八年级数学第二章 无理数的估算
康县师院附中八年级数学上册 第二章 实数 4 估算教案 北师大版
4 估算1．能通过估算检验计算结果的合理性．2．能估计一个无理数的大致范围；通过估算比较两个数的大小．3．通过教学过程的参与，培养学生学习数学的主动性，发展学生数感．重点估计一个无理数的大致范围．难点通过估算比较两个数的大小．一、情境导入师：自从“第一次数学危机”，即古希腊人希伯索斯发现了无理数以来，人们对无理数的探究就从来没有停止过，而比较两个无理数的大小，对无理数的估算，则是其中重要内容之一．无理数是无限不循环小数，所以无法写出某个无理数，人们想到了用符号准确地表示一个无理数，如π等，但这给它们的大小比较和估算带来了一定的困难，那么如何通过估算来比较两个无理数的大小呢？这节课我们就来研究它们．(板书：估算．)二、探究新知1．估算的方法．课件出示题目：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园．已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2.此公园的宽是多少？长是多少？解：设公园的宽为x m，则它的长为2x m，由题意得x·2x ＝400 000，2x2＝400 000，x2＝200 000.所以公园的宽x就是200 000的算术平方根．师：(1)如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流．(2)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，如何估计它的半径？(结果精确到1 m)分析：(1)我们可以把这个长方形看成是由两个正方形拼接成的，那么，每个正方形的面积为200 000 m2，大家估计一下，哪个数的平方是200 000？100的平方为10 000，1 000的平方为1 000 000，所以公园的宽大约几百米，没有1 000 m宽，精确到10 m，我们可以计算一下450的平方．(2)圆形花圃的面积是800 m2，800除以3.14约等于255，大约为16的平方，所以圆形花圃的半径大约是16 m.2．比较大小．课件出示教材第33页“议一议”．学生分组讨论，教师深入到各组中指导学生讨论．三、举例分析1．课件出示教材第33页例题．分析：根据题意作示意图，数形结合，再利用勾股定理列方程求解．2．课件出示教材第34页“议一议”．学生分组讨论后回答．拓展：确定无理数近似值的方法(估算法)．(1)当被开方数在1～1 000以内时，可利用乘方与开方为互逆运算来确定无理数的整数部分，然后根据所要求的精确度大小确定小数部分．(2)当被开方数是正的纯小数或比1 000大时，利用方根与被开方数的小数点之间的规律，移动小数点的位置，将其转化到被开方数在1～1 000以内进行估算，即平方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动2n (n是正整数)位，其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位；立方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动3n(n是正整数)位，其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位．四、练习巩固教材第34页“随堂练习”第1～2题．五、小结1．确定无理数近似值的方法——估算法．2．比较无理数大小的方法：(1)估算法；(2)作差法；(3)平方法；(4)移动因式法；(5)倒数法；(6)作商法．六、课外作业教材第34～35页习题2.6第1～6题．这节课的内容是让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力．由于学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少，所以比较陌生，学习起来难度就比较大，因此在教学中选取学生熟悉的问题，激发学生的学习兴趣．比如，本节课的教学中选取了“新建环保公园”的问题，与学生平时的生活密切联系，容易把学生的积极性调动起来.2 平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定（1）【知识与技能】1.会证明平行四边形的2 种判定方法;2.理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用.【过程与方法】在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力.【情感态度】通过平行四边形判别条件的探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情.【教学重点】平行四边形判定方法的探究、运用.【教学难点】平行四边形判定方法的运用.一.情景导入，初步认知1．平行四边形的定义是什么？它有什么作用？2．平行四边形还有哪些性质？【教学说明】教师提出问题，由学生独立思考，并回答定义正反两方面的作用，总结出平行四边形的其他几条性质．二.思考探究，获取新知探究1：平行四边形的判定定理1.用两对长度分别相等的笔，能否在平面内用这四根笔摆成一个平行四边形？你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？【教学说明】通过学生的互相交流，口述其推理论证的过程．根据学生的认知水平，教师应估计到学生可能会在推理论证时遇到困难，所以应加以适当引导．【归纳结论】两组对边分别相等的四边形是平行四边形.探究2：平行四边形的判定定理2.请利用两根长度相等的笔能摆出以笔顶端为顶点的平行四边形.你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？【归纳结论】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.三.运用新知，深化理解1. 如图，在平行四边形ABCD中，E.F分别是AD、BC的中点．求证：四边形BFDE是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=CB，AD//BC.又∵E.F分别是AD、BC的中点，∴ED=12AD，BF=12BC.∴DE=BF.又∵ED∥BF,∴四边形BFDE是平行四边形.2.如图,AB DC，DC=EF=10，DE=CF=8，则图中的平行四边形有_____________________，理由分别是_________________________、___________________________.答案：四边形ABCD，四边形CDEF；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,两组对边分别相等的四边形是平行四边形.3.如图,E.F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件:_______________，使四边形AECF是平行四边形.答案：BE=DF或∠BAE=∠DCF等任何一个均可.4.如图,AD=BC,要使四边形ABCD是平行四边形,还需补充的一个条件是:__________________.答案：①AD∥BC,②AB=CD,③∠A+∠B=180°,④∠C+∠D=180°等.5.如图,在□ABCD中,已知M和N分别是边AB.DC的中点,试说明四边形BMDN也是平行四边形.证明：∵□ABCD,∴AB CD.∵M.N是中点,∴BM=12AB,DN=12CD.∴BM DN.∴四边形BMDN也是平行四边形.【教学说明】学生在思考的过程中逐步熟悉平行四边形的定义，并知道举一反三，掌握证明平行四边形的方法.四.师生互动，课堂小结（1）判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？这些方法是从什么角度去考虑的？（2）我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的？这样的探索过程对你有什么启发？（3）类比、观察、拼图、实验等都是学习数学、发现结论的常用方法．五.教学板书布置作业:教材“习题6.3”中第1、2、3题.本节课在引入的环节上，采用复习引入的方式.首先复习了平行四边形的定义和性质，唤起学生对已有知识的回忆，让学生初步感受平行四边形的性质与判定的区别与联系，为平行四边形的性质和判定的综合运用作了铺垫.知识的真正获得不是靠知者的“告诉”，而是在于学习者的亲身体验所得，本节课判定方法的得出都非常重视知识的发生、形成过程，让学生亲历了类比、观察、实验、猜想、验证、推理的整个过程，培养学生的探究能力，发展学生的合情推理能力.学生把所学知识灵活地加以运用，有效地激发了学生的学习兴趣，提高了学习效率.数学的学习要重视学习方法的指导.本节课通过由浅入深的练习和灵活的变式，引导学生善于抓住图形的基本特征和题目的内在联系，达到触类旁通的效果.第十五章分式15.1 分式【知识与技能】理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围或字母之间的相互关系.【过程与方法】在经历探索、思考、类比的过程中，体会分式的意义，感受分式是刻画现实问题中数量关系的一种模型.【情感态度】进一步增强从特殊到一般的认知过程，发展学生的数学思维能力.【教学重点】理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围的判别方法.【教学难点】在分式有意义的条件下，分式值为0的字母的取值情况.一、情境导入，初步认识问题一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/小时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？【教学说明】章前画面和上述问题可用多媒体展示，让学生感受生活，感受数学.对所提出的问题让学生相互交流，探索解决问题的过程、方法，教师巡视，适时参与学生的讨论，最后选取学生代表展示成果，教师及时提出新问题.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知问题1刚才大家通过探讨，获得到100602020v v+-，这样的式子，它们是整式吗？如果不是，区别在哪里？思考1（1）长方形的面积为10cm2，长为7cm，宽为；若长方形的面积为S，长为a，则宽应为；（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱的容器中，水面高度为cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度应为 .思考2 式子S/a 、V/S 与10/7，200/33有什么区别？它们与100602020v v+-，有什么共同点？谈谈你的看法. 【教学说明】教师应引导学生对上述三个问题进行积极思考，感受整式与分式、分式与分数之间的联系和区别，初步形成对分式的概念的理解.教师在学生交流过程中，巡视全场，引导学生关注所给式子的分子，分母的特征，此时可类比分数分子、分母进行描述.分式：一般地如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式. 问题2（1）使分式11x - 有意义，则x 的取值有什么要求？ （2）使分式A/B 有意义，所需要的条件是什么？【教学说明】让学生自主探究，获得结论，然后相互交流，教师再予以总结.【归纳结论】使分式A/B 有意义时，必有B ≠0.三、典例精析，掌握新知例1指出下列各式中的整式与分式：【教学说明】教师总结判断分式的依据：看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.然后让学生自主探索，获得结论，这里要注意：π不是字母，是常数，所以x/π是整式. 例2填空：（1）当x 时，分式23x有意义？ （2）当b 时，分式153b -有意义？ （3）当x ，y 满足关系 时，分式x y x y+-有意义？ （4）当x 时，分式231x x + 有意义？ 解：（1）由题意有：3x ≠0，故x ≠0，所以当x ≠0时，分式23x 有意义；（2）由题意有：5-3b ≠0，故b ≠5/3,所以当b ≠5/3时，分式153b-有意义；（3）由题意有x-y ≠0，故x ≠y ，所以当x ≠y 时，分式x y x y +-有意义；（4）由题意有x 2+1≠0，因为x 2≥0，x 2+1≥1，故x 为任何数时，分式231x x +有意义. 【教学说明】让学生自主探索，获得结论，选取一、两名同学汇报自己的结论，师生共同评论.评析时，教师应注意引导学生对（3）、（4）小题进行反思，巩固对分式有意义的条件和认识.例3什么条件下，下列分式的值为0？（1）1x x - ；（2）23m n m n -+ ；（3）()236x x x x --- . 解：（1）由题意有：x-1=0，∴x=1.当x=1时，分母x ≠0，所以当x=1时，分式1x x-的值为0； （2）由题意有：2m-3n=0，∴m=32n ，∴m+n=52n ，又m+n ≠0，即52n ≠0，∴n ≠0，从而在m=32n ≠0时，分式23m n m n-+的值为0； （3）由题意有：x(x-3)=0，∴x=0或x=3，当x=0时，分母x 2-x-6=-6≠0，当x=3时，x 2-x-6=9-3-6=0，故使分式()236x x x x ---的值为0时，x 的值为x=0. 【教学说明】教学时，教师应讲清楚使分式=0时所必须的条件是：分子=0且分母≠0，这样让学生自己通过探讨三个问题的结论时，感知分式有意义是确定分式的值的前提条件，然后给一定时间让学生自己尝试解决所提出的问题，再由老师给予完整解答，让学生在比较、分析与反思中巩固所学知识.在完成上述例题后，教师可引导学生做教材P4练习，以巩固知识.四、师生互动，课堂小结1.这节课你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你还有哪些疑问？与同伴交流.【教学说明】问题都可由学生自己总结，选取代表发表自己的看法，从而系统地对本节知识进行回顾与思考，针对学生的疑问，可当堂予以解释，帮助学生掌握所学的知识.1.布置作业：从教材“习题15.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.这节课的内容较少，比较贴近实际生活，要求学生知道什么是分式，能区分整式与分式，对保证分式有意义、分子分母要同时满足什么条件能很准确地指出来.此外，分式的值为0时分子分母也要满足一定的条件.教学中可以多出具一些实例，让学生在实际问题中去感知.。
八年级数学上册教学课件《估算》
x 0.09 0.3（米）
答：每块地砖的边长是0.3米.
课堂检测
拓广探索题
有一列数按如下规律排列：
- 2 ，- 3 ，1 ，- 5 ，- 6 ， 7 ，...... 2 4 4 16 32 64
则第2016个数是 ( C )
2.4 估算
A. 2016 22015
B.
2016 22015
…
900 729<900<1000 884.736<900<912.673 898.632125<900<901.428696 899.750058264<900<900.029686375
…
探究新知 1.估算无理数大小的方法：
2.4 估算
（1）通过利用乘方与开方互为逆运算，采用“夹逼法”， 确定真值所在范围；
2.4 估算
连接中考
2.4 估算
1. 下列各数中比3大比4小的无理数是（ A ）
A．10
B．17
C．3.1
D．10 3
2. 设x＝ 15 ，则x的取值范围是（ B ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．无法确定
课堂检测
基础巩固题
1.式子 2 3 2 的结果精确到0.01为 ( C )
A. 4.9
B. 4.87 C. 4.88 D. 4.89
2. 下列计算结果正确的是 ( B )
A. 0.43 0.066
B. 895 30
C. 2536 60.4
D. 900 96
2.4 估算
课堂检测
基础巩固题
2.4 估算
3. 估计 17 在 ( C ) A. 2～3之间 B. 3～4之间 C. 4～5之间 D. 5～6之间
北师大版初中数学八年级上册第二章《 2.1认识无理数》教案
北师大版数学八年级上册第二章《认识无理数》教案2.1 认识无理数(一)教学目标(一)知识目标:1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由.(二)能力训练目标:1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.(三)情感与价值观目标:1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神.教学重点1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2.会判断一个数是否为有理数.教学难点1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2.判断一个数是否为有理数.教学方法教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.教学过程一、创设问题情境,引入新课［师］同学们,我们学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.［生］在初一我们还学过负数.［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.二、讲授新课1.问题的提出［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？［生］好.(学生非常高兴地投入活动中).［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请各组把拼的图展示一下.同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：下面请大家思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a ，则a 应满足什么条件呢？ ［生甲］a 是正方形的边长，所以a 肯定是正数.［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a 2=2.［生丙］由a 2=2可判断a 应是1点几.［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a 是整数吗？a 是分数吗？请大家分组讨论后回答.［生甲］我们组的结论是：因为12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所以a 应在1和2之间，故a 不可能是整数. ［生乙］因为913131,943232,412121=⨯=⨯=⨯，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a 不可能是分数.［师］经过大家的讨论可知，在等式a 2=2中，a 既不是整数，也不是分数，所以a 不是有理数，但在现实生活中确实存在像a 这样的数，由此看来，数又不够用了. 2.做一做投影片§2.1.1 A(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为b ，则b 应满足什么条件？b 是有理数吗？ ［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容.［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a ，b ，斜边为c ，则有a 2+b 2=c 2.［师］在这题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b ，根据勾股定理得b 2=12+22，即b 2=5，则b 是有理数吗？请举手回答.［生甲］因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b 不可能是整数. ［生乙］没有两个相同的分数相乘得5，故b 不可能是分数.［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数.［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数a ，b 都不是有理数，而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.三、课堂练习(一)课本P35随堂练习如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？解：由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h2=3.h不可能是整数，也不可能是分数.(二)补充练习为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为a米，则由勾股定理得a2=12+22，即a2=5，a的值大约是多少？这个值可能是分数吗？解：a的值大约是2.2，这个值不可能是分数.四、课堂小结1.通过拼图活动，经历无理数产生的实际背景，让学生感受有理数又不够用了.2.能判断一个数是否为有理数.五、课后作业：见作业本。
八年级数学上册第二章实数：认识无理数第2课时认识无理数教案新版北师大版
八年级数学上册教案新版北师大版：2.1认识无理数第2课时教学目标【知识与能力】掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.【过程与方法】借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.【情感态度价值观】在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.教学重难点【教学重点】能用所学定义正确判断所给数的属性.【教学难点】无理数概念的建立.教学准备计算器、立方体、多媒体课件.教学过程第一环节：情境引入导入:前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?1.有理数是如何分类的?【问题解决】有理数{整数(如−1,0,2,3,…)分数(如13,−25,911,0.5,…)2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a 2=2,b 2=5中的a ,b 不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.[设计意图] 通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.第二环节：新知构建1.数的小数表示面积为2的正方形的边长a 究竟是多少呢?(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.(2)边长a 的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)【思考】 a ,哪个更接近正方形的实际边长?【归纳总结】 a 是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a 一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a =1.41421356…,它是一个无限不循环小数.【做一做】 (1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.(2)如果结果精确到0.01呢? (提示:精确到0.1,b ≈2.2,精确到0.01,b ≈2.24)同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c =1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.[设计意图] 让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a =1.41421356…,b =2.2360679…,c =1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念思路一:请同学们以学习小组的形式活动.【议一议】 把下列各数表示成小数,你发现了什么?3,45,59,-845,211. 【答案】 3=3.0,45=0.8,59=0.5·,-845=-0.17·,211=0.1·8·.分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?思路二:回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?【探究结论】 分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.【强调】 像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)【想一想】 你能找到其他的无理数吗?[设计意图] 通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.3.例题讲解下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,-43, 0.5·7·,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). 解:有理数有:3.14,-43,0.5·7·; 无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).【强调】 1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数p q 的形式(q ≠0,p ,q 为整数且互质),而无理数不能. [设计意图] 通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.[知识拓展] 确定x 2=a (a ≥0)中正数x 的近似值的方法:1.确定正数x 的整数部分.根据平方的定义,把x 夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x 2=5中的正数x 的整数部分,因为22<5<32,即22<x 2<32,所以2<x <3,因此x 的整数部分为2.2.确定x 的小数部分十分位上的数字.(1)将这两个整数平方和的平均数与a 比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为22+322=6.5>5,所以x 的十分位上的数字一定比3小,不妨设x ≈2.2.(2)设误差为k (k 必为一个纯小数,且k 可能为负数),则x =2.2+k ,所以(2.2+k )2=5,所以4.84+4.4k +k 2=5,因为k 是小数,所以k 2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k =5,所以k ≈0.036,所以x =2.2+k ≈2.2+0.036=2.236.实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22<x 2<2.32,所以2.2<x <2.3,所以十分位上的数字为2.第三环节：课堂小结数{有理数:有限小数或无限循环小数{整数分数无理数:无限不循环小数第四环节：检测反馈1.下列说法中正确的是 ( )A .无限小数都是无理数B .有限小数是无理数C .无理数都是无限小数D .有理数是有限小数答案:C2.以下各正方形的边长是无理数的是 ( )A .面积为25的正方形B .面积为425的正方形C .面积为8的正方形D .面积为1.44的正方形解析:52=25,(25)2=425,(1.2)2=1.44.故选C . 3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a 是有理数吗?解:由勾股定理得: a 2=32+52,即a 2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a 不是有理数.4.已知-34,5,-1.4·2·,π,3.1416,23,0,42,(-1)2n,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).(1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数.解:(1)有理数:-34,5,-1.4·2·,3.1416,23,0,42,(-1)2n. (2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).第五环节：布置作业1.教材作业【必做题】教材随堂练习.【选做题】教材习题2.2第2,4题.2.课后作业【基础巩固】1.面积为3的正方形的边长为x ,则x ( )A .1<x <2B .2<x <3C .3<x <4D .4<x <52.一个正三角形的边长是4,高为h ,则h 是 ( )A .整数B .分数C .有限小数D .无理数【能力提升】3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是 ,则斜边长是 数.【拓展探究】4.设半径为a 的圆的面积为20 π.(1)a 是有理数吗?说说你的理由;(2)估计a 的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计);(3)如果精确到百分位呢?5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?(2)如果精确到百分位呢?【答案与解析】1.A(解析:12=1,22=4.)2.D(解析:由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.)3.13无理(解析:由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.)4.解:(1)∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数. (2)a≈4.5. (3)a≈4.47.5.解析:1.72=2.89,1.73=2.9929.解:(1)1.7米. (2)1.73米.板书设计2.1.2认识无理数1.数的小数表示.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.3.例题讲解.教学设计反思成功之处本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.不足之处对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.再教设计知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.。
北师大版八年级上册第二章 24 估 算 教案
2.4估算教学目标知识与技能：1.能通过估算检验计算结果的合理性.2.能估计一个无理数的大致范围.3.通过估算比较两个数的大小.过程与方法：通过教学过程的参与,培养学生学习数学的主动性,发展数感.情感态度与价值观：掌握估算的方法,形成估算的意识,发展数感.教学重难点重点：估计一个无理数的大致范围.难点：通过估算比较两个数的大小.教学准备教师准备：梯子模型.学生准备：复习开平方和开立方及比较数的大小的方法.教学过程一、导入新课导入一:某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个环保主题公园,已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000平方米,如图所示.如果要求结果误差小于10米,那么它的宽在什么范围内呢?导入二:自从“第一次数学危机”,即古希腊人希伯索斯发现了无理数以来,人们对无理数的探究就从来没有停止过,而比较两个无理数的大小,对无理数的估算,则是其中重要内容之一.无理数是无限不循环小数,所以无法写出某个无理数,人们想到了用符号准确地表示一个无理数,如π,等,但这给它们的大小比较和估算带来了一定的困难,那么如何通过估算来比较两个无理数的大小呢?这节课我们就来研究它们.(板书:估算)导入三:“神舟”九号、“神舟”十号顺利升空.你知道火箭要把飞船送入太空绕地球飞行所需要的速度吗?要使飞船能绕地球运转,就必须克服地球引力,事实上,只要飞船的速度超过一定值时,就能做到这一点,我们把这个速度称为第一宇宙速度,其计算公式是v=,g为重力加速度,取g=9.8(米/秒2),R是地球半径,R=6370000米,请你估计出第一宇宙速度的值为.【提示】v=≈7901(米/秒),7901米/秒≈7.9千米/秒.二、构建新知（1）引例探究[过渡语]通过前面的学习,知道无理数是无限不循环的小数,那我们如何估计结果呢?某地开辟了一块长方形的荒地用来建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000平方米.此时公园的宽是多少?长是多少?解:设公园的宽为x米,则它的长为2x米,由题意得x·2x =400000,2x2=400000,x=.那么=?【问题】(1)如果要求结果精确到10米,它的宽大约是多少?与同伴进行交流.(2)该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是800平方米,如何估计它的半径?(结果精确到1米)【问题解决】(1)我们可以把这个长方形看做是由两个正方形拼接成的,那么,每个正方形的面积为202100平方米,大家估计一下,哪个数的平方是202100?100的平方为10000,1000的平方为1000000,所以公园的宽大约几百米,没有1000米宽,精确到10米,我们可以计算一下450的平方.(2)圆形花圃的面积是800平方米,800除以3.14约等于255,大约为16的平方,所以圆形花圃的半径大约是16米.[设计意图]从现实情境引入,一方面让学生初步建立数感,另一方面让学生体会生活中的数学,从而激发学习的积极性.学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值.[过渡语]我们如何估算一个无理数的结果呢?方法是什么呢?【问题】(1)下列结果正确吗?你是怎样判断的?与同伴进行交流.①≈0.066;②≈96;③≈60.4.(2)怎样估算一个无理数的范围呢?你能估计的大小吗?( 结果精确到1)【问题解决】(1)这些结果都不正确.(2) ≈10.[设计意图]同伴间进行交流,教师适时引导.在解决问题的同时引导学生对解法进行总结,和学生一起归纳出估算的方法.让学生从被动学习到主动探究,激发学生的学习热情,培养学生自主学习数学的能力.通过简单无理数大致范围的估计,初步积累一些解决问题的经验,为接下来的实际应用做好准备.（2）例题讲解[过渡语]学会了估算的方法,如何来解决实际问题呢?例题：生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的,则梯子比较稳定.现有一长度为6 m的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.6 m高的墙头吗?〔解析〕梯子能否达到5.6 m高的墙头,作示意图如右上图,梯子和墙面、地面构成了一个直角三角形,假设梯子稳定摆放时的高度为x m,利用勾股定理,可以求出梯子的顶端能达到的最大高度,从而得出结果.解:设梯子稳定摆放时的高度为x m,此时梯子底端离墙的距离恰好为梯子长度的,根据勾股定理,有x2+=62,即,x2=32,x=, 因为5.62=31.36<32,所以>5.6,因此,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.6 m高的墙头.（3）比较无理数的大小【问题】比较与的大小.【问题解决】与的分母相同,只要比较它们的分子就可以了.因为5>4,即()2>22,所以>2,所以-1>1,所以.[知识拓展]1.确定无理数近似值的方法(估算法).(1)当被开方数在1~1000以内时,可利用乘方与开方为互逆运算来确定无理数的整数部分,然后根据所要求的误差大小确定小数部分.例如:估算的值(误差小于1),因为192<385<202,所以19<<20,所以的整数部分是19,由于误差小于1,所以的估算值是19或20,即约等于19或20.若要确定十分位上的数字,则可以采用试验值方法,即19.12=364.81,19.22=368.64,…,19.52=380.25,19.62=384.16,19.72= 388.09,于是19.62<385<19.72,所以19.6<<19.7.(2)当被开方数是正的纯小数或比1000大时,利用方根与被开方数的小数点之间的规律,移动小数点的位置,将其转化到被开方数在1~1000以内进行估算,即平方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动2n(n是正整数)位,其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位;立方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动3n(n是正整数)位,其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位.例如:要确定的整数部分,因为≈1.111,把中的被开方数的小数点向右移动4位,得,其算术平方根1.111的小数点相应地向右移动两位,得111.1,所以的整数部分是111.2.比较无理数大小的方法.(1)估算法.例如:比较与的大小,因为3<<4,所以0<-3<1,所以.(2)作差法.若->0,则;若-<0,则.例如:比较与的大小,也可以这样解:因为-<0,所以.(3)平方法.把含有根号的两个无理数同时平方,根据平方后的数的大小进行比较.例如:比较2和3的大小,因为=24,=27,所以2<3.(4)移动因式法.当a>0,b>0时,若a>b,则,因此可以把根号外的因式移到根号内进行比较大小.另外还有倒数法、作商法.比较两个无理数的大小,要根据它们的特点灵活选用上述方法.例如:比较和的大小,因为分子都是,所以只需比较分母的大小,因为3>2,所以.也就是说,对于两个正无理数,分子相同,分母大的反而小.三、课堂总结1.确定无理数近似值的方法——估算法.2.比较无理数大小的方法:(1)估算法;(2)作差法;(3)平方法;(4)移动因式法;(5)倒数法;(6)作商法.四、课堂练习1.已知的整数部分为a,小数部分为b,求代数式a2-a-b的值.解:因为9<13<16,所以3<<4,所以a=3,b=-3,所以原式=9-3-(-3)=6-+3=9-.2.比较-1与1.5的大小.解:用作差法可得-1-1.5=-2.5<0,所以-1<1.5.五、板书设计2.4估算1.引例探究.2.例题讲解.3.比较无理数的大小.六、布置作业一、教材作业【必做题】教材第34页随堂练习第1,2题.【选做题】教材第34页习题2.6第1,3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列结果正确吗?请说明理由.(1)≈60.4;(2)≈351;(3)≈35.1;(4)≈10.6.2.通过估算,比较下面各组数的大小.(1) 与;(2)与3.1.【能力提升】3.已知长方形的长与宽的比为3∶2,对角线长为 cm,求这个长方形的长与宽(结果精确到0.01 cm).4.某开发区是一个长为宽的三倍的长方形,它的面积为120210000 m2.(1)开发区的宽大约是多少米?它有10000 m吗?(2)如果要求误差小于100 m,它的宽大约是多少米?(3)开发区内有一个正方形的地块将用来建管理中心,它的规划面积是8500 m2,你能估计一下它的边长吗?(误差小于1 m)5.设a =,b =,c =2,则a,b,c之间的大小关系是 ()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a6.观察下列一组等式,然后解答后面的问题.(+1)(-1)=1,()(-)=1,()(-)=1,()(-)=1……(1)根据上面的规律,计算下列式子.+…+·(+1).(2)利用上面的规律,试比较-与-的大小.【拓展探究】7.先填写下表,通过观察后再回答问题.a…0.000001 0.00010.011 100 100001000000………(1)被开方数a 的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律?(2)已知=1800,-=-1.8,你能求出a的值吗?(3)试比较与a的大小.【答案与解析】1.解:(1)错误.因为显然小于60. (2)错误.因为显然小于100. (3)正确.因为35.12=1232.01. (4)正确.因为10.63≈1191,10.73≈1225,所以≈10.6.2.解:(1) 因为3<<3.2, 所以1<<1.1,而1>,所以.(2)因为3.13=29.791,而30>29.791,所以>3.1.3.解:设长方形的长为3x cm,宽为2x cm,由题意得(2x)2+(3x)2=,即4x2+9x2=39,13x2=39,x2=3,x=.所以长为3x=3≈5.20(cm),宽为2x=2≈3.46(cm).4.解:(1)设开发区的宽为x m,则长为3x m,由题意得3x2=120210000,x2=40000000,x=×1000.因为<10,可见开发区的宽约为几千米,没有10000 m. (2)因为≈6.3,所以开发区的宽大约为6.3×103 m. (3)设正方形的边长为y m,由题意得y2=8500,y=×10,因为81<85<100,所以,即9<<10,所以的整数部分为9,又因为84.64<85<86.49,所以9.2<<9.3,所以92<<93.即管理中心的边长约为92 m或93 m.5.D(解析:∵a2=2021+2,b2=2021+2,c2=4004=2021+2×1002,1003×997=1000000-9=999991,1001×999=1000000-1=999999,10022=1004004,∴c>b>a.故选D.)6.解:(1)由上面的规律可直接写出-,则+…+·(+1)=[(-1)+(-)+(-)+…+(-)]·(+1)=(-1)(+1)=2021.(2)∵,,又,∴,∴--.7.解:依次填:0.001,0.01,0.1,1,10,100,1000.(1)有规律,当被开方数a的小数点每向左(或向右)移动两位时,算术平方根的小数点相应地向左(或向右)移动1位. (2)观察1.8和1800,小数点向右移动了3位,则3.24的小数点向右移动6位,即a=3240000. (3)当0<a<1时,>a;当a=1或0时,=a;当a>1时,<a.教学反思这节课的内容是让学生掌握估算的方法,训练他们的估算能力.由于学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少,所以比较陌生,学习起来难度就比较大,因此在教学中选取学生熟悉的问题情境引入,激发学生的学习兴趣.比如,本节课的教学中选取了“新建环保公园”的问题情境引入,与学生平时的生活密切联系,容易把学生的积极性调动起来.由于误差的原因,不少学生对自己的估计结果产生了怀疑,所以提前明确精确度,让学生掌握估算的方法,找到解决问题的信心.在教学过程中一定要让学生体会估算的实用价值,了解到“数学既来源于生活,又回归到生活,为生活服务”.作为教师,一定要尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要,鼓励探究方式、表达方式和解题方法的多样化.设计一些误差影响较小的题目,或者估算前明确精确度,并举例说明.教材习题答案随堂练习(教材第34页)1.解:(1)≈3.7. (2)≈9.2.解:因为6<6.25,所以,而=2.5,所以<2.5.习题2.6(教材第34页)1.提示:(1)≈6. (2)≈5.1.2.解:(1)因为<2,所以-1<1,所以. (2)因为3.852=14.8225<15,所以>3.85.3.提示:要比较与的大小,只要比较4(-1)与5的大小即可,即4与9的大小,而(4)2=80<92,所以4<9,所以.4.解:(1)不正确.因为显然大于10. (2)不正确.因为显然小于100.5.提示:约为4 m.6.解:有5 m,可以设梯子长为x m,则有x2=+4.82,解得x=>5.素材例1：估计+1的值在()A.2到3之间B.3到4之间C.4到5之间D.5到6之间〔解析〕利用“夹逼法”得出的取值范围,继而便可得出+1的取值范围.因为22<<32,所以2<<3,所以3<+1<4.故选B.例2：已知a,b为两个连续整数,且a<<b,则a+b=. 〔解析〕因为4<<5,所以a=4,b=5,所以a+b=9.故填9.。
估算无理数大小的方法
估算无理数大小的方法
一。
估算无理数大小可是数学里挺重要的一招。
这就好比咱在黑暗里找路，得有个大致的方向。
1.1 先来说说啥是无理数。
像圆周率π、根号 2 这些没法写成两个整数之比的数，就是无理数。
1.2 为啥要估算它们大小呢？比如说，您要盖房子，得知道材料够不够，这时候就得大概知道无理数的大小。
二。
那咋估算呢？有几个法子。
2.1 找临近的整数。
比如说根号 5，因为 2 的平方是 4，3 的平方是 9，所以根号 5 就在 2 和 3 之间。
2.2 利用平方。
还拿根号 5 举例，咱可以算算 2.2 的平方，2.3 的平方，慢慢逼近，就能更准确地估算。
2.3 跟常见的无理数比较。
像知道根号 2 约等于 1.414，那要是有个无理数比根号 2 大，那肯定比 1.414 大。
三。
估算的时候得注意些事儿。
3.1 别马虎，一步算错，后面全错，那可就“差之毫厘，谬以千里”啦。
3.2 多练，熟能生巧嘛，练得多了，估算起来就又快又准。
学会估算无理数大小，就像手里多了把利器，解决数学问题的时候，那叫一个得心应手！。
八年级数学上册《第二章4 估算》讲解与例题
《第二章4 估算》讲解与例题1．用估算法估量一个无理数的范围在用夹逼法确信无理数的值时，往往要依照题目要求有目的地去估量到那一名．估算一个根号表示的无理数所采纳方式可归纳为“慢慢逼近”．【例1】估算43的大小(误差小于0.1)．分析：要求精准到小数点后一名．第一找出与它临近的两个完全平方数．解：∵36＜43＜49，∴6＜43＜7.∴43的整数部份是6.∵6.52＝42.25,6.62＝43.56，∴6.5＜43＜6.6.∴43≈6.5或43≈6.6.2．用估算法确信无理数的大小(1)在按四舍五入法求近似值时，必然要比要求精准的数位多考查一名，这一点往往易犯错．(2)“精准到”与“误差小于”意义不同．如精准到1 m是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1 m，答案在真值左右1 m都符合题意，答案不唯一．在本章中误差小于1 m确实是估算到个位，误差小于10 m确实是估算到十位．【例2】求3的近似值(精准到0.1)．解：∵1＜3＜4，∴1＜3＜2.又∵1.72＜3＜1.82，∴1.7＜3＜1.8.∵1.732＜3＜1.742，∴1.73＜3＜1.74.∴3≈1.7.3．用估算法确信无理数的整数部份和小数部份关键要先估算整数部份，只要整数部份估算出来了，小数部份随之就写出来了．一个无理数减去它的整数部份，剩下的确实是它的小数部份．【例3】已知a，b别离是6－13的整数部份与小数部份，那么它的整数部份是__________，小数部份是__________．解析：先考虑13的值的大致范围．因为9＜13＜16，因此3＜13＜4.因此13的值在3和4之间，故6－13的整数部份是2，用6－13减去它的整数部份2，剩下的确实是小数部份了，故小数部份是6－13－2＝4－13.答案：2 4－134．比较两个无理数的大小两个有理数的大小比较方式较多，比如将它们化为小数再比较，先对无理数求近似值，然后比较．固然，还有许多特殊的方式，比如平方式、作差法、估算法等．合理的选用特殊方式比较数的大小，会让运算变得简单．用估算法比较含根号的数的大小，一样可采取以下方式：(1)先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较；(2)当符号相同时，把不含根号的数平方，和含根号的数的被开方数比较．本方式的实质是比较被开方数，被开方数越大，其算术平方根越大；(3)假设同分母或同分子的，可比较它们分子或分母的大小．【例4】比较大小：(1)6－13与2＋12；(2)－275与－417；(3)76与67.分析：比较数的大小的方式有许多，如作差法、估算法等．要注意选择适当方式比较大小．解：(1)∵6－13＝26－26，2＋12＝32＋36，∴6－13－2＋12＝26－32－56＜0.∴6－13＜2＋12.(2)∵－275≈－16.58，－417≈－16.49，∴－275＜－417.(3)∵76＝49×6＝294，67＝36×7＝252，294＞252，∴76＞67.谈重点比较无理数的大小以上介绍了无理数大小比较的三种方式：①作差比较法；②求值比较法；③移因式于根号内，再比较大小．咱们要擅长根据不同题目的特点恰本地选择最正确方式.5．估算的实际应用在生产生活中，咱们常常碰到求距离、高度、长度、深度等一些线段长度的问题，在很多情形下取得的是无理数，依如实际需要，一样情形下只需取无理数的近似值就能够够了．要求无理数的近似值，第一需要用估算的方式确信无理数的大致范围，估算无理数常经常使用到“夹逼法”，即利用乘方与开方互为逆运算来确信无理数的近似值．【例5】校园里有旗杆高11 m，若是想要在旗杆顶部点A与地面一固定点B之间拉一根直的铁丝，小强已测量固定点B到旗杆底部C的距离是8 m，小军已预备好一根长12.3 m的铁丝，你以为这一长度够用吗？解：由题意可知，AC＝11 m，BC＝8 m，∵旗杆AC垂直于地面，∴△ABC是直角三角形．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝112＋82＝185.∵12.32＝151.29＜185，∴185＞151.29.因此这一长度不够用．点评：通过题目表达，构建直角三角形，要结合生活实际，分析解决问题．。
八年级数学上册 2.4 估算教案 (新版)北师大版
课题：2.4 估算教学目标：1．能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围．2．体验估算在现实生活中的合理性，掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感．3．训练学生的估算能力，能通过估算比较两个数的大小．教学重、难点：重点：让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感，提高估算能力．难点：掌握估算的方法，并能通过估算比较两个数的大小．课前准备：多媒体课件．教学过程：一、激趣导入，提出问题活动内容：估计同学的身高1．通过卡通人物三笠的身高，同学们能尝试说说其他人物的身高吗？2．大家应该都知道自己的身高，大家能说出咱们班其他同学的身高或者我们班男生和女生的平均身高吗？你又是怎样得出结果的呢？处理方式：让同学们相互猜测彼此的身高，引导学生从“猜”去入手，“猜”字的意思就是根据自己的判断而估计得出的结果，它并不是准确值，但也不是无中生有，是有一定的理论根据的．活动目的：通过比学生个人身高、平均身高的提问可以调动学生的积极性，提高他们的学习兴趣，活跃课堂氛围．同时也引入了本节课所要研究的课题．二、自主合作，解决问题活动内容1：公园有多宽（多媒体出示课本33页内容）问题：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米2.(1)公园的宽大约是多少？它有1000米吗？(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米2，你能估计它的半径吗？(误差小于1米)处理方式：先以自学或小组合作的形式进行探究性学习问题1，问题2，然后再进行总结归纳解决问题的方法．最后由学生自主完成问题3的整个探究过程．探究时，教师来回巡视，检查学生学习情况.可设公园的宽为x米，则公园的长为2x米，由面积公式，得 2x2=400000，∴x2=200000．所以公园的宽x就是面积200000的算术平方根．因为100的平方是10000，1000的平方是1000000，而200000大于10000小于1000000，所以公园的宽比100大而比1000小，是三位数．因为400的平方等于160000，500的平方为250000，所以公园的宽x应比400大比500小.所以x应为400多，再继续估算，估计十位上的数字是几．因为440的平方为193600，450的平方为202500，所以x应比440大比450小，故十位上的数为4．因为题目要求误差小于10米，也就是精确到十位，所以我们估算出十位上的数就行了，即公园的宽x应为440米．最后提出问问题：根据刚才的过程来总结一下估算步骤．处理方式：学生讨论交流，然后再展示说明，学生之间互相补充，教师适时点评.总结展示估算的步骤：1．先估计出是几位数；2．确定最高数位上的数字(比如百位)；3．再确定下一位上的数字 (比如十位)；4．依次类推，直到确定出个位上的数，或者按要求精确到小数点后的某一位．活动内容2：议一议（多媒体展示）(1)下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流.0.06696≈60.4．(2)你能估算3900的大小吗？(误差小于1)．处理方式：教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．在老师的指导下，让学生通过自己的归纳找到估算的方法，并完善学生对估算特征的掌握.（1）因为0.0662=0.004356，远远小于0.43应远大于0.066，所以估算错误；因为0.652=0.4225, 0.662=0.4356应该大于0.65而小于0.66．（2）第2个错．因为10的立方是1000，900比1000小，所以900的立方根应比1000的立方根小，即小于10，所以估算错误．（3）第3个错．.因为60的平方是3600，而2536小于3600应比60小，所以估算错误．第(2)小题按总结的步骤进行. (1)先确定位数因为1的立方为1，10的立方为1000，900大于1小于1000，所以应是一位数. (2)确定个位上数字.因为9的立方为729，所以个位上的数字应为9.设计意图：同伴间进行交流，教师适时引导.在解决问题的同时引导学生学生体验估算在现实生活中的合理性，学习并掌握估算的方法．三、学以致用，解决问题活动内容：例题学习例1 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的13，则梯子比较稳定．现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？处理方式：学生分析题目意思，小组讨论解决，然后小组代表结合多媒体投示的问题，根据图示回答解法．解：设梯子稳定摆放时的高度为x m ，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的13，根据勾股定理，有x 2+（163⨯）2=62，即x 2=32，x因为5.62=31.36<32．因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6 cm 高的墙头．设计意图：这一环节体现了估算在实际问题中的应用，而且也与勾股定理的知识相照应，培养了学生的估算意识．例2 与12的大小． 处理方式：采用个人探究、小组合作学习的方式进行教学，然后鼓励学生大胆说出自己的想法，只要学生的想法可行的均给予肯定．在教学中，除了学生估算中在难点和关键点处给以适度的启示与点拨之外，给以方法上的指导，尽量引导学生去独立思考．在课堂内最大限度地给学生创造思维自由驰骋的时间和空间．问题由教师提出，而结论则由学生探究后获得．如：方法一：因为这两个数的分母相同，所以只需比较分子即可．解：因为5＞2212->.12>.或 因为2<5<3 ，1<5﹣1<2, 12>. 方法二：可以采用求差比较法．若a ﹣b >0，则a >b . 若a ﹣b =0，则a =b . 若a ﹣b <0，则a <b .的时候，可以比较它们的被开方数的大小．设计意图：比较两个无理数的大小是很抽象的问题，这里让学生学会用估算的方法来进行比较．让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力.随堂练习：1．若规定误差小于1 ）A 、6B 、7C 、 8D 、7或82．下面的哪个估算误差过大 ( )A ≈3.5B 3.2≈C 5.3D 4.1≈3误差小于1)=____________．4的大小． 四、回顾反思，提炼升华通过这节课的学习，说说你有哪些收获？谈谈有何疑惑？对本节课有什么建议？处理方式：让每个学生都有机会畅谈自己的体验、感受和收获，有机会表达他们的学习困惑和喜悦，提出建议和见解.设计意图： 让学生在较短时间内重复所学内容，引导学生对所学知识归纳梳理,使知识系统化和网络化,才能使他们对学习内容有较好的记忆.五、达标检测，反馈提高（多媒体出示）1．下列各式中，正确的是（）A、23<< B、34< C、45< D、1421+的值在（）A、2到3之间B、3到4之间C、4到5之间D、5到6之间3．一个正方体形状的盒子体积为100cm3，它的棱长大约在（）A、4cm~5cm之间B、5cm~6cm之间C、6cm~7cm之间D、7cm~8cm之间40.1）=__________．5与12的大小．处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：反馈学生本节课的掌握情况，并让学生互相批改、纠错，发现问题及时查缺补漏.巩固知识，培养学生能力．六、布置作业，课堂延伸必做题：课本第34页习题2.6 第1、2题．选做题：课本第34页习题2.6 第3、4题．板书设计：。
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估算一个无理数的大小
1. a 是10的整数部分，b 是5的小数部分，则22b a += .
2. a 是-10的整数部分,b 是-10的小数部分，则a= ;b= .
3. 2-5的整数部分是 ，小数部分是 ；5-2的整数部分是 ， 小数部分是 .
4. 若a,b 均为正整数，且a>7,b<37,则a+b 的最小值是 .
解析：举例：
（1）数字2.3的整数部分为2，小数部分为0.3，
即整数部分2+小数部分0.3=原数2.3
（2）数字-2.3的整数部分为-3，小数部分为0.7，
即整数部分（-3）+小数部分0.7=原数（-2.3）
1. 我们要熟记常用平方数，知道与10相邻的平方数是9和16，与5相邻的 平方数是4和9 9<10<16，4<5<9，
∴3<10<4，2<5<3 ∴a=3，b=5-2 ∴22b a +=18-45
2. -4<-10<-3 ∴a=-4,b=(-10)-(-4)=4-10
3. 2<5<3 ∴ 0<5-2<1 ∴2-5的整数部分是0 ，小数部分是2-5 -1<2-5<0 ∴5-2的整数部分是-1,小数部分是3-5
4.a 的最小值为3，b 的最小值为1，a+b 的最小值是3
总结：整数部分+小数部分=原数
整数部分可以是正数，也可以是负数，而小数部分一定是正数。