2020年高考数学《立体几何初步》专题 三垂线定理学案
高中数学 2.2.3.6三垂线定理(2)教案 新人教A版必修2
课题：2.2.3.6三垂线定理（2）课 型：新授课一、课题：三垂线定理（2）二、教学目标：1．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容；2．能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正确应用．三、教学重、难点：三垂线定理的应用。
四、教学过程：（一）复习：1．三垂线定理及其逆定理的内容；2．练习：已知：在正方体1AC 中，求证：（1）111BD AC ⊥；（2）11BD B C ⊥． （二）新课讲解：例1．点A 为BCD ∆所在平面外的一点，点O 为点A 在平面BCD 内的射影，若,AC BD AD BC ⊥⊥，求证：AB CD ⊥．证明：连结,,OB OC OD ，∵AO BCD ⊥平面，且AC BD ⊥∴BD OC ⊥（三垂线定理逆定理）同理OD BC ⊥，∴O 为ABC ∆的垂心，∴OB CD ⊥， 又∵AO BCD ⊥平面，∴AB CD ⊥（三垂线定理）【练习】：BCD ∆所在平面外的一点A 在平面BCD 内的射影O 为BCD ∆的垂心，求证：点B 在ACD ∆内的射影P 是ACD ∆的垂心．例2．已知：四面体S ABC -中，,SA ABC ABC ⊥∆平面是锐角三角形，H 是点A 在面SBC 上的射影，求证：H 不可能是SBC ∆的垂心．证明：假设H 是SBC ∆的垂心，连结BH ，则BH SC ⊥，∵BH SBC ⊥平面∴BH 是AB 在平面SBC 内的射影，∴SC AB ⊥（三垂线定理）又∵SA ABC ⊥平面，AC 是SC 在平面ABC 内的射影∴ AB AC ⊥（三垂线定理的逆定理）∴ABC ∆是直角三角形，此与“ABC ∆是锐角三角形”矛盾∴假设不成立，所以，H 不可能是SBC ∆的垂心．例3．已知：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是,AC BD 的交点，求证：1A F BED ⊥平面．证明：1AA ABCD ⊥平面，AF 是1A F 在面ABCD 上的射影又∵AC BD ⊥，∴1A F BD ⊥取BC 中点G ，连结1,FG B G ，∵111111,A B BCC B FG BCC B ⊥⊥平面平面，∴,B G 为1A F 在面11BCC B 上的射影，又∵正方形11BCC B 中，,E G 分别为1,CC BC 的中点，∴1BE B G ⊥，∴1A F BE ⊥（三垂线定理）又∵EB BD B =，∴1A F BED ⊥平面．五、课堂小结：三垂线定理及其逆定理的应用．六、作业：1．已知P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB PC 两两垂直，H 是ABC ∆的垂心， 求证：PH ⊥平面ABC ．2．已知P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB PC 两两垂直，求证：P 在平面ABC 内的射影O 是ABC ∆的垂心．3．如图，ABC ∆是正三角形，F 是BC 的中点，DF ⊥平面ABC ，四边形ACDE 是菱形，求证：AD BE ⊥．4．如图，过直角三角形BPC 的直角顶点P 作线段PA ⊥平面BPC ，求证：P 在平面ABC 内的射影H 是ABC ∆的垂心．课后记：中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
第九章立体几何教案(15)
三垂线定理（1）教学目的：知识目标：三垂线定理及其逆定理的形成和论证．三垂线定理及其逆定理的简单应用． 能力目标：利用投影、运算机模拟运动，增强直观性，鼓励学生的学习动机，培育学生的空间想象能力和转化的数学思想方式。
德育目标：通过定理的论证和练习的训练渗透化繁为简的思想和转化的思想． 教学重点：掌握三垂线定理及逆定理。
教学难点：两个定理的证明及应用． 教学疑点及解决方式（1）三垂线定理及其逆定理，揭露了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线（或斜线在平面内的射影）垂直的判定定理．（2）本节课的两个定理，涉及的直线较多，学生在熟悉和理解上都会存在困难，为了加深印象并说明复杂的直线位置关系，能够采用一些教具，或让学生预备三根竹签，依照教师的要求摆放．在学生感性熟悉的基础上，进行理性的证明和记忆，有助于定理的掌握．（3）三垂线定理是先有直线a 垂直于射影AO 的条件，然后取得a 垂直于斜线PO 的结论；而其逆定理则是已知直线a 垂直于斜线PO ，再推出a 垂直于射影AO ．在引历时容易引发混淆，解决的办法是，构造一个同时利用这两个定理的问题，引导学生分清．（4）教学核心是定理的形成教学，教学的指导思想是：遵循由具体探讨抽象、由简单到复杂的熟悉规律，启发学生反复试探，不断内化成为自己的认知结构． 讲课类型：新讲课教学模式：讲练结合 启发引导 自学指导 发觉教学法 偿试指导法 启发、诱导发觉教学.教 具：多媒体、实物投影仪 教学进程： 一、温习引入： （1） 温习旧知，揭露课题例1（引例）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， ① 找平面AC 的斜线BD 1的射影 ② BD 1与AC 的位置关系如何？③ BD 1与AC 成多少度的角？通过回忆斜线、射影、直线与直线的位置关系，揭露这节课所要学的内容与原来所学的知识之间的内在联系，也就是提示学生这节课的目的是利用所学过的数学知识去总结结论，发觉定理，从而为定理的证明打下了基础。
高考数学一轮复习《三垂线定理》学案
第5课时三垂线定理斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中．变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB，塔顶A到道路距离为AC，且测得∠BCA ＝30°，在道路上取一点D，又测得CD＝30m，∠CDB＝45°．求电塔AB的高度．解：BC＝30，AB＝BC tan30°＝103例2．如图，矩形纸片A1A2A3A4，B、C、B1、C1分别为A1 A4、A2A3的三等分点，将矩形片沿BB1，CC1折成三棱柱，若面对角线A1B1⊥BC1；求证：A2C⊥A1B1．解：取A2B1中点D1∵A2C1＝B1C1∴C1D1⊥A2B1又A1A2⊥面A2B1C1∴C1D1⊥A1A2∴C1D1⊥面A1A2B1B ∴BD1是BC1在面A2B上的射影由A1B1⊥BC1∴BD1⊥A1B1取A1B中点D 同理可证A2D是A2C在面A2B上的射影B1A1 B CA1A2B1C1A2C1CBDABC基础过关∵A 2D BD 1 ∴A 2DBD 1是平行四边形 由BD 1⊥A 1B 1 ∴A 1B 1⊥A 2D ∴A 2C⊥A 1B 1变式训练2：如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长29，设这条最短路线与CC 1交点N ，求：(1) PC 和NC 的长；(2) 平面NMP 与平面ABC 所成二面角(锐角)大小． 解：将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面 AA 1C 1C 在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线 设PC ＝x ，则P 1C ＝x ，在Rt△MAP 1中，由勾股定理得x ＝2 ∴PC＝P 1C ＝2 ∵5211==AP C P MA NC ∴NC＝54(2) 连接PP 1，则PP 1就是平面NMP 与平面ABC 的交线，作NH⊥PP 1于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH ，由三垂线定理得CH⊥PP 1∴∠NHC 就是平面NMP 与平面ABC 所成的平面角(锐角) 在Rt△PHC 中 ∵∠PCH＝21∠P CP 1＝60°∴CH＝2PC ＝1在Rt△PHC 中 tanNHC ＝54故平面NMP 与平面ABC 所成二面角大小为arctan 54 例3.如图在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点． (1) 试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥面AB 1F ； (2) 当D 1E ⊥面AB 1F 时，求二面角C 1－EF －A 大小．解：(1) 连结A 1B ，则A 1B 是D 1E 在面ABB 1A 1内的射影 ∵AB 1⊥A 1B ∴D 1E⊥AB 1于是D 1E⊥平面AB 1F ⇔D 1E⊥AF连结DE ，则DE 是D 1E 在底面ABCD 内的射影 ∴D 1E⊥AF ⇔DE⊥AF∵ABCD 是正方形，E 是BC 的中点 ∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE⊥AF 即当点F 是CD 的中点时，D 1E⊥面AB 1F(2) 当D 1E⊥平面AB 1F 时，由(1) 知点F 是CD 的中点，又已知点E 是BC 的中点，连结EF ，则EF∥BD 连AC ，设AC 与EF 交点H ，则CH⊥EF，连C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影 ∴C 1H⊥EF即∠C 1HC 是二面角C 1－EF －C 的平面角D 1 C 1B 1A 1BADFCEA 1 C 1B 1M N CPB A在Rt△C 1HC 中 ∵C 1C ＝1 CH ＝41AC ＝42∴tan∠C 1HC ＝221=CHCC∴∠C 1HC ＝arctan 22 ∴∠AHC 1＝π－arctan22变式训练3：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中棱长a ，点P 在AC 上，Q 在BC 1上，AP ＝BQ ＝a ， (1) 求直线PQ 与平面ABCD 所成角的正切值； (2) 求证：PQ⊥AD ．(1) 解：过Q 作QM∥CC 1交BC 于M 则QM⊥面ABCD ∴∠QPM 就是所求角 ∵BCBMBC BQ =1即a a BCBM2=∴aa a BCCM22-=aa a ACCP 22-= ∴ACCP BC CM=∴PM∥AB在Rt△PQM 中 PM ＝a212- QM ＝a 22∴tan∠QPM＝PMQM＝aa 21222-＝2＋1(2) 由(1) 可知PM⊥BC PQ 在面ABCD 内的射影是PM. ∴PQ⊥BC 又AD∥BC ∴PQ⊥AD例4．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动． (1) 证明：D 1E⊥A 1D ；(2) 当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； (3) AE 等于何值时，二面角D 1－EC －D 的大小为4π． (1) 证明：∵ AE⊥平面AA 1DD 1，A 1D⊥AD 1，∴A 1D⊥D 1E ．(2) 设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC ＝CD 1＝5，AD 1＝2，C AD S 1∆＝21·2·215-＝23，而ADC S ∆＝21·AE·BC＝21． ∴ABC D V -1＝31ABC S ∆·DD 1＝31C AD S 1∆·h ∴21×1＝23×h， ∴h＝31(3) 过D 作DH⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H⊥CE，∴∠DHD 1为二面角D 1－EC －D 的平面角．设AE ＝x ，则BE ＝2－xAACD B CEDB在Rt△D 1DH 中，∵∠DHD 1＝4π，∴DH＝1 ∵在Rt△ADE 中，DE ＝21x +，∴在Rt△DHE 中，EH ＝x ，在Rt△DHC 中，CH ＝3，CE ＝542+-x x ，则x ＋3＝542+-x x ，解得x ＝2－3．即当x ＝2－3时，二面角为D 1－EC －D 的大小为4π． 变式训练4：如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，且PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ．(1) 求证：PD⊥面ABCD ； (2) 求直线PB 与AC 所成角； (3) 求二面角A －PB －D 大小．证明：(1) ∵PC＝2a PD ＝DC ＝a∴PD 2＋DC 2＝PC 2∴△PDC 是直角三角形 ∴PD⊥DC 同理PD ⊥DA 又∵DA∩DC＝D ∴P D⊥平面ABCD(2) 连BD ∵ABCD 是正方形 ∴AC⊥BD 又∵P D⊥平面ABCD AC⊥PB(三垂线定理) ∴PB 与AC 所成角为90°(3) 设AC∩BD＝0 作AE⊥PB 于E ，连OE ∵AC⊥BD PD⊥平面ABCD AC ⊂面ABCD ∴PD⊥AC ∴AC⊥平面PDB又∵OE 是AE 在平面PDB 内的射影 ∴OE⊥PB∴∠AEO 就是二面角A －PB －O 的平面角 又∵AB＝a PA ＝a 2 PB ＝a 3 ∵PD⊥面ABCD DA⊥AB ∴ PA⊥AB 在Rt△PAB 中 AE·PB＝PA·AB ∴AE＝a 36 AO ＝a 22∴sin∠AEO＝23 ∴∠AEO＝60°1．求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作)，二证，三算．寻找直线在平面内的射影是关键，基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题，主要转化到一个三角形内，通过解三角形来解决．2．三垂线定理及逆定理，是判定两条线互相垂直的重要方法，利用它解题时要抓住如下几个环节：一抓住斜线，二作出垂线，三确定射影．３．证明线线垂直的重要方法：三垂线定理及逆定理；线⊥面⇒线⊥线；向量法．P ABCD小结归纳。
三垂线定理教案
三垂线定理教案【课题】三垂线定理【教学目标】根据教学大纲的要求、本节课的特点和学生对空间图形的认知特点，本节课的教学目的确定如下：知识目标：理解并掌握三垂线定理及其证明，准确把握几个垂直关系的实质，初步学会应用三垂线定理解决相关问题。
能力目标：通过对三垂线定理的探索过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想，具体体现在线线垂直与线面垂直的辨证关系上：线⊥线判定线⊥面性质线⊥线情感目标：通过数学严密的逻辑推理教学，使学生感受数学的严谨性，体会数学的美。
【教学重点、难点】重点：三垂线定理的理解和应用。
难点：正确做出或找出射影，熟练掌握并运用三垂线定理【教学方法】讲授法【教学工具】三角板，多媒体。
本节课内容较多，又涉及到很多的空间图形，所以采用多媒体课件来教学有助于降低学生学习的难度，提高课堂学习效率，还准备一把三角尺，建立三垂线定理中几条直线的模型，帮助理解三垂线定理的实质。
【教学过程】（一）复习提问：1、线⊥线判定线⊥面性质线⊥线2、何为平面的斜线、何为斜线在平面上的射影？（二）新课讲授：练习：已知PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影. a ⊂α,a ⊥AO 。
求证a ⊥PO三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它就与这条斜线垂直。
（垂影则垂斜） 分析定理中的3个垂直关系： 1、PA ⊥α （线面垂直） 2、a ⊥AO （线影垂直） 3、a ⊥PO （线斜垂直） 分析定理中的4条直线：PA —垂线 PO —斜线 AO —射影 a —平面内的直线（三）定理应用例1、已知P 是平面ABC 外一点，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC,求证：PC ⊥BC (例1) (练习1) （选择这道例题的主要目的是直接应用定理）练习1：已知：PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。
求证：PO ⊥BD, PC ⊥BD练习2：已知: PA ⊥平面PBC ，M 是BC 的中点 ，且PB=PC 求证： BC ⊥ AM（练习题设计意图：深化对定理的理解） Aα aOPP A BC P A B CD OP A PAC例2、在正方体AC 1中，求证 ：A 1C ⊥BD ， A 1C ⊥BC 1（例题设计意图：培养学生在变换位置的形式下应用三垂线定理的能力）小结运用三垂线定理证明的一般步骤：一定（定平面）二找（ 找平面的垂线、斜线及其射影） 三证（证平面内一直线与斜线垂直）（ 解题回顾设计意图帮助学生理顺解题思路）练习3：填空：如图，ABCD 是矩形，PA ⊥平面AC,连接PB 、PC 、PD 。
高中数学 2三垂线定理教案 新人教A版必修2
福建省漳州市芗城中学高中数学 2三垂线定理教案新人教A版必修2授课类型：新授课授课时间：第周年月日（星期）一、教学目标1、知识与技能：理解三垂线定理及其逆定理的证明，准确把握“空间三线”垂直关系的实质；掌握三垂线定理及其逆定理解题的一般步骤。
2、过程与方法：通过三垂线定理的证明及应用，体会空间线线、线面垂直关系的转化。
3、情感态度与价值观：培养学生的观察、猜想和论证能力；培养学生对待知识的科学态度和辩证唯物主义观点。
二、教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明和初步应用。
难点：三垂线定理中的垂直关系及证明过程。
关键：把握住斜线和它在平面上的射影必定同时垂直于平面内的某条直线。
三、教材分析：1、“三垂线定理”是高中立体几何中的重要内容之一，它是在研究了空间直线和平面垂直的基础上研究两条直线垂直关系的一个重要定理，它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。
2、本节课的教学过程为：猜、证、比、用，即猜想平面内的直线与平面的斜线垂直的特征；证明三垂线定理及其逆定理；比较两个定理；应用定理证题。
由于本节课安排在立体几何学习的初始阶段，是学生空间观念形成的关键时期，因此要重视让学生动手做模型，教师演示指导，让学生直观地感受到空间线面、线线关系的变化，再在教师的引导下思考线面、线线垂直关系存在的因果关系，逐步推理、猜想命题，论证命题，从而发现定理，揭示定理的实质，在定理论证中进一步发展定理，引出逆定理，再进行比较，从而更进一步地把握定理的关键。
对定理的应用，只要求学生在理解定理的基础上，理清应用定理证题的一般步骤，学会证明一些简单问题。
3、本节课采用启发、引导、探索式相结合的教学方法，启发、引导学生积极思考，勇于探索，使学生的心理达到一种“欲罢不能”的兴奋状态，从而产生浓厚的学习兴趣，发挥学生的主观能动性，体现学生的主体作用。
三垂线定理教学设计
《三垂线定理》教学设计许平一、教学目标：1．认知目标：（1）使学生掌握三垂线定理及其逆定理的内容，并能从口头上和书面上作出正确的表达；（2）初步掌握运用三垂线定理或逆定理证空间两直线垂直的思考方法。
2．能力目标：通过探索三垂线定理及其证明，培养学生观察问题，发现问题的能力和空间想象能力，培养学生空间计算能力和逻辑思维能力.3．情感目标：激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神；渗透事物相互转化理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美、对称美，培养学生的审美意识。
二、重点、难点：(1)掌握并正确表达定理的内容是本节课的重点；(2)构造运用定理的条件证空间两直线垂直的思维能力是本节课的难点。
三、对象分析：对高中学生来说，空间观念正在形成，因此本节课的重点是要学生通过模型演示、推理论证，领会三垂线定理及其逆定理的实质，正确认识“空间三线”的垂直关系；同时掌握用“线面垂直法”研究空间直线垂直关系的思想方法。
本节教学的难点是准确把握“空间三线”垂直关系的实质，掌握应用三垂线定理及其逆定理证题的一般步骤。
领会定理实质的关键是要认识到平面内一条直线与斜线及其在平面内的射影确定的平面垂直；应用定理的关键是要找到平面的垂线，射影就可由垂足与斜足确定，问题便会迎刃而解。
四、教材分析：“三垂线定理”是在立体几何中研究了空间直线和平面垂直关系的基础上研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。
它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角、多面体与旋转体的性质奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义五、学法指导教学矛盾的主要方面是学生的学。
学是中心，会学是目的。
因此在教学中要不断指导学生学会学习。
根据立体几何教学的特点，本节课主要是教给学生“动手做、动脑想、大胆猜、严格证、多训练、勤钻研”的研讨式学习方法，这样做增加了学生的参与机会，增强了参与意识，教给了学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成了教学的主体。
三垂线定理及其逆定理的练习课教案
三垂线定理及其逆定理的练习课教案第一篇：三垂线定理及其逆定理的练习课教案三垂线定理及其逆定理的练习课教案教学目标1．进一步理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理；2．理解公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的证明及其初步应用；（课本第122页第3题）3．理解正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直及其应用；4．了解课本第33页第11题．教学重点和难点教学的重点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题．教学的难点是在讲公式cosθ1·cosθ2＝cosθ应用时比较θ2与θ的大小．教学设计过程师：上一节课我们讲了三垂线定理及其逆定理的证明并初步应用了这两个定理来解一些有关的题．今天我们要进一步应用这两个定理来解一些有关的题，先看例1．例1 如图1，AB和平面α所成的角是θ1；AC在平面α内，BB′⊥平面α于B′，AC和AB的射影AB′成角θ2，设∠BAC＝θ．求证：cosθ1·cosθ2＝cosθ．师：这是要证明三个角θ，θ2和θ的余弦的关系，θ已经在直角△ABB′中，我们能否先作出两个直角三角形分别使θ2和θ是这两个直角三角形中的锐角．11生：作B′D⊥AC于D，连BD，则BD⊥AC于D．这时θ2是直角△B′DA中的一个锐角，θ是直角△ABD中的一个锐角．师：刚才的表述是应用三垂线定理及其逆定理时常常使用的“套话”，我们一定要很好理解并能熟练地应用．现在已经知道θ1、θ2和θ分别在三个直角三角形中，根据三角函数中的余弦的定义分别写出这三个角的余弦，再来证明这公式．师：这个公式的证明是利用余弦的定义把它们转化成邻边与斜边的比，为此要先作出直角三角形，为了作出直角三角形我们应用了三垂线定理．当然也可用它的逆定理．这个公式是在课本第121页总复习参考题中的第3题．我们为什么要提前讲这个公式呢？讲这个公式的目的是为了用这个公式，因为在解许多有关题时都要用到这公式．那我们要问在什么条件下可用这个公式？生：因为θ1是斜线AB与平面α所成的角，所以只有当图形中出现斜线与平面所成的角时，才有可能考虑用这公式．师：为了在使用这个公式时方便、易记，我们规定θ1表示斜线与平面所成的角，θ2是平面内过斜足的一条射线与斜线射影所成的角，θ是这条射线与斜线所成的角．下面我们来研究一下这个公式的应用．应用这个公式可解决两类问题．第一是求值．即已知这公式中的两个角，即可求出第三个角或其余弦值．例如：θ＝60°，这时θ2＜θ；当θ1＝45°，θ2＝135°时，cosθ＝cos45°·cos135°＝第二是比较θ2与θ的大小．因为我们已经规定θ1是斜线与平面所成的角，一定有0°＜θ1＜90°，它的大小不变，为了比较θ2与θ的大小，下面分三种情况进行讨论．（1）θ2＝90°，因为θ2＝90°，所以cosθ2＝0，因此cosθ＝cosθ1·cosθ2＝0，故θ＝90°．当θ＝90°时，我们也可以证明θ＝90°．2一条直线如果和斜线的射影垂直，那么它就和斜线垂直．这就是三垂线定理．一条直线如果和斜线垂直，那么它就和斜线的射影垂直．这就是三垂线定理的逆定理．所以，我们可以这样说，这个公式是三垂线定理及其逆定理的一般情况，而三垂线定理及其逆定理是这公式的特殊情况．现在我们来研究在θ2是锐角时，θ2与θ的大小．（2）0°＜θ2＜90°．师：在这个条件下，我们怎样来比较θ2与θ的大小？生：因为0°＜θ1＜90°，所以0＜cosθ1＜1，又因为0°＜θ2＜90°，所以0＜cosθ2＜1．又因为cosθ＝cosθ1·cosθ2，所以0＜cosθ1＜1，而且cosθ＝cosθ1·cosθ2＜cosθ2，在锐角条件下，余弦函数值大的它所对应的角小．所以θ2＜θ．师：现在我们来讨论当θ是钝角时，θ2与θ的大小．2（3）90°＜θ2＜180°．在这个条件下，我们不再用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ做理论上的证明来比较θ2与θ的大小，而是一起来看模型（或图形）．我们假设θ2的邻补角为θ′2，θ的邻补角为θ′，即θ＋θ′2＝180°，θ＋θ′＝180°．在模型（或图形）中我们可以看出当θ2是钝角时，θ也是钝角，所以它们的两个邻补角θ′2和θ′都是锐角，由对第二种情况的讨论我们2知道θ′2＜θ′．由等量减不等量减去小的大于减去大的，所以由θ2＝180°－θ′2，θ＝180°－θ′，可得θ2＞θ．根据以上讨论现在小结如下：当θ2＝90°时，θ＝θ2＝90°，它们都是直角．当0°＜θ2＜90°时，θ2＜θ，它们都是锐角；当90°＜θ2＜180°时，θ2＞θ，它们都是钝角．关于公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的应用，今后还要随着课程的进展而反复提到．现在我们来看例2．例2 如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：（1）A1C⊥平面C1DB于G；（2）垂足G为正△C1DB的中心；（3）A1G＝2GC．师：我们先来证明第（1）问．要证直线与平面垂直即要证什么？生：要证A1C与平面C1DB内两条相交的直线垂直．师：我们先证A1C为什么与DB垂直？生：连AC，对平面ABCD来说，A1A是垂线，A1C是斜线，AC 是A1C在平面ABCD上的射影，因为AC⊥DB（正方形的性质），所以A1C⊥DB．（三垂线定理）同理可证A1C⊥BC1．因为A1C⊥平面C1DB（直线与平面垂直的判定理）（在证A1C⊥BC1时，根据情况可详、可略，如果学生对应用三垂线定理还不太熟悉，则可让学生把这证明过程再叙述一遍，因为这时是对平面B1BCC1来说，A1B1是垂线，A1C是斜线，B1C是A1C 在平面B1BCC1上的射影，由B1C⊥BC1，得A1C⊥BC1）师：现在来证第（2）问，垂足G为什么是正△C1DB的中心？生：因为A1B＝A1C1＝A1D，所以BG＝GC1＝DG，故G是正△C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正△C1DB的中心．师：现在来证第（3）问，我们注意看正方体的对角面A1ACC1，在这对角面内有没有相似三角形？生：在正方体的对角面A1ACC1内，由平面几何可知△A1GC1∽△OGC，且A1C1∶OC＝A1G∶GC，所以A1G∶GC＝2∶1，因此A1G＝2GC．师：例2是在正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直引申而来，而例2也是一个基本的题型，对于以后证有关综合题型时很有用．所以对例2的证明思路和有关结论，尽可能的理解、记住．现在我们来看例3．例3 如图3，已知：Rt△ABC在平面α内，PC⊥平面α于C，D 为斜边AB的中点，CA＝6，CB＝8，PC＝12．求：（1）P，D两点间的距离；（2）P点到斜边AB的距离．师：现在先来解第（1）问，求P，D两点间的距离．师：现在我们来解第（2）问，求P点到AB边的距离．生：作PE⊥AB于E，连CE则CE⊥AB．（三垂线定理的逆定理）PE就是P点到AB边的距离．师：要求PE就要先求CE，CE是直角三角形ABC斜边上的高，已知直角三角形的三边如何求它斜边上的高呢？生：可用等积式CE·AB＝AC·CB，即斜边上的高与斜边的乘积等于两直角边的乘积．师：这个等积式是怎样证明的？生：有两种证法．因CE·AB是Rt△ABC面积的二倍，而AC·CB也是Rt△ABC面积的二倍，所以它们相等；也可用△BCE∽△ABC，对应边成比例推出这个等积式．师：这个等积式很有用，根据这个等积式，我们可以由直角三角形的三边求出斜边上的高，这个等积式以后在求有关距离问题时会常常用到，所以要理解、记住、会用．现在就利用这等积式先求CE，再求PE．师：通过这一题我们要区分两种不同的距离概念及求法；在求点到直线距离时，经常要用到三垂线定理或其道定理；在求直角三角形斜边上的高时会利用上述的等积式来求斜边上的高．现在我们来看例4．例4 如图4，已知：∠BAC在平面α内，PO α，PO⊥平面α于O．如果∠PAB＝∠PAC．求证：∠BAO＝∠CAO．（这个例题就是课本第32页习题四中的第11题．这个题也可以放在讲完课本第30页例1以后讲．不论在讲课本第30页例1，还是在讲这个例时，都应先用模型作演示，使学生在观察模型后，得出相关的结论，然后再进行理论上的证明，这样使学生对问题理解得具体、实在，因而效果也较好）师：当我们观察了模型后，很容易就猜想到了结论．即斜线PA在平面α上的射线是∠BAC的角平分线所在的直线，现在想一想可以有几种证法？生：作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，连PD，PE，则PD⊥AB，PE⊥AC．所以Rt△PAD≌Rt△PAE，因此PD＝PE，故OD＝OE，所以∠BAO＝∠CAO．师：今天我们讲了公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．能否用这公式来证明这题．（利用这公式来证明这个题，完全是由学生想到的，当然如果有的班学生成绩较差，思路不活，也可做些必要的提示）生：因为∠PAO是斜线与平面α所成的角，所以可以考虑用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．∠PAO相当于θ1；∠PAB＝∠PA C它们都相当于θ，由公式可得θ2＝θ′2，即∠BAO＝∠CAO．师：今天我们是应用三垂线定理及其逆定理来解这四个例题．例1、例2、例4是三个基本题．对这三个题一定要会证、记住、会用．关于这三个题的应用，以后还会在讲课过程中反复出现．在高考题中也曾用到．作业课本第33页第13题．补充题1．已知：∠BSC＝90°，直线SA∩平面BSC＝S．∠ASB＝∠ASC＝60°，求：SA和平面BSC所成角的大小．［45°］2．已知：AB是平面α的一斜线，B为斜足，AB＝a．直线AB与平面α所成的角等于θ，AB在平面α内的射影A1B与平面α内过B 3．已知：P为Rt△ABC所在平面外一点，∠ACB＝90°，P到直角顶点C的距离等于24，P到平面ABC的距离等于12，P到AC 4．已知：∠BAC在平面α内，PA是平面α的斜线，∠BAC＝60°，∠PAB＝∠PAC＝45°．PA＝a，PO⊥平面α于O．PD⊥AC于D，PE⊥AB于E．求：（1）PD的长；课堂教学设计说明1．如前所述，在学习过三垂线定理及其逆定理以后，教学要达到第二个“高潮”．也就是说要学生在这一学科的学习上攀登上第二个高峰．攀登第二个高峰要比攀登第一个高峰（求异面直线所成的角）要困难得多．因为题型较杂，知识面较广，思路较活．这都给学习造成很大的困难．但是，也正是这种困难才能激发起学生的学习兴趣和积极性．所以我不论是在北京师大二附中还是在北京九十二中教学时都安排了一节新课，三节到四节练习课，采用精讲多练的方法，使学生见到的题型更多，解题的思路更活．使他们比较容易地登上新的高峰，从而使以后的学习较为顺利．2．在解每一个例题时，如何灵活地应用三垂线定理及其逆定理是我们讲课的重点，也是时刻要把握住的中心环节．特别是一个空间图形有多个平面时，首先要找出“基准平面”，也就是说对于哪一个平面来用三垂线定理或其逆定理，在“基准平面”找出后，再找出“第一垂线”，也就是垂直“基准平面”的直线，然后斜线、射影也就迎刃而解了．3．在讲练习课时，要讲的例题很多，但一定要讲下述四个基本题：（1）△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC．求证：BC⊥平面PAC．（2）课本第122页第3题．（3）课本第33页第11题．（4）正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直．因为上述四个基本题和与之对应的基本图形常常包含于某些综合题和与之对应的综合图形之中，并且往往起着决定性作用．因此，在我们解一些综合题时，通过观察和分析，如果发现存在上述情况，就可以将它们化归为上述基本题和与之对应的基本图形去解．这是在解立体几何题时又一重要的化归思想——“综合图形基本化”．（请参看《数学通报》1998年第2期《化归方法与立体几何教学》）这四个基本题都是应用三垂线定理与其逆定理解题典型．对这四个基本题和与之对应的基本图形，一定要让学生会证、理解、掌握、记住．这样才有可能应用它们来解综合题，这四个基本题是四个台阶，是向上攀登必不可缺的台阶．4．为了利用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ来比较θ2与θ的大小，特选三题供老师们选用．（1）二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是α内一点（它不在棱上），点D是C在β内的射影，点E是棱AB上任一点，∠CEB为锐角，求证：∠BEC＞∠DEB．（提示：∠CED相当于θ1，∠DEB相当于θ2，∠CEB相当于θ，θ＞θ2）（2）在△ABC中，∠B，∠C是两个锐角，BC在平面α内，AA′⊥平面α于A′，A′ BC上，求证：∠BAC＜∠BA′C．（提示：∠ABA′相当于θ1，∠A′BC相当于θ2，∠ABC相当于θ，因为∠ABC为锐角，所以∠A′BC也为锐角，故θ＞θ2）AC＝15，A1B＝5，A1C＝9．试比较这两个三角形的内角A和A1的大小．（提示：由cos∠BAC＝cos∠BA1C，得∠BAC＝∠BA1C，又因为∠ABC是钝角，∠ABC＜∠A1BC，而∠ACB是锐角，∠ACB＞∠A1CB，所以才有可能得出∠BAC＝∠BA1C）第二篇：三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀三垂线定理及逆定理上海市同洲模范学校宋立峰三垂线定理及逆定理面内直线面外点，过点引出两直线；斜线斜足定射影，斜垂射影必共面。
2020版高考数学一轮复习第7章立体几何初步第4节垂直关系教学案文含解析北师大版
第四节 垂直关系[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)定理αα⊥a(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(2)二面角的度量——二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角．3．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)定理⊥lα∩1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α．( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．( )(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．故选B．]3．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ．( ) A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥mA[∵l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]4．如图所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．4 [∵PA ⊥平面ABC ， ∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥BC ， 则△PAB ，△PAC 为直角三角形． 由BC ⊥AC ，且AC ∩PA ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC ，从而BC ⊥PC ． 因此△ABC ，△PBC 也是直角三角形．]5．边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则折叠后AC 的长为________．a [如图所示，取BD 的中点O ，连接A ′O ，CO ，则∠A ′OC 是二面角A ′BD C 的平面角．即∠A ′OC ＝90°，又A ′O ＝CO ＝22a ， ∴A ′C ＝a 22＋a 22＝a ，即折叠后AC 的长(A ′C )为a .]►考法1 直线与平面垂直的判定【例1】 (2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． [解] (1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB ．因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB ． 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB 平面ABC ，AC平面ABC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC ．(2)作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，OP平面POM ，OM平面POM ，OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.►考法2 直线与平面垂直的性质【例2】 (2017·江苏高考)如图，在三棱锥A BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC．[证明](1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB．又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC．(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD．因为AD平面ABD，所以BC⊥AD．又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD⊥平面ABC．又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC．＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .[证明] (1)在四棱锥P ABCD 中，∵PA ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又∵AC ⊥CD ，且PA ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面PAC ．而AE平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA ． ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ．由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ． 又PD平面PCD ，∴AE ⊥PD ．∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB ．又∵AB ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD 平面PAD ，∴AB ⊥PD ．又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA ．(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q ABP 的体积．[解] (1)证明：由已知可得，∠BAC ＝90°，BA ⊥AC ． 又BA ⊥AD ，且AC平面ACD ，AD平面ACD ，AC ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面ACD ．又AB平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ．(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2.又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2.作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE13DC ． 由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1.因此，三棱锥Q ABP 的体积为V Q －ABP ＝13×QE ×S △ABP ＝13×1×12×3×22sin 45°＝1.(2018·江苏高考)在平行六面体11111111求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．[证明] (1)在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1.因为AB平面A 1B 1C ，A 1B 1平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．(2)在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1＝AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ． 又因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B 平面A 1BC ，BC平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．【例4】 如图，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P ABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在一点M ，使得AC ⊥BM ，若存在求PMMC的值，并说明理由． [解] (1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ABC 的高， 又PA ＝1，所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36. (2)在线段PC 上存在一点M ，使得AC ⊥BM ，此时PM MC ＝13.证明如下：如图，在平面PAC 内，过点M 作MN ∥PA 交AC 于N ，连接BN ，BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ， 所以MN ⊥AC ． 由MN ∥PA 知AN NC ＝PM MC ＝13.所以AN ＝12，在△ABN 中，BN 2＝AB 2＋AN 2－2AB ·AN cos∠BAC ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×1×12×12＝34，所以AN 2＋BN 2＝AB 2， 即AC ⊥BN .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM平面MBN .所以AC ⊥BM .DC ＝2AB ＝2，DA ＝ 3.(1)线段BC 上是否存在一点E ，使平面PBC ⊥平面PDE ？若存在，请给出BE CE的值，并进行证明；若不存在，请说明理由．(2)若PD ＝3，线段PC 上有一点F ，且PC ＝3PF ，求三棱锥A FBD 的体积． [解] (1)存在线段BC 的中点E ，使平面PBC ⊥平面PDE ，即BE CE＝1.证明如下： 连接DE ，PE ，∵∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝1，DA ＝3，∴BD ＝DC ＝2，∵E 为BC 的中点，∴BC ⊥DE ，∵PD ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥PD ， ∵DE ∩PD ＝D ，∴BC ⊥平面PDE ，∵BC 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PDE .(2)∵PD ⊥平面ABCD ，且PC ＝3PF ，∴点F 到平面ABCD 的距离为23PD ＝233，∴三棱锥A FBD 的体积V A FBD ＝V F ABD ＝13×S △ABD ×233＝13×12×1×3×233＝13.【例5】 如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图2中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1BCDE .图1 图2(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值． [解] (1)证明：在题图1中，连接EC (图略)， 因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ．即在题图2中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC ．又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC ． (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE . 即A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高．由题图1知，A 1O ＝AO ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2，从而四棱锥A 1BCDE 的体积为V ＝13S ·A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3.由26a 3＝362，得a ＝6.AC 上，且EF ∥BC ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，使得二面角P EF B 的大小为60°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)当点E 为线段AB 的靠近B 点的三等分点时，求四棱锥P EBCF 的侧面积．[解] (1)证明：在Rt△ABC 中，∵AB ＝BC ＝3，∴BC ⊥AB ．∵EF ∥BC ，∴EF ⊥AB ，翻折后垂直关系没变，仍有EF ⊥PE ，EF ⊥BE ， ∴EF ⊥平面PBE ，∴EF ⊥PB ．(2)∵EF ⊥PE ，EF ⊥BE ，∴∠PEB 是二面角P EF B 的平面角， ∴∠PEB ＝60°，又PE ＝2，BE ＝1，由余弦定理得PB ＝3，∴PB 2＋BE 2＝PE 2，∴PB ⊥BE ，∴PB ，BC ，BE 两两垂直，又EF ⊥PE ，EF ⊥BE ， ∴△PBE ，△PBC ，△PEF 均为直角三角形． 由△AEF ∽△ABC 可得，EF ＝23BC ＝2，S △PBC ＝12BC ·PB ＝332，S △PBE ＝12PB ·BE ＝32，S △PEF ＝12EF ·PE ＝2. 在四边形BCFE 中，过点F 作BC 的垂线，垂足为H (图略)，则FC 2＝FH 2＋HC 2＝BE 2＋(BC －EF )2＝2，∴FC ＝ 2.在△PFC 中，FC ＝2，PC ＝BC 2＋PB 2＝23，PF ＝PE 2＋EF 2＝22，由余弦定理可得cos∠PFC ＝PF 2＋FC 2－PC 22PF ·FC ＝－14，则sin∠PFC ＝154，S △PFC ＝12PF ·FC sin∠PFC ＝152. ∴四棱锥P EBCF 的侧面积为S △PBC ＋S △PBE ＋S △PEF ＋S △PFC ＝2＋23＋152.1．(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧︵CD 所在平面垂直，M 是︵CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM .因为M 为︵CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．(2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ． 证明如下：如图，连接AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连接OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP .MC 平面PBD ，OP平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°。
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第5课时 三垂线定理1．和一个平面相交，但不和这个平面 的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 ．2．射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影； (2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 ． 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 ． 垂线在平面上的射影只是 ．直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线． 3．如图，AO 是平面α斜线，A 为斜足，OB⊥α，B 为垂足，AC ⊂α，∠OAB＝1θ，∠BAC ＝2θ， ∠OAC＝θ，则cos θ＝ ． 4．直线和平面所成的角平面的斜线和它在这个平面内的 所成 的 叫做这条直线和平面所成角．斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 ． 5．三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和 垂直．逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条 垂直．例1. 已知Rt ∆ABC 的斜边BC 在平面α内，A 到α的距离2，两条直角边和平面α所成角分别是45°和30°．求：(1) 斜边上的高AD 和平面α所成的角； (2) 点A 在α内的射影到BC 的距离． 答案：(1) 60° (2)332变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB ，塔顶A 到道路距离为AC ，且测得∠BCA ＝30°，在道路上取一点D ，又测得CD ＝30m ，∠CDB＝45°．求电塔AB 的高度． 解：BC ＝30，AB ＝BC tan 30°＝103例2．如图，矩形纸片A 1A 2A 3A 4，B 、C 、B 1、C 1 分别为A 1 A 4、A 2A 3的三等分点，将矩形片沿典型例题COBAD A BC基础过关BB 1，CC 1折成三棱柱，若面对角线A 1B 1⊥BC 1；求证：A 2C ⊥A 1B 1．解：取A 2B 1中点D 1 ∵A 2C 1＝B 1C 1 ∴C 1D 1⊥A 2B 1 又A 1A 2⊥面A 2B 1C 1 ∴C 1D 1⊥A 1A 2∴C 1D 1⊥面A 1A 2B 1B ∴BD 1是BC 1在面A 2B 上的射影 由A 1B 1⊥BC 1 ∴BD 1⊥A 1B 1取A 1B 中点D 同理可证A 2D 是A 2C 在面A 2B 上的射影 ∵A 2D BD 1 ∴A 2DBD 1是平行四边形 由BD 1⊥A 1B 1 ∴A 1B 1⊥A 2D ∴A 2C⊥A 1B 1变式训练2：如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A B ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长29，设这条最短路线与CC 1交点N ，求：(1) PC 和NC 的长；(2) 平面NMP 与平面ABC 所成二面角(锐角)大小． 解：将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面 AA 1C 1C 在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线 设PC ＝x ，则P 1C ＝x ，在Rt△MAP 1中，由勾股定理得x ＝2 ∴PC＝P 1C ＝2 ∵5211==A P C P MANC∴NC＝54(2) 连接PP 1，则PP 1就是平面NMP 与平面ABC 的交线，作NH⊥PP 1于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH ，由三垂线定理得CH⊥PP 1∴∠NHC 就是平面NMP 与平面ABC 所成的平面角(锐角) 在Rt△PHC 中 ∵∠PCH＝21∠PCP 1＝60°∴CH＝2PC ＝1在Rt△PHC 中 tanNHC ＝54故平面NMP 与平面ABC 所成二面角大小为arctan 54例3.如图在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点． (1) 试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥面AB 1F ；B 1A 1B CA 1A 2B 1C 1A 2C 1CBD 1C 1B 1AFCA 1C 1B 1M N CPBA(2) 当D 1E ⊥面AB 1F 时，求二面角C 1－EF －A 大小． 解：(1) 连结A 1B ，则A 1B 是D 1E 在面ABB 1A 1内的射影 ∵AB 1⊥A 1B ∴D 1E⊥AB 1 于是D 1E⊥平面AB 1F ⇔D 1E⊥AF连结DE ，则DE 是D 1E 在底面ABCD 内的射影 ∴D 1E⊥AF⇔DE⊥AF∵ABCD 是正方形，E 是BC 的中点 ∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE⊥AF 即当点F 是CD 的中点时，D 1E⊥面AB 1F(2) 当D 1E⊥平面AB 1F 时，由(1) 知点F 是CD 的中点，又已知点E 是BC 的中点，连结EF ，则EF∥BD 连AC ，设AC 与EF 交点H ，则CH⊥EF，连C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影 ∴C 1H⊥EF即∠C 1HC 是二面角C 1－EF －C 的平面角 在Rt△C 1HC 中 ∵C 1C ＝1 CH ＝41AC ＝42∴tan∠C 1HC ＝221=CHCC ∴∠C 1HC ＝arctan 22∴∠AHC 1＝π－arctan22变式训练3：正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1中棱长a ，点P 在AC 上，Q 在BC 1上，AP ＝BQ ＝a ， (1) 求直线PQ 与平面ABCD 所成角的正切值； (2) 求证：PQ⊥AD ．(1) 解：过Q 作QM∥CC 1交BC 于M 则QM⊥面ABCD ∴∠QPM 就是所求角 ∵BCBMBC BQ =1即aa BCBM2=∴aa a BCCM22-=aa a ACCP 22-= ∴ACCP BCCM=∴PM∥AB在Rt△PQM 中 PM ＝a212- QM ＝a 22∴tan∠QPM＝PMQM＝aa 21222-＝2＋1(2) 由(1) 可知PM⊥BC PQ 在面ABCD 内的射影是PM. ∴PQ⊥BC 又AD∥BC ∴PQ⊥AD例4．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动． (1) 证明：D 1E⊥A 1D ；(2) 当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； (3) AE 等于何值时，二面角D 1－EC －D 的大小为4π．(1) 证明：∵ AE⊥平面AA 1DD 1，A 1D⊥AD 1，∴A 1D⊥D 1E ．(2) 设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△A CD 1中，AC ＝CD 1＝5，AD 1＝2，C AD S 1∆＝21·2·215-＝23，而ADC S ∆＝21·AE·BC＝21． ∴ABC D V -1＝31ABC S ∆·DD 1＝31C AD S 1∆·h ∴21×1＝23×h， ∴h ＝31(3) 过D 作DH⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H⊥CE，∴∠DHD 1为二面角D 1－EC －D 的平面角．设AE ＝x ，则BE ＝2－x 在Rt△D 1DH 中，∵∠DHD 1＝4π，∴DH＝1∵在Rt△ADE 中，DE ＝21x +，∴在Rt△DHE 中，EH ＝x ，在Rt△DHC 中，CH ＝3，CE ＝542+-x x ，则x ＋3＝542+-x x ，解得x ＝2－3．即当x ＝2－3时，二面角为D 1－EC －D 的大小为4π．变式训练4：如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，且PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ．(1) 求证：PD⊥面ABCD ； (2) 求直线PB 与AC 所成角； (3) 求二面角A －PB －D 大小． 证明：(1) ∵PC＝2a PD ＝DC ＝a∴PD 2＋DC 2＝PC 2∴△PDC 是直角三角形 ∴PD⊥DC 同理PD⊥DA 又∵DA∩DC＝D ∴PD⊥平面ABCD(2) 连BD ∵ABCD 是正方形 ∴AC⊥BD 又∵PD⊥平面ABCD AC⊥PB(三垂线定理) ∴PB 与AC 所成角为90°(3) 设AC∩BD＝0 作AE⊥PB 于E ，连OE ∵AC⊥BD PD⊥平面ABCD AC ⊂面ABCDAA 11D BCEDB 1P ABCD∴PD⊥AC ∴AC⊥平面PDB 又∵OE 是AE 在平面PDB 内的射影 ∴OE⊥PB∴∠AEO 就是二面角A －PB －O 的平面角 又∵AB＝a PA ＝a 2 PB ＝a3∵PD⊥面ABCD DA⊥AB ∴ PA⊥AB 在Rt△PAB 中 AE·PB＝PA·AB ∴AE＝a 36 AO ＝a 22∴sin∠AEO＝23∴∠AEO＝60°1．求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作)，二证，三算．寻找直线在平面内的射影是关键，基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题，主要转化到一个三角形内，通过解三角形来解决．2．三垂线定理及逆定理，是判定两条线互相垂直的重要方法，利用它解题时要抓住如下几个环节：一抓住斜线，二作出垂线，三确定射影．３．证明线线垂直的重要方法：三垂线定理及逆定理；线⊥面 线⊥线；向量法．小结归纳。