第二章有心运动和两体问题

满足：
U ( r ) 0 r
2U (r ) 0 2 r
为稳定平衡
圆轨道稳定条件：
2 n
F ' (ro ) 3 F (ro ) ro
19
若： F (r ) k r 则 n 3
§2-4与平方反比的斥力作用——α 粒子的散射
1 Qq F e 2 r 4 o r
α粒子散射实验
E1 0 相当于双曲线 E2 0 相当于椭圆
E0 EC
相当于抛物线 相当于圆运动
47
2
§2-2 平方反比引力下的质点运动
（一）轨道
1 F 2 r
k2 F 2 er r
若万有引力:
2
F 与 er 反向
若静电场力:

k GMm
q1q2 k 4
2
m h2 / k 2 r 2 2 1 Am h / k cos( o )
A 和θo 为积分常数，由初始条件定：t = 0 θ=θo
或用极坐标表示： 若有约束，维数要减 少。如：有心力 相当于两个约束方程 相轨迹为二维曲面 用极坐标来表示：
(r, , pr , p ) 四维空间
m 2 2 E ( x y ) V ( x, y ) 2 2 L mr m( x y y x )
pr2 L2 V (r ) E 2 2m 2mr
2 k 2 1 2 ( ) ∵ 能量越大，椭圆越扁，半长轴越长 v m r a ∴ v越大，椭圆越扁.
第三种情况
E=0 e=1 轨道为抛物线 v=vII
第二宇宙速度：vII ——使航天器能脱离地球引力场所需的最小发射速度
2 k 1 2 mvII 0 Re 2
2GM e vII 11.2km / s Re
2 2
斥力轨道方程
仍令
p mh2 / k 2 e Am h2 / k 2
p r 1 e cos( o )
* 为双曲线的另一支方程
26
p 引力 r 1 e cos
斥力 r
p 1 e cos
r
0
极轴
27
o 选极轴反向：令 cos( 0 ) cos( ) cos
比较有相同的形式
与前：太阳看 成不动的方程
结论：（１）行星相对于太阳仍为椭圆运动
34
（２）系统的质心Ｃ作惯性运动
行星相对于质 心的微分方程
GMm e m r2 2 r2 (r1 r2)
GM 3m m r2 e 2 2 r2 (M m) r2
地球
（３）行星相对于质心的轨迹， 是以质心为焦点的椭圆，同理 可得太阳相对于质心的轨迹也 是椭圆．
) ρ由（1）式得： ( ，再微分找出
d (d的关系， )
ds 2 r sin rd d 2 2 sin d 2 r r
d ze 2 1 2 ( ) 2 d 4 0 mv0 sin 4 2
——卢瑟福公式
rd
r
r sin
31
§2-5 两体问题
则有：
p p r 1 e cos( 0 ) 1 e cos
习惯：
p r 1 e cos
极轴
28
求α 粒子受到原子核斥力作用远离原子核后的角度——散射角 设α 粒子从无穷远处以 vo射向原子核
?
为瞄准距离，并 v0
h vo
1 2 E mvo 0 2
E相 同 L不 同 时 的 不 同 曲 线 300
h（角动量）越大， e（偏心率）越大
y
200
100
0
-100
-200
-300
11
-600 -500 -400 -300 -200 x -100 0 100 200 300
例1]结合宇宙速度看航天器随初始能量不同具有的不同轨道
第一种情况
圆轨道 e=0 E<0 v=vI
r F 0
基本特性
1。
Lc
2。质点始终在垂直于 L 的平面内运动
3。有心力为保守力，机械能守恒。
1 2 m(r (r ) 2 ) V (r ) E ——（1） 2
（二）运动微分方程
m( r r ) Fr F (r )

2
——（2）
m(2 r r ) F 0
f 21 仅以一对内力 f12 和 相互作用的两个质 m 点 构成的质点系的动力学问题。 1 m2
32
（一）二体的相对运动
折合质量
z
f12
m1
m1 r1 f 12
在惯性系
m2 r 2 f 21
r1 r2
r12
m2
f 21
m1m2 ——折合质量 令 m1 m2
y
r12 f 21
可得：
k2 2 -----(1) *要用 E (e 1) 2p k4 2 E ( e 1) 2 2m h
2Emh e 1 4 k
2
结果表明e(E，h)
9
p a(1 e2 )
代入（1）式
（1） 椭圆 e<1
E椭
k2 0 2a
（2） 抛物线 e=1
p 2q 代入（1）式
13
第四种情况
E>0 e>1 轨道为双曲线 v>vII
不同轨道
第三宇宙速度：vIII
——使航天器不仅能脱离地球引力而且要脱离太阳引力所需 的最小发射速度
Rs=1.494×1011m
——地球绕太阳公转的轨道半径
Ms=1.989×1030kg——太阳质量
Rs
vIII 16.7km / s
14
例2]
（一）与距离成任意幂的引力
F Ar er
n

运动微分方程：

m r Ar n er

引力：
F Ar n er
2 2 n mx A ( x y ) m y A( x 2 y 2 ) n x ax ( x 2 y 2 ) n 1 r y ay ( x 2 y 2 ) n 1 r
ρ ——宇宙尘的密度 m——质点的质量
39
（2）广义相对论的效应 考虑到广义相对论对 万的引力的修正：
1 F ( 2 ar n ) er r
Gm3h 2 将 n 4 a 代入上式 2 c
得出的结果与实际 更相符，如：水星 的进动：
40
（三）相轨迹和庞加莱面
( x, y, px , py ) 四维空间 二维运动，相空间：
pr m r
41
pr2 L2 V (r ) E 2 2m 2mr
当 pr 0 有两个根 rmax
rmin
可证明：这 个曲面为中 空环面
取x=0时，oy,py平面， 环面与这个平面相交 的面——庞加莱面
42
43
44
精品课件！
45
精品课件！
46
mh 2 k 2 设: U r 2 2r r
第一宇宙速度：vI ——使航天器能绕地球作圆轨道的最小发射速度
Me——地球质量 m——航天器质量 Re——地球半径 h——航天器与地面的高度
k 1 2 k mvI 2 Re Re 2
2
2
k GM e m
2
GM e vI 7.9km / s Re
Re
12
第二种情况
若vII>v> vI椭圆
m1
看成不动
x
m2 相对于 m1 的运动微分方程
m2 变成折合质量才能用微分方程
同理
r 21 f 12
33
（二）行星与太阳运动问题的修正
GMm f 21 2 er r12
行星相对于太 阳的微分方程
GMm r12 2 er12 r12
GMm m r 2 er r
2 4 0 mv0 cot 2 Qq
1
2

29
（二）散射截面 卢瑟福散射公式
看一束α粒子的散射角
瞄准距离在ρ和ρ +d ρ之间的 α 粒子散射后必向 着 和 +d 之间的角度散出。
2 4 0 mv0 cot 2 Qq

——（1）式
30
环面积——散射截面 d 2 d
rmax
r0
16
*利用引力加速,实 现到外星的航行
17
例4]
P52，例2]
R
R n
18
§2-3 圆轨道的稳定性
在有心力势场中：设势能V（r）
m h2 令： U (r ) 2 V (r ) 2r
有效势能
等效为质点在矢径方向作一维的运动， 二维的圆运动，化为一维的静平衡.
m 2 E r U (r ) 2
k 1 2 ze er 2 er 得： F 2 4 o r r
与平方反比引力比较
2
k F 2 er r
2
相差“-”
用“-k2”代替 “k2”
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引力轨道方程
m h2 / k 2 r 1 Am h2 / k 2 cos( o ) mh / k r 2 2 1 Amh / k cos( o )
与
2
2
p r 1 e cos
比较
得：
p mh / k
2
2
2
2
具体形状？
e Am h / k
数学上由e来决定 力学上与初始条件有关