全国高考模拟文科数学分类汇编三角函数和解三角形
三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)
2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。
2022全国二卷文科数学真题文科数学2022-2022高考真题分类训练专题四三角函数与解三角形第十一
2022全国二卷文科数学真题文科数学2022-2022高考真题分类训练专题四三角函数与解三角形第十一讲三角函数的综合应用—后附解析答案专题四三角函数与解三角形第十一讲三角函数的综合应用一、选择题1．（2022年天津）已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是A．B．C．D．2．（2022全国II卷）函数的最大值为A．4B．5C．6D．73．（2022年陕西高考）如图，港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为A．5B．6C．8D．104．（2022浙江）存在函数满足，对任意都有A．B．C．D．5．（2022新课标2）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=．将动点P到A，B两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为ABCD6．（2022新课标1）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为A．B．C．D．二、填空题7．（2022浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度。
祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，=．8．（2022浙江）已知向量，满足，则的最小值是，最大值是．9．（2022年浙江）已知，则______．10．（2022陕西）设，向量，若，则____．三、解答题11．（2022江苏）农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．12．（2022江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．13．（2022山东）设．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角△中，角，的对边分别为，若，求△面积的最大值．14．（2022湖北）实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，。
2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—8
2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—8.三角函数、解三角形2011年—2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编7.三角函数、解三角形一、选择题2018年新课标Ⅰ文8题：已知函数$f(x)=2\cos x-\sin x+2$，则$f(x)$的最小正周期为$\pi$，最大值为3.2018年新课标Ⅰ文11题：已知角$\alpha$的顶点为坐标原点，始边与$x$轴的非负半轴重合，终边上有两点$A(1,0)$，$B(2,b)$，且$\cos2\alpha=\frac{1}{5}$，则$a-b=\frac{1}{5}$。
2018年新课标Ⅱ文7题：在$\triangle ABC$中，$\cos C=\frac{5}{\sqrt{26}}$，$BC=1$，$AC=5$，则$AB=5\sqrt{2}$。
2018年新课标Ⅱ文10题：若$f(x)=\cos x-\sin x$在$[0,a]$是减函数，则$a$的最大值是$\frac{3\pi}{4}$。
2018年新课标Ⅲ文4题：若$\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{8}}$，则$\cos 2\alpha=-\frac{7}{8}$。
2018年新课标Ⅲ文6题：函数$f(x)=\frac{\tan x}{1+\tan^2 x}$的最小正周期为$\pi$。
2018年新课标Ⅲ文11题：triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$。
若$\triangle ABC$的面积为$4$，则$\cosC=\frac{3}{4}$。
2017年新课标Ⅰ文11题：triangle ABC$的内角$A$、$B$、$C$的对边分别为$a$、$b$、$c$。
已知$\sin B+\sin A(\sin C-\cos C)=\frac{3}{2}$，$a=2$，$c=2$，则$C=\frac{\pi}{3}$。
2024年上海市高考数学一模考试题分类(三角与三角函数 )汇编(附答案)
1一、三角定义、常用三角公式1.（2024 高三一模闵行 2）若sin 3α=，则()sin πα-=______.2.（2024高三一模青浦3）已知α满足cos m α=，则πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭.（结果用含有m 的式子表示）.3.（2024高三一模杨浦3）若3sin 5α=，则cos 2α=______.4.（2024高三一模嘉定4）已知tan 2α=，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.5.（2024高三一模金山5）已知角α、β的终边关于原点O 对称，则()cos αβ-=______.6.（2024高三一模松江5）已知3sin ,0,52πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为______.7.（2024高三一模虹口6）已知1cos 3x =-，且x 为第三象限的角，则tan 2x =______.8.（2024高三一模静安14）设α是第一象限的角，则2α所在的象限为（）A.第一象限B.第三象限C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限9.（2024高三一模长宁15）设点P 是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置()01,0P 出发，沿单位圆按逆时针方向转动角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭后达点1P ，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角4π到2P .若点2P 的横坐标为35-，则点1P 的纵坐标为（）A.210B.25 C.325D.7210二、解三角形1.（2024 高三一模黄浦 8）在 ∆ABC 中，三个内角 A , B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ，若5a 2 −5b 2 +6bc −5c 2 =0，则sin 2A 的值为______.2.（2024 高三一模松江 9）在 ∆ABC 中，设角 A , B ,C 所对边的边长分别为a ,b ,c ，若a =3,c =5, B =2A ，则边长b =______.2024年上海市高考数学一模考试题分类（三角与三角函数 ）汇编3.（2024高三一模普陀14）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =20c b C -+=，则该三角形外接圆的半径为（）A.1B.C.2D.4.（2024高三一模虹口17）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()sin sin sin ,sin m A B C A =+- ，(),n c b c a =+- ，且m //n ．（1）求角B 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，求sin sin y A C =+的取值范围．5.（2024高三一模奉贤17）在ABC ∆中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a 、b 及c .cos sin A a B=+（1）求角B 的大小；（2）当a =b =c 和ABC ∆的面积S .6.（2024高三一模嘉定17）已知三角形ABC ，1CA CB ⋅=- ，三角形的面积12S =，（1）求角C 的值；（2）若3sin cos 4A A =，2a =，求c .7.（2024高三一模宝山18）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、.（1）若2sin a B =，求角A 的大小；（2）若BC 边上的高等于2a ，求cbb c +的最大值.8.（2024高三一模崇明18）在ABC ∆中，5a =，6b =．（1）若4cos 5B =-，求A 和ABC ∆外接圆半径R 的值；（2）若ABC ∆的面积4S =，求c 的值．9.（2024高三一模闵行18）在ABC △中，角A B C 、、所对边的边长分别为a b c 、、，且2cos a c B c -=.（1）若1cos 3B =,3c =，求b 的值；（2）若ABC △为锐角三角形，求sin C 的取值范围.10.（2024高三一模青浦18）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2220a c b ac -++=.（1）求角B 的大小；（2）若23b =，求△ABC 的周长的最大值.三、三角函数及其性质1.（2024 高三一模嘉定 3）函数y =sin πx 的最小正周期为______.2.（2024高三一模普陀6）若函数tan 3y x =在区间,6m π⎛⎫⎪⎝⎭上是严格增函数，则实数m 的取值范围为______.3.（2024高三一模闵行7）若将函数()()sin 20y x ϕϕπ=+<<的图像向右平移3π个单位，得到的图像所对应的函数为奇函数，则ϕ=______.4.（2024高三一模虹口8）已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如右图所示，则()f x =______.（第8题图）5.（2024高三一模青浦8）若函数cos()y x ϕ=+是奇函数，则该函数的所有零点是.6.（2024高三一模奉贤9）设函数()sin 0y x ωω=>在区间()0,2π上恰有三个极值点，则ω的取值范围为______.7.（2024高三一模金山9）已知()()sin 0y x ωω=>在区间[]0,π上是严格增函数，且其图像关于()4,0π对称，则ω的值为______.8.（2024高三一模黄浦10）若ϕ是一个三角形的内角，且函数()3sin 2y x ϕ=+在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ϕ的取值范围是______.9.（2024高三一模杨浦10）函数()()cos f x x ωϕ=+，()0,2ϕπ∈，在x ∈R 上是单调增函数，且函数关于原点对称，则满足条件的数对(),ωϕ=______.10.（2024高三一模普陀10）设函数()sin 2y x ϕ=+02πϕ⎛<<⎫⎪⎝⎭的图像与直线y t =相交的连续的三个公共点从左到右依次记为A ，B ，C ，若2BC AB =，则正实数t 的值为______.11.（2024高三一模浦东新区10）如图，已知函数()sin 0,0,02y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图像与y 轴的交点为()0,1，并已知其在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和()02,2x π+-．记()y f x =，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______.12.（2024高三一模长宁11）若函数()sin cos x a x f x =+在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格单调函数，则实数a 的取值范围为______.13.（2024高三一模静安17）记)(cos sin 32cos sin )(22R ∈++-=x x x x x x f λ，其中λ为实常数．（1）求函数)(x f y =的最小正周期；（2）若函数)(x f y =的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2π，求该函数在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32,0上的最大值和最小值．四、三角应用题1.（2024 高三一模奉贤 10）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A 和B . 某日两个观测点的林场人员都观测到C 处出现火情. 在 A 处观测到火情发生在北偏西40方向，而在B 观测到火情在北偏西60方向. 已知B 在A 的正东方向10km 处（如图所示），则BC AC -=______km.（精确到0.1km ）2.（2024高三一模徐汇10）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道.若该设备水平截面矩形的宽BC 为1米，则该设备能水平通过直角型过道的长AB 不超过______米.3.（2024高三一模长宁19）汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为A、B、C、D，向左转向，左前轮转向角为α，右前轮转向角为β，转向中心为O.设该汽车左右轮距AB为w米，前后轴距AD为l米.（1）试用w、l和α表示tanβ；（2）如图2，有一直角弯道，M为内直角顶点，EF为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A、D与路边FS相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O到路边EF的距离为d，若OB d<且OM ODw=，<，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570l=.2.680问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？图1图24.（2024高三一模杨浦19）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面ABC 与111A B C 全等且所在平面平行，ABC △与111A B C △各边表示挡雨棚支架，支架1AA 、1BB 、1CC 垂直于平面ABC ．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为π6（即π6AOB ∠=），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形11AA O O （O 、1O 分别在CA 、11C A 延长线上）．（1）挡雨板（曲面11BB C C ）的面积可以视为曲线段BC 与线段1BB 长的乘积．已知1.5OA =米，0.3AC =米，12AA =米，小组成员对曲线段BC 有两种假设，分别为：①其为直线段且π3ACB ∠=；②其为以O 为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；（2）小组拟自制ABC △部分的支架用于测试（图3），其中0.6AC =米，π2ABC ∠=，CAB θ∠=，其中ππ62θ<<，求有效遮挡区域高OA 的最大值．图15.（2024高三一模浦东新区19）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形AOC 区域和三角形COD 区域组成．其中A O D 、、三点共线，扇形半径OA 为30米．规划口袋公园建成后，扇形AOC 区域将作为花草展示区，三角形COD 区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道．（1）若π3AOC ∠=，2OD OA =，求休闲步道总长（精确到米）；（2）若π6ODC ∠=，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形COD 的形状．6.（2024高三一模黄浦19）某公园的一个角形区域AOB 如图所示，其中23AOB π∠=.现拟用长度为100米的隔离档板(折线DCE )与部分围墙（折线DOE ）围成一个花卉育苗区ODCE ，要求满足OD OC OE ==.（1）设333DOC πππαα⎛⎫∠=+-<< ⎪⎝⎭，试用α表示OD ；（2）为使花卉育苗区的面积最大，应如何设计?请说明理由.7.（2024高三一模金山19）网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．图1图2第19题图（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过4π，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD ，0.8m AD =， 2.4m AB =，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角4πα=的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH ， 1.2m EH =．设PHG β∠=，当冰箱被卡住时(即点H 、G 分别在射线PR 、PQ 上，点O 在线段EF 上），尝试用β表示冰箱高度EF 的长，并求出EF 的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到0.1m ）8.（2024高三一模徐汇19）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地OAB 中，2AOB π∠=，500OA =米，点Q 是弧AB 的中点，P 为线段OQ 上一点（不与点O ，Q 重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道PO ，PA ，PB .记APQ θ∠=，三条轨道的总长度为y 米．（1）将y 表示成θ的函数，并写出θ的取值范围；（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道PO 的长．参考答案1一、三角定义、常用三角公式1. （2024 高三一模闵行 2）若sin 3α=，则()sin πα-=______.【答案】13【解析】诱导公式，()1sin sin 3παα-==.2.（2024高三一模青浦3）已知α满足cos m α=，则πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭.（结果用含有m 的式子表示）.【答案】m【解析】由诱导公式πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α，所以答案为m .3.（2024高三一模杨浦3）若3sin 5α=，则cos 2α=______.【答案】725【解析】27cos 212sin 25αα=-=.4.（2024高三一模嘉定4）已知tan 2α=，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】12-【解析】11tan cot 2tan 2πααα⎛⎫+=-=-=- ⎪⎝⎭.5.（2024高三一模金山5）已知角α、β的终边关于原点O 对称，则()cos αβ-=______.【答案】1-【解析】角α、β的终边关于原点O 对称，所以()21,k k αβπ-=+∈Z ，所以()cos 1αβ-=-.6.（2024高三一模松江5）已知3sin ,0,52πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为______.【答案】17-【解析】343sin ,0,,cos ,tan 5254πθθθθ⎛⎫=∈∴== ⎪⎝⎭，3tan tan1144tan 3471tan tan 144πθπθπθ--⎛⎫∴-===- ⎪⎝⎭++.7.（2024高三一模虹口6）已知1cos 3x =-，且x 为第三象限的角，则tan 2x =______.【答案】427-【解析】1cos 3x =-，且x 为第三象限的角，则sin 3x =-，tan x ∴=，()222tan 22242tan 21tan 71x x x ⨯∴===---.8.（2024高三一模静安14）设α是第一象限的角，则2α所在的象限为（）A.第一象限B.第三象限C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限【答案】C【解析】由题意，222k k ππαπ<<+，k ∈Z ，则24k k απππ<<+，k ∈Z ，当k 为奇数时，2α在第三象限，当k 为偶数时，2α在第一象限，故选C.8.（2024高三一模长宁15）设点P 是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置()01,0P 出发，沿单位圆按逆时针方向转动角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭后达点1P ，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角4π到2P .若点2P 的横坐标为35-，则点1P 的纵坐标为（）A.10B.5C.5D.10【答案】D【解析】由题意可知3cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为3444πππα<+<，所以4sin 45πα⎛⎫+=⎪⎝⎭24372sin sin sin cos cos sin 44444425510ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫=+-=+-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选D.二、解三角形1.（2024 高三一模黄浦 8）在 ∆ABC 中，三个内角 A , B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ，若5a 2 −5b 2 +6bc −5c 2 =0，则sin 2A 的值为______.【答案】2425【解析】222222655650,5bca b bc c b c a -+-=∴+-=，222635cos 225bcb c a A bc bc +-∴===，4sin 5A ∴=，4324sin 22sin cos 25525A A A ∴==⨯⨯=.2.（2024高三一模松江9）在ABC ∆中，设角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，若3,5,2a c B A ===，则边长b =______.【答案】【解析】由正弦定理sin sin sin 22sin cos a b b b A B A A A ===得cos 2bA a=①，由余弦定理可得222cos 2b c a A bc+-=②，则2222225322625b bc a b b b a bc b +-+-=⇒=⇒=⨯.3.（2024高三一模普陀14）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若a =20c b C -+=，则该三角形外接圆的半径为（）A.1B.C.2D.【答案】A【解析】20c b C -+=，因为a =22cos 0c b a C -+=，由正弦定理可得sin 2sin 2sin cos 0C B A C -+=，即()sin 2sin 2sin cos 0C A C A C -++=，化简可得1cos 2A =，所以sin 2A =，由正弦定理可得2sin aR A=（R 为外接圆半径），解得1R =.故选A.4.（2024高三一模虹口17）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()sin sin sin ,sin m A B C A =+- ，(),n c b c a =+- ，且m //n．（1）求角B 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，求sin sin y A C =+的取值范围．【答案】（1）3B π=；（2）32,⎛ ⎝【解析】(1)因为m //n，所以()()sin sin sin sin A B C b c a c A +-⋅+-=⋅，由正弦定理，可得()()a b c b c a ac +-⋅+-=，即222ac a c b =+-.于是，由余弦定理得2221cos 22a c b B ac+-==，又()0,B π∈，所以3B π=．（2）由（1）可知2,3A C π+=所以2sin sin sin sin()3y A C A A π=+=+-3sin cos )226A A A π=+=+……11分由△ABC 为锐角△,得20,0,232A A πππ<<<-<且所以,62A ππ<<从而362.3A πππ<+<所以sin sin )6y A C A π=+=+的取值范围为32,.⎛ ⎝5.（2024高三一模奉贤17）在ABC ∆中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a 、b 及c .cos sin A a B=+（1）求角B 的大小；（2）当a =b =时，求边长c 和ABC ∆的面积S .【答案】（1）3π=B ；（2）3+【解析】（1）由正弦定理得B A A B C sin sin cos sin 3sin 3⋅+⋅=由于()B A C +-=π，得()BA AB B A sin sin cos sin 3sin 3⋅+⋅=+展开得B A A B B A B A sin sin cos sin 3sin cos 3cos sin 3⋅+⋅=⋅+⋅化简得B B sin cos 3=，则3tan =B ，所以3π=B （2）由正弦定理，得2322sin sin sin3π==cA C Cc A sin sin 2260sin 32==，22sin =A ，因为<a b ，所以A 是锐角，即4π=A 因为32π=+C A ,所以，5,sin 12sin 3π===C c C所以115sin sin32212ABC S ab C π∆==⨯=+6.（2024高三一模嘉定17）已知三角形ABC ，1CA CB ⋅=- ，三角形的面积12S =，（1）求角C 的值；（2）若3sin cos 4A A =，2a =，求c .【答案】（1）34π；（2）c =【解析】（1）1cos 1CA CB ab C ⋅=⇒=-，1sin 12S ab C =⇒=，两式相除得：tan 1C =-，所以3π4C =.（2）sin cos sin 242A A A =⇒=，所以π6A =或π3(舍)，所以π6A =，所以π12B =，sin 4B =由正弦定理得，sin sin a c C A =，sin sin b c C B=，所以22sin sin sin abc C A B=，由（1）ab =所以22c=+即c =7.（2024高三一模宝山18）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、.（1）若2sin a B =，求角A 的大小；（2）若BC 边上的高等于2a，求c b b c +的最大值.【答案】（1）323ππ或=A ；（2）22【解析】（1）根据正弦定理得2sin sin A B B =，所以23sin =A ，所以323ππ或=A .（2）由三角形面积公式得A bc a a sin 212121=⋅，即A bc a sin 22=，又由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得A bc c b A bc cos 2sin 222-+=，解得()A A bc c b cos sin 222+=+，从而()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+4sin 22cos sin 222πA A A bc c b .当24ππ=+A 即4π=A 时bc c b 22+有最大值22，即cbb c +的最大值为22.8.（2024高三一模崇明18）在ABC ∆中，5a =，6b =．（1）若4cos 5B =-，求A 和ABC ∆外接圆半径R 的值；（2）若ABC ∆的面积4S =，求c 的值．【答案】（1）6A π=，5R =；（2）4c =或c =【解析】（1）因为4cos 5B =-，()0,B π∈，所以3sin 5B ==，由正弦定理，得2sin sin a bR A B==，即5623sin 5R A ==，所以1sin 2A =，5R =，因为a b <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此6A π=，5R =（2）由1sin 2ABC S ab C =△得224sin 564ABC S C ab ===⨯△，于是3cos 4C ==±，当3cos 4C =时，由余弦定理，得222356256164c =+-⨯⨯⨯=当3cos 4C =-时，由余弦定理，得2223562561064c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.所以，4c =或c =.9.（2024高三一模闵行18）在ABC △中，角A B C 、、所对边的边长分别为a b c 、、，且2cos a c B c -=.（1）若1cos 3B =,3c =，求b 的值；（2）若ABC △为锐角三角形，求sin C 的取值范围.【答案】（1）b =；（2）1sin (,)22C ∈【解析】（1）将1cos 3B =,3c =带入条件中可得5a =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得b =；（2）2cos a c B c -= ，由正弦定理可得sin 2sin cos sin A C B C -=,sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ ,sin cos sin cos sin B C C B C ∴-=,sin()sin B C C -=，(,),(0,)222B C C πππ-∈-∈ ,所以B C C -=,即2B C =,又因为ABC △为锐角三角形，(,)64C ππ∴∈,1sin (,22C ∈10.（2024高三一模青浦18）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2220a c b ac -++=.（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 的周长的最大值.【答案】（1）120B ∠=︒；（2）4+【解析】（1）因为222a cb ac +-=-，由余弦定理得2221cos 22a c b B ac+-∠==-，120B ∠=︒．（2）由正弦定理得，a =4sin A ，c =4sin (600 −A )，所以，∆ABC 的周长为a +b +c =4sin A +4sin (600−A +)=4sin (A +600 +)200 <A <600当 A =300 时，∆ABC 的周长的最大值为4 +．三、三角函数及其性质1.（2024 高三一模嘉定 3）函数y =sin πx 的最小正周期为______.【答案】2【解析】22T ππ==.2.（2024高三一模普陀6）若函数tan 3y x =在区间,6m π⎛⎫⎪⎝⎭上是严格增函数，则实数m 的取值范围为______.【答案】,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由题意，32666m m m ππππ⎧>-⎪⎪⇒-<<⎨⎪<⎪⎩.3.（2024高三一模闵行7）若将函数()()sin 20y x ϕϕπ=+<<的图像向右平移3π个单位，得到的图像所对应的函数为奇函数，则ϕ=______.【答案】23π【解析】函数向右平移3π个单位可以得到2sin 23y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，此时函数为奇函数，则有2sin 003πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则2,3k k πϕπ-=∈Z ，因为0ϕπ<<，所以23πϕ=.4.（2024高三一模虹口8）已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如右图所示，则()f x =______.（第8题图）【答案】cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意知12243124T T πππππωω=-=⇒==⇒=，将,112π⎛⎫⎪⎝⎭代入，解得cos 21126ππϕϕ⎛⎫⨯+=⇒=- ⎪⎝⎭，则()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.5.（2024高三一模青浦8）若函数cos()y x ϕ=+是奇函数，则该函数的所有零点是.【答案】π,x k k =∈Z【解析】函数cos()y x ϕ=+是奇函数，则,2k k Z πϕπ=+∈，cos()sin y x x ϕ=+=±，所以函数零点为π,x k k =∈Z .6.（2024高三一模奉贤9）设函数()sin 0y x ωω=>在区间()0,2π上恰有三个极值点，则ω的取值范围为______.【答案】5744⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】cos y x ωω'=，令0y '=，即cos 0x ω=，即,2x k k πωπ=+∈Z ，因为函数在区间()0,2π上恰有三个极值点，则2257244232ππωπωππωπ⎧>+⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤+⎪⎩.7.（2024高三一模金山9）已知()()sin 0y x ωω=>在区间[]0,π上是严格增函数，且其图像关于()4,0π对称，则ω的值为______.【答案】14或12【解析】因为函数在区间[]0,π上是严格增函数，所以2πωπ≤，所以12ω≤，又图像关于()4,0π对称，所以4,k k πωπ=∈Z ，即,4k k ω=∈Z ，所以14k =或12.8.（2024高三一模黄浦10）若ϕ是一个三角形的内角，且函数()3sin 2y x ϕ=+在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ϕ的取值范围是______.【答案】0,6π⎛⎤⎥⎝⎦【解析】由题意知()0,ϕπ∈，因为函数()3sin 2y x ϕ=+在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则2,23x ππϕϕϕ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，则220,632ππϕπϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪⎡⎤⇒∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪+≤⎪⎩，0,6πϕ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦.9.（2024高三一模杨浦10）函数()()cos f x x ωϕ=+，()0,2ϕπ∈，在x ∈R 上是单调增函数，且函数关于原点对称，则满足条件的数对(),ωϕ=______.【答案】0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭或30,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】当0ω≠时，函数在x ∈R 上显然不具备单调性，故0ω=，又函数关于原点对称，所以函数值为0，所以cos 0ϕ=，又()0,2ϕπ∈，所以2πϕ=或32π，因此满足条件的数对为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭或30,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.10.（2024高三一模普陀10）设函数()sin 2y x ϕ=+02πϕ⎛<<⎫⎪⎝⎭的图像与直线y t =相交的连续的三个公共点从左到右依次记为A ，B ，C ，若2BC AB =，则正实数t 的值为______.【答案】12【解析】由题意可得T π=，函数与y t =()0t >相交图像如图所示，可知C A x x π-=，又2BC AB =，所以3B A x x π=+，()sin 2A t x ϕ=+，()2cos 21A x t ϕ+=-则()()2sin 2sin 2sin 23A B A x x x πϕϕϕ⎛⎫+=+=++⎪⎝⎭()()22sin 2coscos 2sin 33A A x x ππϕϕ=+++，即12t t =-+12t =或12t =-（舍），所以12t =.11.（2024高三一模浦东新区10）如图，已知函数()sin 0,0,02y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图像与y 轴的交点为()0,1，并已知其在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和()02,2x π+-．记()y f x =，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【解析】由题意2A =，()00222T x x ππ=+-=，所以2142T ππωω==⇒=，()02sin 16f πϕϕ==⇒=，所以()12sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 366f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.12.（2024高三一模长宁11）若函数()sin cos x a x f x =+在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格单调函数，则实数a 的取值范围为______.【答案】3⎡-⎢⎣【解析】()cos sin x x a x f '=-，因为函数()sin cos x a x f x =+在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格单调函数，所以()0f x '≥或()0f x '≤，当x π=时，()1f π'=-，则()0f x '≥不符合题意，由()0f x '≤，得sin cos a x x ≥，当2,3x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0x >，所以1tan a x ≥在2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，即求max 1tan a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，因为2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()tan x ∈，1,tan 3x ⎛∈-∞- ⎝⎭，所以33a ≥-；当7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x <，所以1tan a x ≤在7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，即求min 1tan a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，因为7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3tan 0,3x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，)1tan x ∈+∞，所以a ≤；综上，33a ⎡-⎢⎣∈.13.（2024高三一模静安17）记)(cos sin 32cos sin )(22R ∈++-=x x x x x x f λ，其中λ为实常数．（1）求函数)(x f y =的最小正周期；（2）若函数)(x f y =的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2π，求该函数在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32,0上的最大值和最小值．【答案】（1）π；（2）最大值1，最小值2-【解析】（1）()cos 22f x x x =-+π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭λ+．所以，函数)(x f y =的最小正周期π．（2） π102f λ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∴1λ=-．∴π()2sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令π26x t -=，则π7π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．当ππ266x -=-或7π6，即0x =或2π3时，min 2f =-．当ππ262x -=，即π3x =时，max 1f =．四、三角应用题1.（2024 高三一模奉贤 10）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A 和B . 某日两个观测点的林场人员都观测到C 处出现火情. 在 A 处观测到火情发生在北偏西40方向，而在B 观测到火情在北偏西60方向. 已知B 在A 的正东方向10km 处（如图所示），则BC AC -=______km.（精确到0.1km ）【答案】7.8【解析】由图可知130CAB ∠=，30ABC ∠=，20ACB ∠=2.（2024高三一模徐汇10）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道.若该设备水平截面矩形的宽BC 为1米，则该设备能水平通过直角型过道的长AB 不超过______米.【答案】22-【解析】分别以,OB OA 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系如图所示，则()3,3M ，令()0,A b ，(),0B a ，()0,0a b >>，则直线AB 的方程为1x ya b+=，则点M 直线上方，且到AB 的距离为1，即22331331111a b a b a b ⎧+>⎪+-=⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2233111a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得223()a b a b ab +=+-，设AB r =，0,0,2OAB r πθθ⎛⎫⎡⎤∠=>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则sin a r θ=，cos b r θ=，223()a b a b ab +=+-可化为23(sin cos )sin cos r r r θθθθ=+-，令sin cos 0,2t πθθθ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则224t πθ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则223(sin cos )131121281sin cos (31)(31)999231t r t t t t θθθθ+--===⨯--+---188(31)231t t =--+-，由1,2t ⎡⎤∈⎣⎦，得312,321t⎡⎤-∈-⎣⎦，所以889(31)2321231321321t t --+≤--+=---，所以()1823218(31)231t t ≥---+-，当且仅当2t =时等号成立，该设备能水平通过直角型过道的长AB 不超过622-米.3.（2024高三一模长宁19）汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为A 、B 、C 、D ，向左转向，左前轮转向角为α，右前轮转向角为β，转向中心为O.设该汽车左右轮距AB 为w 米，前后轴距AD 为l 米.（1）试用w 、l 和α表示tan β；（2）如图2，有一直角弯道，M 为内直角顶点，EF 为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A 、D 与路边FS 相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O 到路边EF 的距离为d ，若OB d <且OM OD <，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570w =，2.680l =.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？图1图2【答案】（1）tan tan llw βα=+；（2）选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道【解析】（1）由已知AOD α∠=，tan BOC β∠=，所以tan l OD α=，tan lOC w α=+，进而tan tan llw βα=+.（2）以EF 和FS 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，则()3.5, 3.5M --.3 4.642tan lOD l α===，()223 6.766OB l l w=++=，设(),O a b ()0,0a b <<，32 6.642a l =--=-，d b =-，()()()2223.5 3.59.872 3.5OM a b b =+++=++，由OM OD <，得()29.872 3.521.548b ++<，进而 6.9170.83b -<<-，由OB d <，得 6.766b <-，所以当 6.917 6.765b -<<时，OB d <且OM OD <，此时汽车可以通过弯道.答：选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道.4.（2024高三一模杨浦19）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面ABC 与111A B C 全等且所在平面平行，ABC △与111A B C △各边表示挡雨棚支架，支架1AA 、1BB 、1CC 垂直于平面ABC ．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为π6（即π6AOB ∠=），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形11AA O O （O 、1O 分别在CA 、11C A 延长线上）．（1）挡雨板（曲面11BB C C ）的面积可以视为曲线段BC 与线段1BB 长的乘积．已知1.5OA =米，0.3AC =米，12AA =米，小组成员对曲线段BC 有两种假设，分别为：①其为直线段且π3ACB ∠=；②其为以O 为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；（2）小组拟自制ABC △部分的支架用于测试（图3），其中0.6AC =米，π2ABC ∠=，CAB θ∠=，其中ππ62θ<<，求有效遮挡区域高OA 的最大值．【答案】（1）若选择①，挡雨板材料的面积为1.8平方米；若选择②，挡雨板材料的面积为图13π5平方米，约为1.9平方米；（2）OA 的最大值为0.3米【解析】（1）若选择①，结合π6AOB ∠=，得OBC △是直角三角形，10.92BC OC ==米，挡雨板材料的面积为1.8平方米．若选择②，则COB 是一个圆心角为π6的扇形，BC 弧长为π3π1.8610⨯=，挡雨板材料的面积为3π5平方米，约为1.9平方米．（2）在直角ABC △中，由cos AB AC θ=；在ABO △中，由正弦定理，ππsinsin 66AO ABθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，即π6π2sin sin cos 656AO AB θθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2631sin cos cos 522θθθ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭3311sin 2cos25222θθ⎛⎫=⋅-⋅- ⎪⎝⎭3π3sin 25610θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中ππ62θ<<．当ππ262θ-=，即π3θ=时，AO 取得最大值310．综上所述，有效遮挡区域高OA 的最大值为0.3米．5.（2024高三一模浦东新区19）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形AOC 区域和三角形COD 区域组成．其中A O D 、、三点共线，扇形半径OA 为30米．规划口袋公园建成后，扇形AOC 区域将作为花草展示区，三角形COD 区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道．（1）若π3AOC ∠=，2OD OA =，求休闲步道总长（精确到米）；（2）若π6ODC ∠=，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形COD 的形状．【答案】（1）231米；（2）见解析【解析】（1）休闲步道总长为 2AC OA OD CD+++π301203=⨯++10π120=++231≈米.所以休闲步道总长为231米.（2）方案一：设5π,0,6COD θθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭COD ∆中，由正弦定理得π5πsin sin sin 66OCOD CD θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，得5π5π60sin ,60sin ,0,66OD CD θθθ⎛⎫⎛⎫=-=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故COD ∆的面积15π5π3060sin sin 900sin sin 266S θθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⋅=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π450sin 23θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为5π0,6θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ4π2333θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当ππ232θ-=，即5π12θ=时有max S 450=+平方米因此，当亲水平台区的面积最大时，COD ∆是以OC 为底边的等腰三角形.方案二：设5π,0,6COD θθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭COD ∆中，由正弦定理得π5πsin sin sin 66OCOD CD θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，得5π5π60sin ,60sin ,0,66OD CD θθθ⎛⎫⎛⎫=-=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故COD ∆的周长5π60sin 60sin 306L θθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭(60sin 30cos 30θθ=+++π233012θ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭因为5π0,6θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ11π121212θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当ππ122θ+=，即5π12θ=时有max L 60233030630230=+=+米因此，当亲水平台区的周长最长时，COD ∆是以OC 为底边的等腰三角形.（本题也可用余弦定理、均值不等式解决）6.（2024高三一模黄浦19）某公园的一个角形区域AOB 如图所示，其中23AOB π∠=.现拟用长度为100米的隔离档板(折线DCE )与部分围墙（折线DOE ）围成一个花卉育苗区ODCE ，要求满足OD OC OE ==.（1）设333DOC πππαα⎛⎫∠=+-<< ⎪⎝⎭，试用α表示OD ；（2）为使花卉育苗区的面积最大，应如何设计?请说明理由.【答案】（1）50cos2OD α=；（2）当0α=时，花卉育苗区的面积最大，为12503平方米【解析】（1）由πππ()333DOC αα∠=+-<<，2π3AOB ∠=,可知π3COE α∠=-,作OF CD ⊥,垂足为F ，由OD OC =，可知CF DF =且1π262DOF DOC α∠=∠=+，在直角DOF △中，πsin()62DF OD α=+，故π2sin(62CD OD α=+，同理可得ππ2sin(2sin()6262EC OC OD αα=-=-，所以π2sin()62OD α++π2sin()10062OD α-=，可得OD =5050ππsin()sin()cos62622ααα=++-(米).（2）设花卉育苗区的面积为S 平方米，则221π1πsin()sin()2323S OD OD αα=++-22150ππ[sin()sin()]233cos 2ααα=++-.501]1cos1cos2Sα=α==-+α+α.当且仅当cos1α=且ππ33α-<<，即0α=时，S取最大值，此时50OD=米.故使π3DOC∠=，且50OD=米，可使花卉育苗区的面积最大.7.（2024高三一模金山19）网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．图1图2第19题图（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过4π，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD，0.8mAD=， 2.4mAB=，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角4πα=的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH， 1.2mEH=．设PHGβ∠=，当冰箱被卡住时(即点H、G分别在射线PR、PQ上，点O在线段EF上），尝试用β表示冰箱高度EF的长，并求出EF的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到0.1m）【答案】（1）能；（2）2.6m【解析】（1）当倾斜角π4α=时，冰箱倾斜后实际高度(即冰箱最高点到地面的距离)ππ820.8sin 2.4cos 2.3445h=+=<，故冰箱能够按要求运送入客户家中．（2）延长EF与直角走廊的边相交于M、N，则 1.8 1.8+sin cos MN OM ON =+=ββ， 1.2tan EM β=， 1.2tan FN β=，又EF MN ME NF =--，设()EF f β=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则 1.8 1.81() 1.2(tan )sin cos tan f =+-+βββββ1.8(sin cos ) 1.2sin cos ββββ+-=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．2222332222221.8(cos sin )(sin cos )(1.8(sin cos ) 1.2)(cos s in )()sin cos 1.8(cos sin ) 1.2(cos sin ) 1.8(sin cos )(cos 1)(sin 1)sin cos sin cos f βββββββββββββββββββββββ--+--'=⋅--+----==⋅⋅求得驻点π4β=，作表格得βπ(0,)4π4ππ(,)42()f β'-0+()f β严格减极小值严格增所以()f β最小值π18212() 2.6945f -=≈．由实际意义需向下取整，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为2.6米．8.（2024高三一模徐汇19）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地OAB 中，2AOB π∠=，500OA =米，点Q 是弧AB 的中点，P 为线段OQ 上一点（不与点O ，Q 重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道PO ，PA ，PB .记APQ θ∠=，三条轨道的总长度为y 米．（1）将y 表示成θ的函数，并写出θ的取值范围；（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道PO 的长．【答案】（1）2sin cos 52502,,sin 48y θθππθθ+-⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭；（2）()2503263PO =-【解析】（1）因为点Q 是弧AB 的中点，由对称性，知PA PB =，4AOP BOP π∠=∠=，又APO πθ∠=-，4OAP πθ∠=-，500OA =由正弦定理，得()sin sinsin 44APOAOPπππθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以500sin 25024,sin sin AP OP πθθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭==.所以500sin 42sin y AP BP OP AP OP πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=++=+=2sin cos sin θθθ+-=，因为APQ AOP ∠>∠，所以4πθ>，13248AQO OAQ πππ⎛⎫∠=∠=-=⎪⎝⎭，所以5,48ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭.（2）法一：由（1）得：2cos sin y θθ-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．记2cos sin t θθ-=，则sin cos 2t θθ+=，由辅助角公式可得：)2sin()1θϕθϕ+=⇒+=，解得tt 5sin()1,6348ππππθθ⎛⎫+=⇒=∈ ⎪⎝⎭，等号可以取得．故当3πθ=时，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．法二：由（1）得：2cos sin y θθ-=+，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．记2cos sin t θθ-=，tan tan ,tan 2816x θππ5⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则由万能置换公式可得：2222123111132221x x x t x x x x x --+⎛⎫+===+≥= ⎪⎝⎭+，当且仅当33x =即3πθ=时等号成立．故当3πθ=，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．法三：令()2sin cos sin f θθθθ+-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由()212cos '0sin f θθθ-==，解得3πθ=，则有θ43ππθ<<3πθ=538ππθ<<()'f θ0<0=0>()f θ严格减极小值严格增所以当3πθ=，即(2503OP =米时，()f θ有唯一的极小值，即是最小值，则()min 1f θ=+，三条轨道的最小值为+.故当3πθ=时，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．。
2021-2021 高考全国卷三角函数解三角形真题汇编(文科)
2021-2021 高考全国卷三角函数、解三角形真题汇编(文科)2021-2021 高考全国卷三角函数、解三角形真题汇编（文科）学校：姓名：班级：考号：评卷人得分一、选择题1. [2021・全国新课标卷I(文)]函数y=的部分图象大致为 ( ) -A. B. C.D.2. [2021・全国新课标卷I(文)]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= ,则C= ( )A. B. C. D.3. [2021・全国新课标卷II(文)]函数f(x)=sin 的最小正周期为( ) A. 4πB. 2πC. πD.4. [2021・全国新课标卷III (文)]已知sin α-cos α=,则sin 2α= ( ) A. -B. -C.D.5. [2021・全国新课标卷III (文)]函数f(x)=sin +cos - 的最大值为 ( )A. B. 1 C. D. 6. [2021・全国新课标卷III (文)]函数y=1+x+的部分图象大致为( )第1页共4页A. B.C.D.7. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),4]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a= ,c=2,cos A=,则b= ( )A. B. C. 2 D. 38. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),6]将函数y=2sin 的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为 ( )A. y=2sinB. y=2sinC. y=2sin -D.y=2sin -9. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),12]若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是 ( )A. [-1,1]B. -C. -D. - -10. [2021・高考全国新课标卷Ⅱ(文),3]函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 ( )A. y=2sin -B. y=2sin -C. y=2sinD. y=2sin11. [2021・高考全国新课标卷Ⅱ(文),11]函数f(x)=cos2x+6cos - 的最大值为( )A. 4B. 5C. 6D. 712. [2021・高考全国新课标卷Ⅲ(文),6]若tan θ=-,则cos 2θ= ( )第2页共4页A. -B. -C.D.13. [2021・高考全国新课标卷Ⅲ(文),9]在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A= ( ) A. B. C. D.14. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),8]函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A. - ,k∈ZB. - ,k∈ZC. - ,k∈ZD. - ,k∈Z15. [2021�q高考全国新课标卷Ⅰ(文)，7]在函数①y＝cos|2x|,②y＝|cos x|,③y＝cos(2x＋),④y＝tan(2x－)中,最小正周期为π的所有函数为( )A. ②④B. ①③④C. ①②③D. ①③16. [2021・高考全国新课标卷I(文),9]函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为( )A. B.C. D.17. [2021・高考全国新课标卷I(文),10]已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为2a,b,c,23cosA+cos2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A. 10 B. 9 C.8 D. 5第3页共4页18. [2021・高考全国新课标卷II(文),4]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为( )A. 2 +2B. +1C. 2 -2D. -119. [2021・高考全国新课标卷II(文),6]已知sin2α=,则cos(α+)=( ) A.B. C. D. 评卷人得分二、填空题220. [2021・全国新课标卷I(文)]已知α∈ ,tan α=2,则cos - = . 21. [2021・全国新课标卷II(文)]函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为 . 22. [2021・全国新课标卷II(文)]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= .23. [2021・全国新课标卷III (文)]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= ,c=3,则A= .24. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),14]已知θ是第四象限角,且sin ,则tan - = .25. [2021・高考全国新课标卷Ⅱ(文),15]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .26. [2021・高考全国新课标卷Ⅲ(文),14]函数y=sin x- cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.27. [2021�q高考全国新课标卷Ⅰ(文)，16]如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°,C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m,则山高MN＝________m.28. [2021�q高考全国新课标Ⅱ(文)，14]函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________. 29. [2021・高考全国新课标卷I(文),16]设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ= .30. [2021・高考全国新课标卷II(文),16]函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ函数y=sin(2x+)的图象重合,则φ= .第4页共4页感谢您的阅读，祝您生活愉快。
(word完整版)三角函数与解三角形高考模拟考试题(卷)精选(含详细答案解析)(2021年整理)
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三角函数与解三角形高考试题精选一．解答题（共31小题）1．在△ABC中，角A，B,C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．(Ⅰ）证明：a+b=2c；(Ⅱ）求cosC的最小值．2．在△ABC中,内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB,ac=（a2﹣b2﹣c2)．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．(Ⅰ)求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2)若a=，求△ABC的面积．5．在△ABC中,角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc,求tanB．6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1)求BC的长;（2)求sin2C的值．7．在△ABC中,内角A，B,C所对的边分别为a,b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；(Ⅱ）求cos（2A+）的值．8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=(a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ)求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b,c，且b=3,c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB,DE=1,EC=，EA=2，∠ADC=,∠BEC=．（Ⅰ)求sin∠CED的值;（Ⅱ)求BE的长．11．在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a，b,c，已知b+c=2acosB．(Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1)求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ)若a=2，b=，求cosC的值；(Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．14．△ABC的内角A，B,C所对应的边分别为a，b,c．（Ⅰ）若a,b，c成等差数列,证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；(Ⅱ）若a，b,c成等比数列，求cosB的最小值．15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．(Ⅰ)若a,b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a,求cosB的值．16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；(2）求四边形ABCD的面积．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A+C）=8sin2．(1)求cosB;(2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．18．在△ABC中,内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2)若cosB=,求cosC的值．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA,且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=;（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2,求sinA和c的值．21．设△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；(Ⅱ)若sinC﹣sinAcosB=,且B为钝角，求A，B，C．22．△ABC中，D是BC上的点,AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2)若AD=1，DC=，求BD和AC的长．23．已知a，b，c分别是△ABC内角A,B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ)若a=b，求cosB；（Ⅱ)设B=90°，且a=，求△ABC的面积．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．(Ⅱ）若∠BA C=60°,求∠B．25．在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a,b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．26．△ABC中,角A，B,C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ)求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=,b=3c,求sinC的值．28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC(1）求cosA的值（2)若a=1,cosB+cosC=，求边c的值．29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b，c，且bsinA=a•cosB．（1)求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．(Ⅰ)求cosA的值;（Ⅱ）求c的值．三角函数与解三角形高考试题精选参考答案与试题解析一．解答题（共31小题)1．在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由得:；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB;即sinA+sinB=2sinC(1）;根据正弦定理，;∴,带入（1）得：；∴a+b=2c;(Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab,当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b,c．已知asinA=4bsinB，ac=(a2﹣b2﹣c2）．(Ⅰ）求cosA的值；(Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解:由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，两式作比得：，∴a=2b．由，得,由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ)，可得,代入asinA=4bsinB，得．由（Ⅰ)知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，,故．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知2cosC（acosB+bcosA)=c．（Ⅰ）求C;(Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：(Ⅰ）∵在△ABC中,0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC,整理得：2cosCsin（A+B)=sinC，即2cosCsin（π﹣(A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；(Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴(a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=,∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．4．在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=,求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵A为三角形的内角,cosA=,∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC,整理得：cosC=sinC,则tanC=;（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=,∵a=,∴由正弦定理=得:c===，则S△ABC=acsinB=×××=．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC;（Ⅱ)若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解答】(Ⅰ）证明：在△ABC中,∵+=，∴由正弦定理得：，∴=,∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，(Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2)求sin2C的值．【解答】解：（1）由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2)由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，BC=,AB=2,角A=60°,在三角形ABC中,大角对大边,大边对大角，＞2，∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0,cosC＞0则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．【解答】解:（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得:，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6,c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA,可得a=8，,解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB)平行．（Ⅰ）求A;（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【解答】解:（Ⅰ）因为向量=(a，b)与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0,由正弦定理可知:sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，所以tanA=,可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c,解得c=3，△ABC的面积为:=．9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a,b,c，且b=3，c=1,△ABC的面积为，求cosA与a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=,∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=,∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中,由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE,即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得,则sinα=，即sin∠CED=．(Ⅱ)由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中,cos∠AEB=，故BE=．11．在△ABC中,内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明:A=2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin（A+B)=2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B)∵A，B是三角形中的角,∴B=A﹣B,∴A=2B；（Ⅱ)解：∵△ABC的面积S=,∴bcsinA=，∴2bcsinA=a2，∴2sinBsinC=sinA=sin2B，∴sinC=cosB，∴B+C=90°，或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．12．在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a，b，c,已知A=,b2﹣a2=c2．(1）求tanC的值;（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【解答】解：（1)∵A=，∴由余弦定理可得：,∴b2﹣a2=bc﹣c2,又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0,π），∴sinC==．∴tanC==2．或由A=，b2﹣a2=c2．可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，∴sin2B﹣=sin2C，∴﹣cos2B=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴sin2C=sin2C，∴tanC=2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．13．在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2,b=，求cosC的值;（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣(a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC,∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c,∵a+b+c=8，∴a+b=6①,∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得:a=b=3．14．△ABC的内角A，B,C所对应的边分别为a,b,c．(Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C)；(Ⅱ）若a，b,c成等比数列，求cosB的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得:2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin［π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）;(Ⅱ)∵a，b,c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为．15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．(Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C);（Ⅱ)若a，b，c成等比数列，且c=2a,求cosB的值．【解答】解：(Ⅰ）∵a,b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得:sinA+sinC=2sinB,∵sinB=sin[π﹣（A+C)]=sin（A+C），则sinA+sinC=2sin（A+C)；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列,∴b2=ac,将c=2a代入得:b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得:cosB===．16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【解答】解:（1)在△BCD中,BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中,AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=;（2)∵cosC=,cosA=﹣，∴sinC=sinA=,则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．17．△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b,c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2)若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解:（1)sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB)，∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴16(1﹣cosB)2+cos2B﹣1=0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1)（cosB+1）=0,∴(17cosB﹣15)（cosB﹣1)=0，∴cosB=；（2）由(1)可知sinB=，∵S△ABC=ac•sinB=2，∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=(a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4,∴b=2．18．在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a,b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B)，化为A=2B,或A=π（舍去）．∴A=2B．（II）解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角．（Ⅰ）证明:B﹣A=；(Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈(，π），∴B=+A,∴B﹣A=;（Ⅱ)由(Ⅰ）知C=π﹣(A+B)=π﹣（A++A）=﹣2A＞0,∴A∈（0，）,∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2(sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2(sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（,］20．△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b,c，已知cosB=，sin(A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．【解答】解：①因为△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=,sin(A+B)=,ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=①,结合平方关系sin2A+cos2A=1②，由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0,解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）;②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2,所以c=1．21．设△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b,c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；(Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【解答】解：(Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：,又tanA=,∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin［π﹣（A+B）］=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=,∵0＜B＜π，∴sinB=,∵B为钝角，∴B=,又∵cosA=sinB=，∴A=,∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1)求；（2）若AD=1，DC=,求BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2,∴AB=2AC,令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=,∴x=1,∴AC=1,∴BD的长为，AC的长为1．23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=,求△ABC的面积．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC,由正弦定理可得：＞0，代入可得(bk)2=2ak•ck，∴b2=2ac,∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=,∴a2+c2=b2=2ac,解得a=c=．∴S△ABC==1．24．△ABC中,D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．(Ⅱ）若∠BAC=60°,求∠B．【解答】解：（Ⅰ）如图,由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ)∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B)，∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C,∴tan∠B=，即∠B=30°．25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,已知a﹣c=b,sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得:b=c,代入a﹣c=b,得：a﹣c=c，即a=2c,∴cosA===;(Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos(2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．26．△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．(Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin(π﹣A﹣B）=sin（A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b,c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=,b=3c，求sinC的值．【解答】解：（1）因为,所以sinA=，所以tanA=，所以A=60°（2）由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b,c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．【解答】解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；代入3acosA=ccosB+bcosC；得cosA=；（2）∵cosA=∴sinA=cosB=﹣cos(A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③又已知 cosB+cosC=代入③cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立解得 sinC=已知 a=1正弦定理:c===29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小;（2）若b=3,sinC=2sinA，分别求a和c的值．【解答】解：（1)∵bsinA=a•cosB,由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．30．在△ABC中,a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．【解答】解：（Ⅰ)由条件在△ABC中，a=3,，∠B=2∠A,利用正弦定理可得，即=．解得cosA=．（Ⅱ)由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即 9=+c2﹣2×2×c×，即 c2﹣8c+15=0．解方程求得 c=5，或 c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得B=90°，A=C=45°,△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．当c=5时,求得cosB==，cosA==，∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB,∴B=2A,满足条件．综上，c=5．。
2011—2017年高考全国卷Ⅰ文科数学三角函数、解三角形汇编
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编三角函数、解三角形一、选择题【2017，11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，2，则C=( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【2016，4】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知5a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ） A ．2 B3 C ．2 D ．3【2016，6】若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ）． A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【2015，8】函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③【2014，2】若tan 0α>，则（ ）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos20α>【2013，10】已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5 【2012，9】9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ） A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π 【2011，7】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45【2011，11】设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 （ ） A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称 B ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称 二、填空题【2017，15】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 【2016，】14．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 【2013，16】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______．【2014，16】如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角 45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒． 已知山高100BC m =，则山高MN = m ． 【2011，15】ABC △中，120B =，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为 ． 三、解答题【2015，17】已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=，且2a =ABC △的面积．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =-．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC 3，求b ，c ．解 析一、选择题【2017，11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，2，则C=( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解法】解法一：因为sin sin (sin cos )0B A C C +-=，sin sin()B A C =+，所以sin (sin cos )0C A A +=，又sin 0C >，所以sin cos A A =-，tan 1A =-，又0A π<<，所以34A π=，又a =2，c 222=即1sin 2C =．又02C π<<，所以6C π=，故选B ．解法二：由解法一知sin cos 0A A +=2)04A π+=，又0A π<<，所以34A π=．下同解法一．【2016，4】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知5a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ） A ．2 B3 C ．2 D ．3解析：选D ．由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，即245243b b +-=， 整理得()28113033b b b b ⎛⎫--=-+= ⎪⎝⎭，解得3b =．故选D ． 【2016，6】若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ）． A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解析：选D ．将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期，即向右平移π4个单位， 故所得图像对应的函数为ππ2sin 246y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选D ． 【2015，8】函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 解：选D ．依图，153++4242ππωϕωϕ==且，解得ω=π，=4πϕ， ()cos()4f x x ππ∴=+， 224k x k πππππ<+<+由，，解得132244k x k -<<+，故选D ． 【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解：选A ．由cos y x =是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x ，最小正周期为π；②y=|cos x |的最小正周期也是π；③中函数最小正周期也是π；正确答案为①②③，故选A【2014，2】若tan 0α>，则（ ）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos20α>解：选C ．tan α>0，α在一或三象限，所以sin α与cos α同号，故选C【2013，10】已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D ．由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125．∵A ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos A ＝15．∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)．【2012，9】9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ）A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π【解析】选A ．由直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，得()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期52()244T πππ=-=，从而1ω=．由此()sin()f x x ϕ=+，由已知4x π=处()sin()f x x ϕ=+取得最值，所以sin()14πϕ+=±，结合选项，知ϕ=4π，故选择A ．【2011，7】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45【解析】设(,2)(0)P t t t ≠为角θ终边上任意一点，则cosθ=当0t >时，cos θ=0t <时，cos θ=．因此223cos 22cos 1155θθ=-=-=-．故选B ．【2011，11】设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 （ ） A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称 B ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称【解析】因为ππππ()sin 2cos 2224444f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当π02x <<时，02πx <<，故()f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．又当π2x =π22⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭π2x =是()y f x =的一条对称轴．故选D ．二、填空题【2017，15】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【解析】10．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin tan 22sin 2cos cos ααααα=⇒=⇒=，又22sin cos 1αα+=，解得sin α=，cos α=，cos sin )4210πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭．【基本解法2】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，∴角α的终边过(1,2)P ，故sin y r α==，cos 5x r α==，其中r ==cos (cos sin )4210πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭．【2016，】14．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 解析：43-．由题意sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ，所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z ， 从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-． 方法2：还可利用ππtan tan 144θθ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭来进行处理，或者直接进行推演，即由题意4cos 45θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan 44θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以tan 4θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭143tan 4θ-=-π⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【2013，16】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______．答案：解析：25． ∵f (x )＝sin x －2cos x 5sin(x －φ)，其中sin φ25cos φ5当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )取最大值．即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)．∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝255-．【2014，16】16．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及 75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN = m ．解：在RtΔABC 中，由条件可得1002AC =，在ΔMAC 中，∠MAC=45°；由正弦定理可得sin60sin 45AM AC =︒︒，故310032AM AC =RtΔMAN 中，MN=AM sin60°=150．【2011，15】ABC △中，120B =，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为 ．【解析】由余弦定理知2222cos120AC AB BC AB BC =+-⋅，即249255BC BC =++，解得3BC =．故113153sin120532224ABC S AB BC =⋅=⨯⨯⨯=△．故答案为1534．三、解答题【2015，17】已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=，且a =ABC △的面积．解析：（1）由正弦定理得，22b ac =．又a b =，所以22a ac =，即2a c =．则22222212cos 2422a a a a cb B a ac a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⋅．（2）解法一：因为90B ∠=，所以()2sin 12sin sin 2sin sin 90B A C A A ===-， 即2sin cos 1A A =，亦即sin 21A =．又因为在ABC △中，90B ∠=，所以090A <∠<， 则290A ∠=，得45A ∠=．所以ABC △为等腰直角三角形，得a c ==112ABC S ==△． 解法二：由（1）可知22b ac =，① 因为90B ∠=，所以222a c b +=，② 将②代入①得()20a c -=，则a c ==，所以112ABC S ==△． 解：(Ⅰ) 因为sin 2B =2sin A sin C ． 由正弦定理可得b 2=2ac ．又a =b ，可得a=2c ， b=2c ，由余弦定理可得2221cos 24a cb Bac． (Ⅱ)由(Ⅰ)知b 2=2ac ． 因为B=90°，所以a 2+c 2=b 2=2ac ． 解得a =． 所以ΔABC 的面积为1．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =-．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC ，求b ，c ． 【解析】（1）根据正弦定理2sin sin a cR A C==，得A R a sin 2=， C Rc sin 2=， 因为sin cos c C c A =-，所以2sin sin )sin 2sin cos R C R A C R C A =-⋅， 化简得C C A C A sin sin cos sin sin 3=-， 因为0sin ≠C ，所以1cos sin 3=-A A ，即21)6sin(=-πA ， 而π<<A 0，6566πππ<-<-A ，从而66ππ=-A ，解得3π=A ． （2）若2a =，△ABC1）得3π=A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+=43cos 233sin 21222a bc c b bc ππ，化简得⎩⎨⎧=+=8422c b bc ， 从而解得2=b ，2=c ．。
2022高考数学真题分类汇编07 三角函数与解三角形【含答案】
2022高考数学真题分类汇编五、三角函数与解三角形一、单选题1.（2022·全国甲（文）T5）将函数的图像向左平移个单位π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π2长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则的最小值是（）ωA. B. C. D. 16141312【答案】C 【解析】【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可C ,232k k ωππππ+=+∈Z求出的最小值.ω【详解】由题意知：曲线为，又关于C sin sin(2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦C 轴对称，则，y ,232k k ωππππ+=+∈Z解得，又，故当时，的最小值为.12,3k k ω=+∈Z0>ω0k =ω13故选：C.2.（2022·全国甲（理）T11）设函数在区间恰有三个极值点、π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,π)两个零点，则的取值范围是（ ）ωA. B. C. D.513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭138,63⎛⎤⎥⎝⎦1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，x 3x πω+解得即可．【详解】解：依题意可得，因为，所以，0>ω()0,x π∈,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如()0,πsin y x =,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭下所示：则，解得，即．5323ππωππ<+≤13863ω<≤138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：C ．3.（2022·全国乙（文）T11） 函数在区间的最小值、()()cos 1sin 1f x x x x =+++[]0,2π最大值分别为（）A. B. C. D.ππ22-，3ππ22-，ππ222-+，3ππ222-+，【答案】D 【解析】【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和()f x ()f x []0,2π最大值.【详解】，()()()sin sin 1cos 1cos f x x x x x x x'=-+++=+所以在区间和上，即单调递增；()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭()0f x '>()f x 在区间上，即单调递减，π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭()0f x '<()f x 又，，，()()02π2f f ==ππ222f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π3π3π11222f ⎛⎫⎛⎫=-++=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在区间上的最小值为，最大值为.()f x []0,2π3π2-π22+故选：D4.（2022·新高考Ⅰ卷T6） 记函数的最小正周期为T ．若()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，且的图象关于点中心对称，则（ ）23T ππ<<()y f x =3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭2f π⎛⎫=⎪⎝⎭A. 1 B. C. D. 33252【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T 满足，得，解得，23T ππ<<223πππω<<23ω<<又因为函数图象关于点对称，所以，且，3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭3,24k k Z ππωπ+=∈2b =所以，所以，，12,63k k Z ω=-+∈52ω=5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以.5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A5.（2022·北京卷T5） 已知函数，则（ ）22()cos sin f x x x =-A. 在上单调递减B. 在上单调递增()f x ,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()f x ,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 在上单调递减D. 在上单调递增()f x 0,3π⎛⎫⎪⎝⎭()f x 7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.()cos 2f x x=【详解】因为.()22cos sin cos 2f x x x x=-=对于A 选项，当时，，则在上单调递增，26x ππ-<<-23x ππ-<<-()f x ,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭A 错；对于B 选项，当时，，则在上不单调，B 错；412x ππ-<<226x ππ-<<()f x ,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭对于C 选项，当时，，则在上单调递减，C 对；03x π<<2023x π<<()f x 0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭对于D 选项，当时，，则在上不单调，D 错.7412x ππ<<7226x ππ<<()f x 7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.6.（2022·北京卷T10） 在中，．P 为所在平面ABC 3,4,90AC BC C ==∠=︒ABC 内的动点，且，则的取值范围是（ ）1PC =PA PB ⋅A. B. C. D. [5,3]-[3,5]-[6,4]-[4,6]-【答案】D 【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积()cos ,sin P θθPA PB的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，()0,0C ()3,0A ()0,4B因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，1PC =P C 1设，，()cos ,sin P θθ[]0,2θπ∈所以，，()3cos ,sin PA θθ=--()cos ,4sin PB θθ=--所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--，其中，，()15sin θϕ=-+3sin 5ϕ=4cos 5ϕ=因为，所以，即；()1sin 1θϕ-≤+≤()415sin 6θϕ-≤-+≤[]4,6PA PB ⋅∈-故选：D7.（2022·浙江卷T6） 为了得到函数的图象，只要把函数2sin 3y x =图象上所有的点（ ）π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度π5π5C .向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度π15π15【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为，所以把函数图象ππ2sin 32sin 3155y x x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．π152sin 3y x =故选：D.二、填空题1.（2022·全国甲（文）T16）. 已知中，点D 在边BC 上，ABC ．当取得最小值时，________．120,2,2ADB AD CDBD ∠=︒==ACAB BD =##1--【解析】【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得220CD BD m ==>22AC AB 解.【详解】设，220CD BD m ==>则在中，，ABD △22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++在中，，ACD △22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++，44≥=-当且仅当即时，等号成立，11m m +=+1m =-所以当取最小值时，.ACAB 1m =.12.（2022·全国甲（理）T16）已知中，点D 在边BC 上，ABC ．当取得最小值时，________．120,2,2ADB AD CDBD ∠=︒==ACAB BD =##1--【解析】【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得220CD BD m ==>22AC AB 解.【详解】设，220CD BD m ==>则在中，，ABD △22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++在中，，ACD △22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++，44≥=-当且仅当即时，等号成立，11m m +=+1m =-所以当取最小值时，.ACAB 1m =.13.（2022·全国乙（理）T15） 记函数的最小正周()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<期为T ，若为的零点，则的最小值为____________．()f T =9x π=()f x ω【答案】3【解析】【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出T ()f T =ϕπ9x =的取值，从而得解；ω【详解】解： 因为，（，）()()cos f x x ωϕ=+0>ω0πϕ<<所以最小正周期，因为，2πT ω=()()2πcos cos 2πcos f T ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+== ⎪⎝⎭又，所以，即，0πϕ<<π6ϕ=()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又为的零点，所以，解得，π9x =()f x ππππ,Z962k k ω+=+∈39,Z k k ω=+∈因为，所以当时；0>ω0k =min3ω=故答案为：34.（2022·新高考Ⅱ卷T6） 角满足,αβ，则（）sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭A. B. tan()1αβ+=tan()1αβ+=-C. D. tan()1αβ-=tan()1αβ-=-【答案】D 【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：,()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-即：，sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=即：,()()sin cos 0αβαβ-+-=所以,()tan 1αβ-=-故选：D5.（2022·新高考Ⅱ卷T9）函数的图象以中心对称，()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<2π,03⎛⎫⎪⎝⎭则（）A. 在单调递减y =()f x 5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭B. 在有2个极值点y =()f x π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 直线是一条对称轴7π6x =D. 直线是一条切线y x =-【答案】AD 【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：，所以，，2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4ππ3k ϕ+=k ∈Z 即，4ππ,3k k ϕ=-+∈Z 又，所以时，，故．0πϕ<<2k =2π3ϕ=2π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对A ，当时，，由正弦函数图象知在5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin y u =()y f x =上是单调递减；5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭对B ，当时，，由正弦函数图象知π11π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin y u =只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；()y f x =2π3π232x +=5π12x =5π12x =对C ，当时，，，直线不是对称轴；7π6x =2π23π3x +=7π()06f =7π6x =对D ，由得：，2π2cos 213y x ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭解得或,2π2π22π33x k +=+2π4π22π,33x k k +=+∈Z 从而得：或,πx k =ππ,3x k k =+∈Z 所以函数在点处的切线斜率为，()y f x =⎛⎝02π2cos 13x ky =='==-切线方程为：即．(0)y x =--y x =-故选：AD ．6.（2022·北京卷T13） 若函数的一个零点为，则()sin f x A x x =-3π________；________．A =12f π⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】 ①. 1②. 【解析】【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为，代入自变量π()2sin()3f x x =-，计算即可.π12x =【详解】∵，∴π()03f A =-=1A =∴π()sin2sin(3f x x x x ==-ππππ()2sin()2sin121234f =-=-=故答案为：1，7.（2022·浙江卷T11） 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角S=形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积2a b c ===___________．S =【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为，所以S =．S ==8.（2022·浙江卷T13）若，则__________，3sin sin 2παβαβ-=+=sin α=_________．cos 2β=【答案】 ①②. 45【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型α函数方程，可求出，接下来再求．αβ【详解】，∴，即2παβ+=sin cos βα=3sin cos αα-=即，令，αα⎫=⎪⎪⎭sin θ=cos θ=，∴，即，()αθ-=22k k Zπαθπ-=+∈，22k παθπ=++∴，sinsin 2cos 2k παθπθ⎛⎫=++==⎪⎝⎭则．224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=；．45三、解答题1.（2022·全国乙（文）T17）记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知ABC．()()sin sin sin sin C A B B C A -=-（1）若，求C ；2A B =（2）证明：2222a b c =+【答案】（1）；5π8（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；()sin sin C C A =-（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-弦定理化简即可证出．【小问1详解】由，可得，，2A B =()()sin sin sin sin C A B B C A -=-()sin sin sin sin C B B C A =-而，所以，即有，而π02B <<()sin 0,1B ∈()sin sin 0C C A =->，显然，所以，，而，0π,0πC C A <<<-<C C A ≠-πC C A +-=2A B =，所以．πA B C ++=5π8C =【小问2详解】由可得，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，再由正弦定理可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，然后根据余弦定理可知，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，化简得：()()()()22222222222211112222a c b b c a b c a a b c +--+-=+--+-，故原等式成立．2222a b c =+2.（2022·全国乙（理）T17）记的内角的对边分别为，已知ABC ,,A B C ,,a b c ．sin sin()sin sin()C A B B C A -=-（1）证明：；2222a b c =+（2）若，求的周长．255,cos 31a A ==ABC 【答案】（1）见解析 （2）14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.bc b c +【小问1详解】证明：因为，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-所以，sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-所以，2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅即，()22222222222a c b a b c b c a +-+--+-=-所以；2222a b c =+【小问2详解】解：因为，255,cos 31a A ==由（1）得，2250b c +=由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-则，50502531bc -=所以，312bc =故，()2222503181b c b c bc +=++=+=所以，9b c +=所以的周长为.ABC 14a b c ++=3.（2022·新高考Ⅰ卷T18）记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ．cos sin 21sin 1cos2A BA B =++（1）若，求B ；23C π=（2）求的最小值．222a b c +【答案】（1）；π6（2）．5【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成cos sin 21sin 1cos2A BA B =++，再结合，即可求出；()cos sin A B B+=π02B <<（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将π2C B =+π22A B =-化成，然后利用基本不等式即可解出．222a b c +2224cos 5cos B B +-【小问1详解】因为，即2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA BB B ===++，()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A B C =-=+=-=而，所以；π02B <<π6B =【小问2详解】由（1）知，，所以，sin cos 0B C =->πππ,022C B <<<<而，πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以，即有．π2C B =+π22A B =-所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B cC B +++-==．()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB -+-==+-≥-=-当且仅当的最小值为．2cos B =222a b c +5-4.（2022·新高考Ⅱ卷T18） 记的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为ABC a ，b ，c ，分别以a ，b ，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知123,,S S S ．12313S S S B -+==（1）求的面积；ABC （2）若，求b ．sinsin A C =【答案】（1（2）12【解析】【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余123,,S S S 123S S S -+=2222a c b +-=弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；ac （2）由正弦定理得，即可求解.22sin sin sin b acB AC =【小问1详解】由题意得，则22221231,,2S a S S =⋅===，222123S S S -+==即，由余弦定理得，整理得，则2222a c b +-=222cos 2a c b B ac +-=cos 1ac B =，又，cos 0B >1sin 3B =则，cos B ==1cos ac B ==1sin 2ABC S ac B== 【小问2详解】由正弦定理得：，则sin sin sin b a c B A C ==，则，.229sin sin sin sin sin 4b ac ac B A C A C =⋅===3sin 2b B =31sin 22bB ==5.（2022·北京卷T16）在中，．ABC sin2C C =（1）求；C ∠（2）若，且的面积为的周长．6b =ABC ABC 【答案】（1）6π（2）6+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角cos C C 的值；C （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的a c ABC周长.【小问1详解】解：因为，则，()0,C π∈sin 0C >2sin cos C C C =可得，因此，.cos C =6C π=【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得，解得.13sin22ABC S ab C a ===a =由余弦定理可得，2222cos 48362612c a b abC =+-=+-⨯=c ∴=所以，的周长为.ABC 6a b c ++=+6.（2022·浙江卷T18） 在中，角A ，B，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知ABC ．34,cos 5a C ==（1）求的值；sin A （2）若，求的面积．11b =ABC 【答案】（1；（2）．22【解析】【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；sin C （2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面222cos 2a b c C ab +-=4a =a 积公式求出面积．in 12s S ab C =【小问1详解】由于， ，则．因为，3cos 5C =0πC <<4sin 5C=4a =由正弦定理知，则4sin A C =sin A C ==【小问2详解】因为，由余弦定理，得，4a =2222221612111355cos 22225a a a a b c C ab a a +--+-====即，解得，而，，26550a a +-=5a =4sin 5C =11b =所以的面积．ABC 114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=。
2024年高考数学真题分类汇编05：三角函数与解三角形
解法二：令 h x f (x) g x , x 1,1 ，可知 h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可
知 h x 的零点只能为 0，即可得 a 2 ，并代入检验即可. 【解析】解法一：令 f (x) g x ，即 a(x 1)2 1 cos x 2ax ，可得 ax2 a 1 cos x ， 令 F x ax2 a 1,G x cos x ，
三角函数与解三角形
一、单选题
1．（2024·全国）已知 cos( ) m, tan tan 2 ，则 cos( ) （ ）
A． 3m
B． m 3
C．
m 3
D． 3m
2．（2024·全国）当
xÎ
[0, 2 ] 时，曲线
y
sin
x
与
y
2
sin
3x
6
的交点个数为（
）
A．3
B．4
C．6
的最小正周期为
π
．则函数在
π 12
,
π 6
的最小值是（ ）
A． 3
2
B． 3 2
C．0
D． 3 2
9．（2024·上海）下列函数 f x 的最小正周期是 2π 的是（ ）
A． sinx cosx C． sin2x cos2x
B． sinxcosx D． sin2x cos2x
二、多选题
y
f
x 在 0,1 处的切线与两坐标轴围
成的三角形的面积为（ ）
A． 1 6
B．
1 3
C．
1 2
D．
2 3
7．（2024·北京）已知fxFra biblioteksinx
高考全国卷三角函数、解三角形真题汇编（文科）
2013-2017 高考全国卷三角函数、解三角形真题汇编（文科）学校： 姓名： 班级： 考号：评卷人评卷人 得分得分一、选择题 1. [2017·全国新课标卷I(文)]函数y =sin2x 1-cosx 的部分图象大致为的部分图象大致为( ) A. B. C.D. 2. [2017·全国新课标卷I(文)]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知sin B +sin A (sin C -cos C )=0,a =2,c =√2,则C = ( )A. π12B. π6C. π4D. π3 3. [2017·全国新课标卷II(文)]函数f (x )=sin (2x +π3)的最小正周期为 ( ) A. 4π B. 2π C. π D. π24. [2017·全国新课标卷III (文)]已知sin α-cos α=43,则sin 2α= ( )A. -79B. -29C. 29D. 79 5. [2017·全国新课标卷III (文)]函数f (x )=15sin (x +π3)+cos (x (x--π6)的最大值为的最大值为 ( ) A. 65 B. 1 C. 35 D. 15 6. [2017·全国新课标卷III (文)]函数y=1+x+sinx x 2的部分图象大致为的部分图象大致为 ( )A. B.C. D.7. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ(文),4]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知a =√5,c =2,cos A =23,则b = ( ) A. √2 B. √3C. 2D. 3 8. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ(文),6]将函数y =2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为象对应的函数为 ( ) A. y =2sin (2x +π4) B. y =2sin (2x +π3) C. y =2sin (2x (2x--π4) D. y =2sin (2x (2x--π3) 9. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ(文),12]若函数f (x )=x -13sin 2x +a sin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是的取值范围是 ( ) A. [-1,1] B. [-1,13] C. [-13,13] D. [-1,1,--13] 10. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ(文),3]函数y =A sin(ωx +φ)的部分图象如图所示,则 ( ) A. y =2sin (2x (2x--π6) B. y =2sin (2x (2x--π3) C. y =2sin (x +π6) D. y =2sin (x +π3)11. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ(文),11]函数f (x )=cos2x +6cos (π2-x)的最大值为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 12. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ(文),6]若tan θ=-13,则cos 2θ= ( )A. -45B. -15C. 15 D. 45 13. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ(文),9]在△ABC 中,B =π4,BC 边上的高等于13BC ,则sin A = ( ) A. 310 B. √1010 C. √55 D. 3√101014. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ(文),8]函数f (x )=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f (x )的单调递减区间为( )A. (kπ(kπ--14,kπ+34),k ∈Z B. (2kπ(2kπ--14,2kπ+34),k ∈Z C. (k (k--14,k +34),k ∈Z D. (2k (2k--14,2k +34),k ∈Z 15. [2014﹒高考全国新课标卷Ⅰ(文)，7]在函数①y ＝cos|2x |,②y ＝|cos x |,③y ＝cos(2x ＋π6),④y ＝tan(2x －π4)中,最小正周期为π的所有函数为( )A. ②④B. ①③④C. ①②③D. ①③16. [2013·高考全国新课标卷I(文),9]函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π,π]的图象大致为( )A. B.C. D. 17. [2013·高考全国新课标卷I(文),10]已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,23cos 2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=( )A. 10B. 9C. 8D. 518. [2013·高考全国新课标卷II(文),4]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC 的面积为( )A. 2√3+2B. √3+1C. 2√3-2D. √3-1 19. [2013·高考全国新课标卷II(文),6]已知sin2α=23,则cos 2(α+π4)=( ) A. 16 B. 13 C. 12 D. 23 评卷人评卷人 得分得分 二、填空题20. [2017·全国新课标卷I(文)]已知α∈(0,π2),tan α=2,则cos (α(α--π4)= . 21. [2017·全国新课标卷II(文)]函数f (x )=2cos x+sin x 的最大值为 .22. [2017·全国新课标卷II(文)]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2b cos B=a cos C+c cos A ,则B= .23. [2017·全国新课标卷III (文)]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知C=60°60°,,b=√6,c=3,则A= .24.[2016·高考全国新课标卷Ⅰ(文),14]已知θ是第四象限角,且sin (θ+π4)=35,则tan (θ(θ--π4)= 25. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ(文),15]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b = . 26. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ(文),14]函数y =sin x -√3cos x 的图象可由函数y =2sin x 的图象至少向右平移 个单位长度得到.27. [2014﹒高考全国新课标卷Ⅰ(文)，16]如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°60°,,C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°60°..已知山高BC ＝100 m,则山高MN ＝________m.28. [2014﹒高考全国新课标Ⅱ(文)，14]函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________. 29. [2013·高考全国新课标卷I(文),16]设当x=θ时,函数f (x )=sin x-2cos x 取得最大值,则cos θ= .30. [2013·高考全国新课标卷II(文),16]函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y=sin(2x+π3)的图象重合,则φ= .。
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2018年全国高考模拟文科数学分类汇编——三角函数和解三角形一、选择题1. 1０．(5分)已知定义在R 上的函数ｆ（ｘ）满足:(１）f （ｘ)＋ｆ(２﹣x ）＝0，（２）ｆ（x ﹣2)=f （﹣x),(3)在[﹣1,1]上表达式为f （x)=，则函数ｆ(x)与函数g （x)=的图象区间[﹣3，3］上的交点个数为( )A.5 B ．６ﻩC ．7ﻩD.８2． 11.（５分)已知函数f(ｘ）＝s ｉn(ωx +φ)（ω>0,｜φ|＜)的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象（ )Ａ.关于直线x=对称ﻩB.关于直线x=对称 Ｃ．关于点（,0)对称 D .关于点（，0)对称３． 4.若ｔanθ+=4，则sin2θ=（ )A.ﻩB ．ﻩＣ.ﻩD ．4. 7.将函数()2sin 13f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位,再把所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象，则图象()y g x =的一个对称中心为 A.,03π⎛⎫⎪⎝⎭ Ｂ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,13π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭５． 7．(5分)若将函数f （x)=ｓin （２ｘ+）图象上的每一个点都向左平移个单位,得到g(x ）的图象,则函数g(ｘ)的单调递增区间为（ ) A ．[kπ﹣，kπ+](ｋ∈Ｚ）Ｂ.[kπ+,kπ+]（k ∈Z)C.[ｋπ﹣，ｋπ﹣](ｋ∈Ｚ）ﻩD.[ｋπ﹣,ｋπ+］(k ∈Z)６. １１.函数()[]()cos ,x f x xe x ππ=∈-的图象大致是７. ８． 已知函数，则下列结论中正确的是A ． 函数的最小正周期为B ． 函数的图象关于点对称C ． 由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D. 函数在区间上单调递增8. ９． 函数,则函数的导数的图象是( ）A ．B ． Ｃ. ． D.9. 8.（5分）已知函数y ＝Ａsin （ωx +φ)(ω＞０，|φ|<,x ∈R ）的图象如图所示，则该函数的单调减区间是（ )A.［２＋16ｋ，1０＋16k ］(k ∈Ｚ）B.[６＋16ｋ，１４＋1６k ］（ｋ∈Z ） Ｃ．[﹣２+16k ，6＋16ｋ](k ∈Z)ﻩD ．[﹣6+１６k,２+16k ］（ｋ∈Ｚ)1０． ８．已知曲线1215:sin ,:cos 26C y x C y x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，则下列说法正确的是 A ．把1C 上各点横坐标伸长到原来的２倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度,得到曲线2C C.把曲线1C 向右平移3π个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到曲线2C D.把曲线1C 向右平移6π个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到曲线2C 11． １0．函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭(其中e 为自然对数的底数)图象的大致形状是12. 9.已知曲线12:2cos ,:2cos2C y x C y x x ==-,则下面结论正确的是 Ａ.把1C 各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移23π个单位长度,得到曲线C 2B.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移至3π个单位长度，得到曲线C ２C.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度,得到曲线C 2D.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线C 213. １１．现有四个函数①sin y x x =⋅ ②cos y x x =⋅ ③cos y x x =⋅ ④2x y x =⋅的部分图象如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是A.①④②③ ﻩB.①④③② Ｃ.④①②③ﻩ D.③④②①14. 6.已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π,则 A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B.函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C.函数()f x 图象上的所有点向右平移3π个单位长度后,所得的图象关于原点对称 Ｄ．函数()f x 在区间()0,π上单调递增 15. 7.函数()()1cos 0f x x x x x x ππ⎛⎫=--≤≤≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为１6． 1１.已知函数2()2ln ||f x x x =-与()sin()g x x ωϕ=+有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数()g x =（ )A ．πsin π2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.πsin π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.πsin 2x ⎛⎫+π ⎪⎝⎭D ．πsin 2π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭17. 3.已知1sin()3απ+=-,则tan 2απ⎛⎫- ⎪⎝⎭值为( )A.ﻩ B ．-C.4ﻩ ﻩ D.±18. 5.为了得到函数2sin(3)4y x π=+的图象，只需把函数2sin3y x =的图象上所有的点（ )A. 向左平移4π个单位 B. 向左平移12π个单位 C ． 向右平移4π个单位 Ｄ. 向右平移12π个单位19. ６.已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式是( ) A. ()sin(3)3f x x π=+ B ． ()sin(2)3f x x π=+C. ()sin()3f x x π=+ D. ()sin(2)6f x x π=+ 二、填空题1. １4.（5分）已知函数ｆ(x ）=２sin （ϖx +φ）对任意x 都有ｆ(+x ）=f(﹣x)，则｜f （）|= .2. １5．设△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为ａ,ｂ,c ，若ａ=4,Ａ=,B ＝，则△A ＢC 的面积S ＝ ．三、解答题1. 17.(10分)已知点,Ｑ(ｃos ｘ,ｓｉnx ）,O 为坐标原点,函数．（1)求函数f （x)的最小值及此时x 的值;(2）若A 为△ＡB Ｃ的内角,ｆ(A ）＝4,BC=3，求△ＡBC 的周长的最大值．2. 17.(本小题满分１2分)在ABC ∆中,角A ，Ｂ,Ｃ的对边分别为,,,3sin sin a b c a b B C ==，且.(I)求角A 的大小;（Ⅱ)若23a =，角B 的平分线交AC 于点Ｄ,求线段BD 的长度．3． 17．(12分)在△ＡBC 中,角A ，B,Ｃ的对边分别为a ，b,c ，且2cco ｓＢ=2a +b.（1）求角C;（2）若△ＡBC 的面积为,求ab 的最小值.4. 17. 在△中,分别为内角的对边，.(Ⅰ） 求的大小； (Ⅱ） 若,, 求△的面积．5. 1７.（12分）已知△ABC 中，角A ，B,C 所对的边分别为ａ，b ，c ，bsin(B ＋C)＋acos Ａ=0,且c ＝2,sinC=． (1）求证：A ＝+Ｂ;（2）求△ABC 的面积.6. 17．(1２分)在ABC ∆中,角A,B,Ｃ的对边分别为,,,2sin 3.a b c b c B A ==，且 (1)求cos B 的值；（2)若2a ABC =∆，求的面积.7. 1７．(本小题满分1０分)在平面直角坐标系中,O 为原点，()221,0,2cos,sin ,2cos ,22OA OB OC βαα⎛⎫⎛=== ⎪ ⎝⎭⎝)sin ,0ββαπ<<<．（Ｉ）若,AB AC BC ⊥求；(Ⅱ)设()1,1,OD AB AC AD αβ=+=若求，的值.8. 17.（1２分)在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(１）若223cos cos20A A +=,且ABC 为锐角三角形，7a =,6c =,求b 的值;(2)若a =,3A π=，求b c +的取值范围.答案一、选择题1.10．(5分)已知定义在Ｒ上的函数f(x）满足：（1）f(x)+ｆ(2﹣ｘ）=0，(2）f(x ﹣２）=f(﹣x）,（3)在[﹣1,1]上表达式为f（x)=，则函数f（x）与函数ｇ（x）＝的图象区间[﹣3,3］上的交点个数为()A．5B．6ﻩC．7Ｄ．8【分析】由题意可得函数f(x)的图象关于点Ｍ（１，0）对称,又关于直线ｘ＝﹣1对称；再结合g(x)的解析式画出这2个函数区间[﹣3，3］上的图象,数形结合可得它们的图象区间[﹣３，3]上的交点个数.【解答】解：由f(x)+f(2﹣ｘ）=0，可得函数f（x）的图象关于点Ｍ（1,0)对称.由ｆ（x﹣2）=ｆ(﹣ｘ)，可得函数f(x)的图象关于直线ｘ=﹣1对称.又ｆ（x)在[﹣１，１］上表达式为f（x)=,可得函数ｆ（x）在[﹣3，3]上的图象以及函数ｇ(x)＝在[﹣３,３]上的图象，数形结合可得函数f（x)的图象与函数g（x)的图象区间［﹣３，3]上的交点个数为６,故选：Ｂ．【点评】本题主要考查函数的图象的对称性，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．２. 11．（5分）已知函数f（x）=sｉn（ωx+φ)(ω＞0，｜φ|＜）的最小正周期是π,若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象()A.关于直线x＝对称ﻩB.关于直线ｘ=对称C.关于点（,0)对称D.关于点(,0)对称【分析】根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可.【解答】解：∵函数ｆ(x）＝ｓin（ωx+φ)（ω＞0，|φ|＜)的最小正周期是π，∴T==π,解得ω＝２，即f（ｘ)=siｎ（2x+φ),将其图象向右平移个单位后得到y=sin［2(x﹣)＋φ]＝sin（2ｘ+φ﹣)，若此时函数关于原点对称,则φ﹣=kπ，即φ＝+ｋπ，k∈Z,∵｜φ|＜，∴当k＝﹣1时，φ=.即f(x）=sin（2x)．由2ｘ=,解得x＝+,ｋ∈Z,故当k=0时,函数的对称轴为x=，故选：B【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．3. 4．若tanθ+=４，则sin2θ=（)A．Ｂ．ﻩC.ﻩD．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】先利用正弦的二倍角公式变形,然后除以1,将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．【解答】解：sin２θ＝2siｎθcosθ＝===＝。