2018年一轮复习《平面向量的数量积及应用》教学教案
2018年高考理科数学第一轮复习教案27 平面向量的数量积资料
第三节平面向量的数量积1．数量积的定义及长度、角度问题(1)理解数量积的含义及其物理意义．(2)了解向量数量积与向量投影的关系．(3)掌握数量积的坐标表达式及相关性质，并会进行数量积的运算．(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判定两向量垂直．2．数量积的综合应用会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及其他的一些实际问题．知识点一平面向量的数量积1．两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a和b，作O A→＝a，O B→＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角．(2)范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.2．平面向量数量积(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos θ.规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.(2)a·b的几何意义a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．易误提醒1．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．2．在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．3．在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a|·|b|·|cos θ|，而|cos θ|≤1.必记结论两向量a与b的夹角为锐角⇒cos〈a，b〉>0且a 与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角⇒cos〈a，b〉<0，且a与b 不共线．[自测练习]1. 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2， 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，∴θ＝π3. 答案：C2．已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a |·|b |·cos a ，b－|b |2＝2×1×1×cos 60°－1＝0.答案：B3．已知|a |＝4，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，则b 在a 方向上的投影为( )A ．2 B.32 C ．－2D ．－32解析：b 在a 方向上的投影为|b |cos 120°＝－32.故选D. 答案：D知识点二数量积的性质及坐标运算1．向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉．(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)a·a＝|a|2，|a|＝a·a.(4)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.2．数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(3)对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤(x21＋y21)(x22＋y22)易误提醒1．实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c.2．实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．[自测练习]4．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________.解析：∵m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)， 又(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝0， 从而λ＝－3. 答案：－35．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝ .解析：由a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1×3×cos 120°＝－32， 得|5a －b |＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a·b＝25＋9－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝7.答案：7考点一 平面向量数量积的运算|1．(2015·高考全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.答案：C2．(2015·高考山东卷)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD→＝( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2D.32a 2解析：在菱形ABCD 中，BA →＝CD →，BD →＝BA →＋BC →，所以BD →·CD →＝(BA →＋BC →)·CD →＝BA →·CD →＋BC →·CD →＝a 2＋a ×a ×cos 60°＝a 2＋12a 2＝32a 2.答案：D3．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MC →·ND→＝________.解析：法一：因为MC →·ND →＝(MO →＋OC →)·(NO →＋OD →)＝MO →·NO →＋MO →·OD →＋OC →·NO →＋OC →·OD →＝|MO →|·|NO →|cos 180°＋|MO →|·|OD →|cos 60°＋|OC →|·|NO →|·cos 60°＋|OC →|·|OD →|·cos 60°＝－4＋6＋6＋18＝26.法二：以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则M(－2,0)，N(2,0)，C(－3,33)，D(3，33)，所以MC→＝(－1,33)，ND→＝(1,33)，MC→·ND→＝－1＋27＝26.答案：26向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.考点二平面向量数量积的性质应用|平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．归纳起来常见的命题探究角度有：1．平面向量的模．2．平面向量的夹角．3．平面向量的垂直．探究一平面向量的模1．(2015·太原一模)已知向量e1，e2是夹角为45°的两个单位向量，则|2e1－e2|＝()A.22 B.12C．1 D. 2解析：由题意可得e 1·e 2＝22，所以|2e 1－e 2|＝(2e 1－e 2)2＝2－22e 1·e 2＋1＝1. 答案：C2．已知平面向量a ＝(1，3)，|a －b |＝1，则|b |的取值范围是________.解析：设b ＝(x ，y )，则|a －b |＝(x －1)2＋(y －3)2＝1，即点(x ，y )在圆(x －1)2＋(y －3)2＝1上，则|b |的几何意义是圆上点到原点的距离．又圆心到原点的距离为2，所以|b |的取值范围是[1,3]．答案：[1,3]探究二 平面向量的夹角3．若向量a 与b 不共线，a·b ≠0，且c ＝a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a·a a·b b ，则向量a 与c 的夹角为( )A ．0 B.π6 C.π3D.π2解析：∵c·a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a·a a·b b ·a ＝a·a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a·a a·b b·a ＝a·a －a·a ＝0，∴c ⊥a ，即向量a 与c 的夹角为π2，故选D.答案：D4．(2015·苏州二模)设向量a ＝(x,2)，b ＝(2,1)，若a ，b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为________．解析：由题意可得，a·b ＝2x ＋2>0，且x －4≠0，故实数x 的取值范围为(－1,4)∪(4，＋∞)．答案：(－1,4)∪(4，＋∞) 探究三 平面向量的垂直5．(2015·高考福建卷)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b ，若b ⊥c ，则实数k 值等于( )A ．－32B ．－53 C.53D.32解析：因为c ＝(1＋k,2＋k )，b·c ＝0，所以1＋k ＋2＋k ＝0，解得k ＝－32，故选A.答案：A6．(2015·高考重庆卷)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π解析：由条件，得(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－2b 2－a·b ＝0，即a·b ＝3a 2－2b 2.又|a |＝223|b |，所以a·b ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫223|b |2－2b 2＝23b 2，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |＝23b 2223b2＝22，所以〈a ，b 〉＝π4，故选A.答案：A平面向量数量积求解问题的三个策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a·b|a |·|b |，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a·a . ②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.考点三 平面向量与三角函数的综合应用|在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1，0)，|OC→|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点． (1)若x ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD→|的最小值； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC→，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m·n 的最小值及对应的x 值．[解] (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，由题易知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，所以OC →＋OD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC→＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －222＋12(0≤t ≤1)，所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22. (2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC→＝(cos x ＋1，sin x )， 则m·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos 2x －sin 2x ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取得最大值1，所以m·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.平面向量与三角函数的综合问题的两个解题策略(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．(2015·惠州二调)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值． 解：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 ，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.8.忽视向量夹角范围致误【典例】 设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．[解] 因为e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝2×1×12＝1，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7.因为向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，即2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时， 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝7⇒2t 2＝7⇒t ＝－142或t ＝142(舍去)． 因为向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角， 所以t ≠－142，故t 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. [易误点评] 向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角可得(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.易忽略，共线反向的情况导致出错．[防范措施] (1)切记向量夹角的范围是[0，π]．(2)a 与b 夹角为锐角⇔a·b >0且a ·b ≠1，a 与b 夹角为钝角⇔a ·b <0且a ·b ≠－1.[跟踪练习] 已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．解：∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0. ∴λ>－53.当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，∴⎩⎨⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，解得λ＝0.即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，综上可知，实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0∪(0，＋∞).A 组 考点能力演练1．(2015·陕西模拟)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝20，a ·b ＝4，则|a －b |＝( )A. 2 B ．2 3 C ．2D. 6解析：∵|a ＋b |＝20，a·b ＝4，∴|a ＋b |2－|a －b |2＝4a·b ＝16，∴|a －b |＝2，选C.答案：C2．对于任意向量a ，b ，c ，下列命题中正确的是( ) A ．|a·b |＝|a ||b | B ．|a ＋b |＝|a |＋|b | C ．(a·b )·c ＝a ·(b·c ) D ．a·a ＝|a |2解析：法一：因为|a·b |＝|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|，只有当a ，b 共线时，才有|a·b |＝|a ||b |，A 不正确；因为|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以B 不正确；向量的数量积运算不满足结合律，即(a·b )·c ≠a·(b·c )，C 不正确；由数量积的定义可得a·a ＝|a |2，D 正确，故选D.法二：令a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(1,1)，易验证A ，B ，C 错误，故选D.答案：D3．(2015·湘潭调研)在三角形ABC 中，E ，F 分别为边AB ，AC 上的点，且AE →＝2EB →，AF →＝FC →，若|AB |＝3，|AC |＝2，A ＝60°，则BF →·EF →等于( )A.92B.72C.154D.134解析：因为AE →＝2EB →，AF →＝FC →，所以AE →＝23AB →，AF →＝12AC →，所以BF →·EF →＝(AF →－AB →)·(AF →－AE →)＝⎝⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →·⎝⎛⎭⎪⎫12AC →－23AB →＝14AC →2＋23AB →2－56AB →·AC →＝14×22＋23×32－56×2×3×12＝92，故选A.答案：A4．已知O ，A ，B 三点的坐标分别为O (0,0)，A (3,0)，B (0，3)，且P 在线段AB 上，AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP→的最大值为( ) A. 3 B ．3 C ．2 2D ．9解析：设P (x ，y )，x ∈[0,3]，则(x －3，y )＝t (－3,3)，⎩⎨⎧x －3＝－3t ，y ＝3t ，即⎩⎨⎧x ＝3－3t ，y ＝3t ，t ∈[0,1]，所以OA →·OP →＝3x ＝9(1－t )∈[0,9]，即OA →·OP→的最大值为9.答案：D5．已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝1，且对于任意实数x ，不等式|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，设a ，b 的夹角为θ，则sin θ＝( )A.22B.13C.33D.63解析：如图所示，当(a ＋b )⊥b 时，对于任意实数x ，a ＋x b ＝OA →或a ＋x b ＝OB →，三角形中斜边大于直角边恒成立，不等式恒成立，因为(a ＋b )⊥b ，|a |＝3，|b |＝1，所以tan α＝2，tan θ＝－2，sin θ＝63. 答案：D6．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角的大小为________．解析：因为a ·(a ＋b )＝3，|a |＝2，|b |＝1，所以a ·(a ＋b )＝|a |2＋a·b ＝3，得a·b ＝－1.设向量a 与b 的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cos θ＝a·b |a |·|b |＝－12，解得θ＝2π3.答案：2π37．(2016·石家庄质检)若a ，b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a －3b 在向量b 方向上的投影为________．解析：依题意得(a －3b )·b ＝a·b －3b 2＝－3，因此a －3b 在向量b 方向上的投影为(a －3b )·b|b |＝－ 3.答案：－ 38.在边长为1的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，则AE →·AF→＝________. 解析：因为AE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋12AB →，AD →·AB →＝0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝12AB →2＋12AD →2＝1. 答案：19．已知△ABC 的面积为2，且满足0<AB →·AC →≤4，AB →和AC →的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋θ－3cos 2θ的取值范围．解：(1)设△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则由题意得12bc sin θ＝2,0<bc cos θ≤4，可得tan θ≥1，又θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.(2)f (θ)＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋θ－3cos 2θ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ－3cos 2θ＝(1＋sin 2θ)－3cos 2θ＝sin 2θ－3cos 2θ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋1，∵θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2，∴2θ－π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，2π3.∴2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋1≤3，∴函数f (θ)的取值范围是[2,3]．10.(2015·杭州模拟)设△ABC 是边长为1的正三角形，点P 1，P 2，P 3四等分线段BC (如图所示)．(1)求AB →·AP 1→＋AP 1→·AP 2→的值； (2)设动点P 在边BC 上，①请写出一个|BP →|的值使P A →·PC →>0，并说明理由； ②当P A →·PC →取得最小值时，求cos ∠P AB 的值． 解：(1)原式＝AP 1→·(AB →＋AP 2→) ＝2AP →21＝138.(2)①写0到12(0可取到，12取不到)之间的任何一个值均可，理由：此时向量P A →与PC→之间的夹角为锐角． ②P A →·PC →＝|PC →||P A →|cos ∠APC . a ．当P 在线段BP 2上时，P A →·PC→≥0. b ．当P 在线段P 2C 上时，P A →·PC →≤0，要使P A →·PC →最小，则P 必在线段P 2C 上．设|PC→|＝x ，则P A →·PC →＝|PC →||P A →|cos ∠APB ＝|PC →|·(－|PP 2→|)＝x 2－12x ， 当x ＝14，即当P 在P 3时，P A →·PC →最小， 此时cos ∠P AB ＝52613.B 组 高考题型专练1．(2014·高考四川卷)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25，a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， ∴c ·a |c |·|a |＝c ·b |c |·|b |，∴5m ＋85＝8m ＋2025， 解得m ＝2. 答案：D2．(2014·高考山东卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0D ．－ 3解析：a ·b ＝|a ||b |cos π6，则3＋3m ＝2·9＋m 2·32.(3＋m )2＝9＋m 2，解得m ＝ 3.答案：B3．(2015·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC→＝( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2解析：由AC→＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)， 得AD →·AC →＝(2,1)·(3，－1)＝5，故选A. 答案：A4．(2015·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解：(1)∵m ⊥n ，∴m·n ＝0. 故22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m |·|n |＝22sin x －22cos x 1×1＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，x －π4＝π6，即x ＝5π12，∴x 的值为512π.。
【高中教育】最新高三数学一轮复习第15讲平面向量的数量积及应用教案
——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高三数学一轮复习第15讲平面向量的数量积及应用教案______年______月______日____________________部门教学目标1．平面向量的数量积①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2．向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
命题走向本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。
重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。
平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。
预测20xx年高考：（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。
（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；教学准备多媒体课件教学过程一．知识梳理：1．向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a与a，作OA＝a，OB＝b，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角；说明：（1）当θ＝０时，a与b同向；（2）当θ＝π时，a与b反向；（3）当θ＝2π时，a与b垂直，记a⊥b；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0︒≤θ≤180︒。
（2）数量积的概念已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a·b=︱a︱·︱b︱cosθ叫做a与b的数量积（或内积）。
规定00a⋅=；向量的投影：︱b︱cosθ=||a ba⋅∈R，称为向量b在a方向上的投影。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案一、教学目标知识与技能目标：使学生理解平面向量数量积的概念，掌握平面向量数量积的计算公式及性质，能够运用数量积解决一些几何问题。
过程与方法目标：通过探究平面向量数量积的概念和性质，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在现实生活中的应用价值。
二、教学重点与难点重点：平面向量数量积的概念，计算公式及性质。
难点：平面向量数量积的运算规律及其在几何中的应用。
三、教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法，引导学生主动探究，发现平面向量数量积的规律，提高学生解决问题的能力。
四、教学准备教师准备PPT，涵盖平面向量数量积的概念、计算公式、性质及应用实例。
学生准备笔记本，以便记录学习过程中的疑问和感悟。
五、教学过程1. 导入新课教师通过展示一个实际问题，引导学生思考平面向量数量积的定义和作用。
2. 探究平面向量数量积的概念（1）教师引导学生根据定义，探究平面向量数量积的计算公式。
（2）学生通过实例，理解并掌握平面向量数量积的计算方法。
3. 学习平面向量数量积的性质（1）教师引导学生总结平面向量数量积的性质。
（2）学生通过练习，巩固对平面向量数量积性质的理解。
4. 应用平面向量数量积解决几何问题教师展示几个应用实例，引导学生运用平面向量数量积解决几何问题。
学生分组讨论，合作解决问题，分享解题过程和心得。
5. 课堂小结教师引导学生总结本节课所学内容，强调平面向量数量积的概念、计算公式及性质。
学生整理学习笔记，反思自己在学习过程中的收获和不足。
6. 布置作业教师布置一些有关平面向量数量积的练习题，巩固所学知识。
学生认真完成作业，巩固课堂所学内容。
七、教学反思教师在课后对自己的教学过程进行反思，分析教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
学生反思自己的学习过程，总结经验教训，提高学习效果。
八、教学评价教师通过课堂表现、作业完成情况和课后练习成绩，全面评价学生对平面向量数量积的掌握程度。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案教案：平面向量数量积一、教学目标：1.理解平面向量的数量积的概念和性质。
2.掌握平面向量的数量积的运算法则。
3.能够利用平面向量的数量积解决实际问题。
二、教学内容：1.平面向量的数量积的概念和性质。
2.平面向量的数量积的运算法则。
3.平面向量数量积的应用。
三、教学步骤：1.引入平面向量的数量积的概念。
首先通过提问和示例，引导学生思考两个平面向量的乘积是否有意义，以及该乘积有什么特殊的性质。
然后给出平面向量的数量积的定义：设有两个非零向量a和b，数量积定义为，a，·，b，·cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2.平面向量的数量积的性质。
通过具体的例子，讲解平面向量数量积的性质：（1）数量积的结果是一个数。
（2）数量积满足交换律、分配律。
（3）数量积的结果为0时，表示两个向量垂直，即cosθ=0。
（4）数量积的结果为正数时，表示两个向量同向，即θ为锐角。
（5）数量积的结果为负数时，表示两个向量反向，即θ为钝角。
3.平面向量的数量积的运算法则。
通过示例演算，教导学生具体的运算法则：（1）计算向量的模长：，a，=√(a1²+a2²)。
（2）计算向量的数量积：a·b = ，a，·，b，·cosθ。
（3）计算两个向量的夹角：cosθ = (a·b) / (，a，·，b，)。
（4）根据数量积的定义，解方程组：a·b=0，求出向量a与向量b 互相垂直的条件。
4.平面向量数量积的应用。
通过实际问题解决的例子，帮助学生将平面向量数量积的概念和运算法则应用到实际问题的解决中。
例如：已知有三个向量a、b和c，其中a·b=30，a·c=40，求b与c的夹角。
五、教学反思：在教学过程中，可以通过举一些具体的实际问题，提高学生的兴趣和参与度。
高考数学一轮复习 第五章 平面向量5.3平面向量的数量积及其应用教学案 理 新人教A版
5.3 平面向量的数量积及其应用考纲要求1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．两个向量的夹角 (1)定义已知两个__________向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则__________称作向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(2)范围向量夹角〈a ，b 〉的范围是__________，且__________＝〈b ，a 〉． (3)向量垂直如果〈a ，b 〉＝__________，则a 与b 垂直，记作__________． 2．平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义__________叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝__________.可见，a ·b 是实数，可以等于正数、负数、零．其中|a |cos θ(|b |cos θ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影．(2)向量数量积的运算律①a ·b ＝__________(交换律)②(a ＋b )·c ＝__________(分配律)③(λa )·b ＝__________＝a ·(λb )(数乘结合律)．3．平面向量数量积的性质：已知非零向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2) 性质 几何表示 坐标表示 定义 a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉 a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2模a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a|a |＝a 21＋a 22 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12a ⊥b 的充要条件a ·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＝0夹角 cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |(|a ||b |≠0) cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22·b 21＋b 22|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b ||a 1b 1＋a 2b 2|≤a 21＋a 22b 21＋b 221．已知下列各式：①|a |2＝a 2； ②a ·b |a |2＝b a； ③(a ·b )2＝a 2b 2；④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2，其中正确的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( )． A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直3．已知a ＝(1，－3)，b ＝(4,6)，c ＝(2,3)，则(b ·c )a 等于( )． A ．(26，－78) B ．(－28，－42) C ．－52 D ．－784．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝__________.5．已知|a |＝2，|b |＝4且a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是__________．一、平面向量数量积的运算【例1】 (1)在等边△ABC 中，D 为AB 的中点，AB ＝5，求AB →·BC →，|CD →|； (2)若a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，求(a －2b )·(2a ＋3b )和|a ＋2b |. 方法提炼平面向量的考查经常有两种：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理；二是考查数量积，此时注意应用平面向量基本定理，选择恰当的基底，以简化运算过程．坐标形式时，运算要准确．提醒：向量数量积与实数相关概念的区别： 1．表示方法的区别数量积的记号是a ·b ，不能写成a ×b ，也不能写成ab . 2．相关概念及运算的区别(1)若a ，b 为实数，且ab ＝0，则有a ＝0或b ＝0，但a ·b ＝0却不能得出a ＝0或b ＝0.(2)若a ，b ，c ∈R ，且a ≠0，则由ab ＝ac 可得b ＝c, 但由a ·b ＝a ·c 及a ≠0却不能推出b ＝c .(3)若a ，b ，c ∈R ，则a (bc )＝(ab )c (结合律)成立，但对于向量a ，b ，c ，而(a ·b )c 与a (b ·c )一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．(4)若a ，b ∈R ，则|a ·b |＝|a |·|b |，但对于向量a ，b ，却有|a ·b |≤|a ||b |，等号当且仅当a ∥b 时成立．请做演练巩固提升2二、两平面向量的夹角与垂直【例2】已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 方法提炼1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角就是钝角．2．当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求得a ·b 及|a |，|b |或得出它们的关系．请做演练巩固提升1 三、求平面向量的模【例3－1】 (2012江西高考)设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝__________.【例3－2】 已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4.(1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值． 方法提炼利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a |2＝a 2＝a ·a ；(2)|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2；(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2. 请做演练巩固提升4 四、平面向量的应用【例4－1】 已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )．A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心【例4－2】 已知向量OA →＝a ＝(cos α，sin α)，OB →＝b ＝(2cos β，2sin β)，OC →＝c ＝(0，d )(d ＞0)，其中O 为坐标原点，且0＜α＜π2＜β＜π.(1)若a ⊥(b －a )，求β－α的值；(2)若OB →·OC →|OC →|＝1，OA →·OC →|OC →|＝32，求△OAB 的面积S .方法提炼向量与其他知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题．请做演练巩固提升3忽视对直角位置的讨论致误【典例】 已知平面上三点A ，B ，C ，向量BC →＝(2－k,3)，AC →＝(2,4)． (1)若三点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数k 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求k 的值．错解：(1)由三点A ，B ，C 不能构成三角形，得A ，B ，C 在同一条直线上，即向量BC →与AC →平行． ∵BC →∥AC →，∴4(2－k )－2×3＝0.∴k ＝12.(2)∵BC →＝(2－k,3)， ∴CB →＝(k －2，－3)． ∴AB →＝AC →＋CB →＝(k,1)． ∵△ABC 为直角三角形， ∴AB →⊥AC →，AB →·AC →＝0. ∴2k ＋4＝0，解得k ＝－2.错因：因BC →和AC →已知，则可得AB →(含k 的式子)，若三点不能构成三角形，则有三点共线；若△ABC 为直角三角形，则有一个角为直角，即某两边构成的角成直角，转化为某两个向量垂直，此时应根据直角顶点不同而进行分类讨论，求得符合条件的k 的值．正解：(1)由三点A ，B ，C 不能构成三角形，得A ，B ，C 在同一条直线上，即向量BC →与AC →平行，∵BC →∥AC →，∴4(2－k )－2×3＝0，解得k ＝12.(2)∵BC →＝(2－k,3)，∴CB →＝(k －2，－3)， ∴AB →＝AC →＋CB →＝(k,1)． ∵△ABC 为直角三角形， 则当∠BAC 是直角时， AB →⊥AC →，即AB →·AC →＝0， ∴2k ＋4＝0，解得k ＝－2； 当∠ABC 是直角时， AB →⊥B C →，即AB →·BC →＝0， ∴k 2－2k －3＝0，解得k ＝3或k ＝－1； 当∠ACB 是直角时， AC →⊥BC →，即AC →·BC →＝0， ∴16－2k ＝0，解得k ＝8.综上得k 的取值为－2，－1,3,8. 答题指导：1．用向量研究平面几何问题，是向量的一个重要应用，也是高考的热点．本题难度不大，属中档题．2．本题的错误非常典型．造成错误的主要原因就是思维定势所致．第(1)问，三点不能构成三角形，从构成三角形的条件直接否定，转化成求解不等式，从而使问题变得复杂，无法进行下去．第(2)问，由于思维定势，误认为∠A 一定为直角，从而使解答不完整．3．考生书写格式不规范，不完整，也是失分的一个重要因素．1．(2012福建高考)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )．A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝02．(2012天津高考)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ＝( )．A.13B.23C.43D ．2 3．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为__________．4．给出以下四个命题：①对任意两个向量a ，b 都有|a ·b |＝|a ||b |；②若a ，b 是两个不共线的向量，且AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 共线 λ1λ2＝－1；③若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则a ＋b 与a －b 的夹角为90°； ④若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝4，|a ＋b |＝13，则a ，b 的夹角为60°. 以上命题中，错误命题的序号是__________．5．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)非零 ∠AOB (2)[0，π] 〈a ，b 〉 (3)π2a ⊥b2．(1)|a ||b |cos 〈a ，b 〉 |a ||b |cos 〈a ，b 〉 (2)①b ·a ②a ·c ＋b ·c ③λ(a ·b ) 基础自测1．B 解析：②错，向量不能约分；③中(a ·b )2＝|a |2·|b |2·cos 2θ不一定与a 2·b 2相等，∴③错． 2．D3．A 解析：a (b ·c )＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．4．7 解析：|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝12＋2×1×2×cos π3＋22＝7.∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝7. 5．π3解析：∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0，即a 2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝4，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝42×4＝12(θ是a 与b 的夹角)，∴θ＝π3.考点探究突破【例1】 解：(1)如图，向量AB uu u r ，BC uu ur 的夹角为120°，∴AB uu u r ·BC uu u r ＝|AB uu u r|·|BC uu u r |·cos 120°＝5×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－252. ∵CD uuu r ＝12(CA uu r ＋CB uu r)，∴|CD uuu r |2＝14(CA uu r ＋CB uu r )2＝14(|CA uur |2＋2CA uu r ·CB uu r ＋|CB uu r |2) ＝14×(25＋2×5×5×cos 60°＋25)＝754，∴|CD uuu r |＝532. (2)a －2b ＝(3，－4)－2(2,1)＝(－1，－6)， 2a ＋3b ＝2(3，－4)＋3(2,1)＝(12，－5)，∴(a －2b )·(2a ＋3b )＝(－1)×12＋(－6)×(－5)＝－12＋30＝18. ∵a ＋2b ＝(3，－4)＋2(2,1)＝(7，－2)，∴|a ＋2b |＝72＋(－2)2＝53.【例2】 解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3， ∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)∵AB uu u r 与BC uu u r 的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB uu u r|＝|a |＝4，|BC uu u r |＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB uuu r ||BC uu u r |sin∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 【例3－1】 5 解析：因为m ⊥b ， 所以m ·b ＝2x －y ＝0.① 又因为m 为单位向量，所以x 2＋y 2＝1.② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55，y ＝255，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－55，y ＝－255，所以|x ＋2y |＝ 5.【例3－2】 解：(1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x .|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x ＞0， ∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122－32， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1. ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32，当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.【例4－1】 C 解析：如图，∵NA uur ＋NB uu u r ＋NC uuu r＝0， ∴NB uu u r ＋NC uuu r ＝NA -uur .依向量加法的平行四边形法则，知|NA uur |＝2|NE uuu r|，故N 为重心．∵PA uu r ·PB uu r ＝PB uu r ·PC uu ur ，∴(PA uu r －PC uu u r )·PB uu r ＝CA uu r ·PB uu r＝0.同理AB uu u r ·PC uu ur ＝0，BC uu u r ·PA uu r ＝0， ∴点P 为△ABC 的垂心．由|OA uu r |＝|OB uu u r |＝|OC uuu r|，知O 为△ABC 的外心．【例4－2】 解：(1)由a ⊥(b －a )⇒a ·(b －a )＝0⇒a ·b －a 2＝0， 又|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝|α－β|，∴2cos|α－β|＝1⇒cos|α－β|＝12.由0＜α＜π2＜β＜π，得β－α＝π3.(2)∵|OA uu r |＝1，|OB uu u r|＝2，记〈OB uu u r ，OC uuu r 〉＝θ1，〈OA uu r ，OC uuu r 〉＝θ2， ∵OC uuu r＝(0，d )，d ＞0，∴θ1＝β－π2，θ2＝π2－α，且θ1，θ2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.由||OB OC OC ⋅uu u r uuu ruuur ＝|OB uu u r |·cos θ1＝1⇒cos θ1＝12得β－π2＝π3.由||OA OC OC ⋅uu r uuu r uuu r ＝|OA uu r |·cos θ2＝32⇒cos θ2＝32得π2－α＝π6， ∴∠AOB ＝β－α＝π2， ∴S ＝12×2×1＝1. 演练巩固提升1．D 解析：∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1,2)·(2,1)＝2(x －1)＋2×1＝2x ＝0，即x ＝0. 2．B 解析：设AB uu u r ＝a ，AC uuu r ＝b ，∴|a |＝1，|b |＝2，且a ·b ＝0. BQ uu u r ·CP uu r ＝(AQ uuu r －AB uu u r )·(AP uu u r －AC uuu r )＝[(1－λ)b －a ]·(λa －b ) ＝－λa 2－(1－λ)b 2＝－λ－4(1－λ)＝3λ－4＝－2， ∴λ＝23. 3．北偏西30° 解析：如图，渡船速度为OB uu u r ，水流速度为OA uu r ，船实际垂直过江的速度为OD uuu r ，依题意知，|OA uu r |＝12.5，|OB uu u r |＝25，由于四边形OADB 为平行四边形， 则|BD uuu r |＝|OA uu r |，又OD ⊥BD ，∴在Rt△OBD 中，∠BOD ＝30°，∴航向为北偏西30°.4．①②④ 解析：①错，|a ·b |＝|a ||b |·|cos θ|≤|a ||b |.②错．∵A ，B ，C 共线，∴AB uu u r ＝k AC uuu r . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝k ，λ2k ＝1.∴λ1λ2＝1.④错，∵|a ＋b |2＝13，∴|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝13，即a ·b ＝|a ||b |·cos θ＝－6，∴cos θ＝－12.∴θ＝120°. 5．解：(1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－4. ∴c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )， ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0.∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0， ∴2×5＋3a ·b －2×54＝0.∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－525·52＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.。
【2018年高考一轮课程】文科数学 全国通用版 平面向量数量积及其应用 教案
一、自我诊断 知己知彼1．已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，(2)0⋅-=a a b ，则k 等于( ) A ．－12 B ．6 C ．－6 D ．12【答案】 D 【解析】∵2(4,2)(1,)(5,2)k k -=--=-a b ， 由(2)0⋅-=a a b ，得(2,1)(5,2)0k ⋅-=， ∴1020k +-=，解得12k =.2．已知向量a 与b 的夹角为30︒，且|a |＝1，|2-a b |＝1，则|b |等于( )A. B. C. D.【答案】 C【解析】由题意可得||cos30||2︒⋅==a b b b ,22441-⋅+=a a b b ，即243||1-+=b b ，由此求得||b C.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，(1,2)AB →=-，(2,1)AD →=,则AD AC →→⋅等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】 A 【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴(1,2)(2,1)(3,1)AC AB AD →→→=+=-+=-．∴23(1)15AD AC →→⋅=⨯+-⨯=.4．已知向量(1=a，=b ，则a 与b 夹角的大小为________． 【答案】6π【解析】 设a 与b 的夹角为θ，则cos ||||2θ⋅===⋅a b a b ， 又因为[]0θπ∈，，所以=6πθ. 5．设x R ∈，向量(,1)x =a ，(1,2)=-b ，且⊥a b ，则+=a b ________. 【答案】【解析】∵⊥a b ，∴0⋅=a b ，即20x -=， ∴2x =，∴(2,1)=a ，∴25=a ，25=b ，∴+===a b 二、温故知新 夯实基础1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →=a ，OB →=b ，则AOB ∠就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是：[]0π，．2．平面向量的数量积3.平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1) ||cos θ⋅=⋅=e a a e a . (2) ⊥a b ⇔0⋅=a b .(3)当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ； 当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b .特别地，22||⋅==a a a a 或||=a (4) cos ||||θ⋅=a ba b .(5) ||||⋅≤a b a b .4．平面向量数量积满足的运算律 (1) ⋅=⋅a b b a ；(2) ()()()λλλ⋅=⋅=⋅a b a b a b (λ为实数)； (3) ()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则⋅=a b 1212x x y y +，由此得到(1)若(,)x y =a ，则2||=a 22x y +或||=a(2)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则A ，B 两点间的距离AB →=(3)设两个非零向量a ，b ，11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则⊥a b ⇔12120x x y y +=.(4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos ||||θ⋅==⋅a ba b .考点一 数量积运算—求向量的模例1已知平面向量a ，b 的夹角为6π，且||=a ||2=b ，在ABC ∆中，22AB →=+a b ，26AC →=-a b ，D 为BC 的中点，则||AD →=________.【答案】2 【解析】因为11||()(2226)2222AD AD AB AC →→→→==+=++-=-a b a b a b ，所以2222||4()4(2)AD →=-=-⋅+a b a a b b4(323c o s 4)46π=-⨯⨯+=，所以||2AD →=. 【易错点】忽略向量的模被平方之后公式的合理利用.【方法点拨】利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①||=a ②|a ±b |2＝a 2±2a ·b ＋b 2；③若(,)x y =a ，则||=a 考点二 数量积运算—求向量的夹角例1 已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1co s 3α=，向量232=-1a e e 与23=-1b e e 的夹角为β，则cos β＝________.【答案】3【解析】因为()2223292321cos 49α=-=-⨯⨯⨯⨯+=1a e e ，所以||3=a ，因为()222392311cos 18α=-=-⨯⨯⨯⨯+=1b e e ，所以||=b()222222(32)39928⋅=-⋅-=-⋅+=1111a b e e e e e e e e ，所以cos||||3θ⋅===⋅a b a b . 【易错点】容易忽略平方求模长的最后取最值的计算.【方法点拨】平面向量数量积求解问题的策略: (1)求两向量的夹角：cos ||||θ⋅=⋅a ba b ，要注意[]0π，．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是⊥a b ⇔0⋅=a b ⇔-=+a b a b . (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：①||=a ②|a ±b |2＝a 2±2a ·b ＋b 2；③若(,)x y =a ，则||=a考点三 数量积运算—向量垂直例1已知两向量a 与b 满足4,2a b ==，且()()212a b a b +⋅+=，则a 与b 的夹角为 . 【答案】120 【解析】12,cos 24248,cos 2431623))(2(22>=<+=+><⨯⨯+=++=++b a b a b b a a b a b a，120,,21,cos >=<->=<∴b a b a .【易错点】对于公式的不清晰易出现计算错误，后面根据余弦值求角要注意范围 【方法点拨】已知a 与b 为不共线向量，且a 与b 的夹角为θ，则 ①a ·b >0⇔0°<θ<90°； ②a ·b ＝0⇔θ＝90°； ③a ·b <0⇔90°<θ<180°.特别的：1、在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线． 2、与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．考点四 向量数量积的应用例 1 在ABC ∆中，35A B A C ==，，若O 为ABC ∆外接圆的圆心（即满足O A O B O C ==），则AO BC ⋅的值为 ．【答案】8 【解析】设BC 的中点为D ，连接,OD AD ，则OD BC ⊥，所以()()()2211()22AO BC AD DO BC AD BC AC AB AC AB AC AB ⋅=+⋅=⋅=+⋅-=- 221(53)82=⨯-=，故应填8.【易错点】对于图形理解的不透彻，导致建立不出向量数量积模型.【方法点拨】合理利用图形，准确转化数量积计算的相关向量，利用向量的平方和向量模的平方进行解题四、举一反三 成果巩固考点一 数量积运算—求向量的模1、ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足,2AB a AC a b ==+，，则下列结论错误的是（ ）A.1b =B.()a b b +⊥ C.1a b = D.3a b +=【答案】C 【解析】因为已知ABC ∆的等边三角形，已知向量,a b ，满足,2AB a AC a b ==+，又BC AB AC +=，所以AB a =，BC b21=，所以2=，1=，1120cos 12-=⨯⨯=⋅ ，则1a b =错误，故选C.2、在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0)A -，B ，(3,0)C ，动点D 满足1CD =，则OA OB OD →→→++的最大值是________．【答案】 1【解析】设(,)D x y ，由(3,)CD x y →=-及1CD →=，知()2231x y -+=，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又(1,OA OB OD x y →→→++=-+，∴OA OB OD →→→++=问题转化为圆()2231x y -+=上的点与点(1,P 间距离的最大值．∵圆心(3,0)C 与点(1,P =1.即OA OB OD →→→++1.考点二 数量积运算—求向量的夹角1、在直角三角形ABC 中，90C =︒，6AC =，4BC =，若点D 满足2AD DB =-，则||CD = ．【答案】10 【解析】因为90C =︒，6AC =，4BC =，所以以可以C 为原点，以,CB CA 所在直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则()()4,0,0,6B A ，设(),D x y ，由2A D D B=-得()()248,,8,6662x x x D y y y =--⎧=⎧⎪-⎨⎨=--=⎪⎩⎩，可得||CD =10=，故答案为10. 时，己知函数为减函数。
高三高考一轮复习优秀导学案：平面向量的数量积及应用
平面向量的数量积及应用（导学案）一、知识梳理：(请同学们阅读必修四) 1. 平面向量的夹角及表示:(1).平面向量的夹角的定义 (2).范围: 表示方法:当夹角为0或时,则称a 与b ,记作: ; 当夹角为9时,则称a 与b ,记作: ; 2.向量的数量积定义:3.数量积几何意义与投影的概念:4.数量积的性质:设a 与b 是非零向量,e 是单位向量,是a 与e 的夹角,则 ① = ；②a b 时，a b ③同向量，④反向量，⑤| =特别地：=++2a b=+-2a b (a+b) (a-b)=-⑥数量积的运算律: 交换律： ；结合律： ；分配律：⑦数量积的坐标运算： ； ⑧两向量垂直叛定： ； ⑨两向量夹角公式： ；⑩向量的模及两点间的距离： ； 二、题型探究探究一：平面向量的数量积运算例1：已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为12，求： ○1○2○3- ； ○4（2a-b ）（a+3b ）探究二、数量积的综合应用例2：已知向量a 和b 的夹角是120°，且2||=a ，5||=b ，则a b a⋅-)2(=例3：已知平面上三个向量a 、b 、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°， （1）求证：)(b a-⊥c ；（2）若1||>++c b a k)(R k ∈，求k 的取值范围.例4：已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2） （1）若|c |52=，且a c //，求c 的坐标； （2）若|b |=,25且b a 2+与b a -2垂直，求a 与b 的夹角θ. 三、方法提升运用向是的数量积可以解决有关长度、角度等问题，也可以解决有关向量位置关系问题。
四、课时训练：1．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（）()A 0,24 ()B 24,4 ()C 16，0 ()D 4，02．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ，)3,1(-B ，若点C 满足OB OA OC βα+=，其中R ∈βα,，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为：（ ）()A 01123=--y x ()B 5)2()1(22=-+-y x ()C 02=-y x ()D 052=-+y x3．已知向量)75sin ,75(cos =a ，)15sin ,15(cos=b ，那么||b a -的值是（ ）()A 21 ()B 22 ()C 23 ()D 14．在ABC ∆中，0<⋅AC AB ，ABC ∆的面积是415，若3||=AB ，5||=AC ，则BAC ∠=( )()A 6π()B 32π ()C 43π ()D 65π5．已知O 为原点，点,A B 的坐标分别为)0,(a A ，),0(a B ，其中常数0>a ，点P 在线段AB 上，且有AB t AP =)10(≤≤t ，则OP OA ⋅的最大值为 （ ）()A a ()B a 2 ()C a 3 ()D 2a6．设12,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=，则||||21PF PF ⋅的值等于 （ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 87.设,,a b c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①()()0a b c c a b ⋅-⋅=； ② ||||||a b a b -<-③()()b c a c a b ⋅-⋅不与c 垂直 ④22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=-中，是真命题的有 ( )（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④8．设,,,O A B C 为平面上四个点，a OA =，b OB =，c OC =，且0=++c b a ，c b b a ⋅=⋅=a c ⋅1-=，则||||||c b a++＝___________________。
高考数学一轮复习第5章平面向量3第3讲平面向量的数量积及应用举例教案理
第3讲平面向量的数量积及应用举例1．平面向量的数量积(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(6)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×(2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝12×32＋32×121×1＝32，则∠ABC ＝30°.已知a ，b 是平面向量．如果|a |＝3，|b |＝4，|a ＋b |＝2，那么|a －b |＝( ) A. 46 B ．7 C ．5D. 21解析：选A.由|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝9＋2a ·b ＋16＝4，得2a ·b ＝－21，所以|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝9＋21＋16＝46，所以|a －b |＝46.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________．解析：因为a ＋b ＝(m －1，3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7. 答案：7已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________．解析：b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2) ＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22＝3－2×1×1×cos π3－8＝－6.答案：－6平面向量数量积的运算[典例引领](1)(2018·豫南九校联考)已知向量a ＝(m ，2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b |a ·（a ＋b ）等于( ) A ．－53B ．1C ．2D. 54(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1【解析】 (1)因为a ⊥b ，所以2m －2＝0，所以m ＝1，则2a －b ＝(0，5)，a ＋b ＝(3，1)，所以a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5，|2a －b |＝5，所以|2a －b |a ·（a ＋b ）＝55＝1.(2)如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)，设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2(y －32)2－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，为－32，选择B. 【答案】 (1)B (2)B在本例(2)的条件下，若D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于________． 解析：法一：(通性通法)因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝23，在△ABD 中，AD 2＝BD 2＋AB 2－2BD ·AB ·cos 60°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋22－2×23×2×12＝289，即AD ＝273，同理可得AE ＝273，在△ADE中，由余弦定理得cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE＝289＋289－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322×273×273＝1314，所以AD →·AE →＝|AD →|·|AE→|cos ∠DAE ＝273×273×1314＝269.法二：(光速解法)如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A ()0，3，D ⎝⎛⎭⎪⎫－13，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫13，0，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－3，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－3，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－3＝269.答案：269(1)向量数量积的两种运算方法①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)数量积在平面几何中的应用解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解．[通关练习]1．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12C.32D.52解析：选D.a ＋2b ＝(－1＋2m ，4)，2a －b ＝(－2－m ，3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a ·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52.2．(2018·云南省第一次统一检测)在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( ) A ．48 B ．36 C ．24D ．12解析：选C.法一：AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－13AD →＝12AB →2－29AD →2＝12×82－29×62＝24.法二：(特例图形)，若▱ABCD 为矩形，建立如图所示坐标系，则N (4，6)，M (8，4)． 所以AM →＝(8，4)，NM →＝(4，－2)所以AM →·NM →＝(8，4)·(4，－2)＝32－8＝24.3．(2017·高考北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________．解析：法一：由题意知，AO →＝(2，0)，令P (cos α，sin α)，则AP →＝(cos α＋2，sin α)，AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故AO →·AP →的最大值为6. 法二：由题意知，AO →＝(2，0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO →·AP →＝(2，0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，故AO →·AP →的最大值为6. 答案：6平面向量的夹角与模(高频考点)平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，属中档题．高考对平面向量的夹角与模的考查主要有以下三个命题角度： (1)求两向量的夹角； (2)求向量的模； (3)两向量垂直问题．[典例引领]角度一 求两向量的夹角(2018·成都市第二次诊断性检测)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( ) A.π6 B.5π6 C.π4D.3π4【解析】 因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b |＝3，又(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2|b |2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝（a ＋2b ）·b|a ＋2b ||b |＝343×12＝32，所以a ＋2b 与b 的夹角为π6. 【答案】A角度二 求向量的模在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【解析】 设AB 的长为a (a >0)，又因为AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →，于是AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝12AB →·AD →－12AB →2＋AD →2＝－12a 2＋14a ＋1，由已知可得－12a 2＋14a ＋1＝1.又a >0，所以a ＝12，即AB 的长为12.【答案】 12角度三 两向量垂直问题已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．【解析】 因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0. 又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →， 所以(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0， 即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，所以(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0. 所以(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得λ＝712.【答案】712(1)求平面向量的夹角的方法①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝a ·b|a ||b |，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a ·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系； ②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22； (2)求向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量模的运算转化为数量积运算．②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．[通关练习]1．(2018·河南百校联盟联考)已知非零向量a ，b 满足：2a ·(2a －b )＝b ·(b －2a )，|a －2b |＝3|a |，则a 与b 的夹角为________．解析：由2a ·(2a －b )＝b ·(b －2a )得4a 2＝b 2，由|a －2b |＝3|a |得a 2－22a ·b ＋2b 2＝9a 2，则a ·b ＝0，即a ⊥b ，所以a 与b 的夹角为90°. 答案：90°2．(2017·高考山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________解析：因为（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ2， 故3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 答案：33 3．(2018·东北四市高考模拟)已知向量OA →＝(3，1)，OB →＝(－1，3)，OC →＝mOA →－nOB →(m >0，n >0)，若m ＋n ＝1，则|OC →|的最小值为________．解析：由OA →＝(3，1)，OB →＝(－1，3)得OC →＝mOA →－nOB →＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m >0，n >0)，所以n ＝1－m 且0<m <1，所以OC →＝(1＋2m ，4m －3)，则|OC →|＝（1＋2m ）2＋（4m －3）2＝20m 2－20m ＋10＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋5(0<m <1)，所以当m ＝12时，|OC →|min ＝ 5.答案： 5向量数量积的综合应用[典例引领](2017·高考江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 【解】 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[通关练习]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin A2，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－cos A 2，且2m ·n ＋|m |＝22，则∠A ＝________．解析：因为2m ·n ＝2sin A 2cos A 2－2cos 2 A 2＝sin A －(cos A ＋1)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4－1，又|m |＝1，所以2m ·n ＋|m |＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝22，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝12.因为0<A <π，所以－π4<A －π4<3π4，所以A －π4＝π6，即A ＝5π12.答案：5π122．(2018·山东模拟)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cosB ，2cos 2 C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m·n ＝0.(1)求∠C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． 解：(1)因为m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0， 所以c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得 sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0， sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0，所以cos C ＝12，而C ∈(0，π)，所以∠C ＝π3.(2)由AD →＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →， 两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.① 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ，所以a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝2 3.求向量模的常用方法利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之也不成立．易错防范(1)a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b .(2)a·b ＝a·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立．1．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( ) A ．－7 B ．－3 C ．2D ．3解析：选D.依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb2＋(2λ－1)a ·b ＝0，－3λ＋9＝0，λ＝3.2．(2018·山西四校联考)向量a ，b 满足|a ＋b |＝23|a |，且(a －b )·a ＝0，则a ，b 的夹角的余弦值为( ) A ．0 B.13 C.12D.32解析：选B.(a －b )·a ＝0⇒a 2＝b ·a ，|a ＋b |＝23|a |⇒a 2＋b 2＋2a ·b ＝12a 2⇒b 2＝9a 2，所以cos 〈a ，b 〉＝b ·a |b |·|a |＝a 23|a |·|a |＝13.故选B.3．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知向量a ＝(1，0)，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，若c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则c 在d 方向上的投影为( ) A.55B ．－55C ．1D ．－1解析：选 D.依题意得|a |＝1，a ·b ＝1×2×cos 45°＝1，|d |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1，c ·d ＝a 2－b 2＝－1，因此c 在d 方向上的投影等于c ·d|d |＝－1，选D.4．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， 所以2AC →·BA →＝0，所以AC →⊥AB →.所以∠A ＝90°，又因为根据条件不能得到|AB →|＝|AC →|.故选C.5．(2018·福建漳州八校联考)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|，|AB →|＝|AC →|＝3，则CB →·CA →的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－92D.92解析：选 D.由|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|两边平方可得，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝3(AB →2＋AC →2－2AB →·AC →)，即AB →2＋AC →2＝4AB →·AC →，又|AB →|＝|AC →|＝3，所以AB →·AC →＝92，又因为CB →＝AB →－AC →，所以CB →·CA →＝(AB →－AC →)·(－AC →)＝AC →2－AB →·AC →＝9－92＝92，故选D.6．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2 b |＝ ________ .解析：易知|a ＋2b |＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.答案：2 37．(2018·江西七校联考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，且b 在a 上的投影为－3，则向量a 与b 的夹角为________． 解析：因为b 在a 上的投影为－3，所以|b |cos 〈a ，b 〉＝－3，又|a |＝12＋（3）2＝2，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－6，又a ·b ＝1×3＋3m ，所以3＋3m ＝－6，解得m ＝－33，则b ＝(3，－33)，所以|b |＝32＋（－33）2＝6，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－62×6＝－12，因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以a 与b 的夹角为23π.答案：23π8．(2017·高考天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.又AB →·AC →＝3×2×12＝3，所以AD →·AE→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(－AB →＋λAC →)＝－13AB →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23AB →·AC →＋23λAC →2＝－3＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23＋23λ×4＝113λ－5＝－4，则λ＝311.答案：3119．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )． (1)若a ⊥(a ＋b )，求|b |的值；(2)若a ＋2b ＝(4，－7)，求向量a 与b 夹角的大小． 解：(1)由题意得a ＋b ＝(3，－1＋x )． 由a ⊥(a ＋b )，可得6＋1－x ＝0， 解得x ＝7，即b ＝(1，7)， 所以|b |＝50＝5 2.(2)a ＋2b ＝(4，2x －1)＝(4，－7)， 故x ＝－3， 所以b ＝(1，－3)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝（2，－1）·（1，－3）5×10＝22，因为〈a ，b 〉∈[0，π]， 所以a 与b 夹角是π4.10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解：(1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 所以4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a ·b －27＝61，所以a ·b ＝－6.所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又因为0≤θ≤π，所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13. (3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.1．已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是( ) A.33B.22C.23D.34解析：选C.设BC 的中点为M ，则AG →＝23AM →.又M 为BC 中点， 所以AM →＝12(AB →＋AC →)，所以AG →＝23AM →＝13(AB →＋AC →)，所以|AG →|＝13AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →.又因为AB →·AC →＝－2，∠A ＝120°， 所以|AB →||AC →|＝4.所以|AG →|＝13AB →2＋AC →2－4≥132|AB →||AC →|－4＝23，当且仅当|AB →|＝|AC →|时取“＝”， 所以|AG →|的最小值为23，故选C.2．(2018·广东七校联考)在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N 为AC 边上的两个动点(M ，N 不与A ，C 重合)，且满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选C.不妨设点M 靠近点A ，点N 靠近点C ，以等腰直角三角形ABC 的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B (0，0)，A (0，2)，C (2，0)，线段AC 的方程为x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)．设M (a ，2－a )，N (a ＋1，1－a )(由题意可知0<a <1)，所以BM →＝(a ，2－a )，BN →＝(a ＋1，1－a )，所以BM →·BN→＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋32，因为0<a <1，所以由二次函数的知识可得BM →·BN →∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.3．设非零向量a 与b 的夹角是5π6，且|a |＝|a ＋b |，则|2a ＋t b ||b |的最小值是________．解析：因为非零向量a 与b 的夹角是5π6，且|a |＝|a ＋b |， 所以|a |2＝|a ＋b |2＝|a |2＋|b 2|＋2|a |·|b |cos 5π6，所以|b |2－3|a ||b |＝0，所以|b |＝3|a |，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a ＋t b ||b |2＝4|a |2＋t 2|b |2＋4t a ·b |b |2＝4|a |2＋t 2·3|a |2－6t |a |23|a |2＝t 2－2t ＋43＝(t －1)2＋13， 所以当t ＝1时，|2a ＋t b ||b |取最小值13＝33. 答案：334．(2018·昆明质检)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )； ③(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ；④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)解析：当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故①是正确的；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故②是错误的；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a·c ＋b·c ，显然|a ＋b －c |≠a·c ＋b·c ，故③是错误的；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a·e|＜|a|·|e |＜|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的是①④. 答案：①④5．(2018·安康模拟)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (0，2)、B (4，1)、C (－6，9)． (1)若AD 是BC 边上的高，求向量AD →的坐标；(2)若点E 在x 轴上，使△BCE 为钝角三角形，且∠BEC 为钝角，求点E 横坐标的取值范围． 解：(1)设D (x ，y )，则AD →＝(x ，y －2)， BD →＝(x －4，y －1)，由题意知AD ⊥BC ，则AD →·BC →＝0，即－10x ＋8(y －2)＝0，即5x －4y ＋8＝0，① 由BD →∥BC →，得8(x －4)＝－10(y －1)， 即4x ＋5y －21＝0，② 联立①②解得x ＝4441，y ＝13741，则AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4441，5541.(2)设E (a ，0)，则EB →＝(4－a ，1)，EC →＝(－6－a ，9)， 由∠BEC 为钝角，得(4－a )·(－6－a )＋9＜0，解得－5＜a ＜3， 由EB →与EC →不能共线，得9(4－a )≠－6－a ，解得a ≠214.故点E 的横坐标的取值范围为(－5，3)．6.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值；(2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值．解：(1)设D (t ，0)(0≤t ≤1)， 由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －222＋12，所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22. (2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC →＝(cos θ＋1，sin θ)，则m ·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4取得最大值1.所以m ·n 的最小值为1－2，此时θ＝π8.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
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平面向量的数量积及应用
知识梳理：
平面向量的夹角及表示:
(1).平面向量的夹角的定义
(2).范围: 表示方法:
当夹角为0或错误！未找到引用源。
时,则称a与b ,记作: ;
当夹角为9错误！未找到引用源。
时,则称a与b ,记作: ;
2.向量的数量积定义:
3.数量积几何意义与投影的概念:
4.数量积的性质:设a与b是非零向量,e是单位向量,错误！未找到引用源。
是a与e的夹角,
则
①错误！未找到引用源。
= ；②a错误！未找到引用源。
b时，a错误！未找到引用源。
b错误！未找到引用源。
③错误！未找到引用源。
同向量，错误！未找到引用源。
④错误！未找到引用源。
反向量，错误！未找到引用源。
⑤错误！未找到引用源。
|错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
特别地：错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+2a错误！未找到引用源。
b 错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
-2a 错误！未找到引用源。
b (a+b)错误！未找到引用源。
(a-b)=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
⑥数量积的运算律: 交换律：；结合律：；分配律：
⑦数量积的坐标运算：；
⑧两向量垂直叛定：；
⑨两向量夹角公式： ；
⑩向量的模及两点间的距离： ；
二、题型探究
探究一：平面向量的数量积运算
例1：已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为12错误！未找到引用源。
，求：
○1错误！未找到引用源。
○2错误！未找到引用源。
○3错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
；
○4（2a-b ）错误！未找到引用源。
（a+3b ）
（答案：-10；21；9；-48）
探究二、数量积的综合应用
例2：已知向量a 和b 的夹角是120°，且2||=a ，5||=b ，则a b a ⋅-)2(=
例3：已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，
（1）求证：)(b a -⊥c ；
（2）若1||>++c b a k )(R k ∈，求k 的取值范围.
解：（1）∵ 1||||||===c b a ，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，
∴ 0120c o s ||||120cos ||||)(00=-=⋅-⋅=⋅-c b c a c b c a c b a
∴ 0)(=⋅-c b a
（2）∵ 1||>++c b a k ，即1||2>++c b a k
也就是12222222
>⋅+⋅+⋅+++c b c a k b a k c b a k ∵ 2
1-=⋅=⋅=⋅c a c b b a ，∴022>-k k 所以 0<k 或2>k ．
例4：已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）
（1）若|c |52=，且//，求的坐标；
（2）若|b |=,2
5且b a 2+与-2垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：（1）设),(y x =，由//和52|=c 可得：
⎩⎨⎧2002122=+=⋅-⋅y x x y ∴ ⎩⎨⎧42==y x 或 ⎩
⎨⎧42-=-=y x ∴)4,2(=，或)4,2(--=
（2） ),2()2(-⊥+ 0)2()2(=-⋅+∴b a b a 即22
2320,a a b b +⋅-= 222||32||0a a b b ∴+⋅-=
∴ 0452352=⨯
-⋅+⨯b a ， 所以25-=⋅b a ∴ ,1|
|||c o s -=⋅=b a b a θ ∵ ],0[πθ∈ ∴ πθ=.
三、方法提升
运用向是的数量积可以解决有关长度、角度等问题，也可以解决有关向量位置关系问题。
四、反思感悟。