重庆市南开中学2020级高三数学理科12月月考试卷

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重庆市南开中学2020级高三数学理科12月月考试卷

2020.12.11

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个备选项中,只有一

项是符合题目要求的。 1.已知=-==-==B A x y y B x y x A I 则},1|{,1|{22

( )

A .),1[]1,(+∞--∞Y

B .),1[+∞

C .),0[+∞

D .[0,1]

2.已知点P 分有向线段比为分有向线段则的比为PB A AB ,3

1

( )

A .-4

B .4

C .

4

1 D .4

1- 3.已知b a b a ⋅︒︒=︒︒=则),65sin ,25(sin ),35sin ,55(sin =

( )

A .︒10sin

B .

2

3 C .

21 D .2

1-

4.在等差数列}{n a 中,已知S 3=9,S 9=54,则}{n a 的通项n a 为 ( )

A .33-=n a n

B .n a n 3=

C .2+=n a n

D .1+=n a n

5.给定两个向量x b a b x a b a 则若),()(),1,2(),4,3(-⊥+==的值等于 ( )

A .-3

B .

2

3 C .3

D .2

3-

6.已知函数,2sin )cos (sin 2)(x x x x f ++=则)(x f 值域为

( )

A .]2,2[-

B .]221,2[--

C .]221,2[+-

D .]221,221[+- 7.若=+=-=+)4

tan(,41)4tan(,52)tan(πβπαβα则 ( )

A .

18

3 B .1813 C .22

3

D .

22

13

8.要得到函数1)4

2cos(+-

x y 的图象,只需将函数x y sin =的图象作下列变换,其中正确

的变换是

( )

A .先纵坐标不变,横坐标缩短原来的

,21再按向量(1,8

π

-)平移

B .先纵坐标不变,横坐标缩短原来的

,21再按向量(1,4

π

)平移 C .先按向量(1,4

π

)平移,再纵坐标不变,横坐标缩短原来的,21

D .先按向量(1,8π-)平移,再纵坐标不变,横坐标缩短原来的,2

1

9.函数)2cos 2(sin log 5.0x x y +=的单调递增区间为( )

(其中Z k ∈) A .)83,4(π

ππ

π+

+

k k

B .)83,8(π

ππ

π+

+

k k

C .)8

5,8(π

πππ++k k

D .)8

3,8(π

πππ+-k k

10.已知点O 为ABC ∆的外心,且2||4==AB AC ,则 )(AB AC AO -⋅等于( )

A .2

B .4

C .6

D .8

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在答题卡相应位置上。 11.已知)4,3(=a ,则与a 共线的单位向量为 12.等比数列}{n a 中,,50,07364=+>a a a a a n 则=5a 13.若向量b a ,的夹角为30°,,4||,3||==b a 则=-|2|b a 。

14.已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示,则=)(x f 15.在ABC ∆中,,B A >则下列不等式中正确的序号为 。(将你认为正确的都填上) ①B A sin sin >

②B A cos cos <

③B A 2sin 2sin > ④B A 2cos 2cos <

16.物理学中,我们通常用“沙摆实验”来研究简谐震动,

如图所未,在一次实验中,我们以速度v 0匀速拖动木 板,细纱在木板上形成的图象刚好是函数x y cos =在

[)+∞,0上的图象,现保持其它实验条件不变,以初速

度v 0,加速度a 匀加速拖动木板,则细纱在木板上开 成的图象的函数解析式为

三、解答题:本大题共6小题,共76分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(13分)平面内给定三个向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a

(1)求|223|c b a -+

(2)若),2//()(b a c k a -+求实数k 的值

18.(13分)△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,︒==

60,7A a ,b+c=5且b

求:b ,c 及sin C

19.(12分)已知函数).(2sin 3cos 2)(2

R a a x x x f ∈++=

(1)若)(,x f R x 求∈的单调递增区间; (2)若)(,]2

,0[x f x 时π

∈的最大值为4,求a 的值,并指出这时x 的值。

20.(12分)某港口水的深度y (米)是时间)(,):,240(t f y t t =≤≤记作的函数时单位,下

经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数b t A y +=ωsin 的图象。 (Ⅰ)试根据以上数据,求出函数)(t f y =的近似表达式;

(Ⅱ)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船

舶停靠时,船底只需下碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)。

21.(12分)已知c x x f +=2

)((c 为实常数)且)1()]([2

+=x f x f f ,其图象和y 轴交于A

点;数列}{n a 为公差为d (d >0)的等差数列,且a 1=d ;点列B i (a i ,f (a i ))

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