高中数学好题速递

好题速递201题解析几何模块4．已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为 ．解法一：由MA MB λ=得()()222222x y x b y λ⎡⎤++=-+⎣⎦即()()()222222211244x y b x b λλλλ-+--+=-故2222240411b b λλλ⎧+=⎪⎨-=⎪-⎩，将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=，得12b =-，2λ=又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-，所以由几何性质知点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为点()2,0-与1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离为52解法二：作为小题，由MA MB λ=知是阿氏圆轨迹，故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-，即可得1311b b λ==+-，解得12b =-，2λ= 好题速递202题解析几何模块5．已知M 是28x y =的对称轴和准线的交点，点N 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足PM m PN =，当m 取得最大值时，点P 恰在以M 、N 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 ． 解：作''PP MP ⊥，由抛物线定义'PP PN ='1cos PN PP PM m PN m PM PMθ=⇒===，其中'MPP NMP θ=∠=∠ 要使m 取得最小值，即cos θ最小，即NMP θ=∠最大值，即''2PMP MPP π∠=-∠最小，此时MP 是抛物线的切线． 设MP 的方程为2y kx =-， 与28x y =联立得()2820x kx --= 因为相切，故264640k ∆=-=，解得1k = 故()4,2P ，2424a PM PN =-=-由24c =，得1e =好题速递203题解析几何模块6． 已知斜率为1的直线l 过双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左焦点F ，且与双曲线左、右支分别交于,A B 两点，若A 是线段BF 的中点，则双曲线的离心率为 ．解：由题意知122y y =()222222422120x y b a y b cy b a bx y c ⎧-=⎪⇒--+=⎨⎪=-⎩2121224212122232b cy y y b ab y y y b a ⎧+==⎪⎪-⎨⎪==⎪-⎩所以222492c b a =-，所以2218c a e =⇒=好题速递204题解析几何模块7． 已知点P 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上的动点，12,F F 是其左、右焦点，O 坐标原点，若12PF PF OP+，则此双曲线的离心率是 ．解：设12,PF m PF n ==，则()22222222122422m n OP F F m n OP c +=+⇒+=+ 又2m n a -=，所以22224m mn n a -+= 所以2222224mn OP c a =+-()222222222222444m n OP c OP c a OP b +=+++-=+所以22244m n b OP OP +⎛⎫=+⎪⎝⎭所以m nOP +的最大值在OP a =时取到，所以22446b a+=所以222b a =，即6e =好题速递205题解析几何模块8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()()22119x y -+-=，直线:3l y kx =+与圆C 相交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围是 ．解：两圆有公共点的充要条件是15CM ≤≤，而5CM ≤恒成立，故只要min 1CM ≥时两圆必有公共点．由平面几何知识可知，min CM 为点C 到直线l 的距离d ，所以2211k d k +=≥+，解得34k ≥-好题速递206题解析几何模块9．已知点()1,0A m -，()1,0B m +，若圆22:88310C x y x y +--+=上存在一点P ，使得0PA PB =，则m 的最大值为 ． 解：由0PA PB =得P 在以AB 中点()1,0M 为圆心，2AB为半径的圆上，所以P 的轨迹方程为()2221x y m -+=，所以圆M 的半径为m ，又由P 在圆C 上，22:88310C x y x y +--+=的圆心()4,4C ，半径为1，当圆M 与圆C 内切时，MP 最大为516MC CP +=+=好题速递207题立体几何模块1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11B BCC 上的动点，并且1//A F 平面1AED ，则动点F 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．线段解：如图，取1BB 的中点M ，11B C 的中点N ，显然可证明平面1//A MN 平面1AED ，当F 在线段MN 上时，均有1//A F 平面1AED ，即动点F 的轨迹是线段MN 。

点评：善于转化是解决立体几何中平行与垂直问题的关键。

例如，考虑“线线平行”时，可转化为“线面平行”或“面面平行”；考虑“线面平行”时，可转化为“线线平行”或“面面平行”；考虑“面面平行”时，可转化为“线线平行”或“线面平行”。

在斜二测画法画图时，平行关系不会改变，因为要找平行线，可以考虑在图象上推平行线，然后关注哪个位置看起来比较特殊，例如中点，中位线之类。

好题速递208题立体几何模块2．如图，在三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA 与1BB 上各有一个动点P ，Q ，且满足1A P BQ =，M 是棱CA 上的动点，则111M ABQPABC A B C M ABQPV V V ----的最大值是 ．解法一：设111ABC A B C V V -=，则11113M ABQP M B BA C B BA B CBA V V V V V ----=≤==（注：这里用到了梯形ABQP 的面积与1ABB ∆的面积相等。

） 即M与C 重合时，M ABQPV -最大，1111112113M ABQPABC A B C M ABQPM ABQPV V VV V V V ----=≤=--- 解法二：设M ABQP V V -=，1110ABC A B C V V -=为定值，则()0Vf V V V=-是关于V 的增函数 所以()0max 000113123C ABQP C ABQPV V f V V V V V --===--好题速递209题立体几何模块3．已知线段//AD α，且AD 与平面α的距离为4，点B 是平面α上的动点，且满足5AB =，若10AD =，则线段BD 长度的取值范围是 ． 解：如图，将线段AD 投影到平面α上，得到射影''A D ，将空间问题平面化，则动点B 的轨迹是以'A 为圆心，半径为22543-=的圆，又22''BD DD BD =+，103'103BD -≤≤+，'4DD =， 所以491616916BD +≤≤+，即65185BD ≤≤好题速递210题立体几何模块4．已知P 为正方体1111ABCD A B C D -对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=∈，下面结论：①11A D C P ⊥；②若1BD ⊥平面PAC ，则13λ=；③若PAC ∆为钝角三角形，则10,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；④若2,13λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则PAC ∆为锐角三角形．其中正确结论的序号为 ．解：在正方体1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面11ABC D ，又1C P ⊂平面11ABC D ，故11A D C P ⊥，①正确；由题可知1BD AC ⊥，若1BD ⊥平面PAC ，则1BD CP ⊥设正方体的棱长为1，则1BC =，12CD =，13BD =，在1Rt BCD ∆中，21BC BP BD = 所以3BP =，所以113BP BD =，②正确； 在正方体1111ABCD A B C D -中，以11A B 为x 轴，11A D 为y 轴，1A A 为z 轴建系，设棱长为2，则()()()()10,0,2,2,0,2,2,2,2,0,2,0A B C D设(),,P x y z ，由1BP BD λ=，得22,2,22x y z λλλ=-==-所以()22,2,2PA λλλ=--，()2,22,2CP λλλ=--+-，()2,2,0CA =--若PAC ∆为钝角三角形，则APC ∠为钝角，21280PA PC λλ=-<，解得20,3λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，③错；同理，当2,13λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，21280PA PC λλ=->，所以PAC ∆为锐角三角形，④正确。

所以正确结论为①②④。

好题速递211题立体几何模块5．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足12PA PC +=的点有 个． 解：点P 既在以1,A C 为焦点，长轴为2的椭球上，又在正方体的棱上。

因为112BA BC +=>，故点B 在以1,A C 为焦点，长轴为2的椭球外，所以椭球必与线段AB 相交（交点就是AB 的中点），同理在111111,,,,AD AA C B C D C C 上各有一个交点满足条件 又若点P 在1BB上，则12PA PC +>，故1BB 上不存在满足条件的点P ，同理11111,,,,DD CD A B BC A D 上也不存在满足条件的点P 。

好题速递212题立体几何模块6．将一个长宽分别为(),0a b b a <<的铁皮的四个角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子（不计粘合处），若这个长方体的外接球的面积存在最小值，则ab的取值范围是 ． 解：设切去的小正方形的边长为x ，长方体的外接球的半径为R 则()()()()22222224229402b R x a x b x x a b x a b x ⎛⎫=+-+-=-+++<< ⎪⎝⎭因为长方体的外接球的面积存在最小值，所以()20920a b b b a+⎧<<⎪⎨⎪<<⎩，解得514a b <<好题速递213题在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB BC ==，CD ，AB BC ⊥，动点M 在以C 为圆心且过点D 的圆内运动（不含边界），设(),AM mAB nBC m n =+∈R ，则m n +的取值范围是 ．解：建立直角坐标系，()','M x y ， ()1,0A ，()0,0B ，()0,1C，D ⎫⎪⎪⎝⎭由(),AM mAB nBC m n =+∈R 得'1,'x m y n =-= 动点M 在()22112x y +-≤内运动，所以()()221112m n -+-≤ 求目标函数m n +的取值范围是()1,3好题速递214题在曲线()22:20C x y x -=>上任取,A B 两点，则OA OB 的最小值为 ． 解：记()()1122,,,A x y B x y ，则1212OA OB x x y y =+且()2211120x y x -=>，()2222220x y x -=>， 同时满足()1,2i i x y i >=，即0i i x y +>，()01,2i i x y i ->= ()()()()12121122112212122OA OB x x y y x y x y x y x y =+=+++--⎡⎤⎣⎦≥⋅==当且仅当1212,x x y y ==-时取得“=”，故OA OB 的最小值为2．好题速递215题已知函数()f x 是定义在R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有()()()11xf x x f x +=+，则52f f⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 解：令12x =-，则111111222222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭令0x =，则()00f =当0x ≠时，由()()()11xf x x f x +=+得()()11x f x f x x++= 则535353512203122323222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()5002f f f ⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦好题速递216题已知实数a b c <<，设函数()111f x x a x b x c=++---的两个零点分别为()1212,x x x x <，则下列关系中恒成立的是（ ）（A ）12a x x b c <<<< （B ）12x a b x c <<<< （C ）12a x b x c <<<< （D ）12a x b c x <<<< 解：()111f x x a x b x c=++---的两个零点， 即()()()()()()()g x x a x b x a x c x c x b =--+--+--的两个零点 因为()g x 开口向上，()()()g b b a b c =--，又a b c <<，所以()0g b < 即函数()g x 的零点一个大于b ，一个小于b ，且()0g a >，()0g c > 所以根据“一上一下，中间一点”的原则，可知12a x b x c <<<<，选C好题速递217题已知点()1,2A 在抛物线2:2y px Γ=上，若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边,,AB BC CA 所在直线的斜率分别为123,,k k k ，则123111k k k -+= ． 解：2:4y x Γ=，设211,4y B y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，222,4y C y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以222212121122123121211221114444122444y y y y y y y y k k k y y y y ---+++-+=-+=-+=---点评：抛物线题目的计算量相对于椭圆、双曲线要小一些，主要是基于抛物线上的点的设法2,2y y p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，在化简过程中利用好平方差公式，可以使得计算简便。