，给出下列各式：①0⋅=a b ；②+=-a b a b ；③+=-a b a b ；④222()+=-a b a b ；⑤()()0+⋅-=a b a b . 其中正确的式子有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】①显然正确；由向量运算的三角形法则知+a b 与-a b 长度相等，但方向不同，所以②错误；③正确；由向量数量积的运算律可知④正确；只有在=a b 时，+a b 与-a b 才互相垂直，⑤错误，故①③④正确，故选B.例 2.（2016 浙江高考）已知平面向量a →，b →，|a →|=1，|b →|=2，a →·b →=1．若e →为平面单位向量，则|a →·e →|+|b →·e →|的最大值是______．【答案】7【解析】由|a →|=1，|b →|=2，a →·b →=1得，<a →，b →>=60°，不妨取a →=（1，0），b →=（1，3），设e →=（cos θ，sin θ），则|a →·e →|+|b →·e →|=| cos θ|+| cos θ+3 sin θ|≤| cos θ|+| cos θ|+3| sin θ| =2| cos θ|+3| sin θ|，取等号时cos θ与sin θ同号，所以2| cos θ|+3| sin θ|=|2 cos θ+3sin θ|=7|7cos θ+37sin θ|=7|sin （θ+β）|， (其中sin β=7，cos β=37，取β为锐角)，显然7|sin （θ+β）|≤7，故所求最大值为7。

【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，注意结合向量坐标转换成代数运算求最值问题.举一反三：【变式1】若a 、b 、c 均为单位向量，且0⋅=a b ，()()+⋅+a b b c 的最大值为________ 【答案】12+【解析】因为a 、b 、c 均为单位向量，且0⋅=a b ，设a =（1，0），b =（0，1），(cos ,sin )=θθc ,()()(1,1)(cos ,1sin )cos 1sin 2sin()14π∴+⋅+=⋅θ+θ=θ++θ=θ++a b b c ,故()()+⋅+a b b c 的最大值为12+.【变式2】设向量a ，b ，c 满足1==a b ，12⋅=-a b ，,60<-->=a c b c 则c 的最大值等于（） A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 【解析】由12⋅=-a b 得,120<>=a b ，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，则∠AOB=120°， CA =-a c ，CB =-b c ，∵,60<-->=a c b c ，∴∠ACB=60°，∴O 、A 、C 、B 四点共圆。

c 的最大值应为圆的直径2R ，在△AOB 中，OA=OB=1，∠AOB=120°，所以3AB =，由正弦定理得22sin ABR AOB==∠. 故选A.【变式3】已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________;DE DC ⋅的最大值为________.【答案】1；1【解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ⋅=⋅=⋅,可知||cos ||DE DA θ=,因此2||1DE CB DA ⋅==;||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα⋅=⋅=⋅,而||cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影,要想让DE DC ⋅最大,即让射影最大,此时E 点与B 点重合,射影为||DC ,所以长度为1 .例3.（2015 长沙校级二模）在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于．【答案】【解析】由题意可得==+﹣2•=33+1﹣2•=36，∴•=﹣1．由可得+=+++=1﹣+（﹣1）+=•（）=•=2，故有 =4．再由=1×6×cos ＜＞，可得 6×cos ＜＞=4，∴cos ＜＞=，【总结升华】考查平面向量数量积角度和模的问题，特别注意夹角的方向. 画出示意图，有助于分析解决问题.举一反三：【变式1】.（2015 上海模拟）已知向量，的夹角为，||=1，且对任意实数x ，不等式|x +2|≥|+|恒成立，则||的取值范围是（） A ．[，+∞） B ．（，+∞）C ．[1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】由题意可得x 2•+4x •+4≥+2+恒成立，化简可得x 2+2||x +（|3﹣||﹣1）≥0恒成立，∴△=4﹣4（|3﹣||﹣1）≤0．化简可得（2||+1）（||﹣1）≥0，求得||≥1，故选：C ．【高清课堂：平面向量的数量积及应用401196 例1】【变式2】已知a 、b 都是非零向量，且a +3b 与7a -5b 垂直，a - 4b 与7a -2b 垂直，求a 与b的夹角θ。