最优生成树及其算法

练习：
1.求权为3，4，7，8，10，12的最优二元 树。 2。求权为2，2，3，3的最优二元树。
最小覆盖
最优树
色数
克拉斯克（Kruskal）算法
设G为由n个节点组成的连通赋权图． （1）先把G中所有边按权数大小由小到大重新排 列，并取权数最小的一条边作为T的一条边． （2）从剩下的边中按（1）的排列顺序取下一条 边，若该边与前已取进T中的边没有形成回路， 则把该边取入Ｔ中作为Ｔ的一条边，否则舍去， 继续按（１）的排列顺序再取下一条边，…， 如此下去直至有n-1条边组成G的最小生成树 Ｔ．
练习
假设要建造一个连接若干城镇的铁路络， 已知城镇和之间直线路的造价为（且已 标注在下图中），试设计一个总造价最 小的铁路网络。（说明所使用方法）

克罗斯克尔算法是1956年提出的，俗称“避圈法”．
由克罗斯克尔算法的步骤，顺次取边 e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 ,舍去 e4和e7 ,得到最小生成 树为T= {e ，e ，e ，e ，e ，e ，e } 。 定理：由Kruskal算法构造的任何色生成树 都是G的最优生成树。 教材的P100有此算法的流程图。 还有一中求解方法为“破圈法”。 类似可定义最大生成树及其相应的算法．
最优生成树及其算法
一个连通的赋权图G，可能有很多生成树．设T 为图G的一个生成树，若把T中各边的权数相 加所得的和数称之为生成树T的权数．G的所 有生成树中，权数最小者称为G的最小生成 树． 求最优生成树问题有很广泛的实际应用．例如把 n个城市用高压电缆连接起来建立一个电 网．如何能设计一个把n个城市联系起来的电 网，使所用的电缆长度之和最短，即费用最小 （因费用与长度正比），就是一个求最小生成 树的问题．
1 2 3 5 6 8 9
T G[e1, e2 ,...,ep1 ]
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最优二元树
定义：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱT为一棵二元树，共 有t片树叶v1 , v2 ,...,vt
分别带权 w1 , w2 ,...,wt （w为实数），则称T为代 t 权 二元树， W (T ) wi l (vi ) 为二元树T的权， i 1 l 是叶 (vi ) 其中 vi 的层数。 其中权最小的称为最优二元树。 给实数 w1 , w2 ,...,wt ，且 w1 w2 ... wt ，求做一棵
最小生成树与管道铺设
树：树是不含回路的连通图。
2.树的性质（#）
（1）树中任意两点间有且仅有一条路。 （2）树中任意去掉一条边，则树不再连通。 （3）树中任意两点间添上一条边，则构成一个回路。 （4）P个顶点的树有P-1条边。 （5）树中至少存在两个悬挂点。 （6） P个顶点P-1条边的连通图是树图。
带权 w1 , w2 ,...,wt 的最优二元树。
算法步骤如下：
〔1）初始：令S={ 1 , w2 ,...,wt }. w (2) 从S中取出两个最小的权 wa和wb 画顶点 va 带权wa ：画顶点 vb 带权 wb。 画 va ，vb 的父亲v，连接 va 和V, vb 和v。 令v带权 wa wb 。 （3〕令s (s {wa , wb }) {wa wb } (4)判S是否只含一个元素？若是则停止，否则转 （2）。