线性规划求最值问题
简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题(附答案)简单的线性规划问题[学习目标]知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－ab x＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B 解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求 (1)x 2＋y 2的最小值；(2)y x 的最大值．解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，85， 又由⎩⎨⎧ x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝132，所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v ＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大，由(1)知C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32，所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案10解析画出可行域(如图所示)．(x＋3)2＋y2即点A(－3,0)与可行域内点(x，y)之间距离的平方．显然AC长度最小，∴AC2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x＋3)2＋y2的最小值为10.题型三线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？ 解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元． 反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解． 跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？ 解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007. 由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752.所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎨⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为()A ．－6B ．－2C ．0D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c 的值分别为( )A ．－1,4B ．－1，－3C ．－2，－1D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y 给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________． 三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B解析如图，当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x ＋y－3＝0上，则m＝1.2．答案 C解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎪⎪⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.课时精练答案一、选择题1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得A(－2,2)，设z＝2x－y，把z＝2x－y变形为y＝2x－z，则直线经过点A时z取得最小值；所以z min＝2×(－2)－2＝－6，故选A.2．答案 D解析作出可行域，如图所示．联立⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C.5．答案 D解析由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x ＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x ＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎨⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎨⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案13解析 |x |＋|y |≤2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C(3,1)方法一∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0上方，∴x＋2y－4＞0，则目标函数等价于z＝x＋2y－4，易得当直线z＝x＋2y－4在点B(7,9)处，目标函数取得最大值z max＝21.方法二z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y－4|5·5，令P(x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－4＝0，则z＝5d，其中d为P(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离．由图可知，区域内的点B与直线的距离最大，故d的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max＝215·5＝21.三、解答题12．解z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5,2)时，z max＝2×5－2＝8.当l移动到l2，即过点C(1,4.4)时，z min＝2×1－4.4＝－2.4.13．解先画出可行域，如图所示，y＝a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A(2,9)，∴9＝a2，∴a＝3.∵a＞1，∴1＜a≤3.14．解由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300. 所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)， 即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450. 所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)， 即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0. 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600，解得，点M 的坐标为(100,400)．所以当x＝100，y＝400时，z max＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。
高三数学 直线中的最值问题及简单的线性规划 知识精讲 通用版
高三数学直线中的最值问题及简单的线性规划 知识精讲 通用版【本讲主要内容】直线中的最值问题及简单的线性规划二元一次不等式（组）表示平面区域、线性规划的意义及应用。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 二元一次不等式表示的平面区域：（1）在平面直角坐标系中，已知直线0Ax By C ++=，坐标平面内的点()00,P x y 。
①若0,000>++>C By Ax B ，则点()00,P x y 在直线的上方； ②若0,000<++>C By Ax B ，则点()00,P x y 在直线的下方。
（2）对于任意的二元一次不等式)0(0<>++或C By Ax ，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数。
当B>0时，①Ax+By+C>0表示直线0Ax By C ++=上方的区域； ②Ax+By+C<0表示直线0Ax By C ++=下方的区域。
（3）判断二元一次不等式表示的平面区域的方法：①点定域法：画二元一次不等式表示的平面区域常采用直线定界，点定域（原点不在边界上时，用原点定域最简单）；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
例如：画不等式x-2y+4>0表示的平面区域时，可先画直线240x y -+=（虚线），取原点()00，代入原不等式成立，所以不等式x-2y+4>0表示的区域如图所示。
②符号判断法：当B>0时，Ax+By+C>0表示直线0Ax By C ++=上方的区域，Ax+By+C<0表示直线0Ax By C ++=下方的区域；一般的若B<0时，可先把y 项系数变为正数再判断。
例如：3x-2y+6>0表示直线3260x y -+=下方区域；-3x+y+3<0表示直线330x y --=下方区域。
2. 线性规划：（1）有关概念：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
线性规划最值问题
线性规划最值问题什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类最值问题。
在线性规划中，我们试图找到一组变量的值，使得目标函数取得最大（或最小）值，同时满足一组线性等式或不等式约束条件。
线性规划问题的一般形式线性规划问题可以用下列一般形式来表示：$$\max (或 \min) c^T x$$$$s.t.\quad Ax \leq b$$其中，$x$是变量向量，$c$是目标函数系数向量，$A$是约束条件系数矩阵，$b$是约束条件右侧常数向量。
求解线性规划最值问题的步骤求解线性规划最值问题的一般步骤如下：1. 确定目标函数：根据问题要求确定目标函数的系数向量$c$和优化目标（最大化或最小化）。
2. 设置约束条件：根据问题要求确定约束条件的系数矩阵$A$和右侧常数向量$b$。
3. 求解最值：应用线性规划算法，求解线性规划问题，找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量$x$。
4. 解释结果：将最值代入目标函数，得到最终的最值结果，并解释其含义。
线性规划最值问题的应用线性规划最值问题在实际应用中具有广泛的应用，例如：- 产品混合问题：决定不同产品的生产数量，以最大化收益或最小化成本。
- 运输问题：确定不同货物在不同运输路线上的分配方案，以最小化运输成本。
- 资源分配问题：决定资源的最优分配，以最大化效益或实现平衡。
总结线性规划最值问题是一种在实际应用中常见的问题求解方法。
通过确定目标函数和约束条件，并应用线性规划算法，我们可以找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量。
该方法可以应用于多个领域，帮助优化决策和资源分配。
线性规划例题集锦
A
B
O1
5
x=1
2x+y=0
3x+5y-25=0
x
(2)若z=2x-y,求z的最值.
解：画出可行域如图：
画直线2x-y=0并平移得点A使Z最大，点 C使Z最小。
x 4y 3 0
由
可得A为（5,2）
3x 5y 25 0
4
A
2
6
4
2
O
2
4x
R
2
B
x3
此类问题转化为可行域内的点到定点的斜率.
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x y 6 0
例3 已知 x, y 满足不等式 x y 0 ,
y
6
x 3
x y 0
4
A
求：(1). z x2 y2最大值和最小值;
2
(2). z x2 2x y2最大值和最小值;
6
4
2
O
2
解: (1) z x2 y2 表示可行域内任一点
x
因为kQA 2 , kQB 0,
z 所以 的范围为 ( , 2][0, ).
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(2).z y 2 表示可行域内任一点与定点
x 1
R（-1,-2）连线的斜率,
因为
kRA
5 2
,
kRB
1 2
,
z 所以 的范围为( , 5][ 1 , ). 22
点评：
x y6 0
C
y
6
x y 0
（x,y)到原点的距离的由平图方可，得点A使Z
最大，点B 使Z最小。
特别解析：线性规划求最值
分析：将目标函数变形可得 ，所求的目标函数的最小值即一组平行直 在经过可行域时在y轴上的截距的最小值的4倍。
解析：由实数x、y满足的约束条件，作可行域如下图：
当一组平行直线L经过图中可行域三角形ABC区域的点C时，在y轴上的截距最小，又 ，故 的最小值为 。
五、求非线性目标函数的最值
例5、已知x、y满足以下约束条件 ，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是〔 〕
A、13，1B、13，2 C、13， D、 ，
解：如图，作出可行域,x2+y2是点〔x，y〕到原点的距离的平方，故最大值为点A〔2,3〕到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为 ，选C。
六、求约束条件中参数的取值范围
例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点〔0,0〕和〔－1,1〕，则m的取值范围是〔 〕
A、〔-3,6〕 B、〔0,6〕 C、〔0,3〕 D、〔-3,3〕
解：|2x－y＋m|＜3等价于
由右图可知 ,故0＜m＜3，选C
七、比值问题
当目标函数形如 时,可把z看作是动点 与定点 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
四、求线性目标函数中参数的取值范围
例4、已知x、y满足以下约束条件 ，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，a的值为〔 〕
A、－3 B、3 C、－1 D、1
解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D
线性规划求最值问题
(2)若z=2x-y,求z的最值.
Zmax 2 5 2 8,
x
Zmin 2 1 4.4 2.4.
y
(3)若z=x2+y2,求z的最值.
( x 2 y 2 )min 12 12 2, ( x y )max 52 22 29,
2 2
5
C
注意： 目标函数化为斜截式后， 分析斜率大小；z的系数符号。
x 0 1. x , y满足 x 2 y 3 2 x y 3
求z=x-y的最值
解：z x y化为y x z， 与直线y x平行,纵截距为-z
直线过点 A 时z值最大; 过点 B 时z值最小.
4 2 2 1 1 10
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1. y
C
x-4y+3=0
A B
1 x=1 5
3x+5y-25=0
O
x
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1.
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
线性规划求最大值或最小值
线性规划求最大值或最小值linprog2011-09-03 18:43:17| 分类：Matlab | 标签：最优值最优解最大值最小值linprog |字号大中小订阅函数格式:linprog(f,a,b,a1,b1,xstart,xend)f:求解最小函数的表达式系数矩阵是m*1的矩阵a:≤不等式条件约束矩阵其均为形式b:a对应不等式右边的常数项a1:=等式条件约束矩阵b1:a1对应不等式右边的常数项xstart:x的取值范围的最小值的系数矩阵为n*1的矩阵xend:x的取值范围的最大值的系数矩阵为n*1的矩阵函数说明:不存在的项填写[]即可函数功能:线性规划求最优值.例子1:求f=3*x1+6*x2+2*x3的最大值满足的条件是3*x1+4*x2+x3≤2x1+3*x2+2*x3≤1且x1、x2、x3均大于等于0Matlab求解如下a =[ 3 4 11 32 ]b =[ 21 ]f=[ -3-6-2 ]%这里为什么会是负数,因为Matlab求的是f的最小值,要求最大值则取要求系数的相反数即可. x=[ 00 ]linprog(f,a,b,[],[],x,[])%执行的matlab命令后输出的如下内容.注意这里的[]表示那一项不存在.当然最后那一个[]也可以不要即linprog(f,a,b,[],[],x)Optimization terminated.ans =0.40000.20000.0000%即x1=0.4,x2=0.2,x3=0为最优解.带回原式我可以知道f的最大值=3*0.4+6*0.2=2.4例子2:求f=-2*x1-3*x2-x3的最小值满足的条件是x1+x2+x3≤3x1+4*x2+7*x3+x4=9且x1、x2、x3、x4均大于等于0Matlab求解如下原题等价于求f=-2*x1-3*x2-x3+0*x4的最小值其条件等价于x1+x2+x3+0*x4≤3x1+4*x2+7*x3+x4=9则在Matlab输入如下内容a=[1 1 1 0]b=[3]a1=[1 4 7 1]b1=[9]x=[ 00]f=[ -2-3-10]linprog(f,a,b,a1,b1,x)%执行命令或者输入linprog(f,a,b,a1,b1,x,[])Optimization terminated.ans =1.00002.00000.00000.0000%说明x1=1,x2=2,x3=0,x4=0取得最小值说明:任何线性规划问题都可以转化为上面的问题求解.细节问题请Google线性规划标准形式1、当目标函数求最大值时,例如求f=a1*x1+a2*x2+……+an*xn的最大值时这个时候等价于求f=-a1*x1-a2*x2-……-an*xn的最小值2、当约束条件为a1*x1+a2*x2+……+an*xn≥b这种形式的时候其约束等价于a1*x1+a2*x2+……+an*xn-xnn=b即多了一个xnn(xnn≥0)变量3、当一个变量比如x1是无约束的变量时,其实等价于x1=x2-x3即把一个变量x1分解成2个变量x2与x3之差(x2、x3≥0)把是x1的地方替换为(x2-x3)即可求解线性规划问题：线性规划问题其中，f, x, b, beq, lb, ub为向量, A, Aeq为矩阵。
线性规划求最值
线性规划求最值线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学方法，通过建立线性模型来求解最大或最小值。
线性规划的目标是在给定的限制条件下，找到一个最优解，使得目标函数取得最大（或最小）值。
线性规划的数学模型可以表示为：目标函数：max（min）Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中x₁, x₂, …, xₙ为决策变量，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, …, a₈ₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, …,bₙ为约束条件的常数。
解线性规划问题的过程可以分为以下几个步骤：1. 建立数学模型：根据实际问题，确定目标函数以及约束条件。
2. 线性规划的几何表示：将目标函数和约束条件用图形表示，目标函数是一个线性函数，而约束条件则是一组线性不等式。
3. 求解可行解：通过图形方法，找到目标函数与所有约束条件的交点，得到一组可行解。
4. 求解最优解：在可行解中，通过计算目标函数在每个可行解点的函数值，找到使目标函数取得最大（或最小）值的可行解，即为最优解。
5. 检验最优解的可行性：将最优解代入到原始线性规划问题中，检验是否满足所有约束条件。
如果不满足，则需要重新调整模型。
线性规划在实际应用中广泛使用，例如生产计划、资源分配、运输调度等领域。
通过线性规划，可以有效地进行决策，并找到最优解，提高效率，节约资源。
然而，线性规划也有一些局限性，如对问题的要求较高，不能解决非线性的问题等。
总之，线性规划是一种数学方法，通过建立线性模型，在给定的约束条件下求解最大或最小值，可以在各种实际问题中应用，并得到最优解。
通过线性规划，可以优化决策，提高效率，实现最大化利益。
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y x
x
y
1
y
y 1
x+y=1
A
Zmin=-3
y=-1
B:(-1,-1) C:(2,-1)
O B
2x+y=0
目标函数： Z=2x+y y=x
x C
Zmax=3
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中， 利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最 大或最小的直线 （3）求：通过解方程组求出最优解；
表示定点Q （x0,y0)到可行域内的动点N(x,y)的距离 或距离平方。
一、最值模型
z A x B y 即 y A x 1 z 表 示 一 组 平 行 线 ，
BB
其 中 A为 斜 率 ， 1z为 纵 截 距 ，
B
B
当B>0时,
当直线向上平移时,所对应的截距随之增大;z 增大.
---------向下----------------------------------减小. Z 减小.
线性规划相关问题
y
o
x
.
基本概念：
x 4 y 3
线性约束条件：
3
x
5
y
25
x 1
目标函数，线性目标函数 z=2x+y
可行解： 满足约束条件的解(x,y) 即不等式组的解
可行域: 可行解组成的集合 （阴影部分）
最优解： 使目标函数取得最值的可行解
线性规划问题：
y
x=1 2x+y=ｚ 可行域
（4）答：作出答案。
x 0
2.
x,
y满足
y
0
求z=x-y的最值
(1)画区域 x y 1 (2)zxy化 为 yxz， 斜 率 为 1，
B
纵 截 距 为 -z的 一 组 平 行 线 l
(3)平 移 直 线 yx
(4)直线过点A 时纵截距-z最小，z最大;
OA
x y1
过点B 时纵截距-z最大，z最小.
(5)求可行域的面积和 y
整点个数.
S
1 2
|
BC|
h
5C
123.446.8.
A
B
4 2 2 1 1 1 0
O1
5
x=1
x-4y+3=0
3x+5y-25=0
x
例 1.已 知 x、 y满 足 3 xx45yy≤ ≤ 3 2,5. x≥ 1.
(6)z=mx+y, m>0在可行域内取得最大值的最优解有
(1)z＝x＋2y－4 的最大值； zmax15;
(2)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；
5
z 2y 1
zmin
16 ; 9
(3)
x 2 的范围．
z , 7 5 ,..Leabharlann 拓展延伸2x y 0
已
知
实 数 x、
y满 足
x
x
3y 0
5
0，
y 0 1
则 z＝( 1 )x ( 1 ) y的 最 小 值 为 __1_6___．
(1)若z=2x+y,求z的最值. Z m ax25212,
y 5C
Zm in2113.
A
B
(2)若z=2x-y,求z的最值. O 1
5
x=1
Zm ax2528,
Z m in2 14 .4 2 .4 .
x-4y+3=0 3x+5y-25=0
x
(3)若z=x2+y2,求z的最值.
y 5C
( x2 y2)min 12 12 2,
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关．
课题导入
.
目标引领
1.会利用线性规划求解最值
.
独立自学
回答下列常见代数式的几何意义：
(1) x2＋y2 表_示__点__(_x_，__y_)_与__原__点__(_0_,_0_)_的__距__离__；； （2） x－a 2＋ y－b 2 表__示__点__(_x_，__y_)_与__(_a_，__b_)_的__距_；离 （3） y _表__示__点___(x_，___y_)与___原__点__(0__,0_)_连__线；的斜率
例2 求不等式 x2y22
所表示的平面区域的面积？
xy6 (x2,y2) 分析： x2y22xxyy22((xx22,,yy22))
xy2 (x2,y2)
.
练习1：
当堂诊学
如图，已知 △ ABC中的三顶点，A(2,4)，
B(-2,3)，C(1,0) ，点p(x,y)在内部及边界运动.
①z=x+y 在_A_(_2_,4_)__ 处有最大值__6__，
当B<0时,
当直线向上平移时,所对应的截距随之增大，但z 减小.
---------向下----------------------------------减小，但z 增大.
注意：斜率大小及截距符号。
解下列线性规划问题：
1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：
y x
x
y
1
y 1
A
直线过点 A 时z值最大;
过点 B 时z值最小.
O
解方程组得点A(1,1),B(0,3)
z m a x 1 1 0 ,z m in 0 3 3 3z0
体验:
一、先定可行域和平移方向，再找最优解。 二、最优解一般在可行域的顶点处取得． 三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关，
最优解
x-4y+3=0
A（5，2）
B（1，1）3x+5y-25=0
o1
x
目标函数的常见类型
1.z=Ax+By(A,B为常数)可化为
y
Ax B
z
B表示
与y
A B
x
平行的一组平行线,其中
z B
为截距。
2.z
y y0 x x0
表示定点P(x0,y0) 与可行域内的动点M(x,y) 连线的斜率
3. z ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 或 z ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2
( x2y2)max 5222 29,
O
B
1
x=1
zmin 2, zmax 29.
(4)若 z
y x
,
求z 的最值.
zmaxkOC41.44.4, ZminkoA520.4
x-4y+3=0
A
3x+5y-25=0
5
x
例 1.已 知 x、 y满 足 3 xx45yy≤ ≤ 3 2,5. x≥ 1.
交点A(1,0),B(0,1)
Z m a x 1 0 1 ,Z m i n 0 1 1 .
注意： 目标函数化为斜截式后， 分析斜率大小；z的系数符号。
x 0
1.
x,
y满足
x
2
y
3
求z=x-y的最值
2x y 3
解 ： zxy化 为 yxz，
B
与 直 线 yx平 行 ,纵 截 距 为 -z
无数个,求m的值.
y
ym xz
5C
解：当直线y=-mx+z与直线
AC重合时，线段AC上的任
x-4y+3=0
意一点都可使目标函数z＝y＋
mx取得最大值.
B
而直线AC的斜率为
3 5
,
m 3 , 即 m 3 .
5
5
O1
x=1
A
3x+5y-25=0
5
x
变式：当且仅当在A（5,2）处有最大值，求m的范围
x-4y+3=0
(3)若z=x2+y2,求z的最值.
(4)若
z
y x
,
求z 的最值.
B
O1
x=1
A
3x+5y-25=0
5
x
(5)求可行域的面积和整点个数.
(6)z=mx+y, m>0在可行域内取得最大值的最优解有 无数个, 求m的值.
.
例 1.已 知 x、 y满 足 3 xx45yy≤ ≤ 3 2,5. x≥ 1.
x
（4）
y－b x－a
表__示__点___(x_，___y_)与__点___(a_，__b__)连__线___的__斜__率_.
.
例 1.已 知 x、 y满 足 3 xx 45 yy ≤ ≤ 3 2,5. x y ≥ 1.
(1)若z=2x+y,求z的最值. 5 C
(2)若z=2x-y,求z的最值.
在__线_段__B_C_ 处有最小值 __1_；
②z=x-y 在__C_(1_,_0_) _ 处
Y
A
有最大值_1___， 在_B_(-_2_,_3_)_ 处 有最小值___-_5___；
B
3
2C
1
-2 -1 o 1 C 2 3 x
-1
-2
.
练习2： x y 2 0 ,
已知
x
y
4
0,
求： 2 x y 3 0 .
42
.
强化补请
1、想一想求点的轨迹方程还有 其他方法吗？
2、完成课时作业1、2、5、8
.