专题：二次函数与代数综合题(解析版)

专题:二次函数与代数综合题【典例1】（2019•自贡）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．（1）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=17 4的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF＝BN，CF＝CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，得，，解得a＝﹣1，c＝3，∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，得，，解得，k＝1，b＝1，∴y AB＝x+1，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）＝﹣（a﹣）2+，根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度，∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK＝MK•AH+MK•（x B﹣x H）＝MK•（x B﹣x A）＝××3＝，∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）；（3）存在点F，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF＝BN＝﹣3＝，CF＝CH＝，由题意可列：，解得，a＝，∴F（1，）．【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．【精练1】（2019•贵阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．【点拨】（1）先根据题意得出点B 的坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）分点P 在点C 上方和下方两种情况，先求出∠OBP 的度数，再利用三角函数求出OP 的长，从而得出答案；（3）分对称轴x ＝1在a 到a +1范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解可得． 【解答】解：（1）∵点A （﹣1，0）与点B 关于直线x ＝1对称， ∴点B 的坐标为（3，0）， 代入y ＝x 2+bx +c ，得： {1−b +c =09+3b +c =0， 解得{b =−2c =−3，所以二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）如图所示：由抛物线解析式知C （0，﹣3）， 则OB ＝OC ＝3， ∴∠OBC ＝45°，若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，∴OP＝OB tan∠OBP＝3×√33=√3，∴CP＝3−√3；若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，∴OP′＝OB tan∠OBP′＝3×√3=3√3，∴CP＝3√3−3；综上，CP的长为3−√3或3√3−3；（3）若a+1＜1，即a＜0，则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，解得a＝1−√5（正值舍去）；若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，解得：a＝﹣2（舍去）；若a＞1，则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+√7（负值舍去）；综上，a的值为1−√5或2+√7．【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用．【精练2】（2019•长春）已知函数y={−x2+nx+n，(x≥n)，−12x2+n2x+n2，(x＜n)（n为常数）（1）当n＝5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．【点拨】（1）①将P （4，b ）代入y =−12x 2+52x +52；②当x ≥5时，当x ＝5时有最大值为5；当x ＜5时，当x =52时有最大值为458；故函数的最大值为458；（2）将点（4，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 中，得到n =185，所以185＜n ＜4时，图象与线段AB 只有一个交点；将点（2，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 和y =−12x 2+n2x +n2中，得到n ＝2，n =83，所以2≤n ＜83时图象与线段AB 只有一个交点；（3）利用数形结合的思想，分别画出图象解决问题即可：n ＞0时，n ＞n2，①如图1中，当点A 的纵坐标为4时，构建方程解决问题即可．②如图2中，观察图象可知，当n ≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ． ③如图3中，当点A 的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ．构建方程即可解决问题．④如图4中，当n ≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ． 【解答】解：（1）当n ＝5时， y ={−x 2+5x +5(x ≥5)−12x 2+52x +52(x ＜5)， ①将P （4，b ）代入y =−12x 2+52x +52， ∴b =92；②当x ≥5时，当x ＝5时有最大值为5； 当x ＜5时，当x =52时有最大值为458；∴函数的最大值为458；（2）将点（4，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 中， ∴n =185， ∴185＜n ＜4时，图象与线段AB 只有一个交点；将点（2，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 中， ∴n ＝2，将点（2，2）代入y =−12x 2+n 2x +n 2中， ∴n =83，∴2≤n ＜83时图象与线段AB 只有一个交点； 综上所述：185＜n ＜4，2≤n ＜83时，图象与线段AB 只有一个交点；（3）n ＞0时，n ＞n2，函数图象如图实线所示． ①如图1中，当点A 的纵坐标为4时，则有−n 28+n 24+n 2=n 28+n2=4时，解得n ＝4或n ＝﹣8（舍去）， 观察图象可知：n ＝4时，满足条件的点恰好有四个，分别是A ，B ，C ，D ．②如图2中，观察图象可知，当n ≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ．n＜0时，n＜n2，函数图象如图中实线．③如图3中，当点A的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．则有：−n24+n22+n＝4时，解得n＝﹣2﹣2√5或n＝﹣2+2√5（舍弃）④如图4中，当n≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．综上所述，函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n≤﹣8或n＝﹣2﹣2√5或n＝4或n≥8．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会正确画出函数图象，利用图象法解决问题，属于中考压轴题．【精练3】（2019•绥化）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x=12，交x轴于点A、B，交y轴于点C，且点A坐标为A（﹣2，0）．直线y＝﹣mx﹣n（m＞0）与抛物线交于点P、Q（点P在点Q的右边），交y轴于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若n＝﹣5，且△CPQ的面积为3，求m的值；（3）当m≠1时，若n＝﹣3m，直线AQ交y轴于点K．设△PQK的面积为S，求S与m之间的函数解析式．【点拨】（1）将点A（﹣2，0）代入解析式，对称轴为x=−b2a=12，联立即可求a与b的值；（2）设点Q横坐标x1，点P的横坐标x2，则有x1＜x2，联立y＝﹣mx+5，y=−12x2+12x+3根据韦达定理可得x1+x2＝2m+1，x1x2＝4，由面积之间的关系：S△CPQ＝S△CHP﹣S△CHQ，可求m的值；（3）当n＝﹣3m时，PQ解析式为y＝﹣mx+3m，联立有：﹣mx+3m=−12x2+12x+3，解得x＝3或x＝2m﹣2；由条件可得P（3，0），Q（2m﹣2，﹣2m2+5m），K（0，5﹣2m），所以有HK＝|5m﹣5|＝5|m﹣1|；①当0＜m＜1时，HK＝5﹣5m，S△PQK＝S△PHK+S△QHK=12×HK（x P﹣x Q）=12×（5﹣5m）（5﹣2m）＝5m2−352m+252，②当1＜m＜52时，HK＝5m﹣5，S△PQK＝﹣5m2+352m−252，③当2m﹣2＞3时，如图③，有m＞52，S△PQK=12×KQ|y P|=32（2m2﹣5m）＝3m2−152m，【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）代入解析式，得4a﹣2b+3＝0，∵x=−b2a=12，∴a=−12，b=12；∴y=−12x2+12x+3；（2）设点Q横坐标x1，点P的横坐标x2，则有x1＜x2，把n＝﹣5代入y＝﹣mx﹣n，∴y＝﹣mx+5，联立y ＝﹣mx +5，y =−12x 2+12x +3得：﹣mx +5=−12x 2+12x +3，∴x 2﹣（2m +1）x +4＝0，∴x 1+x 2＝2m +1，x 1x 2＝4，∵△CPQ 的面积为3；∴S △CPQ ＝S △CHP ﹣S △CHQ ，即12HC （x 2﹣x 1）＝3， ∴x 2﹣x 1＝3，∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝9，∴（2m +1）2＝25，∴m ＝2或m ＝﹣3，∵m ＞0，∴m ＝2；（3）当n ＝﹣3m 时，PQ 解析式为y ＝﹣mx +3m ，∴H （0，3m ），∵y ＝﹣mx +3m 与y =−12x 2+12x +3相交于点P 与Q ，∴﹣mx +3m =−12x 2+12x +3，∴x ＝3或x ＝2m ﹣2，当2m ﹣2＜3时，有0＜m ＜52，∵点P 在点Q 的右边，∴P （3，0），Q （2m ﹣2，﹣2m 2+5m ），∴AQ 的直线解析式为y =5−2m 2x +5﹣2m ， ∴K （0，5﹣2m ），∴HK ＝|5m ﹣5|＝5|m ﹣1|，①当0＜m ＜1时，如图①，HK ＝5﹣5m ，∴S △PQK ＝S △PHK +S △QHK =12×HK （x P ﹣x Q ）=12×（5﹣5m ）（5﹣2m ）＝5m 2−352m +252，②当1＜m ＜52时，如图②，HK ＝5m ﹣5，∴S △PQK ＝﹣5m 2+352m −252， ③当2m ﹣2＞3时，如图③，有m ＞52，∴P （2m ﹣2，﹣2m 2+5m ），Q （3，0），K （0，0），∴S △PQK =12×KQ |y P |=32（2m 2﹣5m ）＝3m 2−152m ， 综上所述，S ={ 5m 2−352m +252(0＜m ＜1)−5m 2+352m −252(1＜m ＜52)3m 2−152m(m ＞52)；【点睛】本题是二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的主要思想．【精练4】（2019•大庆）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y＝x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线y＝t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以EF为直径的圆过点Q（2，1）时，求t的值；（3）在抛物线y＝x2+bx+c上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x的取值范围．【点拨】（1）抛物线的对称轴是x＝2，且过点A（﹣1，0）点，∴{−b2=21−b+c=0，即可求解；（2）翻折后得到的部分函数解析式为：y ＝﹣（x ﹣2）2+9＝﹣x 2+4x +5，（﹣1＜x ＜5），新图象与直线y＝t 恒有四个交点，则0＜t ＜9，由{y =t y =−x 2+4x +5解得：x ＝2±√9−t ，即可求解； （3）分m 、n 在函数对称轴左侧、m 、n 在对称轴两侧、m 、n 在对称轴右侧时，三种情况分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线的对称轴是x ＝2，且过点A （﹣1，0）点，∴{−b 2=21−b +c =0，解得：{b =−4c =−5， ∴抛物线的函数表达式为：y ＝x 2﹣4x ﹣5；（2）y ＝x 2﹣4x ﹣5＝（x ﹣2）2﹣9，则x 轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：y ＝﹣（x ﹣2）2+9＝﹣x 2+4x +5，（﹣1＜x ＜5），其顶点为（2，9）．∵新图象与直线y ＝t 恒有四个交点，∴0＜t ＜9，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2）．由{y =t y =−x 2+4x +5解得：x ＝2±√9−t ， ∵以EF 为直径的圆过点Q （2，1），∴EF ＝2|t ﹣1|＝x 2﹣x 1，即2√9−t =2|t ﹣1|，解得t =1±√332， 又∵0＜t ＜9，∴t 的值为1+√332；（3）①当m 、n 在函数对称轴左侧时，m ≤n ≤2，由题意得：x ＝m 时，y ＝7，x ＝n 时，y ＝m ，即：m 2﹣4m ﹣5＝7，解得m ＝﹣2或m ＝6（舍），n 2﹣4n ﹣5＝m ，解得n ＝2−√7或m ＝2+√7（舍），解得：﹣2≤x ≤2−√7；②当m 、n 在对称轴两侧时，x ＝2时，y 的最小值为﹣9，不合题意；③当m 、n 在对称轴右侧时，同理可得：5+3√52≤x ≤6； 故x 的取值范围是：﹣2≤x ≤2−√7或5+3√52≤x ≤6． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本性质性质、图形的翻折等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练5】（2019•玉林）已知二次函数：y ＝ax 2+（2a +1）x +2（a ＜0）．（1）求证：二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数时，求a 的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x 轴的两个交点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴的交点C 及其顶点D 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A ，B ，C ，D 的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P 使∠PCA ＝75°？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【点拨】（1）将解析式右边因式分解得抛物线与x 轴的交点为（﹣2，0）、（−1a ，0），结合a ＜0即可得证；（2）结合（1）中一个交点坐标（−1a ，0）及横坐标均为整数，且a 为负整数可得a 的值，从而得出抛物线解析式，继而求出点C 、D 坐标，从而画出函数图象；（3）分点P在AC上方和下方两种情况，结合∠ACO＝45°得出直线PC与x轴所夹锐角度数，从而求出直线PC解析式，继而联立方程组，解之可得答案．【解答】解：（1）∵y＝ax2+（2a+1）x+2＝（x+2）（ax+1），且a＜0，∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）、（−1a，0），则二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）∵两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数，∴a＝﹣1，则抛物线与x轴的交点A的坐标为（﹣2，0）、B的坐标为（1，0），∴抛物线解析式为y＝（x+2）（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+12）2+94，当x＝0时，y＝2，即C（0，2），函数图象如图1所示：（3）存在这样的点P，∵OA＝OC＝2，∴∠ACO＝45°，如图2，当点P在直线AC上方时，记直线PC与x轴的交点为E，∵∠PCA ＝75°，∴∠PCO ＝120°，∠OCB ＝60°，则∠OEC ＝30°，∴OE =OC tan∠OEC =33=2√3， 则E （2√3，0），求得直线CE 解析式为y =−√33x +2， 联立{y =−√33x +2y =−x 2−x +2，解得{x =0y =2或{x =√3−33y =√3+53， ∴P （√3−33，√3+53）； 如图3，当点P 在直线AC 下方时，记直线PC 与x 轴的交点为F ，∵∠ACP ＝75°，∠ACO ＝45°，∴∠OCF ＝30°，则OF ＝OC tan ∠OCF ＝2×√33=2√33， ∴F （2√33，0）， 求得直线PC 解析式为y =−√3x +2，联立{y =−√3x +2y =−x 2−x +2， 解得：{x =0y =2或{x =√3−1y =√3−1， ∴P （√3−1，√3−1），综上，点P 的坐标为（√3−33，√3+53）或（√3−1，√3−1）． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、直线与抛物线相交的问题等．【精练6】（2019•河北）如图，若b 是正数，直线l ：y ＝b 与y 轴交于点A ；直线a ：y ＝x ﹣b 与y 轴交于点B ；抛物线L ：y ＝﹣x 2+bx 的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ．（1）若AB ＝8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标；（2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设x 0≠0，点（x 0，y 1），（x 0，y 2），（x 0，y 3）分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点（x 0，0）与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b ＝2019和b ＝2019.5时“美点”的个数．【点拨】（1）当x ＝0时，y ＝x ﹣b ＝﹣b ，所以B （0，﹣b ），而AB ＝8，而A （0，b ），则b ﹣（﹣b ）＝8，b ＝4．所以L ：y ＝﹣x 2+4x ，对称轴x ＝2，当x ＝2吋，y ＝x ﹣4＝﹣2，于是L 的对称轴与a 的交点为（2，﹣2 ）；（2）y ＝﹣（x −b 2）2+b 24，顶点C （b 2，b 24）因为点C 在l 下方，则C 与l 的距离b −b 24=−14（b ﹣2）2+1≤1，所以点C 与1距离的最大值为1；（3）由題意得y 3=y 1+y 22，即y 1+y 2＝2y 3，得b +x 0﹣b ＝2（﹣x 02+bx 0）解得x 0＝0或x 0＝b −12．但x 0≠0，取x 0＝b −12，对于L ，当y ＝0吋，0＝﹣x 2+bx ，即0＝﹣x （x ﹣b ），解得x 1＝0，x 2＝b ，右交点D（b ，0）．因此点（x 0，0）与点D 间的距离b ﹣（b −12）=12（4）①当b ＝2019时，抛物线解析式L ：y ＝﹣x 2+2019x 直线解析式a ：y ＝x ﹣2019，美点”总计4040个点，②当b ＝2019.5时，抛物线解析式L ：y ＝﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y ＝x ﹣2019.5，“美点”共有1010个．【解答】解：（1）当x ＝0时，y ＝x ﹣b ＝﹣b ，∴B （0，﹣b ），∵AB ＝8，而A （0，b ），∴b ﹣（﹣b ）＝8，∴b ＝4．∴L ：y ＝﹣x 2+4x ，∴L 的对称轴x ＝2，当x ＝2吋，y ＝x ﹣4＝﹣2，∴L 的对称轴与a 的交点为（2，﹣2 ）；（2）y ＝﹣（x −b 2）2+b 24， ∴L 的顶点C （b 2，b 24）∵点C 在l 下方，∴C 与l 的距离b −b 24=−14（b ﹣2）2+1≤1， ∴点C 与1距离的最大值为1；（3）由题意得y 3=y 1+y 22，即y 1+y 2＝2y 3， 得b +x 0﹣b ＝2（﹣x 02+bx 0）解得x 0＝0或x 0＝b −12．但x 0≠0，取x 0＝b −12，对于L，当y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b），解得x1＝0，x2＝b，∵b＞0，∴右交点D（b，0）．∴点（x0，0）与点D间的距离b﹣（b−12）=12（4）①当b＝2019时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019x直线解析式a：y＝x﹣2019联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019，∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点∴总计4042个点，∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数：4042﹣2＝4040（个）；②当b＝2019.5时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y＝x﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5，∴当x取整数时，在一次函数y＝x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y＝x2+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知﹣1到2019.5之间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．故b＝2019时“美点”的个数为4040个，b＝2019.5时“美点”的个数为1010个．【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．。