高等代数(第三版)4-习题课
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(欧几里得空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】
第9章欧几里得空间9.1复习笔记一、定义与基本性质1．欧几里得空间定义设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质：（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（kα，β）＝k（α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0.这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间．2．长度（1）定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零，②|kα|＝|k||α|，③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，通常称此为把α单位化．3．向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β．零向量才与自己正交．（4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n），显然a ij＝a ji，于是利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC；表明不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．说明：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②定理2对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，都可以找到一组标准正交基η1，η2，…，ηn，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称做施密特正交化过程．例：把α1＝（1，1，0，0），α3＝（－1，0，0，1），α2＝（1，0，1，0），α4＝（1，－1，－1，1）变成单位正交的向量组．解：①先把它们正交化，得β1＝α1＝（1，1，0，0），②再单位化，得3．基变换公式设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基．三、同构1．同构定义实数域R上欧式空间V与V'称为同构的，如果由V到V'有一个双射σ，满足（1）σ（α＋β）＝σ（α）＋σ（β），（2）σ（kα）＝kσ（α），（3）（σ（α），σ（β））＝（α，β），这里α，β∈V，k∈R，这样的映射σ称为V到V'的同构映射．同构的欧氏空间必有相同的维数．每个n维的欧氏空间都与R n同构．2．同构的性质同构作为欧氏空间之间的关系具有（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性；（4）两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同．.四、正交变换1．定义欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V，都有（Aα，Aβ）＝（α，β）．2．性质。
高等代数习题课_厦门大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
高等代数习题课_厦门大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.特征值全为0且秩为3的10阶方阵, 互不相似的Jordan有____种.参考答案:32.设A是n阶矩阵，且A的有理标准型只包含一个Frobenius块，下列命题中错误的是____.参考答案:A的特征值两两互异3.设n阶复方阵A的相似于对角矩阵, 则下列叙述中错误的是____.参考答案:A的任一行列式因子没有重根4.以下映射的合成的命题中，正确的有____个。
A 单射的合成还是单射 B 满射的合成还是满射C 可逆映射的合成还是可逆映射D 线性映射的合成还是线性映射参考答案:45.设A是n阶实对称矩阵，若____，则A必为正定矩阵.参考答案:A的特征值全大于零6.设φ是线性空间V到W的线性映射, 则____.参考答案:φ把V中线性相关向量组变成W中线性相关向量组7.设U, W是n维线性空间V的真子空间, 且V等于U直和W. 又设V中向量α∉U，且α∉W，记S为α生成的子空间. 则dim((U+S)∩(W+S))=____参考答案:2##%_YZPRLFH_%##28.设φ是三维行空间的变换, 下列变换中____不是线性变换.参考答案:φ(a, b, c)=(ab, bc, ac)9.设f(x), g(x)是有理系数多项式, 下列命题成立的有____个.(1) 在有理数域上f(x), g(x)互素的充要条件是在复数域上f(x), g(x)互素(2) 在有理数域上f(x)整除g(x)的充要条件是在复数域上f(x)整除g(x)(3) 在有理数域上f(x), g(x)的最大公因式是d(x)的充要条件是在复数域上f(x), g(x)的最大公因式是d(x)(4) 在有理数域上f(x), g(x)的最小公倍式是k(x)的充要条件是在复数域上f(x), g(x)的最小公倍式是k (x)参考答案:410.设A是n阶复方阵, 则____不是A可对角化的充要条件.参考答案:A有n个不变因子11.两个n阶实对称阵正交相似的充要条件是____.参考答案:它们相似12.设φ是n维线性空间V的线性变换, 若φ是单射，则φ一定是满射.参考答案:正确。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(双线性函数与辛空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品
第10章双线性函数与辛空间10.1复习笔记一、线性函数1．定义设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足（1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β），（2）f（kα）＝kf（α），式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数．2．性质（1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）．（2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）．3．矩阵的迹A是数域P上一个n级矩阵．设则A的迹Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数．4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n．二、对偶空间1．L（V，P）的加法和数量乘法（1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数：f＋g称为f与g的和．（2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数．2．L（V，P）的性质（1）对V中任意向量α，有而对L（V，P）中任意向量f，有（2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基．3．对偶空间（1）定义L（P，V）称为V的对偶空间．由决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质（1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1．（2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素．（3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射．结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．三、双线性函数1．定义V是数域P上一个线性空间，f（α，β）是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α，β，根据f都唯一地对应于P中一个数f（α，β）．如果f（α，β）有下列性质：（1）f（α，k1β1＋k2β2）＝k1f（α，β1）＋k2f（α，β2）；（2）f（k1α1＋k2α2，β）＝k1f（α1，β）＋k2f（α2，β）．其中α，α1，α2，β，β1，β2是V中任意向量，k1，k2是P中任意数，则称f（α，β）为V 上的一个双线性函数．2．常用结论（1）欧氏空间V的内积是V上双线性函数；（2）设f1（α），f2（α）都是线性空间V上的线性函数，则f（α，β）＝f1（α）f2（β），α，β∈V是V上的一个双线性函数．（3）设P n是数域P上n维列向量构成的线性空间X，Y∈P n，再设A是P上一个n 级方阵．令f（X，Y）＝X'AY，则f（X，Y）是P n上的一个双线性函数．3．度量矩阵（1）定义设f（α，β）是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数．ε1，ε2，…，εn是V的一组基，则矩阵称为f（α，β）在ε1，ε2，…，εn下的度量矩阵．（2）性质①度量矩阵被双线性函数及基唯一确定．②不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的．③在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，但是在不同基下的度量矩阵是合同的．4．非退化设f（α，β）是线性空间V上一个双线性函数，如果f（α，β）＝0，对任意β∈V，可推出α＝0，f就称为非退化的．双线性函数f（α，β）是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵．5．对称双线性函数（1）定义f（α，β）是线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α，β都有f （α，β）＝f（β，α），则称f（α，β）为对称双线性函数．如果对V中任意两个向量α，β都有f（α，β）＝－f（β，α），则称f（α，β）为反对称双线性函数．这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵．（2）性质（1）设V是数域P上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，使f（α，β）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵．（2）设V是复数域上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（3）设V是实数域上n维线性空间．f（α，β）是V上对称双线性函数．则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（4）V上的对称双线性函数f（α，β）如果是非退化的．则有V的一组基ε1，ε2，…，εn满足前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基称为V的对于f（α，β）的正交基．6．二次齐次函数对称双线性函数与二次齐次函数是1－1对应的．设V是数域P上线性空间，f（α，β）是V上双线性函数．当α＝β时，V上函数f（α，β）称为与f（α，β）对应的二次齐次函数．7．反对称双线性函数性质（1）设f（α，β）是n维线性空间V上的反对称线性函数，则存在V的一组基ε1，ε。
孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(上册)课后习题(含考研真题)详解-多项式(圣才出品)
1.2 课后习题详解第1节数域1．举出对加法、乘法及除法封闭但对减法不封闭的例子．解：集合Q＋＝{a∈Q|a＞0}对加法、乘法及除法封闭但是对减法不封闭．2．举出对加法、减法封闭，但对乘法不封闭的例子．解：集合对加法、减法都封闭，但是对乘法不封闭．3．举出对加法、减法都不封闭，但对乘法封闭的例子．解：集合与集合{m|p∤m，p素数}对加法、减法都是不封闭的，但是对乘法封闭．4．试证C的子集P若对减法封闭，则必对加法封闭．证：可设P≠∅，于是有a∈P，因此a－a＝0∈P．又因为0－a＝－a∈P，若有b∈P，则必有a＋b＝b＋a＝b－(－a)∈P．故P若对减法封闭，则必对加法封闭．5．试证C的子集P若对除法封闭，则必对乘法封闭．证：设P≠∅，P≠{0}，于是有a∈P，a≠0，因此a÷a＝1∈P．又因为，故若b∈P成立，则有ab＝ba＝b÷a-1∈P．因此P若对除法封闭，则必对乘法封闭．6．令试证是一个数域．证：由题目易知，则有即对加法和减法都封闭．又因为则对乘法封闭．下面需证明对除法是封闭的．由于对乘法封闭，故只需证明下面结论：，则成立．下面分为三种情形讨论：（1）b＝c＝0，此时d＝a≠0，．（2）c＝0，b≠0，此时可设，于是，且a3＋5≠0．因此．（3）c≠0，此时可设，于是因此有由情形（2）及乘法的封闭性可知．故是数域．第2节一元多项式1．设P是数域．f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，且f(x)＋g(x)＝f(x)＋h(x)．试证g(x)＝h(x)．证：由题意知f(x)＋g(x)＝f(x)＋h(x)，于是有故结论成立．2．设f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，且f(x)≠0，f(x)g(x)＝f(x)h(x)．试证g(x)＝h(x)．证：由题意有f(x)g(x)＝f(x)h(x)，则f(x)(g(x)－h(x))＝0，再由f(x)≠0，因此结论成立．3．设f(x)，g(x)∈P[x]，f(x)≠0，g(x)≠0，又deg(f(x)g(x))＝degg(x)．试证f(x)＝c∈P．证：因为degf(x)＋degg(x)＝deg(f(x)g(x))＝degg(x)，所以degf(x)＝0，故f(x)＝c∈P．4．设m，n∈N，f(x)∈P[x]．归纳定义f1(x)＝(f(x))1＝f(x)，f n(x)＝(f(x))n＝f(x)f n-1(x)，试证这里f0(x)，g0(x)定义为1．证：1）对m，n作双重归纳证明．由f n(x)的定义，可知对任何m有f(x)f m(x)＝f1+m(x)．现设对于n，有f n(x)f m(x)＝f n+m(x)成立，则因此结论1）成立．2）当m＝1时，结论显然成立．设m时，结论成立，于是由结论1）有则结论2）成立．3）n＝1时，结论显然成立．设n时，结论成立，于是有因此结论3）成立．4）n＝1时，结论显然成立．设n时，结论成立，于是有因此结论4）成立．第3节带余除法1．求用g(x)除f(x)的商式q(x)与余式r(x)：1）f(x)＝x3－3x2－x－1，g(x)＝3x2－2x＋1；2）f(x)＝x4－2x＋5，g(x)＝x2－x＋2．解：分别用q(x)，r(x)表示所求的商和余式．1）由则可得．2）由则可得q(x)＝x2＋x－1，r(x)＝－5x＋7．2．m，p，q适合什么条件时，有1）x2＋mx－1|x3＋px＋q；2）x2＋mx＋1|x4＋px＋q．解：1）观察两个多项式的首项与常数项．则有因此q＝m，p＝－m2－1．2）观察两个多项式的首项与常数项，于是有则有于是可得q＝m2－1，p＝m(m2－2)．。
高等代数课后习题1-5章答案
高等代数课后习题1-5章答案高等代数是大学数学中的一门重要基础课程，对于数学专业的学生来说，掌握这门课程的知识和解题技巧至关重要。
在学习过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面，我将为大家详细解答高等代数 1-5 章的课后习题。
第一章主要介绍了多项式的基本概念和运算。
在这一章的习题中，我们经常会遇到多项式的整除、最大公因式、因式分解等问题。
例如，有这样一道题：设\（f(x)＼）和\（g(x)＼）是两个多项式，且\（（f(x)， g(x)）＝ 1\），证明：对于任意的多项式\（h(x)＼），都存在多项式\（u(x)＼）和\（v(x)＼），使得\（f(x)u(x) ＋ g(x)v(x) ＝h(x)＼）。
解答这道题，我们可以利用辗转相除法来求出\（f(x)＼）和\（g(x)＼）的最大公因式。
因为\（（f(x)， g(x)）＝ 1\），所以存在\（u_1(x)＼）和\（v_1(x)＼），使得\（f(x)u_1(x) ＋ g(x)v_1(x) ＝ 1\）。
然后，将等式两边同时乘以\（h(x)＼），得到\（f(x)（u_1(x)h(x)）＋ g(x)（v_1(x)h(x)）＝ h(x)＼），令\（u(x) ＝ u_1(x)h(x)＼），＼（v(x) ＝v_1(x)h(x)＼），即证明了结论。
第二章是行列式的相关内容。
行列式的计算是这一章的重点和难点。
比如，有一道求行列式值的题目：＼（＼begin{vmatrix} 2 ＆ 1 ＆ 3 ＼＼ 1 ＆－1 ＆ 2 ＼＼ 3 ＆ 2 ＆ 1 ＼end{vmatrix}＼）对于这道题，我们可以按照行列式的展开法则进行计算。
先按照第一行展开：＼＼begin{align}＆＼begin{vmatrix} 2 ＆ 1 ＆ 3 ＼＼ 1 ＆－1 ＆ 2 ＼＼ 3 ＆ 2 ＆ 1 ＼end{vmatrix}＼＼＝＆2\times\begin{vmatrix} －1 ＆ 2 ＼＼ 2 ＆ 1 ＼end{vmatrix}－1\times\begin{vmatrix} 1 ＆ 2 ＼＼ 3 ＆ 1 ＼end{vmatrix}＋3\times\begin{vmatrix} 1 ＆－1 ＼＼ 3 ＆ 2 ＼end{vmatrix}＼＼＝＆2\times(－1\times1 2\times2) 1\times(1\times1 2\times3) ＋3\times(1\times2 （－1)＼times3)＼＼＝＆2\times(－5) 1\times(－5) ＋ 3\times(5)＼＼＝＆－10 ＋ 5 ＋ 15\＼＝＆10＼end{align}＼第三章是线性方程组。
高等代数北大版(第三版)答案
令(x2+x+1)=0
得 ε1
=
−1+ 2
3i
,ε2
=
−1− 2
3i
∴f(x)与g(x)的公共根为 ε1,ε2 .
P45.16 判断有无重因式
① f (x) = x5 − 5 x4 + 7x3 + 2x2 + 4x − 8 ② f (x) = x4 + 4x2 − 4x − 3
解① f '(x) = 5x4 − 20x3 + 21x 2 − 4x + 4
设
f (x) d ( x)
=
f1 ( x),
g(x) d ( x)
=
g1 ( x),
及
d
(x)
=Байду номын сангаас
u(x)
f
(x)
+
v( x) g ( x).
所以 d (x) = u(x) f1(x)d (x) + v(x)g1(x)d (x).
消去 d (x) ≠ 0 得1 = u(x) f1(x) + v(x)g1(x)
P45.5
(1) g(x) = (x −1)(x2 + 2x +1) = (x −1)(x +1)2 f (x) = (x + 1)(x3 − 3x −1) ∴ ( f (x), g(x)) = x +1
(2) g(x) = x3 − 3x2 +1不可约 f (x) = x4 − 4x3 + 1不可约
3
u = − 1 [(t 2 + t + 3)(t 2 + 2t − 8) + 6t + 24] = −2(t + 4) ∴3
北京大学数学系《高等代数》(第3版)课后习题-第一章至第三章(上册)【圣才出品】
4．把 f（x）表成 x－x0 的方幂和，即表成 c0＋c1（x－x0）＋c2（x－x0）2＋…的形式． （1）f（x）＝x5，x0＝1；
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6．求 u（x），v（x）使 u（x）f（x）＋v（x）g（x）＝（f（x），g（x））： （1）f（x）＝x4＋2x3－x2－4x－2，g（x）＝x4＋x3－x2－2x－2． （2）f（x）＝4x4－2x3－16x2＋5x＋9，g（x）＝2x3－x2－5x＋4． （3）f（x）＝x4－x3－4x2＋4x＋1，g（x）＝x2－x－1． 解：（1）用辗转相除法进行计算．
所以 x5＝（x－1）5＋5（x－1）4＋10（x－1）3＋10（x－1）2＋5（x－1）＋1．
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（2）应用综合除法
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所以 f（x）＝（x＋2）4－8（x＋2）3＋22（x＋2）2－24（x＋2）＋11． （3）f（x）＝（x＋i）4－2i（x＋i）3－（1＋i）（x＋i）2－5（x＋i）＋7＋5i． 5．求 f（x）与 g（x）的最大公因式： （1）f（x）＝x4＋x3－3x2－4x－1，g（x）＝x3＋x2－x－1． （2）f（x）＝x4－4x3＋1，g（x）＝x3－3x2＋1．
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第二部分 课后习题
第 1 章 多项式
1．用 g（x）除 f（x），求商 q（x）与余式 r（x）： （1）f（x）＝x3－3x2－x－1，g（x）＝3x2－2x＋1； （2）f（x）＝x4－2x＋5，g（x）＝x2－x＋2． 解：（1）用分离系数的竖式进行计算
孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(上册)课后习题(含考研真题)详解-矩阵(圣才出品)
与 A 可换，于是有
因此可知 故 2）设
与 A 可换，于是有
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因此可知
故 其中 3）设
，
，
．
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与 A 可换，于是有
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2）由 detA＝1，可得
5．证明若矩阵 A 与所有 n 阶方阵可换，则 A＝aIn（a∈P，aIn 称为数量矩阵）．
证：方法 1：设
，则有
，因此对于
，即有
因此当 t≠s 时，有 ，故可知
．又由 ，对于
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，2≤i≤n，可得 ．于是可得 A＝aIn．
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1）
，
；
2）
，
．
解：1）直接运算有
2）直接运算有
4．求所有与 A 可换的矩阵．
1）
；
2）
；
3）
；
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4）
；
5） 解：1）设
，且 i≠j 时，ai≠aj．
其中
．
2．计算
1）
；
2）
；
3）
；
4）
；
5）
；
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6）
；
7）
；
8）
，
；
9）
；
10）
．
解：1） 2）因为
． ，所以有
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C (cij ) sm , 其中
cij ai 1b1 j
i 1,2, , s,
ainbnj aik bkj
k 1
n
j 1,2,
,m
称为 A 与 B 的积，记为 C AB ．
第四章 矩阵习题课
注意 ① 乘积 AB 有意义要求 A 的列数＝B 的行数. ② 乘积 AB 中第 i 行第 j 列的元素由 A 的第 i 行 乘 B 的第 j 列相应元素相加得到．
则称 A 为反对称矩阵.
第四章 矩阵习题课
a12 0 a12 0 a a 2n 1n
a1 n a2 n 0
3 矩阵的运算
（1）加法
定义 设
A (aij )sn , B (bij )sn , 则矩阵 C (cij )sn (aij bij )sn
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
第四章 矩阵习题课
初等矩阵的性质
初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵.
P (i , j ) P (i , j ),
1 P ( i ( k )) P ( i ( )), k
第四章 矩阵习题课
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
(5) 若 A 可逆，则有 A
1
1 1 A . A
(6) 若A可逆，则 A 亦 可逆，且 A
1
A . A
(7) 若A可逆，则 A 亦 可逆，且 A
k
k
1
A
第四章 矩阵习题课
逆矩阵的运算规律
1 若A可逆, 则A 亦可逆, 且A
1 1 1
A.
2 若A可逆, 数 0, 则A可逆, 且
A A1 .
1
1
3 若A, B为同阶方阵且均可逆 , 则AB亦可逆, 且
A B 1 B 1 A 1
1 1 1 1 推广 A1 A2 Am Am A2 A1 .
称为矩阵A与B的和,记作 C=A+B, 即
a11 b11 a12 b12 a21 b21 a22 b22 A B a b a b s2 s1 s1 s 2
第四章 矩阵习题课
a1n b1n a2 n b2 n a sn bsn
A1t A2 t , 则 Ast
A11 A12 A t A1
第四章 矩阵习题课
A21 A22 t A2
1 As 2 As . Ast
8 初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵:
第四章 矩阵习题课
a1n a2 n ; ann
对角矩阵 diag(1 ,
1 , n ) 0
0 ; 1 0 ; k
0 ; n
1 单位矩阵 E 0 k 数量矩阵 kE 0
第四章 矩阵习题课
对称矩阵 反对称矩阵 定义 设 n 级方阵 A aij ,
第四章 矩Hale Waihona Puke 习题课伴随矩阵A的重要性质：
(1) AA A A | A | E
* *
(2)
(3)
| A || A|
*
n1
n * R( A ) 1 0
n1
R(A)=n时 R(A)=n-1时 R(A) n-2时
(4)
( kA) k
*
A
*
(5)
* ( A ) ( A ) *
1 0 0
0 1 0 0 0 0 0
1
1 l 1
1 1
1 1 1 Pl 1 Pl P E A , 1 1
1 1 1 1 1 Pl1 Pl P A P P P 1 1 l l 1 1 E
E
A
1
即对 n 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
第四章 矩阵习题课
矩阵乘法的运算规律
(1) (2) ( AB )C A( BC ) A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
(结合律) （分配律)
(3)
(4)
Asn En Es Asn Asn
A0 0, 0 A 0
a1 (5)
C11 AB C s1 C1r C sr
其 中C ij Aik Bkj
k 1
t
i 1,, s; j 1,, r .
第四章 矩阵习题课
4、转置
A11 A21 设分块矩阵 A As1
A12 A22 As 2
A11 A A s1 A1t , Ast B11 B B t1 B1r , Btr
其中Ai 1 , Ai 2 ,, Ait的列数分别等于 B1 j , B2 j ,, Bij 的行数 , 那末
性质
(1) ( A) A ; (2) (3) ( A B ) A B ; ( AB ) BA ; ( A B ) A B ;
(4) ( kA) kA ;
(5)
若 A为方阵，则 A A ;
(6) R( A) R( A) .
第四章 矩阵习题课
用同样的分法分块:
A11 A A s1 A1r B11 , B B Asr s1 B1r Bsr
其中子块 Aij 与 Bij 为同型矩阵，则 A11 B11 A1r B1r A B . A B A B s1 s1 sr sr
第四章 矩阵习题课
2、数量乘法
A11 A 设分块矩阵 A s1 A1r , P , 则 Asr
A11 A1r A . A A s1 sr
第四章 矩阵习题课
3、乘法 把矩阵 A (aik )mn , B (bkj )n p 分块成
性质
(1) A B B A
(2)
交换律
结合律
A ( B C ) ( A B) C
(3) A 0 A (4) A ( A) 0
第四章 矩阵习题课
（2）乘法
定义
设 A (aij )sn , B (bij )nm , 则 s n 矩阵
a1n a2 n aij amn
m n
,
2 一些特殊矩阵
0 零矩阵 0 0
行阵 (a1 , a2 ,
0 ; 0
, an );
a1 a2 列阵 ; a n
a11 a12 方阵 a21 a22 a a n1 n 2
注: 矩阵的加法与数量乘法合起来,统称为矩阵的
线性运算.
第四章 矩阵习题课
（4）转置
定义
设 A aij
sn
, A 的转置矩阵是指矩阵
a s1 as 2 a sn
a11 a21 a12 a22 a a 1n 2 n
T A A 记作 或 ．
第四章 矩阵习题课
一、主要内容 二、典型例题
第四章 矩阵习题课
第四章 矩阵习题课
一、主要内容
1 矩阵的定义
由m n个数 aij ( i 1,2,, m; j 1,2,, n)
称为m行n列矩阵.
简称m n矩阵.
a11 a12 a21 a22 记作 A a a m1 m 2
第四章 矩阵习题课
ka1n ka2 n . ka sn
第四章 矩阵习题课
性质
(1) ( ) A ( A) ; (2) (3) ( ) A A A ;
( A B) A B ;
(4) 1 A A ; (5) k ( AB ) ( kA) B A( kB ) ;
(1) 若 A 满足 A A, 即
a11 a12 a12 a22 a a 1n 2 n a 1 n a 2 n ann
a ji aij , i , j 1,2, , n
则称 A 为对称矩阵； (2) 若 A 满足 A A, 即
a ji aij , i , j 1,2, , n
第四章 矩阵习题课
b1 an
a1b1 bn
anbn
（3）数量乘法
定义
设 A aij
ij sn
ka
sn
, k P , 则矩阵
称为矩阵 A 与数 k 的数量乘积．记作：kA.
即
ka11 ka12 ka21 ka22 kA ka ka s2 s1
4 矩阵乘积的行列式
定理1 设 A, B为数域 P 上的 n 级矩阵，则
AB A B .
推广
A1 , A2 , | A1 A2
, At 为数域 P 上的 n 级方阵，则 At || A1 || A2 | | At | .
第四章 矩阵习题课
5 矩阵乘积的秩
定理2 设 Anm , Bms 为数域 P上的矩阵，则
(6)
( AB ) B A
*
* *