直棱柱和正棱锥的直观图的画法
正棱台直观图画法和侧面积
第21讲导数、解析几何、立体几何、数列模型1. (2018·南通考前指导)秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用．某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花137600元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入6万元(已减去所用柴油费)．该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用y(单位：元)与使用年数n的关系为y＝kn ＋b(n≥2且n∈N*)，已知第二年付费1800元，第五年付费6000元．(1) 试求出该农机户用于维修保养的费用f(n)(单位：元)与使用年数n(n∈N*)的函数关系；(2) 这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？(收益＝收入－维修保养费用－购买机械费用)2. (2018·南通二模)将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1) 设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；(2) 设l1的长为xdm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？(第2题)3. (2018·如皋中学)为了响应新农村的建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端(如图)，渠宽为4m，渠深为2m.(1) 考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行(不改变渠宽)，问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？(2) 考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖(不能填土)成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行(不改变渠深)，要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．(第3题)4. (2017·江苏卷)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1) 将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；(2) 将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．容器Ⅰ容器Ⅱ(第4题)。
最新高中几何知识点总结
高中几何知识点总结一、空间几何体(一)棱柱、棱锥、棱台1、棱柱：一般地，由一个沿某一方向形成的空间几何体叫做棱柱。
(1)棱柱的底面、侧面、侧棱、表示方法、分类以及侧棱的性质(2)直棱柱、正棱柱、平行六面体的概念2、棱锥：叫做棱锥。
(1)棱锥的底面、侧面、侧棱、表示方法、分类以及侧棱的性质(2)正三棱锥与正四面体的概念3、棱台：叫做棱台。
(1)棱台的上下底面、侧面、侧棱、表示方法、分类以及侧棱的性质(2)正棱台的概念(3)棱台的检验方法(侧棱延长交于一点，上下底面相似且平行)(二)圆柱、圆锥、圆台、球1、旋转面：一般地，一条绕旋转所形成的2、旋转体：叫做旋转体。
3、圆柱、圆锥、圆台：将、、分别绕它的、、、所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。
(1)圆柱、圆锥、圆台的轴、底面、侧面、母线(2)利用“平移”、“缩”、“截”的方法定义棱柱、棱锥、棱台4、球面：叫做球面。
球体：叫做球体，简称球。
5、圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面与旋转面的关系(三)直观图画法1、消点：2、直观图画法步骤：二、点、线、面之间的位置关系1、平面基本性质公理1 如果一条直线上的公理2 如果两个平面有一个公共点，那么他们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。
公理3 经过的三点，有且只有一个平面。
(2) 线面垂直：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，称为线面垂直，记作，垂线、垂面、垂足。
(3) 面面平行：如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面平行。
面面垂直：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，3、线线关系位置关系相交直线平行直线异面直线共面关系公共点个数4、线面关系位置关系公共点符号表示图形表示直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行5、面面关系图形表示6、各类“平行”之间的转化条件线线平行结论如果∥b，b∥c，那么∥c如果∥b，，b，那么∥如果，b，面面平行∩b=P，cβ，如果，如果∥β，如果⊥ ，⊥β，如果∥ ，β，β∩=b，那么∥b 线面平行面面平行如果∥β，垂直关系线线平行∩γ=，β∩γ=b，那么∥b 如果∥β，，那么∥β 如果⊥ ，b⊥ ，那么∥b 线面平行———— b ,∩b=P,∥β,b∥β，那么∥β β∥γ，那么∥γ 那么∥βd β，c∩d=Q,∥c，b∥d，那么∥β7、各类“垂直”之间的转化条件线线垂直结论如果⊥ ，b，那么⊥b 如果三个平面两两垂直，那么它们交线两两垂直如果⊥β——那么⊥β如果⊥ ，β，那么β⊥ ——，如果∥b，⊥c，那么b⊥c 线面垂直面面垂直平行关系线线垂直——线面垂直如果⊥b，⊥c，b，c，b∩c=P，那么⊥ 定义(二面角等于90) 0α∩β=b，,⊥b，如果⊥ ，b∥ ，那么b⊥ 面面垂直——8、立体几何中的“角”(1) 异面直线所成的角：将两异面直线平移得到两相交直线，这两条香蕉直线所成的锐角或直角就是这两条异面直线所成的角。
棱柱和棱锥
（2）求三棱锥S-ABC的体积。
S
A D
C O
B
2、（2004.天津理）在四棱锥P-ABCD中，底 面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD， PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点 F。
（1）证明PA//平面EDB；
P
（2）证明PB⊥平面EFD
（3）求二面角C-PB-D的大小。
1. 斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形。正棱柱 的底面为正多边形。 2. 斜棱柱的侧面为平行四边形。直棱柱的侧面 为矩形。正棱柱的各个侧面为全等的矩形。
棱柱的性质：
1、棱柱的侧棱有何关系？ 侧棱都相等，侧面是平行四边形
2、侧面有何特点？ 两个底面与平行底面的截面是全等 的多边形
3、与底平行的截面有何特点？过不 相邻的两侧棱的截面有何特点？
棱长都相等
正四棱柱
正方体
{正方体}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}
定理 长方体一条对角线的长的平方等 于一个顶点上三条棱的长的平方和
D' A'
D A
C' B'
C B
棱锥的定义：
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共 顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱 锥．
这个多边形叫做棱锥的底面．其余各面 叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫 做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做 棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱 锥的高．
棱锥的分类：
棱锥的底面是三角形、四边形、五边 行等把棱锥分成三棱锥、四棱锥、五 棱锥。
棱锥的性质：
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，
那么截面和底面相似，并且它们的面积比等
第七章 空间图形 第三节 多面体
C
AB 2AM 2OM cot 30
2 3 l2 h2
B
图7-48 例4图形
由一般棱锥的性质, 有
S
ABC
12 2
3
l2 h2
3 l2 h2 3 3 l 2 h2
S A1B1C1 SO12 1 , 所以 S ABC SO2 4
3 3
S 4 A1B1C1
l2 h2
2.正棱锥的侧面积、全面积和一般棱锥的体积
按侧棱与底面是否垂直来分，又有斜平行六面体与直平行 六面体的区别，其中底面为矩形的直平行六面体，就是我们通 常所说的长方体，长方体的任意一条对角线的平方等于长、宽、 高的平方和.
例1 如图7-42所示,底面是菱形的直棱柱,对角线B1D和A1C 的长分别是9cm和15cm, 侧棱AA1的长是5cm, 求它的底面边长.
1
1
1
S正棱锥侧面积 2 hP, S正棱锥全面积 S 2 hP, V棱锥体积 3 HS
以上公式中, h为斜高, P为底的周长, H为棱锥高, S为底面积.
例5
已知正三棱锥的斜高等于6
1 2
cm,高等于6cm,
求它的全
面积.
S
解如图7-49所示,S - ABC是 一个满足题设的正三棱锥,SO 为高,连接AO并延长与BC交于 点D,则AD BC,连接SD,SD BC,SD为斜高,在直角 SOD中
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形…,我们把这 些棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…
根据棱柱的定义，容易得到棱柱的以下性质.
(1) 侧棱都相等，侧面都是平行四边形；
(2) 两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；
(3) 对角截面是平行四边形.
斜二测画法
实质：把本来不完全在同一平面内的
点的集合，用同一平面内的点来表示.
如图是正方体的直观图
Y M
斜二测画法规则：
A1 B1
F1 M1
O
N
X
.
.
Y1
E1 D1 X1
O1 N1 C1
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于点O.画 直观图时，把它们画成对应的x1轴和y1轴，两轴交于点O1 ，使∠x1O1y1=450,它们确定的平面表示水平面。 (2) 1、在已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直 观图中分别画成平行x1轴或y1轴的线段。2、在已知图 形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原来长度不 变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
练习： 画出底面边长为2厘米，高为2.5厘米 的正三棱柱的直观图。
正棱锥的直观图与正棱柱的画法一样，由底 面与高来决定，底面图形的画法即平面直观图的 画法，高的画法是过底面中心作底面的垂线，其 长度即为原棱锥的高，垂线段的另一端点即为正 棱锥的顶点
S
E1 A1
1 D ·
o1
B1
C1
例2 作一个底面边长为5cm，高为11.5cm的 正五棱锥直观图。
练习：课本107 16.7（1）
F1
A1 B1
Z
F1
E1 D1
E1
D1 C1 Y
A1 B1 C1
F
A O B
F
E D
E
D X
A B C
C
例1、画一个边为a，高为b的正六棱柱
(3)画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，在直观图中平 行于z轴的线段的平行性和长度都不变。
直棱柱直观图画法：用斜二测画法规则先作 水平放置的多边形直观图，再画一条与X轴垂 直的Z轴，把平行于Z轴的线段保持长度与平 行性不变.
高二数学直棱柱和正棱锥的直观图的画法 课件
(2) SARS病毒、AIDS病毒等病毒都是 具有正二十面体的外型.
作业：P64 12(作业本) 填64的表格（课本）
z'
z'
y' o' o' x'
y' x'
三、正多面体
1.定义： 2.五种正多面体：
(1) 正四面体
(2) 正六面体
(3) 正八面体；
(4) 正十二面体；
(5)正二十面体.
趣味数学：
(1)问足球的表面图案 是由什么图形构成? *20个正六边形,12各 个正五边形构成.
*从正二十面体棱边 的三分之一处切去 角，得到的就是足 球.
y y'
o
x
o'
x'
(3) 画水平放置的正五边形的直观图.
y
o
x
二、直棱柱和正棱柱的直观图的画法
例1 画正六棱柱的直观图；
z'
y' o' x'
画轴
画底面
画侧棱
成图 .
例2 画一个底面边长为5cm，高为11.5cm 的正五棱锥的直观图，比例尺是1：5.
z'
y' o'
x'
练习：P62 1、2 .
步骤：
o 画轴
x
o' 作平行线
x'
建系Biblioteka 连线擦除辅助线(2) 画水平放置的正六边形的直观图；
y y'
o
x
o'
x'
(2) 画水平放置的正六边形的直观图；
y y'
o
x
o'
多面体和旋转体
第二章多面体和旋转体一多面体§2.1 棱柱一、素质教育目标（一）知识教学点1、棱柱的概念及性质。
2、平等六面体，长方体的概念及长方体的性质。
3、直棱柱直观图的画法4、棱柱侧面积的计算（二）能力训练点1、在学习棱住概念和性质过程中，努力提高学生的观察、抽象和概括能力。
2、通过直棱柱直观图的画法的教学，进一步提高学生的作图和识图能力。
3、通过直棱柱侧面积公式的教学，进一步增强学生把空间形转化为平面图形的意识，使学生进一步掌握化归的数学思想和方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力。
（三）德育渗透点1、棱柱概念的形成，是从特殊到一般、具体到抽象的过程；通过教学使学生初步认识辩证唯物主义认识论的观点。
2、通过四面体、平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体之间相互关系的教学，使学生树立普遍联系的唯物主义观点。
3、通过运用侧面积公式计算生产实践中具体零件的面积，使学生懂得数学对工、农业生产的意义，激励学生努力学好数学，将来为祖国的“四化”建设做出更大的贡献。
二、教学重点、难点、疑点及解决办法1、教学重点：理解棱柱的概念，掌握棱柱的性质及直棱柱侧面积公式，能利用性质及侧面积公式解决有关问题。
2、教学难点：直棱柱直观图的画法3、教学疑点：直棱柱的判断，注意引导学生严格按定义三、课时安排本课题建议安排3课时四、教与学过程设计第一课时节棱柱的概念及性质（一）引入将画有图2-1、图2-2、图2-3的小黑板挂出师：今天这一节课我们学习棱柱的概念和性质（给出课题），以上三个图形所表示的模型均为棱柱，下面我们一起来研究它们的共同特点。
（二）棱柱及有关概念的定义师：大家注意到图2-1到图2-3所表示的几何本均由一些面围成，而面与面之间有交线，因此可以从“面”和“线”两个角度去找它们的特点，先观察图2-1。
（1）首先看面：从面和面的关系及面的开头引导学生讨论，得出结论；有两个面互相平行，其余各面为四边形。
（2）再看线：从线与线之间的引导学生得出结论：每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
第八章 立体几何初步(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)
第八章立体几何初步（公式、定理、结论图表）1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱互相平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.正棱柱、正棱锥的结构特征(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．3．旋转体的结构特征(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的长度特征：“长对正、高平齐、宽相等”，即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽．5．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．6．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．7．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l三者关系S圆柱侧＝2πrl――→r′＝rS圆台侧＝π(r＋r′)l――→r′＝0S圆锥侧＝πrl8.柱、锥、台和球的表面积和体积(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．10．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(3)平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．11．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线与平面的位置关系空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a12．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a ∥β，b ∥β，a ∩b ＝P ，a ⊂α，b ⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，∴a ∥b14．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．15．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.(3)直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°.16．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角的范围是0°≤θ≤180°.17．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理l⊥α<常用结论>1．特殊的四棱柱2．球的截面的性质3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下：5．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，6．异面直线的判定定理7．等角定理的引申(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．8．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．9.线、面平行的性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．12．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．<解题方法与技巧>一、空间几何体概念辨析题的常用方法A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线D[A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．图1图2B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．]二、识别三视图的步骤(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．典例2：(1)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥ABCD 的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)()A B C D(2)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()(1)A(2)A[(1)正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，故为虚线，易知选A.(2)由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的图形．]三、由三视图确定几何体的步骤典例3:(1)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N 的路径中，最短路径的长度为()A．217B．25C．3D．2(1)C(2)B[(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥PABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C.(2)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图1所示．图1图2圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图2所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．ON＝14×16＝4，OM＝2，∴MN＝OM2＋ON22 5.故选B.]四、由几何体的部分视图确定剩余视图的方法解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验．典例4：如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()A B C DA [由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A ，故选A.]五、空间几何体的直观图1．用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线．2．原图形与直观图面积的关系典例5：(1)已知等腰梯形ABCD ，CD ＝1，AD ＝CB ＝2，AB ＝3，以AB 所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为()A.2B.24C.22D ．22(2)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6cm ，O ′C ′＝2cm ，则原图形是()A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形(1)C (2)C [(1)法一(作图求解)：如图，取AB 的中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，y 轴交DC 于点E ，O ，E 在斜二测画法中的对应点为O ′，E ′，过E ′作E ′F ′⊥x ′轴，垂足为F ′，因为OE ＝(2)2－12＝1，所以O′E′＝12，E′F′＝24.所以直观图A′B′C′D′的面积为S′＝12×(1＋3)×24＝22，故选C.法二(公式法)：由题中数据得等腰梯形ABCD的面积S＝12×(1＋3)×1＝2.由S直观图＝24S原图形，得S直观图＝24×2＝22，故选C.(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2cm.所以OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm)，所以OA＝OC，由题意得OA綊BC，故四边形OABC是菱形，故选C.]六、求解几何体表面积的类型及求法A．48＋πB．48－πC．48＋2πD．48－2π(2)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10π(1)A(2)B[(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.(2)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.]七、求体积的常用方法典例7：(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1 D.3π2＋3(2)如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积为．(1)A (2)13[(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1，高为3的半个圆锥和三棱锥SABC 组成的，如图，三棱锥的高为3，底面△ABC 中，AB ＝2，OC ＝1，AB ⊥OC .故其体积V ＝13×12×π×12×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1.故选A.(2)四棱锥A 1BB 1D 1D 的底面BB 1D 1D 为矩形，其面积S ＝1×2＝2，又四棱锥的高为点A 1到平面BB 1D 1D 的距离，即h ＝12A 1C 1＝22，所以四棱锥的体积V ＝13×2×22＝13.]八、空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．典例8：(1)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543(2)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310(1)B(2)C[(1)如图，E是AC中点，M是△ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为S△ABC＝34AB2＝93，所以AB＝6，BM＝23BE＝23AB2－AE2＝2 3.易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝OB2－BM2＝2，所以当D，O，M三点共线且DM＝OD＋OM时，三棱锥DABC的体积取得最大值，且最大值V ma x＝13S△ABC×(4＋OM)＝13×93×6＝18 3.故选B.(2)如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC 的中点M .因为AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，所以BC ＝5.又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA＝132，故选C.]九、共点、共线、共面问题的证明方法(1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．典例9：(1)以下命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则A ，B ，C ，D ，E 共面；③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A ．0B ．1C ．2D ．3(2)如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：①E ，C ，D 1，F 四点共面；②CE，D1F，DA三线共点．(1)B[①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．](2)[证明]①如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．②∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．十、空间两条直线的位置关系典例10：(1)已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c，给出下列命题：①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c.其中真命题有．(填序号)(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(填上所有正确答案的序号)．①②③④(1)①③(2)②④[(1)对于①，若c与a，b都不相交，则c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正确．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]十一、平移法求异面直线所成角的步骤典例11：(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD 所成角的正切值为()A.2 2B.32C.52D.72(2)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为()A.12B ．－12C.32D ．－32(1)C (2)A [(1)如图，连接BE ，因为AB ∥CD ，所以异面直线AE 与CD 所成的角等于相交直线AE 与AB 所成的角，即∠EAB .不妨设正方体的棱长为2，则CE ＝1，BC ＝2，由勾股定理得BE ＝ 5.又由AB ⊥平面BCC 1B 1可得AB ⊥BE ，所以tan ∠EAB ＝BE AB ＝52.故选C.(2)如图，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，EG ，OG ，FO ，FG ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以∠FEG 为异面直线AC 与BD 所成的角．易知FO ∥AB ，因为AB ⊥平面BCD ，所以FO ⊥平面BCD ，所以FO ⊥OG ，设AB ＝2a ，则EG ＝EF ＝2a ，FG ＝a 2＋a 2＝2a ，所以∠FEG ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为12，故选A.]十二、判定线面平行的四种方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．典例12：如图，在四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：GH ∥平面P AD .[证明](1)连接EC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，E 为AD 中点，所以BC AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以O 为AC 的中点．又因为F 是PC 的中点，所以FO ∥AP ，因为FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点，所以FH ∥PD ，因为FH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以FH ∥平面PAD .又因为O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，所以OH ∥AD ，因为OH ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD .所以OH ∥平面P AD .又FH ∩OH ＝H ，所以平面OHF ∥平面PAD .又因为GH ⊂平面OHF ，所以GH∥平面PAD.十三、判定平面与平面平行的四种方法(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．注意：谨记空间平行关系之间的转化典例13：已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC 为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，M，N分别为DB，DC的中点．(1)求证：平面EMN∥平面ABC；(2)求三棱锥AECB的体积．[解](1)证明：取BC中点H，连接AH，∵△ABC为等腰三角形，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN ∥AH ，∵EN ⊄平面ABC ，AH ⊂平面ABC ，∴EN ∥平面ABC ，又M ，N 分别为BD ，DC 中点，∴MN ∥BC ，∵MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC ，又MN ∩EN ＝N ，∴平面EMN ∥平面ABC .(2)连接DH ，取CH 中点G ，连接NG ，则NG ∥DH ，由(1)知EN ∥平面ABC ，所以点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等，又△BCD 是边长为2的等边三角形，∴DH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，DH ⊂平面BCD ，∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ，∴DH ＝3，又N 为CD 中点，∴NG 又AC ＝AB ＝3，BC ＝2，∴S △ABC ＝12·|BC |·|AH |＝22，∴V E ABC ＝V N ABC ＝13·S △ABC ·|NG |＝63.十四、证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．典例14：如图，在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为2的正三角形，M 为棱BC 的中点，BB 1＝3，AB 1＝10，∠CBB 1＝60°.(1)求证：AM ⊥平面BCC 1B 1；(2)求斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积．[解](1)证明：如图，连接B 1M ，因为底面ABC 是边长为2的正三角形，且M 为棱BC 的中点，所以AM ⊥BC ，且AM ＝3，因为BB 1＝3，∠CBB 1＝60°，BM ＝1，所以B 1M 2＝12＋32－2×1×3×cos 60°＝7，所以B 1M ＝7.又因为AB 1＝10，所以AM 2＋B 1M 2＝10＝AB 21，所以AM ⊥B 1M .又因为B 1M ∩BC ＝M ，所以AM ⊥平面BCC 1B 1.(2)设斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积为V ，则V ＝3VB 1ABC ＝3VA B 1BC＝3×13S △B 1BC ·|AM |＝12×2×3×sin 60°×3＝92.所以斜三棱柱ABCA1B1C1的体积为9 2 .十五、证明面面垂直的两种方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决，注意：三种垂直关系的转化典例15：(1)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B[取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE.∵点N为正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且为BD的中点．∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝3，∴EN＝FN2＋EF2＝2.∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵MG＝12EF＝32，BG＝CG2＋BC2＝52，∴BM＝MG2＋BG2＝7.∴BM≠EN.∵BM，EN是△DBE的中线，∴BM，EN必相交．故选B.](2)如图，四棱锥PABCD中，△PCD为等边三角形，CD＝AD＝2AB，E，S，T，Q为CD，P A，PB，AD的中点，∠ABC＝∠BCD＝∠PEA＝90°，平面STRQ∩平面ABCD＝RQ.①证明：平面P AE⊥平面STRQ；②若AB＝1，求三棱锥QBCT的体积．[解]①证明：因为E为CD的中点，CD＝2AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，所以四边形ABCE 为矩形，所以AE⊥CD.由已知易得RQ∥CD，所以RQ⊥AE.因为∠PEA＝90°，PE∩CD＝E，故AE⊥平面PCD，又因为AE⊂平面ABCD.故平面PCD⊥平面ABCD.因为PE⊥CD，所以PE⊥平面ABCD.因为RQ⊂平面ABCD，所以RQ⊥PE.又PE ∩AE ＝E ，所以RQ ⊥平面PAE .所以平面P AE ⊥平面STRQ .②由①可知，PE ⊥平面ABCD ，又T 是PB 的中点，∴点T 到平面BCQ 的距离为12PE ＝32，易知S △BCQ ＝12S 梯形ABCD ＝12×12×(1＋2)×3＝334.故三棱锥Q BCT 的体积V ＝13×334×32＝38.十六、求点到平面的距离(高)的两种方法(1)定义法：求几何体的高或点到面的距离，经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或点到面的距离．其步骤为：一作、二证、三求．如何作出点到面的距离是关键，一般的方法是利用辅助面法，所作的辅助面，一是要经过该点，二是要与所求点到面的距离的面垂直，这样在辅助面内过该点作交线的垂线，点到垂足的距离即为点到面的距离．(2)等体积法：求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置，其体积相等的方法求解．典例16:(1)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为．2[如图，过点P 作⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离．再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC .又PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ，所以CO 为∠ACB 的平分线，即∠ACO ＝45°.在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1，所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝(3)2－12＝ 2.](2)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．①证明：PO ⊥平面ABC ；②若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．[解]①证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .②作CH ⊥OM ，垂足为H .又由①可得OP ⊥CH ，OP ⊂平面POM ，OM ⊂平面POM ，OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.十七、求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．典例17:(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．62C．82D．83C[如图，连接AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝2sin30°＝4.在Rt△ACC1中，CC1＝42－(22＋22)＝22，∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×22＝82.](2)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝23，∠BAD＝90°.①求证：AD⊥BC；②求异面直线BC与MD所成角的余弦值；③求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．[解]①证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.②如图，取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND .又因为M 为棱AB 的中点，所以MN ∥BC .所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM ＝1，故DM ＝AD 2＋AM 2＝13.因为AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AC .在Rt △DAN 中，AN ＝1，故DN ＝AD 2＋AN 2＝13.在等腰三角形DMN 中，MN ＝1，可得cos ∠DMN ＝12MN DM＝1326.所以，异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为1326.③如图，连接CM .因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，所以CM ⊥AB ，CM ＝ 3.又因为平面ABC ⊥平面，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，所以∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，CD ＝AC 2＋AD 2＝4.在Rt △CMD 中，sin ∠CDM ＝CM CD ＝34.所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34.十八、转化思想的应用(1)证明线面平行、面面平行可转化为证明线线平行；证明线线平行可以转化为证明线面平行或面面平行．(2)从解题方法上讲，由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行．(3)求几何体的体积也常用转化法．如三棱锥顶点和底面的转化，几何体的高利用平行、中点，比例关系的转化等．典例18:如图，在四棱锥P ABCD 中，△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝90°，∠ABC ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝2BC ＝8，平面PAD ⊥平面ABCD ，M 是PC 的三等分点(靠近C 点处)．(1)求证：平面MBD ⊥平面P AD ；(2)求三棱锥D MAB 的体积．[解](1)证明：由题易得BD ＝AD ＝42，∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴BD ⊥AD .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面P AD .又∵BD ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PAD .(2)过点P 作PO ⊥AD 交AD 于点O (图略)，∵平面PAD ⊥平面DAB ，平面PAD ∩平面DAB ＝AD ，∴PO ⊥平面DAB ，∴点P 到平面DAB 的距离为PO ＝2 2.∴V D MAB ＝V M DAB ＝13S △DAB ·13PO ＝13×12×(42)2×13×22＝3229.十九、解决平面图形翻折问题的步骤典例19：图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.图1图2(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．[解](1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE＝1＝3，故DM＝2.所以四边形ACGD的面积为4.二十、存在性问题的一般解题方法先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．典例20：如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．。
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精品课件！
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4.在正方体ABCD－A ’ B’C ’ D’中，已知棱长
为 a，求：（1）三棱锥 B’－ABC的1体a3积；
（2）这个三棱锥的体积是正方形体积6的几分之几；1 6
步骤： 1、画轴；
zノ
Eノ Fノ
Dノ Cノ
2、画底面； 3、画侧棱； 4、成图。
Aノ
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E F
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例1：正六棱柱的直观图的画法
步骤： 1、画轴；
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2、画底面； 3、画侧棱； 4、成图。
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正棱锥的直观图与正棱柱的画法一样，由底 面与高来决定，底面图形的画法即平面直观图的 画法，高的画法是过底面中心作底面的垂线，其 长度即为原棱锥的高，垂线段的另一端点即为正 棱锥的顶点
Y
斜二测画法规则：
M
F1
.Y1
M1
E1
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X
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. O1
D1 X1
B1
N1
C1
N
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于点O.画直观图时，把它们画成 对应的x1轴和y1轴，两轴交于点O1，使∠x1O1y1=450,它们确定的平面表示水平面。
(2) 1、在已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行x1轴或y1 轴的线段。2、在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原来长度不变；平 行于y轴的线段，长度为原来的一半。
棱锥的定义
复习
有一个面是多边形，其余各面是一个有公共顶点的三角 形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．
棱锥的有关概念、表示方法、分类
正棱锥:如果一个棱锥的底面是正多边形，并
且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱 锥叫做正棱锥．
正棱锥的性质
（1）各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形 （2）棱锥的高、斜高、斜高在底面内的射影组成一个直角三角形； 棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形
例1：正六棱柱的直观图的画法
步骤： 1、画轴； 2、画底面； 3、画侧棱； 4、成图。
例1：正六棱柱的直观图的画法
zノ步骤：Fra bibliotek1、画轴；
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例2:作一个底面边长为5cm，高为11.5cm的正 五棱锥直观图。(比例尺1:5)
比例尺:图上和实际距离的比
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例2:作一个底面边长为5cm，高为11.5cm的正 五棱锥直观图。(比例尺1:5)
棱锥的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且 它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比．
问题提出：如何把立体图形画在纸上？ 实质：把本来不完全在同一平面内的 点的集合，用同一平面内的点来表示.
如图是正方体的直观图
复习回顾 (以正六棱柱为例)
①斜二测画法规则
②直棱柱直观图画法：先作水平放置的多边形 直观图，再画一条与X轴垂直的Z轴，把平行于 Z轴的线段保持长度与平行性不变.