从一题多解中学方法
从初中数学的一题多解谈培养中学生的创新思维能力
2020年第22期教育教学4SCIENCE FANS 从初中数学的一题多解谈培养中学生的创新思维能力王秉渊（苏州工业园区星湾学校，江苏 苏州 215000）【摘 要】数学学科是培养学生能力的重要学科，是指导其成长的重要工具。
同时，初中时期也是学生成长的重要时期。
所以在初中数学教学中，注重学生能力的培养，是必然的选择。
本文主要论述如何在数学学科中运用一题多解的方式培养学生的创新思维能力。
【关键词】创新思维能力；初中数学；一题多解【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）22-0165-02初中是培养各种思维与能力的重要时期， 初中生的思维更活跃，教师只需适当引导即可取得良好的教学效果。
初中数学题中有一题多解的情况，在解答这类问题时，要从多个方向进行思考，因而其能促进学生思维的发散，培养学生的创新思维能力。
以下是笔者结合实际教学经验，就如何用一题多解试题提高中学生的创新思维能力提出的几点有效策略。
1 挑选多种解法，锻炼其发散思维初中时期，学生学习的数学知识并不是非常多，所以数学习题所涉及的知识点往往较集中。
初中数学习题的种类也不是十分多，但是却具有多变性。
传统教学下缺乏思维发散能力的学生大多只会用一种解题方式解答，一旦习题出现一点变化就会造成学生的迷茫，导致整个习题解答出现错误，所以必须注重其发散思维的培养。
在教学中，可运用具有多种解答方式的习题进行锻炼，从而使学生思维更加活跃，会从不同的角度思考问题，并找寻到正确的答案。
但是在选择这一类问题时，必须注重习题的难度，不能选择较难的习题，否则会打击学生的自信心与学习积极性，降低课堂教学质量。
选取适当难度的习题，能在提高学生能力与思维的基础上，使其对数学学习更有兴趣[1]。
如在教学二元一次方程组的知识后，教师可设计习题“小明、小黄、小绿在回家的路上购买了商品，小明购买了13个鸡蛋、5个鸭蛋与9个鹅蛋，最后总共花费了92.5元。
“一题多解”在中学数学中的应用
浅谈“一题多解”在中学数学中的应用一题多解是开发学生思维、培养学生应用能力的一种很好的方法，它能使学生提高分析问题和解决问题的能力，掌握基本的解题方法和技巧，从解题中对学习数学产生兴趣，通过一题多解了解到数学也有有趣的地方，并不是枯燥无味的。
中学数学教学中，适量运用一题多解对于拓宽学生视野是十分有效的。
下面笔者就中学数学课本中的几个一题多解的题目谈谈自己的看法。
一、几何计算中“一题多解”的运用例1.如图1-1，直线，求已知∠a+∠f+∠c的值。
g图1-1 图1-2图1-3 图1-4解：方法一，如图1-2，过f做f g∥ab，∴∠a+∠afg=180°，∵ab∥cd，∴fg∥cd（平行与同一条直线的两条直线平行），∴∠c+∠cfg=180°（两条直线平行同旁内角互补），又∵∠cfg +∠afg=∠afc，∴∠a+∠afc+∠c=360°。
方法二，如图1-3，延长af、dc相交于一点h，∵ ab∥cd，∴∠a+∠h=180°（两条直线平行同旁内角互补），又∵∠afc=∠h+∠fch（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠a+∠afc+∠fcd=∠a +∠h+∠fch +∠fcd= 180°+180°=360°。
方法三，如图1-4，延长ba、cf相交于一点k，∵ ab∥cd，∴∠c+∠k=180°（两条直线平行同旁内角互补），又∵∠afc=∠k+∠fak（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠baf+∠afc+∠c=∠baf +∠k+∠fak +∠c= 180°+180°=360°。
析：本题所考察的知识点为两直线平行的判定与性质，在解题的过程中运用了三角形的外角和定理，从题目可以看到，直接无法求出三个角的和，只有通过做辅助线才能达到目的，在做辅助线的过程中，由于考虑的出发点不同，才有了不同辅助线的做法。
数学解题方法的探究——浅谈一题多解在数学中的运用
文本解读新课程NEW CURRICULUM数学解题方法的探究———浅谈一题多解在数学中的运用杨柳青（福建省福州市黎明学校）在教学过程中，很多学生在学习数学时都遇到或大或小的困难。
特别是刚刚升入高中的新生对学好数学没有信心。
然后就参加各种辅导班或者采取题海战术，这样做成绩是可以提高，但是效果不明显，而且也学得很辛苦。
我认为要让学生学好数学、爱上数学，并且能让数学成绩得到较大的提高，就要改变现有的注重题海战术的教学方法。
在课堂中教师可以通过一道题目多种解法来训练学生从不同角度来思考问题。
下面就通过几个具体的案例来说明一题多解的优点。
一、在例题讲解中运用一题多解现在很多教师在教学中，往往需要列举许多例题来巩固教材中的知识点，这种方法不但大大增加学生的学习负担，而且效果也不是很理想。
若在教学过程中运用一题多解的教学方法，这样既避免了列举大量的题目来训练学生，进而节约了时间，又让同学的发散思维得到很好的巩固。
例1：已知tan α=512，求sin α，cos α的值。
方法一：【分析】因题中有sin α，cos α，tan α，最容易想到的就是用同角三角函数关系式来解此题。
解：根据同角三角函数关系式，得sin 2α+cos 2α=1tan α=sin αcos α=512{联立，消sin α得cos 2α=144169∴当cos α=1213时sin α=513；当cos α=-1213时sin α=-513方法二：【分析】在方法一的解题过程中计算难度较大，因此，可以灵活地使用“1”的替换，直接利用已知条件求得结果。
解：∵tan α=512∴α是第一或三象限角又∵cos 2α=cos 2αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1=1（512）2+1=144169∴当是第一象限角时，cos α=1213，sin α=513当α是第三象限角时，cos α=-1213，sin α=-513方法三：【分析】有时也可以先把任意三角形看成是直角三角形来解题，再由角的象限来决定符号。
一题多解之五种方法解一道经典数学题
1O BCD①A 一题多解之五种方法解一道经典数学题江苏海安紫石中学 黄本华一题多解是我们学习数学的特好方法！通过一题多解，我们可以多角度、多方位地去思考解题的方案，这样不仅能加强知识间的联系，同时也增添新颖性和趣味性，优化我们的思维结构，提升我们的思维能力。
更重要的是，一题多解让我们不仅只满足解题目标的实现，而是让我们拥有了研究学问的态度！例题 如图，在平面直角坐标系中，点A (－1，0)，B (0，3)，直线BC 交坐标轴于B ，C 两点，且∠CBA ＝45°.求直线BC 的解析式．【分析】要求BC 解析式，现在已经知道了B 点坐标，所以只要求到C 点坐标就好了。
这就要用到条件∠CBA ＝45°。
但这个条件如何用呢？这是本题的难点，也是关键点。
考虑到这个角是45°，我们可以尝试做垂线，构造等腰直角三角形。
如图①，作AD ⊥BC 于D ，由A 、B 的坐标可知1OA =，3OB =，根据勾股定理2210AB OA OB =+=，5BD AD ==AC x =，则1OC x =+，25DC x =-255BC x =-，在RT OBC ∆中，根据勾股定理得出222OC OB BC +=，即()222213(55)x x ++=-，解得152x =-（舍去），25x =，求得6OC =，得出C （﹣6，0），然后根据待定系数法即可求得BC 的解析式．解法一：如图①，作AD ⊥BC 于D ， ∵点A （﹣1，0），B （0，3），∴1OA =，3OB =，∴2210AB OA OB =+=， ∵∠CBA =45°，∴△ABD 是等腰直角三角形， ∴5BD AD ==设AC x =，则1OC x =+， ∴25DC x =-，∴BC=+255BC x =-+，在152x =-中，222OC OB BC +=2，即()222213(55)x x ++=-）， 解得x 1=﹣（舍去），25x =，∴5AC =，6OC =，∴C （﹣6，0）， 设直线BC 的解析式为3y kx =+，2②③解得12k =，∴直线BC 的解析式为132y x =+． 【点评】虽然这种解法思路比较清晰，但是用勾股定理得出的方程比较复杂，解方程很繁，很费时，很累。
一题多解,培养学生数学思维能力的有效方法_
一题多解，培养学生数学思维能力的有效方法作者：孙剑来源：《中学生数理化·学研版》2015年第03期初中数学新课程标准（2011年版）中提到：数学是研究空间形式和数量关系的科学.数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.因此，培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力，是初中数学教学中的一个重要任务.如何通过解题活动来培养学生良好的思维能力，应是数学教学的中心问题.笔者在长期的教学实践中体会到，过多过密盲目的解题，不仅不会促进思维能力的发展、技能的形成，反而易使学生疲劳，兴趣降低，窒息学生的智慧.如何激发学生浓厚的学习兴趣，促进他们思维品质的发展呢？一题多解无疑是激发学生兴趣，开拓思路，培养思维品质和应变能力的一种有效的方法.初中数学一题多解，即充分运用学过的知识，从不同的角度、不同的方向、不同层面思考数学问题，采用多种方法解决问题，这有利于培养学生的发散思维能力和解题技巧，有利于学生提高解决综合问题的能力，有利于学生启迪思维、开阔视野、全方位思考问题、分析问题，有利于学生加深理解各部分知识间的纵横方向的内在联系，掌握各部分知识之间的相互转化.下面就笔者在教学中的体会谈谈“一题多解”在数学教学中的作用.该题出现在“勾股定理的应用”这一节，在这之前，学生一直在学习勾股定理，笔者也在教学中渗透常见问题的解决方法：一般求线段的长可用勾股定理.在这个时间段，学生产生了一定的思维定势，基本固定在用勾股定理求线段的长，大部分学生可以想到解法一.当笔者问，还有什么方法可以解决吗？经过几分钟的思考，只有几个学生想到了解法二，笔者追问，你们是怎么想到的呢？学生答：把题中得到的∠ADB=90°，和题中原有的条件AD是边BC上的中线结合起来就可得到垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到AC=AB=26.在解决问题时，不能把解决问题的途径仅仅停留在目前学习的方法上，在分析问题的时候，一定要去想与题中所给条件相关联的知识，建立不同知识间的联系，慢慢构建知识网络，开拓思路，使得解决问题的途径变多.例如：当我们看到题中给出了条件有直角三角形，我们就应该想已经学习过的与直角三角形相关联的知识：两个锐角互余、斜边上中线等于斜边的一半、勾股定理等等.课堂上启发学生展开联想，进行发散性思维，可以帮助学生突破感官时空限制，扩大感知领域，唤起学生对已有知识和经验的回忆，沟通新旧知识之间的联系，达到发展学生的思维.解法一是从条件出发，看到直径，想到直径所对的圆周角是直角，再结合垂径定理，得到两弧相等，是一种由因所果的证明方法，即综合法.解法二是由结论出发，要得弧相等就证弧所对的圆心角相等，是一种执果索因的证明方法，即分析法.通过一题多解，不仅能使学生更牢固地掌握和运用所学知识，还能使学生沟通知识点间的联系，同时能培养学生多方法、多视角思考问题和发现问题，分析比较，寻找解决问题的最佳途径和方法，形成良好的思维品质，而且使学生感受到成功的喜悦和增强自信心，也极大地激发学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣，从而在很大程度上培养了学生思维的广阔性.。
浅析一题多解对中学数学教学的益处
浅析一题多解对中学数学教学的益处本文通过两个典型的中学例题，分别用了三种及五种解法，阐述了一题多解在中学教学中重要作用，即具有培养学生发散与创新的思维、开发智力、便于掌握数学思想、提高学生学习数学信心与乐趣。
标签：一题多解、数学、教学随着社会的发展，我国政府与人民对教育的重视程度也越来越高，尤其是对中小学的教育，重视与投入都比较高。
那么，作为老师，提高自己的教学水平自然是迫在眉睫。
而在中学数学的教学过程中，就有许多比较优秀的教学技巧，这些方法不仅对教学质量的提升有很大帮助，同时也对提升学生的综合素质，也有着很大的帮助，其中，一题多解就是其中一种比较优秀的教学方法。
一、一题多解概念及案例一题多解，顾名思义就是通过不同的思维方式，运用至少两种以上的方法或途径进行同一道题的解答，而一题多解在教学的过程中，是对一道问题从不同的方面，不同的层次进行思考和分析，提出不同的解决方案。
那么，我们首先来欣赏如下这两个简单的例题。
例1.证明：五边形内角和是540度证明一，连接AC与AD（图一），此时五边形可转化为三个三角形，即可得到五边形内角和等于3个180度，即540度;证明二，在五边形ABCDE上，选取一边CD某一点F，并连接FB、FA、FE（图二），那么，这个五边形内角和转化为四个三角形内角和减去CD这个平角，即4个180度减去一个平角，可得540度;证明三，在五边形内部选取一点0（图三），并连接OA、OB、OC、OD、OE，即可构造5个三角形，此时五边形的内角和等于五个三角形的内角总和减去一个周角，即可得五边形内角和为540度;证明四，在五边形ABCDE外部选取一点0（图四），并连接OA、OB、OC、OD、OE，即可构造五个三角形，此时再减去三角形OCD的内角和即为该五边形内角和，可得540度;证明五，在五边形ABCDE中连接BD，即可转化为三角形BCD与四边形ABDE，而三角形与四边形内角和分别是180度与360度，由此相加便可得540度。
办法总比困难多,一题多解教学乐
办法总比困难多，一题多解教学乐学好数学离不开解题，而数学习题浩如烟海，变化无穷，我们该怎么办呢？我们可以提高习题的利用率来提高解题的能力。
在解题教学中可通过典型例题的解题教学及解题训练，尤其是一题多解、一题多变及多题归一等变式训练，达到使学生巩固与深化所学知识，提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力，增强思维的流畅性、变通性和独创性的目的。
把枯燥无味的数学学习变得有趣多样，从而形成快乐学习的氛围。
下面我从三个方面三个例子来谈谈我在进行一题多解教学中的感受：一、利用一题多解，震撼学生心灵，激发学生学习数学的学习兴趣在学习一元二次方程根与系数的关系时，学生做了这样的一道习题：例1.如果7是关于x的一元二次方程x2+mx-21=0的一个根，求该方程的另一根及m的值。
讲解时我不动声色地认认真真地讲解大家所采用的常规方法，也就是将7代入原方程求得m的值，再将m的值代入原方程中求得两根，从中挑出另一根，并详细地板书在黑板上，细细想来利用这种方法解题有许多学生感到心理有点不顺畅。
然后我再请出韦达先生来帮忙：设另一根为x1，依题意可得：7+x1=-m7x1=-21，解得：x1=-3m=-4。
学生被这么简捷地解决一个感觉繁琐的问题而震撼了，怎么可以这么简单呢？当然在被震撼的同时，学生也就接受了根与系数的关系这一重要性质，并会主动去思考如何应用了。
二、利用一题多解，引导学生开拓思路，提高解题能力，培养良好的思维习惯以鹭江出版社出版的《新课程中考复习指导丛书——数学》一书中空间与图形中的一题为例：例2.如图，ab是⊙o的直径，ae是弦，点c是弧ae中点，cd⊥ab于d，交ae于f。
求证：af=cf很多同学在分析这道题时，感到题目所给条件简单，不知该从何处下手，下面是我在教学中利用一题多解的方法进行讲解并引导学生如何切入审题。
方法一：ab是⊙o的直径→（连结ac、bc）∠acb=90°，又cd ⊥ab（形成双直角三角形）∠acd=∠b，结合条件“点c是弧ae中点”得到∠cae=∠b，得∠acd=∠cae，从而得证。
《一题多解与一题多变在中学数学中的应用开题报告2000字》
[4] 黄跃惠. 一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用[J]. 试题与研究：高考版, 2019(28):1.
[5] 宫代印. 浅谈"一题多解"和"一题多变"在高中数学教学中的应用[J]. 试题与研究：教学论坛, 2019(2):1.
[6] 王菊香. 一题多变和多解成就智慧课堂[J]. 考试周刊, 2019(87):2.
[13] 江猷敏. "一题多解和一题多变"在培养学生数学思维能力的应用策略探析[J]. 考试周刊, 2020(66).
[14] 章勇. "一题多解"与"一题多变"在培养学生思维能力中的应用[J]. 新教育时代电子杂志（学生版）, 2020(24):2.
八．指导教师意见
指导教师签字：
年 月 日
九．系意见
系主任签字：
年 月 日
十．学院毕业论文（设计）工作领导小组意见
负责人签字：
年 月 日
[7] 颜天伦. 初中数学教学中"一题多变","一题多解"渗透[J]. 中学课程辅导:教学研究, 2019.
[8] 张海玲. 谈利用"一题多解与一题多变"培养学生的思维能力[J]. 新智慧, 2021(6):2.
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从一题多解中学方法
求抛物线的解析式是第二十七章的一个重点和难点，也是中考的一个热点.亲爱的同学，现以2008年的一道中考题为例介绍求抛物线解析式的方法，供你学习时参考.
抛物线的解析式有以下三种常见的形式：
一般式：c bx ax y ++=2
(a ，b ，c 为常数，且≠a 0)，其特点是：等式右边是二次三项式的一般形式.
顶点式：k h x a y +-=2
)((a ，h ，k 为常数，且≠a 0），其特点是：(h ，k )是抛物线的顶点坐标.
交点式：))((21x x x x a y --=(a ，1x ，2x 为常数，且≠a 0），其特点是：等式右边的常数1x ，2x 是抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，即两个交点坐标是(1x ，0)和(2x ，0).
例 （2008年山东临沂市中考题）如图1，已知抛物线与x 轴交于A (-1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，3).
(1)求抛物线的解析式； (2)略； (3)略.
分析一：因为已知抛物线的三点坐标，故可选用一般式来求其解析式.
解法一：(1)设其解析式为2
ax y =+bx +c ，由题意，得
⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-.3,039,0c c b a c b a 解得⎪⎩
⎪⎨⎧==-=.3,2,
1c b a 故此抛物线的解析式为2
x y -=+2x +3. 点评：用待定系数法求a ，b ，c 需三个独立条件，若已知图象经过的三点的坐标或三对x ，y 的对应值，则可选用一般式来求其解析式，即建立关于a ，b ，c 的三元一次方程组，求出a ，b ，c 的值后再回代即可.这种方法是求抛物线解析式最基本的方法，务必熟练掌握.
分析二：因为抛物线与y 轴交于点C (0，3)，即当x =0时，y =3.故可直接设抛物线
x y A M P
D
O
B
C
图1
的解析式为2
ax y =+bx +3，然后根据它过A (-1，0)、B (3，0)两点建立方程组求出a ，b 即可.
解法二：设抛物线的解析式为2
ax y =+bx +3，则由题意，得⎩
⎨
⎧=++=+-.0339,
03b a b a 解得
⎩⎨
⎧=-=.
2,1b a 故抛物线的解析式为2
x y -=+2x +3. 点评：当抛物线与y 轴的交点坐标已知时，马上就可得出解析式2
ax y =+bx +c 中c 的值，从而只需根据问题所给的另外两个条件求出a ，b 的值再回代即可.
分析三：由已知条件易求得抛物线的对称轴是直线12
3
1=+-=
x ，故抛物线的顶点的横坐标是1，因此可设抛物线的顶点坐标是(1，k )，从而可选用顶点式k h x a y +-=2
)(来 求其解析式.
解法三：由抛物线经过点A (-1，0)、B (3，0)，可知其对称轴是直线12
3
1=+-=
x ，由此可知抛物线顶点的横坐标是1，故可设其解析式为k x a y +-=2
)1(，则由题意，得
⎪⎩⎪⎨⎧+-=+--=.
)10(3,)11(02
2
k a k a 解得⎩⎨⎧=-=.4,1k a 故其解析式是2
)1(--=x y +4，即2x y -=+2x +3. 点评：当抛物线的顶点坐标已知或容易求出时，可选用顶点式k h x a y +-=2
)(来求其解析式，此时只需根据另外的条件求出a ，k ，然后回代，并把它化为一般式即可. 此外，应注意这种情况的变式，即在题设条件中，若涉及对称轴或对称轴易于求出时，也可选用顶点式来求其解析式.
分析四：因为A (-1，0)、B (3，0)两点是抛物线与x 轴的两个交点的坐标，故可选用交点式来求其解析式.
解法四：因为抛物线交x 轴于A (-1，0)、B (3，0)两点，故可设其解析式为y =a (x +1) (x -3).又因为它交y 轴于点C (0，3)，故3=a (0+1)(0-3)，解得a =-1.故所求解析式是y =-(x +1)(x -3)，即2
x y -=+2x +3.
点评：当抛物线与x 轴的两个交点或交点的横坐标已知时，常常选用交点式来求其解析式，此时只需代入第三个条件即可求出a 的值，再回代，最后化为一般式即可.
现在就练：
（2008年湖南常德市中考题）如图2，已知四边形ABCD 是矩形，且MO=MD=4，MC=3. (1)求直线BM 的解析式；
(2)求过A 、M 、B 三点的抛物线的解析式.
参考答案：
解：(1)因为MO=MD=4，MC=3，故M 、A 、B 的坐标分别为(0，4)，(-4，0)，(3，
0)，设直线BM 的解析式为b kx y +=， 则⎩⎨⎧+⨯=+⨯=.30,04b k b k 解得⎪⎩⎪
⎨⎧
=-=.
4,34b k 故BM 的解析
式为43
4
+-
=x y . (2)解法一：设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2
，则⎪⎩
⎪⎨⎧=++=+-=c c b a c b a 43904160，解得
31-==b a ，4=c ，故43
1
312+--=x x y .
解法二：设抛物线的解析式为)3)(4(-+=x x a y ，将M (0，4)的坐标代入解得3
1
-=a ，故所求解析式为)3)(4(31-+-=x x y ，即--=231x 43
1
+x .
图2
A
D
O
C
B
M。