总体参数的区间估计
简述区间估计的原理和依据
简述区间估计的原理和依据区间估计是统计学中一种常用的推断方法，用于估计总体参数的范围。
它基于样本数据，通过构造一个区间来估计总体参数。
区间估计的原理和依据主要包括置信水平、抽样分布以及中心极限定理。
区间估计的原理基于置信水平的概念。
置信水平是指在重复抽样的情况下，置信区间包含真实总体参数的频率。
常用的置信水平有95%和99%。
例如，当我们使用95%置信水平进行区间估计时，意味着在一百次的抽样中，有95次的置信区间覆盖了真实总体参数。
置信水平越高，区间估计的可靠性越高，但估计的范围也会更大。
区间估计的依据是抽样分布的性质。
在统计学中，我们通常假设样本是从一个符合某种分布的总体中独立抽取得到的。
根据中心极限定理，当样本容量较大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
这一性质使得我们可以利用样本均值的分布来进行总体参数的区间估计。
以均值为例，当我们知道样本均值的抽样分布是正态分布时，可以根据该分布的特性计算出一个区间，使得该区间内的样本均值有很高的概率与总体均值接近。
区间估计的步骤一般包括以下几个步骤：1. 确定置信水平：根据具体问题和需求，选择适当的置信水平。
一般常用的置信水平为95%和99%。
2. 收集样本数据：通过抽样方法，收集样本数据。
样本数据应该具有代表性，能够反映总体的特征。
3. 计算样本统计量：根据所需的参数，计算样本统计量，如样本均值、样本比例等。
4. 确定抽样分布：根据中心极限定理，确定样本统计量的抽样分布。
通常情况下，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
5. 构造置信区间：根据抽样分布的性质，计算出一个区间，使得该区间内的样本统计量有较高的概率包含总体参数。
一般情况下，使用样本统计量加减一个标准误差的倍数作为置信区间的边界值。
6. 解释结果：将置信区间的结果进行解释，例如可以说“在95%的置信水平下，总体参数的估计值位于计算得到的置信区间内”。
区间估计是一种基于样本数据进行总体参数估计的方法。
区间估计
常见形式
间估计的区间上、下界通常形式为：“点估计±误差” “总体均值”的区间估计
总体均值：μ 总体方差：σ 样本均值：x =(1/n）×Σ（Xi) 样本方差：s =(1/(n-1））×Σ（Xi-x)^2 符号假设置信水平：1-α 显著水平：α
已知n个样本数据Xi (i=1,2,...,n），如何估计总体的均值? 首先，引入记号： 区间估计σ'=σ/sqrt(n) s'=s/sqrt(n) 然后，分情况讨论： 情况1 小样本（n<30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况2 小样本（n<30），σ未知，此时区间位于 x ± t（α/2）×s' 区间估计情况3 大样本（n≥30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况4 大样本（n≥30），σ未知，此时区间位于 x ± z（α/2）×s' 其中， z（α/2）表示：正态分布的水平α的分位数 t（α/2）表示：T分布的水平α的分位数
置信区间
区间估计有时，对所考虑的置信区间（或上、下限）加上某种一般性限制，在这个前提下寻找最优者。无偏 性是经常用的限制之一，如果一个置信区间（上、下限）包含真值θ的概率，总不小于包含任何假值θ┡的概率， 则称该置信区间（上、下限）是无偏的。同变性（见统计决策理论）也是一个常用的限制。
求置信区间的方法 最常用的求置信区间及置信上、下限的方法有以下几种。
即
费希尔把这个等式解释为：在抽样以前，对于θ落在区间内的可能性本来一无所知，通过抽样，获得了上述 数值，它表达了统计工作者对这个区间的"信任程度",若取b)=-α=uα/2，则得到区间，其信任程度为 1-α。即 当用上述区间作为θ的区间估计时，对于“它能包含被估计的θ”这一点可给予信任的程度为1-α。
吴喜之-统计学基本概念和方法-总体参数的区间估计
x
s
n
15
2
53.87
样本标准差 误差边际
( x x)
n 1
s 6.82 x t 2 2.145* 3.78 n 15
651.73 6.82 14
95%的置信区间为
53.87 ±3.78
即（50.09，57.65）天。
确定样本容量
确定样本容量 误差边际 Z x 2 n
根据选择的在 x1 、x2 、x3
位置的样本均值建立的区间
x 的抽样分布
x 2
95%的所有x的值
3.92 3.92
x1
基于x2 3.92的 区间
基于x1 3.92的 区间
x3
x2
基于x3 3.92的区间(该区间不包含)
上图中，有95%的样本均值落在阴影部分，这个区域的样本 均值±3.92的区间能够包含总体均值。
因此，总体均值的区间的含义为，我们有95%的把握认为， 以样本均值为中心的±3.92的区间能够包含总体均值。 通常，称该区间为置信区间，其对应的置信水平为 1 置信区间的估计包含两个部分：点估计和描述估计精确度 的正负值。也将正负值称为误差边际或极限误差，反映样本估 计量与总体参数之间的最大误差范围。 总结： 已知时的大样本下的区间估计
•
•
q=1-p
n表示样本容量（试验重复次数）
总体比率的区间估计
• 以比率的抽样分布为理论依据，按一定的概
率要求估计总体比率的所在范围就叫做总体比率
的区间估计。
正态近似法
• 当样本容量n比较大，np和nq中较小的那个数
等于或大于5时，二项分布已经接近于正态分布，
此时可以按照正态分布来估计总体比率0.95和
总体参数的区间估计必须具备的三个要素
一、概述总体参数的区间估计是统计学中一个重要的概念，在实际应用中具有广泛的应用。
区间估计的目的是利用样本数据对总体参数进行估计，以确定参数的取值范围。
在进行区间估计时，需要考虑三个重要的要素，以确保估计结果的准确性和可靠性。
二、总体参数的定义在统计学中，总体参数指的是对整个总体的某一特征进行描述的指标。
例如总体均值、总体比例等。
总体参数通常是未知的，需要通过样本数据来进行估计。
区间估计就是利用样本数据对总体参数进行估计，给出一个区间，以确定参数的取值范围。
三、区间估计的三个要素1. 置信水平置信水平是区间估计中非常重要的一个要素。
它指的是对总体参数估计的准确程度的度量，通常用1-α来表示，其中α称为显著性水平，通常取0.05或0.01。
置信水平越高，说明对总体参数的估计越可信。
在实际应用中，常用的置信水平为95或99。
2. 样本容量样本容量是另一个影响区间估计结果的重要要素。
样本容量的大小直接影响了估计结果的精确度。
通常来说，样本容量越大，估计结果越精确。
在进行区间估计时，一般需要根据置信水平和总体参数的方差来确定合适的样本容量。
3. 统计分布在进行区间估计时，需要考虑所使用的统计分布。
常用的统计分布包括正态分布、t分布、F分布等。
选择合适的统计分布对区间估计的结果具有重要影响。
通常在实际应用中，根据样本容量和总体参数的分布情况来选择合适的统计分布。
四、区间估计的计算方法区间估计的计算方法通常包括以下几个步骤：1. 确定置信水平，通常取95或99。
2. 根据置信水平和总体参数的分布情况，选择合适的统计分布。
3. 根据样本数据计算得到统计量的值。
比如样本均值、样本比例等。
4. 根据统计量的值，计算得到区间估计的上限和下限。
通常使用公式：点估计值±临界值×标准误差。
五、实际应用区间估计在实际应用中具有广泛的应用，比如医学研究、市场调研、经济预测等领域。
在这些领域中，通常需要对总体参数进行估计，以确定参数的取值范围。
7.8 两个正态总体参数的区间估计
2 1
2 2
)
1
nm
因此，均值差1−2的置信水平1−α的置信区间为
(( X Y ) z 2
2 1
n
2 2
m
,(X
Y
)
z
2
2 1
2 2
)
nm
两个正态总体参数的区间估计
2.均值差1−2的置信区间 （方差12 =22 = 2，但 2 未知情形）
易知 ( X Y ) (1 2 ) ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
枢轴量 T X Y (1 2 ) ~ t(n m 2)
S 1 n 1 m
根据 t分布的性质，取分位数tα/2 (n+m−2) 有
P{|
X Y (1 2 )
S 1 n 1 m
|
t
2(n
m
2)}
1
因此，均值差1−2的置信水平1−α置信区间为
2
(2n)=
2 0.05
(18)=28.869,12
2 (2n)
2 0.95
(18)
9.39
计算得：2nX 1062 1/λ 的置信水平为0.90的置信区间为 ( 1062 , 1062) (36.787,113.099)
28.869 9.39
两个正态总体参数的区间估计
2
,
2 2
m
)
由正态分布的性质可得
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
总体参数的区间估计
三、总体参数的区间估计
图5-10 “探索”对话框
图5-11 “探索:统计量”对话框
三、总体参数的区间估计
单击“统计量”按钮，弹出“探索：统计量”对话框，如图5-11所示。 该对话框中有如下四个复选框： （1）描述性：输出均值、中位数、众数、标准误、方差、标准差、极小值 、极大值、全距、四分位距、峰度系数和偏度系数的标准误差等。此处能够设 置置信区间，默认为90%(α=0.1),可根据需要进行调整。 （2）M 最大似然确定数。 （3）界外值：输出五个最大值和五个最小值。 （4）百分位数：输出第5%、10%、25%、50%、75%、90%、95%位数 。
三、总体参数的区间估计
【例5-17】 某餐馆随机抽查了50位顾客的消费额（单位：元）为 18 27 38 26 30 45 22 31 27 26 35 46 20 35 24 26 34 48 19 28 46 19 32 36 44 24 32 45 36 21 47 26 28 31 42 45 36 24 28 27 32 36 47 53 22 24 32 46 26 27 在90%的概率保证下，采用点估计和区间估计的方法推断餐馆顾客的平均消 费额。 解：执行“分析”→“描述统计”→“探索”命令，打开“探索”对话框。由于本例只 有消费额一个变量，且需要对消费额进行探索性分析，故选中左侧列表框中的“消 费额”选项，将其移入“因变量列表”框中，如图5-10所示。
解：已知n=31,α=0.01,=10.2;σ=2.4,z0.005=2.58，由于总 体方差已知，为大样本，可以利用式（5-23）来进行计算。
即（9.088，11.312 该学生每天的伙食费在显著性水平为99%时的置信区间为（ 9.088，11.312）。
区间估计法估测总体平均值
区间估计法估测总体平均值
区间估计是一种统计方法，可以用来估计总体参数的值，其中之一是总体平均值。
区间估计法估测总体平均值的过程如下：
首先，我们需要收集一个来自总体的简单随机样本，并计算样本平均值$\bar{x}$ 和样本标准差$s$。
然后，我们可以使用以下公式来计算总体平均值$\mu$ 的区间估计：
$$ \bar{x} \pm t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} $$
其中，$n$ 是样本容量，$t_{\alpha/2}$ 是自由度为$n-1$ 的$t$ 分布表中$\alpha/2$ 处的t 值。
$\alpha$ 是置信水平，通常取0.95 或0.99。
上述公式表示，我们可以通过样本平均值$\bar{x}$ 加减一个误差范围来估计总体平均值$\mu$。
误差范围的计算方法是：$t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$。
其中，$t_{\alpha/2}$ 表示在给定置信水平下，自由度为$n-1$ 的$t$ 分布表中的t 值，$s$ 是样本标准差，$\sqrt{n}$ 是样本容量的平方根。
最后，我们可以得到置信水平为$\alpha$ 的总体平均值的区间估计为：
$$ (\bar{x} - t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + t_{\alpha/2}
\frac{s}{\sqrt{n}}) $$
这个区间包含了总体平均值$\mu$ 的真实值的可能性为$1-\alpha$，其中$\alpha$ 是在计算过程中预先指定的置信水平。
专题20 单个总体参数的区间估计
解:(1)总体N , 2 的的置信水平为1的双侧
置信区间分两种情况:
2已知时，为 X
n
z 2 , X &#
t
2
它们都关于X 对称，所以
(n 1), X + 区间长度
S n
t
2 (n
1)
11.46 7.54
置信下限 9.5 (11.46 9.5) 7.54; 3.92. 17
本X1,..., X n的观测值，若样本均值x 9.5,且参数
的置信水平为1 的双侧置信区间的置信上限
为11.46.(其中(1.96) 0.975) (1)求该双侧置信区间的置信下限及区间长度l；
（2）若已知 4,为使双侧置信区间的置信度达
到0.95, 且区间长度不超过l，求最小样本容量n.
16
22
总结： （1）正确理解置信区间的含义， （2）正确运用置信区间的公式
确定参数
2已知 2未知
的置信区间.
2
23
21
解：总体X ~ B(1, p),均值 p,方差 2 p(1 p), p的置信度为1 的近似置信区间为
X z /2S / n , X z /2S / n
n
650,
pˆ
x
52 650
0.08,
s2
pˆ (1
pˆ )
0.0736,
查表知 z0.025 1.96，代入得(0.059,0.101).
常取a 和b 满足
P此(G时( X，1,P...,XˆL
n
(
; ) a)
X1,, X
n)
P(G(X11,...,2X,
n
;
)
b)
2
.
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因为
ˆ (1 P ˆ) P SP ˆ n
0.1 (1 0.1) 0.0077 1500
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所以该地区老年人结核病患病率ρ 的95%、 99%置信区间为：
0.1 1.96 0.0077 0.1 1.96 0.0077
0.1 2.58 0.0077 0.1 2.58 0.0077
越高。
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常用的置信度为95%和99%，故由（5-13）
式可得总体平均数μ 的95%和99%的置信区间如
下：
（ x t 0.05 S x x t 0.05 S5-14 x ） （ 5-15 ） x t 0.01S x x t 0.01 S x
P( x t a S x x t a S x ) 1 a
称为置信半径； ta S x
（5-13）式称为总体平均数μ 置信度为1-a的置
信区间。其中
x和 ta S x
分别称为置信下限和置信上限； 置信上、下限 x ta S x
之差称为置信距，置信距越小，估计的精确度就
ˆ 其中， P 为样本百分数， 为样本百分数标准 S ˆ P
误， 的计算公式为： SP ˆ
SP ˆ ˆ (1 P ˆ P ) 5-18） （ n
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【例5.10】 调查某地1500老年人，患结核病
的有150人，求该地区老年人结核病患病率的
95%、99%置信区间。
ˆ ，采用正态分布近似法求 由于>1000， >1% P 置信区间。
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ˆ 只是总体百分数 ρ 的点估计值。 P
当 n 1000 ， 99%置信区间为：
ˆ 时 ， 1 %总 体 ρ 的95%、 P
ˆ 1.96S ˆ P ˆ 1.96 （ 5-16 ） P S ˆ P P
ˆ 2.58S ˆ P ˆ 2.58 （ 5-17 ） P S ˆ P P
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所以该免疫球蛋白总体平均数μ 的95%置信 区间为
1.02 1.38
又因为
99%置信半径为
99%置信下限为 99%置信上限为
t 0.01(df ) S x 3.25 0.08 0.26
x t 0.01(df ) S x 1.2 0.26 0.94
即
8.01% 11.99%
8.49% 11.15%
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例9 10名患者某免疫球蛋白测值为1.5、 1.2、 1.3、 1.4、 1.8、0.9、1.0、1.1、 1.6、 1.2（单 位），求该免疫球蛋白总体平均数的置信区间。
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经计算得 由
， x 1 .2
，0.08 Sx
，查 df n 1 10 1 t9值 表
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区间估计是在一定概率保证下指出总体参数 的可能范围，所给出的可能范围叫 置 信 区 间
（confidence interval），给出的概率保证称为
置 信 度 或 置 信概 率 （confidence probability）。本节介绍正态总体平均数和二项 总体百分数P的区间估计。
总体参数的区间估计
所谓参数估计就是用样本统计量来估计总 体参数，有 点估计 （point estimation）和区 间估计 （interval estimation） 之分。
将样本统计量直接作为总体相应参数的估 计值叫点估计。点估计只给出了未知参数估计 值的大小，没有考虑试验误差的影响，也没有 指出估计的可靠程度。
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一、正态总体平均数的置信区间
设有一来自正态总体的样本，包含n个观测
xn 值 x1 , x2 ,, ，样本平均数
误
Sx S
x ，标准 x n
。总体平均数为 μ。 n
因为 t ( x 服从自由度为 n-1的 t分布。双 ) Sx 侧概率为a时，有：
P(t a t t a ) 1 a ，也就是说 t在区间
t a , t a 内取值的
可能性为1-a，即：
x P(t a ta ) 1 a Sx
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对
x ta ta 变形得： Sx
5-13） x t a S x x t a（ Sx 亦即
x t 0.01(df ) S x 1.2 0.26 1.46
上一张 下一张 主 页 退 出
所以该免疫球蛋白总体平均数μ 的99%置信
区间为
0.94(kg) 1.46(kg)
二、二项总体百分数ρ 的置信区间
样本百分数 百分数的置信区间则是在一定置信度下对总体百 分数作出区间估计。求总体数的置信区间有两种 方法：正态近似法和查表法，这里仅介绍正态近 似法。
t 0.01(9)，因此 3.250
得 t 0.05(9) 2.262 ，
95%置信半径为 95%置信下限为
t 0.05(df ) S x 2.262 0.08 0.18
x t 0.05(df ) S x 1.2 0.18 1.02
95%置信上限为
x t 0.05(df ) S x 1.2 0.18 1.38