齐普夫定理
问题的引入大数定律
2
解 因为 X 1 , X 2 ,, X n ,是相互独立的，
所以 X 1 , X 2 ,, X n ,也是相互独立的，
2 由 E ( X k ) 0, 得 E ( X k ) D( X k ) [ E ( X k )] 2 , 2 2
说明离散型随机变量有有限方差, 故满足契比雪夫定理的条件.
E ( X n ) na 2
1 1 1 0 (1 2 ) na 2 2 0, 2n 2 n 2n
2
2017/12/3
说明每一个随机变量都有数学期望, 检验是否具有有限方差？
( na )2 0 ( na )2 1 1 1 P 1 2 2n 2 n 2n 2 1 2 E( X n ) 2( na )2 2 a 2 , 2n Xn
定理三（伯努利大数定理）
伯努利
显然
nA X 1 X 2 X n ,
设 n A 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数 , p 是事件 A 在每次试验中发生的概 率, 则对于任意正数 0, 有 n n lim P A p 1 或 lim P A p 0. n n n n
由契比雪夫不等式可得
1 P Xk 1 2 , n n k 1 在上式中令 n ， 并注意到概率不能大于1, 则 1 n P X k 1. n k 1
n 2
（这个接近是概率意义下的接近） 即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n 无限增加时, 几乎变成一个常数.
0 na 1 1 P 1 2 2n 2 n 问是否满足契比雪夫定 理 ? 具有如下分布律： Xn na 1 2n 2
强极值原理 霍普夫
强极值原理霍普夫全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：霍普夫（Hopf）是一位20世纪伟大的数学家，他在数学领域做出了许多贡献，其中著名的强极值原理就是他的杰作之一。
强极值原理是指在微分几何中的一个基本定理，它揭示了曲面上的极值点的性质，为研究曲面的拓扑性质提供了重要的工具。
在数学分析中，极值原理是对函数的最大值和最小值的性质进行研究的一种方法。
在微分几何中，强极值原理是研究曲面上的极值点的性质与拓扑性质的关系。
强极值原理告诉我们，在曲面上局部极值点的附近，曲面的几何和拓扑性质是严格相关的。
具体来说，强极值原理告诉我们，如果一个曲面上的点是极小值点，那么在该点附近的任意曲线上，该点仍然是极小值点。
这意味着在极小值点处，曲率必须是非负的。
同样地，如果一个曲面上的点是极大值点，那么在该点附近的任意曲线上，该点仍然是极大值点。
这意味着在极大值点处，曲率必须是非正的。
霍普夫的强极值原理为微分几何领域的研究提供了重要的工具。
它不仅揭示了极值点的性质，而且还帮助我们理解曲面的整体拓扑性质。
强极值原理的应用范围非常广泛，它在地震学、气象学、生物学等领域都得到了广泛的应用。
第二篇示例：强极值原理，也称为霍普夫定理，是一个数学定理，它关于在随机独立同分布的情况下，极大值和极小值出现的概率。
霍普夫定理是概率论和数理统计中非常重要的定理，它可以帮助我们理解随机事件的规律性和规律性。
强极值原理最早由霍普夫（Emil Julius Gumbel）于1958年提出，在统计学和气象学领域得到了广泛的应用。
霍普夫定理有时也被称为极值定理或Gnedenko-Holshunov定理，是概率论中关于极大值和极小值分布的一个非常重要的结论。
霍普夫定理指出，在独立同分布的情况下，最大值和最小值的极限分布函数具有一定的特殊形式。
具体来说，若一个随机变量序列满足一定的条件，那么这个序列的最大值或最小值在适当归一化下会收敛到极值分布。
在实际应用中，强极值原理可以帮助我们预测自然界中一些罕见而重要的极端事件，比如自然灾害和金融市场的崩溃等。
三奇定理数学
三奇定理数学
三奇定理，代表着高等数学中的三个著名结果，分别是柯西-施
瓦茨定理、魏尔斯特拉斯逼近定理和泰勒展开定理。
柯西-施瓦茨定理，是指在复数空间下，对于两个可微函数f(z)
和g(z)，它们在某个区域上连续可导，那么它们的乘积f(z)g(z)的导
函数也连续可导，并且满足(d/dz)(f(z)g(z)) = f'(z)g(z) +
f(z)g'(z)。
魏尔斯特拉斯逼近定理，是指对于任意一个在闭区间上连续的函
数f(x)，存在一列多项式函数P_n(x)，使得P_n(x)可以无限逼近
f(x)。
也就是说，对于给定的精度ε>0，存在一个多项式函数P_n(x)，使得在闭区间上 |f(x) - P_n(x)| < ε。
泰勒展开定理，是指对于具有充分多次可导性质的函数f(x)，在某个特定点x=a的附近，函数f(x)可以通过一个无穷的幂级数表示出来。
具体地说，如果f(x)在x=a处的某个邻域内具有n+1次连续可导
性质，那么f(x)在该邻域内可以表示为它的泰勒展开式：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n!。
这三个定理在数学分析和实变函数理论中起着重要的作用，为研
究函数的性质和逼近提供了重要的工具和方法。
位序规模法则齐普夫定律
位序规模法则齐普夫定律位序规模法则（Zipf's Law）是由美国语言学家乔治·金德尔·齐普夫（George Kingsley Zipf）在20世纪30年代提出的，用于描述自然语言中词汇频率与位序之间的关系。
该定律认为，一个词的位序顺序与它出现的频率成反比。
齐普夫定律可以用一个简单的公式来表示：f=k/r其中，f代表词频，r代表位序，k为常数。
该公式表明，位序越低的词，出现的频率越高；位序越高的词，出现的频率越低。
多数情况下，这个定律是在大规模的语言文本中得出的。
它适用于几乎所有的自然语言，包括英语、法语、中文等。
齐普夫定律具有普遍性和稳定性，被广泛应用于语言学、信息论、经济学等领域。
齐普夫定律的背后有三个基本假设：1.词汇分布随机：根据齐普夫定律，词频和词的位序成反比的关系，意味着词汇的分布是随机的，而不是由任何特定的原因导致的。
这是齐普夫定律的一个基本假设，尽管它在现实世界中并不总是成立。
2.差异性：齐普夫定律的另一个假设是，词频和位序之间的关系是由词汇的不同性质引起的。
一些词出现频率高，而另一些词出现频率低。
这种差异性是文化、语言以及人类思维方式的反映。
3.统计稳定性：齐普夫定律还假设词频和位序之间的关系是稳定的。
也就是说，在不同的文本和语境中，这个关系保持相对不变。
关于齐普夫定律的解释有很多，但没有一个统一的理论可以完全解释它。
然而，有一些常见的解释被广泛接受。
一个常见的解释是“富者愈富”（The Rich Get Richer）的原则。
这个理论认为，词频高的词在使用过程中更容易被人们接触到和记住，因此它们的频率会变得更高，这与经济学中的富者愈富的概念相似。
齐普夫定律有许多实际应用。
其中一个重要的应用是在信息检索和引擎中。
根据齐普夫定律，用户更有可能和点击频率高的词，因此引擎会根据词频来排序结果。
此外，齐普夫定律在自然语言处理、文本挖掘和语音识别等领域也得到了广泛应用。
城市规模齐普夫定律
城市规模齐普夫定律1.引言1.1 概述城市规模齐普夫定律是经济地理学中一个重要的规律，它描述了城市人口规模与城市数量之间的关系。
该定律由美国经济学家乔治·齐普夫于1949年提出，他发现在一个国家或地区，城市的人口规模越大，城市的数量越少。
齐普夫定律的背后是一个有趣的现象，在大多数国家中，几个大城市拥有大部分人口，而小城镇的人口数量则相对较少。
这种城市规模不均衡的现象是齐普夫定律的基础。
在这篇长文中，我们将详细探讨城市规模齐普夫定律的概念和应用。
首先，我们将介绍城市规模齐普夫定律的基本原理和定义。
然后，我们将深入探讨该定律在城市规划、经济发展和区域规划等领域的应用。
借助具体案例，我们将阐述城市规模齐普夫定律如何影响城市的发展和人口分布。
在结论部分，我们将总结城市规模齐普夫定律的重要性，并展望该定律的未来研究方向。
我们将探讨城市规模不均衡背后的经济、社会和环境影响，以及如何通过合理规划和政策措施来解决这些问题。
通过本文的阐述，我们希望读者对城市规模齐普夫定律有更深入的了解，并能够将其应用于实际问题的解决和决策中。
城市是人类活动的中心，了解城市规模齐普夫定律对于实现城市的可持续发展和合理规划至关重要。
1.2 文章结构文章结构：本文主要通过以下几个部分来论述城市规模齐普夫定律的概念、应用、重要性以及未来研究方向。
首先，在引言部分（1.引言）中，我们将对整篇文章进行一个概述，介绍城市规模齐普夫定律的背景和基本概念，并简要说明文章的结构和目的。
接下来，在正文部分（2.正文），我们将详细介绍城市规模齐普夫定律的概念（2.1 城市规模齐普夫定律的概念）。
我们将解释这一定律的内涵和定义，并举例说明其在实际中的应用。
我们将阐述该定律对于城市发展和规划的重要性，以及如何利用该定律来预测城市的未来发展趋势。
然后，在正文部分继续（2.2 城市规模齐普夫定律的应用），我们将探讨城市规模齐普夫定律在不同领域中的应用。
第五章 齐普夫定律
二、主题词频分析
1、主题词的数量统计 、 具体应用： （1）判定核心期刊和情报源 判定核心期刊和情报源 对某主题词负载的文献数量按文献类型、 来源、作者、机构、时间等分类统计，从中 可以得到所需要的数据。 例见P152。
二、主题词频分析
1、主题词的数量统计 、 （2）由主流主题词判别核心知识 由主流主题词判别核心知识 在一个多学科的知识领域中，各学科的发 展并不平衡，可以发现一些主题词占据所有 主题词总数的一大部分，这些主题词可能就 是该知识领域目前状况下的研究热点，这些 知识对该知识领域的发展形成了前沿，代表 现阶段的主流思潮。 例见P154。
第三节 齐普夫定律的应用
一．文献自动标引 3．标引加权 ． 对于单篇论文， 对于单篇论文，与标引同样的数据基础可以用来为 文献的各种专门检索词提供一个加权系统， 文献的各种专门检索词提供一个加权系统，给每一 个标引词分配一个与其在文献中发生频率直接相符 的权值。 的权值。 对于文献集合：如果有N篇文献 篇文献， 对于文献集合：如果有 篇文献，某一个检索词涉 及其中的n篇 那么给这个词以log(N/n)+1的权值， 的权值， 及其中的 篇，那么给这个词以 的权值 将取得较好的检索效果。 将取得较好的检索效果。
一．多参数词频分布规律
2．芒代尔布罗修正式 ． 芒代尔布罗（美籍法国数学家）：运用信息论和 概率论的方法来研究词的频率分布规律，重新解释 了齐普夫定律，并修正了定律的表达式。 词是由空格隔开的一些有一定顺序的字母序列， 句子是用词来编码的词的序列，文章是由句子的增 减过程而形成的句子的序列。 词的三参数频率分布规律，其形式为：P144。
一．多参数词频分布规律
1．朱斯的修正 ． Joos（美国语言学家 ）指出：在齐普夫公式中， 不仅C是一个参数，而且r的负指数也是一个 参数： 当词典收词多时，负指数的值会增大，即图 像中的a角会增大； 当词典收词小时，负指数值会减少，即图像 中的a角会变小。 朱斯修正式（P144）称为双参数词频分布律
郑州大学信息计量学期末考试整理答案
文献计量学：1、文献计量的三大规律的基本内容、发展状况、局限性和常见的应用1）、洛特卡经验规律：a、是揭示文献著者与数量关系的基本定律。
b、数字表达式为：f(x)=c/x的平方，x表示科学工作者发表的论文数量，f(x)表示发表x 篇论文的著者出现的频率。
上式也称倒数平方定律。
发表一篇论文的著者出现的频率为60%；发两篇论文的著者数量大约是发表一篇论文的著者数量的1/4；发表n篇论文的著者数量大约是发表一篇论文的著者数量的1/n的平方；C、在某一时间内，写了x篇论文的作者数占作者总数的百分比f（x）与其撰写的论文数x的平方成反比。
特点：1、科学论文在作者上集中与分散的分布现象2、采用频次排序的方法，即按某类作者出现的频次大小（实际发表论文数）的排位，而非按照作者所写的论文多少比较来对作者进行等级排序，因而等级上会有空位。
3、论文在作者上的集中与分散程度只限于平方反比关系，即只给出了这种集中与分散程度的单一描述。
4、目前对洛特卡定律的研究主要集中在两个方面：a、对洛特卡一般公式的推导，验证公式的应用范围和估计参数。
B、对洛特卡定理的机理及适用性的研究。
2)、洛特卡定律的局限性：局限性：洛特卡定律是对两组数据统计的推广，是对信息生产的一般理论估计，不是一个精确的统计分布统计，因而有其局限性。
有以下局限：A、统计数据不全，洛特卡定律是根据化学、物理学科得出的结论，其他学科应用是应作一定的修改。
B、对合作者的处理过于简单。
C、对高产作者的处理。
D、洛特卡的数学抽取方法欠科学，在数量大的情况下预测结果才比较客观。
3）、洛特卡定律的具体应用：a、在情报图书馆学方面，一般用它来发表不同数目文章的著者数量和特定学科的文献数量，从而便于掌握文献的增长趋势，进行文献情报的科学管理和情报学的理论研究。
b、在预测科学方面，从统计或估计的科学著者数量懒预测文献数目的增长速度很文献的流动方向，也可以预测科学家数量的增长和科学发展的规模及趋势。
第三章 信息分布
第三章信息分布第一节信息产生与分布中的马太效应1、马太效应：在社会信息流的产生、传递和利用过程中，信息及其相关因素常常表现出明显的核心趋势和集中趋向，如少数出版社成为某类图书的权威出版机构，为数不多的科学期刊因刊载了某学科领域的大量论文而成为该学科的核心期刊等，这就是信息产生与分布中的马太效应。
2、信息分布中的核心趋势和集中取向（1）核心趋势：如高产作者群体的形成、期刊信息密度增大、高频词汇的确立等都是信息生产主体的主观期望与采取实际步骤的结果。
（2）集中取向：如一篇论文多次被引、一个网站被众多用户点击，某些图书频繁地被借阅，这种富集是社会选择和影响的结果。
（3）二者的效果是一致的，仅仅是积累的程度不一样。
前者可能是相乘的累积，后者是相加的累积；前者是主动选择，后者是被动接受；前者是自增生过程，后者倾向大变量分布过程。
3、马太效应的积极意义和负面影响（06简答）（1）积极意义：①在实际工作中，利于突出重点、摒弃平均，为信息源的选择、获取、评价和利用提供依据，为降低信息管理成本、提高信息利用效益提供指导和方法。
②在理论上，利于认识信息集中和分散的特征、趋势和规律，发现信息管理学的基础性定律。
（2）负面影响①马太效应描述信息对象的优势和劣势过度积累，容易使信息工作者按简单的优劣进行信息的选择、评价、传播和利用，因循守旧、不思进取，按经验和简单的规则从事复杂多变的信息管理工作。
②马太效应所形成的信息分布富集有时仅仅是表面的、外在的，有的优势积累过程中带有突发性和受统计学因素的影响，使得信息价值失真。
③若过分注重马太效应所形成的核心信息源，就会忽略分布在其他信息源中有价值的信息；若任核心信息源的优势过度积累而不加控制，高度专门化，其所含的信息就会越来越单一，会使其丧失更多的用户。
④马太效应青睐名人、拒绝新人的习惯势力不利于新人成长，限制了新思想、新知识和新信息的产生和传播。
第二节信息生产者分布规律1、洛特卡定律(1)定义：实际上是科学论文在作者上集中与分散的分布现象。
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Human Behaviour and the Principle of Least Effort: an Introduction to Human Ecology. Addison-Wesley 1949
齐普夫的最省力法则
例子：
从A地到B地时，可以走不同的路；从经济上、安全上、时间上并 结合本人的主观条件（如身体情况）及客观情况（所处的环境） 等种种因素来考虑，设法选择一条最符合自己要求的道路，使得 自己付出的“力”最小。
在图书情报管理中的应用
处理与语言文字有关的问题 将“最省力法则”的原理应用于图书情报信
息事业的管理
合理选择图书馆或者信息中心的最佳地理位置， 使得使用者能以最省力途径方便到达
用以设计图书馆、信息中心资料库的排架
齐普夫公式的汇总
齐普夫第一定律：关于高频词的定律
单参数定律：fr ×r=c 双参数定律： Pr=cr-γ 三参数定律：Pr=c(r+a)-b
贡东：美国贝尔电话公司物理学家，电话线路的通讯能力
根据德韦和阿叶斯的资料，得到词频分布图
词的序号的对数为横坐标 log r 词的绝对频率的对数为纵坐标 lognr
定量公式：fr×r=C 令：tanα=γ Log(r γ×nr)=log C
nr
C r
tan tan451 n r
Cr1
nr T
文献计量学05
齐普夫定律
大纲
齐普夫与最省力法则 齐普夫定律的形成 齐普夫定律的基本原理 齐普夫定律的发展 齐普夫定律的应用
齐普夫
George Kingsley Zipf (1902-1950)：美国哈佛大 学教授、著名的语言学家和心理学家
用大量的统计数据来验证前人有关词频分布规律 的研究成果
W (t, d )
tf (t, d ) log(N / nt 0.01)
tf td
(t, d ) log(N
/ nt
0.01)
2
信息检索
用于估计信息检索系统所需要的存储量 倒排档的大小，取决于同属性字段种不同
词的数量以及每个词的出现频率 按照齐普夫定律，计算词频出现的几率
横坐标：等级序号r 纵坐标：相应的频率f
等级r与频率f均取对数。 虚线：lnr+lnf=lnc 实线：blnr+lnf=lnc (斜率为b)
齐普夫定律的局限性
对出现频率特别高的词和特别低的词，并 不能完全地反映分布规律
低频率的词，序号相同的很多 高频率的词，序号相同的词随着频率的增高而
双参数词频分布公式
Pr=cr-γ
γ>0，c>0，对于r=1,……,D，参数γ，c要使
n r 1pr来自1当γ=1时，公式变为Pr=cr-1，就是齐普夫的单参数词频
分布律
芒戴尔伯特修正公式
三参数频率分布律
Pr=c(r+a)-b 0 ≤ a<1,b>0,c>0,对于r=1，……，D，参数a,b,c要使
齐普夫定律可以分成两大定律
高频词分布的定律 (齐普夫第一定律) 低频词分布的定律（齐普夫第二定律）
布斯的修正
齐普夫的推导
Pr=n/T ，pr为第r位词出现的概率，T为词的总体集合中不 同词出现的总次数，n为序位为r的词汇的绝对频率
r c n cT
pr
r
仅仅出现一次的词汇，可能有许多个，一般而言：
越来越少
齐普夫定律的发展
朱斯（M. Joos）修正 芒戴尔伯特B. Mandelbrot修正式 布斯（B. Booth)的齐普夫第二定律
朱斯修正式
单参数词频分配律--〉双参数词频分布律
Pr=cr-γ中， c和r的负指数（以γ表示）都是参数 γ 不是一个常数而是一个参数
当词典收词多时，γ 会增大，即图像中的α角会增大；当收 词少的时候， γ 会减少，α 角会变小。
词频分为绝对词频和相对词频，绝对词频，即使用词在文 本中出现的频率表示文本，相对词频为归一化的词频，其 计算方法主要运用 TF-IDF 公式。
向量空间模型(Vector Space Model)
其 为中词t，W在(t文,d)为本词dt中在的文词本频d，中N的为权训重练，文而本tf的(t, d) 总 母数为，归n一t为化训因练子文。本集中出现t的文本数，分
Luhn的频率自动标引法
向量空间模型(Vector Space Model)
基本思想是以向量来表示文本（W1,W2,W3……Wn），其中 Wi 为第 i 个特征项的权重，一般可以选择词作为特征项
由这些词作为向量的维数来表示文本，最初的向量表示完 全是 0、1 形式，即如果文本中出现了该词，那么文本向 量的该维为 1，否则为 0。
C r
r 1
(nr T
f
r
,
C T
c) fr r c
• C的值究竟是不是常数，还必须加以验证
齐普夫定律的确立
检验E. Condon关系式的可靠性并研究C的性质
确定c是一个参数，使得
n
pr 1
r 1
验证了单参数词频分布公式的正确性
Fr × r=c （或者pr × r=c)
齐普夫定律的基本原理
n
pr 1
参数c：与出现频率最高的词的概率有关
r 1
参数b：与高概率词的数量多少有关，对于r<50的高频词，b是 r的非减函数，随着r的增大，参数b并不减少
参数a：与词的数量n有关。
当a=0，公式形式为Pr=cr-b 当a=0,b=1时，公式形式为Pr=cr-1
齐普夫词汇分布图
齐普夫第二定律
0.5 cT 1.5 2 r 2
r
3 cT
rm in
2cT 3
r
2cT
rm a x
D
布斯修正公式
In 2 I1 n(n 1)
n=2,3,4……
称齐普夫第二表达式
英文正文中低频词的数量
I1为出现一次的词的数量 In为出现n次的词的数量
与正文的长度和常数C无关，仅与单词的频率有 关
齐普夫第二定律：关于低频词的定律
In 2 I1 n(n 1)
词的出现频率、词的序号
艾斯杜（J. Estoup，速记员）发现（1916）
较长的文章中，词频分布的定量化形式， Nr×r=C(常数)
词的序号：1，2，…，r，…，D （1：绝对频率最大的词，D：绝对频率最小的词）
词的绝对频率：n1,n2,…,nr,…,nD
贡东（E. Condon）的公式
齐普夫定律的基本内容 齐普夫定律的图像描述 齐普夫定律的局限性
齐普夫定律的基本内容
齐普夫定律
fr ×r=c
Fr：频次，r：等级序号
齐普夫定律的“最省力法则”的解释
任何语言中，凡是使用频率最高的词，功能总 是不会太大；因为其本身在这个场合中价值小， 因而传递它们所需要的“力”就不大。
齐普夫定律的图像描述
利用语言表达思想时，会受到两个方向相反的力的作用
单一化力：希望尽量简短 多样化力：希望能被对方理解 单一化力与多样化力取得平衡，使自然语言词汇的分布呈现了双
曲线。
齐普夫经验法则的形成
齐氏定律形成的基础 齐氏定律的确立
齐氏定律形成的基础
频率词典（词表）
每一个词在一定长度的文件中出现的频率 两个最基本的数量指标
齐普夫定律的应用
文献标引和词表编制 信息检索 在图书情报管理中的应用
词表编制
叙词表和标引可以提高计算机检索的效率 根据齐普夫定律的频率分布方法，通过标
引试验，找出被标引文献与叙词使用频率 的分布特征，确定合乎需要的参数值。 选用原始文献中的术语，统计其发生的频 率，研究分布特征，最后决定合乎使用频 率的词
文献标引
自动标引
利用计算机对每一个词的频率进行统计分析，筛选出 适合标引的词汇。
卢恩(Luhn)的频率自动索引方法
去掉高频词 去掉后缀 找出相应的词干
加权标引
斯派克 琼斯(Spack Jones)的加权法 如果有N篇文章，某个检索词涉及其中的n篇，给那么
这个词log(N/n)+1的权值，可得到较佳的检索效果