不等式的基本性质知识点
高考不等式知识点汇总
高考不等式知识点汇总不等式是高考数学中的重要知识点，是解决数学问题中常用的一种工具。
它不仅涉及到基本的不等式性质，还包括不等式的求解、图像表示以及应用等方面。
下面将对高考中常见的不等式知识点进行汇总。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：若a < b，且b < c，则有a < c。
传递性是不等式推导中常用的重要性质。
2. 不等式的加减性：若a < b，则有a±c < b±c，其中c为实数。
加减性运算是在不等式两边同时加减一个数时成立的性质。
3. 不等式的倍乘性：若a < b，且c > 0，则有ac < bc；若a < b，且c < 0，则有ac > bc。
倍乘性是在不等式两边同时乘以一个正数或负数时成立的性质。
二、不等式的求解1. 一元一次不等式：例如ax + b < c或ax + b > c，其中a、b、c 为已知实数，x为未知数。
求解一元一次不等式时，可以采用移项和分段讨论等方法。
2. 一元二次不等式：例如ax^2 + bx + c < 0或ax^2 + bx + c > 0，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。
求解一元二次不等式时，可以利用函数图像、判别式、因式分解等方法来进行求解。
3. 绝对值不等式：例如|ax + b| < c或|ax + b| > c，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。
求解绝对值不等式时，可以利用绝对值的性质，将其转化为对应的复合不等式进行求解。
三、不等式的图像表示1. 不等式的区间表示：例如a < x < b或a ≤ x ≤ b，其中a、b为已知实数，x为未知数。
不等式的区间表示可以通过画数轴，标示出解集所在的区间。
2. 不等式的图像表示：例如y < ax + b或y > ax + b，其中a、b 为已知实数，x、y为未知数。
不等式的基本性质与解法知识点总结
不等式的基本性质与解法知识点总结不等式在数学中占据着重要的地位，它是描述数值关系的一种有效方式。
本文将总结不等式的基本性质和解法知识点。
一、不等式的基本性质1. 加法性质：若a>b，则a+c>b+c，其中c为任意实数。
2. 减法性质：若a>b，则a-c>b-c，其中c为任意实数。
3. 乘法性质：若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。
4. 除法性质：若a>b且c>0，则a/c>b/c；若a>b且c<0，则a/c<b/c。
5. 对称性质：若a>b，则-b>-a。
6. 传递性质：若a>b且b>c，则a>c。
7. 绝对值性质：若|a|>|b|，则a^2>b^2。
8. 幂性质：若a>b且n为正整数，则a^n>b^n。
二、不等式的解法1. 图像法：将不等式转化为图像，利用图像直观地判断解集。
2. 对称法：当不等式具有对称性时，可以利用对称性质简化计算。
3. 分情况讨论法：将不等式分成不同的情况进行讨论，逐一求解。
4. 加减法合并法：将不等式中的项进行合并，简化计算。
5. 取绝对值法：若不等式中存在绝对值，可以通过取绝对值简化问题。
6. 平方法：若不等式中存在平方或平方根，可以通过平方或开方简化计算。
7. 代入法：将不等式中的变量代入，通过求解方程得到不等式的解集。
8. 倒置法：将不等式的方向倒置，从而转化为已知的不等式进行求解。
9. 寻找最值法：通过寻找函数的最值，确定不等式的解集。
10. 数学归纳法：对于一些特殊的不等式，可以通过数学归纳方法来证明。
三、实例分析以下是一些例子，通过上述解法来解答：例子1：解不等式2x+3>7。
解法：首先，我们可以使用加减法合并法将不等式化简为2x>4。
然后，再利用乘法性质除以2，得到x>2。
高中不等式知识点
高中不等式知识点高中阶段，不等式是数学中的重要内容之一。
不等式不仅在数学中有广泛的应用，也在生活中有很多实际意义。
下面我将重点介绍高中阶段学习不等式的一些重要知识点。
1. 不等式的基本性质：(1) 加减性质：对于不等式两边同时加减同一个数，不等号的方向保持不变；(2) 乘除性质：如果同一个正数或同一个负数同时乘或除不等式两边，不等号方向不变，如果同一个正数乘或除不等式两边，不等号的方向保持不变，如果同一个负数乘或除不等式两边，不等号的方向发生改变；(3) 倒置性质：不等号两边同时倒置，不等号的方向也要倒置。
2. 不等式的解集表示法：(1) 常用解集表示法：使用不等号来表示解集，如x>2表示x 大于2；(2) 区间表示法：使用数轴上的区间来表示解集，如[2, +∞)表示大于或等于2的所有实数。
3. 一元一次不等式：一元一次不等式指的是只含有一个未知数（一元）和一次方程的不等式。
对于一元一次不等式的求解，可以进行类似于方程的运算，通过移项和化简得出解集。
4. 一元二次不等式：一元二次不等式指的是含有一个未知数（一元）以及二次项（平方项）的不等式。
对于一元二次不等式的求解，可以通过变换成二次方程，求出方程的解集，再用数轴上的区间来表示解集。
5. 系统不等式：系统不等式指的是多个不等式组成的一个问题。
对于系统不等式的求解，可以通过图像法，通过画出各个不等式的直线图像，找出满足全部条件的交集部分来表示解集。
6. 约束条件的不等式：在一些实际问题中，不仅有不等式的限制条件，还有其他的约束条件。
对于这种情况，需要将不等式的解集与其他条件进行比较来确定最终的解集。
不等式作为数学中的重要内容，不仅仅是应试的一部分，更是对学生逻辑思维和数学思考能力的考验。
通过学习不等式，可以培养学生的分析问题和解决问题的能力，使他们在解决实际问题时能够灵活运用数学知识。
在生活中，不等式也有很多实际应用，如求解最大值、最小值问题、经济学中的供求关系等等。
高考不等式知识点总结
高考不等式知识点总结高考数学中不等式是一个非常重要的知识点，占据着较大的比重。
下面是对高考数学中不等式知识点的完整总结：一、基本概念和性质1.不等关系：对于实数a和b，如果a=b，则称a等于b；如果a≠b，则称a不等于b。
当a不等于b时，可以断定a大于b（记作a>b），或者a小于b（记作a<b）。
2.不等式：不等式是由不等关系得到的等式，包括大于等于不等式（a≥b）和小于等于不等式（a≤b）。
3.基本性质：(1)若a>b且b>c，则a>c；(2) 若a>b且c>0，则ac>bc；(3) 若a>b且c<0，则ac<bc；(4)若a>b且c≥0，则a+c>b+c；(5)若a>b且c≤0，则a+c>b+c。
4.解不等式：与解方程类似，解不等式是指寻找满足不等式的解的过程。
5.不等式的性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个同号的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个异号的数，不等号方向改变。
二、一元一次不等式1.解一元一次不等式：求解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。
在解过程中，可以通过加减法、乘除法保持不等式不变。
2.不等式组：由多个不等式组成的方程组，称为不等式组。
求解不等式组的关键是确定每个不等式的集合和并集。
三、一元二次不等式1.解一元二次不等式：求解一元二次不等式的关键是确定不等式的根及开口方向。
可以根据系数的正负、零点的位置和变号法等来确定解的范围。
2.二次函数与一元二次不等式：通过对一元二次不等式的解法，可以进一步理解和应用二次函数的性质。
四、绝对值不等式1.绝对值不等式的性质：对于绝对值不等式，可以利用绝对值的性质将其拆分为多个实数的不等式。
2.解绝对值不等式的关键是分情况讨论。
将绝对值不等式中的绝对值拆分出来，分别讨论绝对值内外的情况，从而得到解的范围。
基本不等式知识点
基本不等式知识点1、不等式的基本性质①对称性a b b a >⇔>②传递性,a b b c a c >>⇒>③可加性a b a c b c >⇔+>+同向可加性d b c a d c b a +>+⇒>>,异向可减性d b c a d c b a ->-⇒<>,④可积性bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤同向正数可乘性0,0a b c d ac bd >>>>⇒> 异向正数可除性0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥平方法则0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦开方法则0,1)a b n N n >>⇒∈>且 ⑧倒数法则b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,当且仅当a b =时取""=号. 变形公式：22.2a b ab +≤②基本不等式2a b +≥ ()a b R +∈，,当且仅当a b =时取到等号.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时积定和最小,和定积最大,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③三个正数的算术—几何平均不等式3a b c ++≥()a b c R +∈、、当且仅当a b c ==时取到等号.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，当且仅当a b c ==时取到等号.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> 当且仅当a b c ==时取到等号. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则当仅当a=b 时取等号0,2b a ab a b <+≤-若则当仅当a=b 时取等号 ⑦b a n b n a ma mb a b <++<<++<1,其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+,,a b R +∈,当且仅当a b =时取""=号.即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时,等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式： 设,αβ是两个向量,则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量,或存在实数k ,使k αβ=时,等号成立.⑧排序不等式排序原理：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列,则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++反序和≤乱序和≤顺序和,当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时,反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:特例:凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称fx 为凸或凹函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法作差,作商法、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项,如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大缩小,如211,(1)k k k <- 211,(1)k kk >+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿奇穿偶切,结合原式不等号的方向,写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化,则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ <≤“或”时同理规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法,其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个或两个以上绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数或恒成立的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数或恒成立的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z = 22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简单化.。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结一、知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc;a > b, c < 0ac < bc;⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0,2.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法:以已知或已证明的不等式为基础，根据不等式的性质推导出待证明的不等式。
平均不等式常用于综合法的标度。
分析方法:不等式两边的关系不够清晰。
通过寻找不等式成立的充分条件，对待证明的不等式进行逐步转化，直到找到一个容易证明或已知成立的结论。
4.不等式的解法(1) 不等式的有关概念同解不等式:如果两个不等式有相同的解集，那么这两个不等式称为同解不等式。
同解变形:当一个不等式转化为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形称为同解变形。
根据不等式的基本性质知识点
根据不等式的基本性质知识点不等式是描述数值之间关系的数学工具，与等式不同，不等式中允许存在不等关系，如大于（>）、小于(<)、大于等于（≥）、小于等于（≤）、不等于（≠）等。
不等式的基本性质是指不等式在各种操作下的性质和变化规律。
一、基本性质之加减性质：1.加减同一个数：如果在不等式两边同时增加或减去同一个数，不等关系不变。
例如：若a>b，则a+c>b+c；若a<b，则a+c<b+c；其中c为任意数。
2.乘除同一个正数：如果不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等关系不变。
例如：若a > b，则ac > bc；若a < b，则ac < bc；其中c为任意正数。
3.乘除同一个负数：如果不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等关系改变。
例如：若a > b，则ac < bc；若a < b，则ac > bc；其中c为任意负数。
二、基本性质之逆性质与保持性质：1.不等式的逆性质：将不等式的两边互换，则不等关系也要互换。
例如：若a>b，则b<a；若a<b，则b>a。
2.不等式的保持性质：不等式两边同时加（或减）一个正数时，不等关系保持不变；不等式两边同时加（或减）一个负数时，不等关系改变。
例如：若a>b，则a+c>b+c（其中c>0）；若a<b，则a+c<b+c（其中c>0）；若a>b，则a+c<b+c（其中c<0）；若a<b，则a+c>b+c（其中c<0）。
三、基本性质之积性质：1. 同号相乘：如果a > b，c > 0，则ac > bc；如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a > b，c < 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不等式的基本性质知识点
不等式的基本性质知识点
1．不等式的定义：;0, 0, ;0。
① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
如证明3为单增函数，
设x1, x2;(;), x12，
f(x1)(x2)1323=(x12)(x121x222)=(x12)[(x1+)2
22]
再由(x1+)222;0, x12;0,可得f(x1)(x2), 4; f(x)为单增。
2．不等式的性质：
① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：
(1) (对称性)
(2) , (传递性)
(3) ()
(4) ;0时，
;0时，。
运算性质有：
(1) , 。
(2) ;0, ;0。
(3) ;0(, ;1)。
(4) ;0;(, ;1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：
(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。