2020衡水名师理科数学专题卷：专题十四《计数原理》

2020衡水名师原创理科数学专题卷

专题十四计数原理

考点45：排列与组合（1-6题，13,14题，17-19题）

考点46：二项式定理（7-12题，15,16题，20-22题）

考试时间：120分钟满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1、考点45 中难

某校高三年级共有6个班,现在安排6名教师担任某次模拟考试的监考工作,每名教师监考一个班级.在6名教师中,甲为其中2个班的任课教师,乙为剩下4个班中2个班的任课教师,其余4名教师均不是这6个班的任课教师,那么监考教师都不担任自己所教班的监考工作的概率为( )

A.

7

15

B.

8

15

C.

1

15

D.

4

15

2、考点45 中难

某单位周一至周六要安排甲、乙、丙、丁四人值班,每人至少值一天班,则甲至少值两天班的概率为( )

A. 11 26

B. 9 26

C. 11 52

D. 9 52

3、考点45 中难

某同学有7本不同的书,其中语文书2本、英语书2本、数学书3本,现在该同学把这7本书放到书架上排成一排,要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻,则不同的排法种数为( )

A.12

B.24

C.48

D.720

4、考点45 中难

一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有（ ）种 A.6

B.12

C.36

D.72

5、考点45 中难

某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的

这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A 、

F 这两块实验田上,则不同的种植方法有 ( )

A.360种

B.432种

C.456种

D.480种 6、考点45 难

2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动,在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课,教师甲不能上第三节课,教师乙不能上第六节课,则7名教师上课的不同排法有 种( )

A.5040

B.4800

C.3720

D.4920 7、考点46 易

24)(121()x x ++的展开式中3x 的系数为( )

A ．12

B ．16

C ．20

D ．24

8、考点46 易 已知10

21001210(1)

(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则=8a （ ）

A.-180

B.180

C.45

D.-45 9、考点46 易

9(23)x y -的展开式中各项的二项式系数之和为（ ）

A ．-1

B ．1

C ．-512

D ．512

10、考点46 中难

已知5

(1)(1)ax x ++的展开式中2

x 的系数为5,则a =( ) A.-4

B.-3

C.-2

D.-1

11、考点46 中难

在二项式11

21x x ?

?- ??

?的展开式中,系数最大的项为( )

A.第五项

B.第六项

C.第七项

D.第六项或第七项 12、考点46 中难

332除以9的余数是( )

A.1

B.2

C.4

D.8

第II 卷（非选择题）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。） 13、考点45 易

用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有__________个.(用数字作答) 14、考点45中难

已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡、若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有_____种． 15、考点46 易

若5

2ax x ?+ ?

的展开式中5

x 的系数是80-,则实数a =__________.

16、

考点46 中难

()21n

x -展开式中二项式系数和为32,则()221n

x x +-展开式中3x 的系数为__________.

三、解答题（本题共6小题，共70分。） 17（本题满分10分）考点45 中难

“渐升数”是指除最高数位上的数字外,其余每一个数字比其左边的数字大的正整数(如13456和35678都是五位“渐升数”). 1.求五位“渐升数”的个数;

2.如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列,求第120个五位“渐升数" 18、（本题满分12分）考点45 中难

按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? 1.分成三份,1份1本,1份2本,1份3本.

2.甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本.

3.平均分成三份,每份2本.

4.平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本. 19、（本题满分12分）考点45 中难

从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队 1.若要求服务队中至少有1名女生,共有多少种不同的选法.

2.若要求服务队中队长或副队长至少有1名女生,共有多少种不同的选法. 20、（本题满分12分）考点46 中难

已知7765432

01234567(31)x a x a x a x a x a x a x a x a -=+++++++．

1.求01234567a a a a a a a a +++++++的值；

2.求01234567||||||||||||||||a a a a a a a a +++++++的值；

3.求1357a a a a +++的值

21、（本题满分12分）考点46 中难

已知在32n

x x ???的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是6:1.

1.求展开式中11x 的系数；

2.求展开式中系数绝对值最大的数；

3.求23

19C 81C 9C n n

n n n n -+++

+的值.

22、（本题满分12分）考点46 中难 已知(2n

x

+

展开式前三项的二项式系数和为22． 1.求n 的值；

2.求展开式中的常数项；

3.求展开式中二项式系数最大的项．

答案以及解析

1答案及解析： 答案：A

解析：对6名教师进行随机安排,共有6

6A 种安排方法.其中监考教师都不担任自己所教班的监考工作时,先安排教师甲,若甲担任教师乙所教的两个班中的一个班的监考工作时,教师乙有4种安排方法,其余4名教师可以任意安排,共有1

1

4

244C C A 种安排方法;若甲担任甲和乙都不教的两个班级中的一个班的监考工作时,教师乙有3种安排方法,其余4名教师可以任意安排,共有1

1

4

234C C A 种安排方法,因此监考教师都不担任自己所教的班级的监考工作的安排方法总数为114114

2

4

4

2

3

4C C A C C A +,故所求概率

444464

6414147

3015

A A P A A ===.

2答案及解析： 答案：A

解析：记甲值2天班为事件A ,值3天班为事件B ,每人至少值一天班记为事件Ω.

()3111221144

6321642144322

32248010801560C C C C C C C C m A A A A A Ω=?+?=+= ()2112

34216322540C C C m A C A A =??=,()11133

321633

3

120C C C m B C A A =??= ()()()()66011

156026

m A m B P A B m ++=

==Ω,故选A

3答案及解析： 答案：C

解析：先将2本语文书看成一个元素,2本英语书看成一个元素,然后排成一排,有2

2A 种不同的排法,再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中,有3

3A 种不同的排法,再排2本语

文书,有22A 种小同的排法,最后排2本英语书,有2

2A 种不同的排法,根据分步乘法计数原理,

得共有2322

2

32248A A A A =种不同的排法,故选C 。

4答案及解析： 答案：B

解析：由题意,若2辆不同的车相邻,则有

种方法

若2辆不同的车不相邻,则利用插空法,2个相邻的停车位空着,利用捆绑法,所以有

种方法

综上,共有12种方法 所以B 选项是正确的.

5答案及解析： 答案：A

解析：由容斥原理,全排减去2站两端的,再减去,1,3,5不相邻,再加上2 站两端且1,3,5不相邻,所以N=360一类:恰两个相邻,选1,3,5中3个选两个排,再与另外4,6,排,最后插入

2,不插两端,方法数()

22111211221

32223245223A A C C C A C C A A C ++ =72,二类,三个相邻,1,3,5捆绑

在一起,再与4,5排,最后插入2,不插两端,方法数331

332A A C =360.考点:容斥原理,排列组合

问题。

6答案及解析： 答案：C 解析：

7答案及解析： 答案：A

解析：由题意得x 3的系数为3

1

4424812C C +=+=，故选A ．

答案：B 解析：

9答案及解析： 答案：D 解析：

10答案及解析： 答案：D 解析：

11答案及解析： 答案：C

解析：依题意可知()2231111r

r

r r T C x -+=-,011r ≤≤,r Z ∈,二项式系数最大的是5

11C 与6

11C ,

所以系数最大的是6

711T C =,即第七项.

12答案及解析： 答案：D 解析：

()()()()()()()()()()()

11

11

11

11

10

1

1

10

11

33301100111111112289191919191C C C C ===-=?-+?-+??-+?-,

分析易得,其展开式中()()()()()()11

10

1

1

10

0110111111919191C C C ?-+?-+??-都可以被9整除,

而最后一项为()()0

11011911C ?-=-, 则33

2除以9的余数是8, 故选D.

答案：24

解析：可以分情况讨论:①若末位数字为0,则1,2为一组,且可以交换位置, 3,4各为1个

数字,共可以组成3

3212A ?= (个)五位数;②若末位数字为2,则1与它相邻,其余3个数字排列,且0不是首位数字,则有2

224A ?= (个)五位数;③若末位数字为4,则1,2为一组,且

可以交换位置, 3,0各为1个数字,且0不是首位数字,则有()

2

2228A ??= (个)五位数,所

以全部合理的五位数共有24个.

14答案及解析： 答案：20

解析：当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选

支付宝或现金，故有1

2121C C 5+=，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1

2121C C 5+=，此时共有5510+=种，

当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现

金，故有1

2121C C 5+=，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有1

2121C C 5+=，此时共有5510+=种，

综上故有10+10＝20种， 故答案为20.

15答案及解析： 答案：-2

解析：5

2ax

? ?

的展开式的通项为()()552252

1555r r r r r r r r T C ax C ax x C a ----+=??=,

令5

1052

r -=,得2r =,

所以23580C a =-,解得2a =-.

16答案及解析：

答案：-30

解析：由()21n

x -展开式中二项式系数和为32,可得n 232=,解得5n =,

()()()5

5

5

221121x x x x +-=+-,

根据二项式定理可以求得()5

1x +的展开式中,

三次项、二次项、一次项系数和常数项分别是10,10,5,1,

()

5

21x -的展开式中,常数项及一次项、二次项、三次项的系数分别是1,10,40,80--,

所以展开式中3x 项的系数为101002008030-+-+=-.

17答案及解析： 答案： 1.126; 2.36789

解析： 1.根据题意,“渐升数”中不能有0.则在其他9个数字中任取5个,每种取法对应1个“渐升数”,则共有

=126个五位“渐升数"

2.对于这些“渐升数”,1在首位的有

=70(个),2在首位的有

=35(个),3在首位的有

=15(个).

因为70+35 +15 = 120,所以第120个“渐升数”是首位为3的最大的五位“渐升数”.为36789.

18答案及解析：

答案：1.无序不均匀分组问题.先选1本有16C 种选法;再从余下的5本中选2本有2

5C 种选法;

最后余下的3本全选有33C 种选法.故共有123

65360C C C = (种)选法.

2.有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在1题的基础上,还应考虑再分配,共有

12336533360C C C A =.

3.无序均匀分组问题.先分三步,则应是2

2

2

642C C C 种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为A ,B ,C ,D ,E ,F ,若第一步取了AB ,第二步取了CD ,第三步取了EF ,记该种分法为(AB ,CD ,EF ),则2

2

2

642C C C 种分法中还有

(AB ,EF ,CD ),(CD ,AB ,EF ),(CD ,EF ,AB ),(EF ,CD ,AB ),(EF ,AB ,

CD ),共有33A 种情况,而这33A 种情况仅是AB ,CD ,EF 的顺序不同,因此只能作为一种

分法,故分配方式有222

642

3

3

15C C C A =. 4.有序均匀分组问题.在3题的基础上再分配给3个人,共有分配方式2223

64233

3

90C C C A A ?= (种). 解析：

19答案及解析：

答案：1.解: 312

222624624

660C C A C C A +=种 2.解: 3111

22211622362222A ?

(2)390C C A C C A A A ++=种 解析：

20答案及解析：

答案：1.令1x =得01234567a a a a a a a a +++++++=7

7

(311)2128?-==． 2. 01234567||||||||||||||||a a a a a a a a +++++++即7(31)x +展开式的各项系数和， 令1x =，可得

7701234567||||||||||||||||(311)4a a a a a a a a +++++++=?+=．

3.令7

()(31)f x x =-，

则01234567(1)f a a a a a a a a =+++++++，

01234567(1)f a a a a a a a a -=-+-+-+-+， 7713572()(1)(1)24a a a a f f +++=+-=-∴， 6131357228a a a a +++=-=-∴

解析：

21答案及解析：

答案：1.由()()5

3

53

C 2:C 26:19n n n --=?=

∴通项()27522

r+19

C 2r r

r

T x

-=-，

令

27511122

r

r -=?=. ∴展开式中11x 的系数为()1

19C 218-=-. 2.设第1r +项系数的绝对值最大，

则119911

99C 2C 2C 2C 2

r r r r r r r r ++--?≥??≥??17320r ?≤≤ 所以=6r .

∴系数绝对值最大的项为:()273036

6

22

2

9

25376C x

x --

-=

3.原式(

)

00122

999999199C 99C 19

C C =

++++-

()9

9

110119199

-??=+-=??

解析：

22答案及解析：

答案：1.二项式定理展开：前三项二项式系数为：012

(1)

1222

n n n n n C C C n -++=++

=， 解得：6n =或7n =-(舍去)． 即n 的值为6．

2.

由通项公式3666216

6(2)2k k k

k k k

k T C x C x ---+==， 令3602

k

-

=， 可得：4k =．

∴展开式中的常数项为126464

2

416

260T C x

-

-+==；

3.

n 是偶数，展开式共有7项则第四项最大

∴展开式中二项式系数最大的项为936363

2

2

316

2

160T C x

x -

-+==．

解析：