重庆市南开中学2020级高三数学理科12月月考试卷
重庆南开中学2020学年度高2020级高三数学理科半期考试卷
重庆南开中学2020学年度高2020级半期考试数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共50分） 1．已知函数xx f -=21)(，其图象是下图中的 （ ）2．不等式0)3)(2)(1(2>+-+x x x 的解集是 （ ）A ．}21|{<<-x xB ．φC ．RD ．}12|{-<>x x x 或3．若1||||,>+∈b a R b a ，则使成立的充分不必要条件是（ ） A ．1||≥+b a B ．21||21||≥≥b a 且C ．1||≥aD ．b<－14．若△ABC 的内角A 满足sinA+cosA>0, tanA －sinA<0，则角A 的取值范围是 （ ）A ．)4,0(π B ．)1,0[ C ．)43,2(ππ D ．),4(ππ5．已知b a ,是非零向量且满足b a b a b a b a 与，则⊥-⊥-)2(,)2(的夹角是 （ ）A ．6πB ．3π C ．32π D ．65π 6．数列1，n ++++++ΛΛ211,,3211,211的前n 项和为 （ ）A ．122+n nB ．12+n nC ．12++n nD ．12+n n7．在直线y=－2上有一点P ，它到点A （－3，1）和点B （5，－1）的距离之和最小，则点P 的坐标是 （ ）A ．（3，－2）B ．（1，－2）C ．（419，－2） D ．（9，－2） 8．实数x ，y 满足不等式1102200+-=⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥x y y x y x y ω，则的取值范围是（ ）A ．[－1，31] B ．]31,21[-C ．),21[+∞-D ．)1,21[-9．对于0<a<1，给出下列四个不等式：（1）)11(log )1(log aa a a +<+ （2）a a aa a a a a a aaa 111111)4(;)3();11(log )1(log ++++><+>+其中成立的是 （ ）A ．（1）和（3）B ．（1）和（4）C ．（2）和（3）D ．（2）和（4）10．已知xy y x N y x ，则，且19939319*,≤+∈的最大值是 （ ）A ．559B ．560C ．561D ．562二、填空题（每题4分，共24分）11．函数)23(log 221+-=x x y 的递增区间为12．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项是1，公比为3的等比数列，则a n = 13．函数]2,0[|,sin |3sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线y=m 有且仅有两个不同的交点，则m 的取值范围是14．已知圆的方程为1)1(22=++y x ，如果直线0=++a y x 与该圆无公共点，那么实数a 的取值范围是15．方程6log 71)sin(21<<--=x x 在π的条件下解有 个.16．点O 在△ABC 内部，且满足22=++，则△ABC 面积与凹四边形ABOC的面积之比为三、解答题（共76分） 17．（13分）解关于x 的不等式：)0(,113)1(><--+a x x a18．（13分）圆822=+y x 内一点P （－1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A ，B 两点.（1）求当43πα=时，弦AB 的长； （2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.19．（13分）已知△ABC 的面积为3， 且满足60≤⋅≤AC AB ，设AC AB 和的夹角θ. （1）求θ的取值范围； （2）求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的最大值与最小值.20．（13分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，na n+1=S n +n （n+1）（n *N ∈）. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设n nn s b 2=，如果对一切正整数n 都有t b n ≤，求t 的最小值.21．（12分）在沙坪坝交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离m （米）与车速v （千米/小时）须遵守的关系是225001kv m ≥（其中k （米）是车身长，常数），同时规定.2k m ≥ （1）当m=2k时，求机动车的速度变化范围； （2）设机动车每小时流量2250011000kv m m k v P =+=，此时，应规定怎样的车速，每小时的机动车流量P 最大？22．（12分）数列{a n }，a 1=1，*)(3221N n n n a a n n ∈+-=+，（1）求a 2，a 3的值；（2）是否存在常数μλ,，使得数列}{2n n a n μλ++是等比数列，若存在，求出μλ,的值；若不存在，说明理由；（3）设n n n n n b b b b S n a b ++++=-+=-Λ3211,21， 证明：当.35)12)(1(62<<++≥n S n n n n 时，参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1—5 BADCB 6—10 BADDC 选解：10．22)21993()29319(9319*,≤+≤⋅⇒∈y x y x N y x 561*,561]93195.996[93195.99622≤⇒∈=⨯⨯≤∴xy N y x xy ，又，而而561=3×11×17=33×17=51×11，20,100≤≤y x⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴115111511733y x y x y x ，经检验或满足题意，故5611151=⨯=xy 二、填空题（每小题4分，共16分） 11．（2，4） 12．)1,(-∞ 13．)13(21-n14．),21()21,(+∞+--∞Y 15．64 16．5:4三、解答题（共74分） 17．解：0)1)(2(012113)1(<--⇔<--⇔<--+x ax x ax x x a①当，时，1220><<a a 不等式的解为)2,1(ax ∈ ②当a=2时，a 2=1，不等式的解集为φ； ③当a>2时，a 2<1，不等式的解为)1,2(ax ∈时综上，不等式的解为：①0<a<2时，)2,1(a x ∈；②a=2时，φ∈x ；③a>2时，)1,2(ax ∈.18．解：（1）当43πα=时，直线AB 方程为：01=-+y x ，圆心到直线AB 的距离为222|100|=-+，∴弦AB 的长为：30)22(822=-（2）当弦AB 被点P 平分时，PO ⊥AB ，直线l 的斜率为21，其方程为052=+-y x 19．解：（1）设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 则由，，可得，1cot 06cos 03sin 21≤≤≤≤=θθθbc bc ∴]2,4[ππθ∈ （2）θθπθθπθ2cos 3)]22cos(1[2cos 3)4(sin 2)(2-+-=-+=f .1)32sin(212cos 32sin 2cos 3)2sin 1(+-=+-=-+=πθθθθθ31)32sin(22],32,6[32]2,4[≤+-≤∴∈-∈πθπππθππθ，Θ 即当.2)(4;3)(125min max ====θπθθπθf f 时，当时，20．解：（1）由 )1()1( )1(11n n S a n n n s na n n n n -+=-⇒++=-+两式作差得：2n;2,2 2111=∴=+=+=++n n n n n a a a a n na na ，又即 （2）由（1）易得n n n n n n n S b n n S 2)1(2)1(+==⇒+=， ∴112)2)(1(-+-+=-n n n n n b b ∴b 1<b 2=b 3>b 4>……，∴b n 最大值23,32即b b ，对一切正整数n 都有，t b n ≤即t 大于或等于b n 的最大值，∴t 的最小值是23. 21．解（1）2252500122≤∴≥=Θv kv k m ，故当22502≤<=v km 时，（千米/小时） （2）当231000225k vP v =≤时，P 是v 的一次函数，v=225，P 最大为k3250000，当k v v k kvk v P v 25000|25001|1000250010002252≤+=+=>时，， 当且仅当v=50时，P 最大为k25000， kk 325000025000>Θ∴当v=50（千米/小时）时，每小时机动车流量P 最大. 22．解：（1）10,432==a a（2）设)(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n μλμλ++=+++++-=++可化为，即 μλλμλ---++=+n n a a n n )2(221故 ⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=110321μλμλλμλ解得∴)(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n +-=+++-+-=++可化为 又1,1 01121=-=≠+-μλ故存在a 使得数列 }{2n n a n μλ++是等比数列 （3）证明：由（1）得12122)11(-⋅+-=+-n n a n n a ∴n n a n n -+=-212故21121n n a b n n n =-+=-∵122122144441222+--=-<==n n n n n b n ∴)122122()7252()5232(12321+--++-+-+<++++=≥n n L b L b b b S n n n 时，35122321<+-+=n 现证)2()12)(1(6≥++>n n n nS n当n=2时，5445545312)12)(1(64541121>=⨯=++=+=+=，，而n n n b b S n ， 故n=2时不等式成立， 当111)1(1132+-=+>=≥n n n n n b n n 时，由得 1261 6121111 )111()4131()3121()211(321+>>++=+-=+-+Λ+-+-+->+Λ+++=n n n n n n n b b b b S n n 得，且由∵)12)(1(61++>+>n n n n n S n。
【精准解析】天津市南开中学2020届高三上学期12月月考数学试题+Word版含解析
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高中学习讲义
y f (x) ax b 最多一个零点；
当 x 0 时， y f (x) ax b 1 x3 1 (a 1)x2 ax ax b 1 x3 1 (a 1)x2 b ，
32
32
y x2 (a 1)x ，
当 a 1 0 ，即 a 1时，y 0 ，y f (x) ax b 在[0 ，) 上递增，y f (x) ax b 最
当 x 0 时， f x x ln x 2x ， f ' x ln x 1，当 x e 时， f ' x 0 ，则当 x 0, e
时， f ' x 0 ， f x 单减，当 x e, 时， f ' x 0 ， f x 单增；
当 x 0 时， f x x2 3 x ， f ' x 2x 3 ，当 x 3 ， f ' x 0 当 x 3 时， f x
1 2
,1
B.
1 2
,
3 4
C.
1 3
,1
D.
1 2
,
2
【答案】A 【解析】
【分析】
可将问题转化，求直线 y kx 1关于直线 y 1的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，
结合函数图像，分析临界点，进一步确定 k 的取值范围即可
【详解】可求得直线 y kx 1关于直线 y 1的对称直线为 y mx 1 m k ，
ab 0 即 ab a b 0
故选 B. 点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．
2.设 f x 是定义域为 R 的偶函数，且在 0, 单调递减，则（ ）
A.
f
log3
1 4
2020届高三12月月考数学(理)试题+参考答案
2020届高三12月月考数学试卷(理科)说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（3）页，第Ⅱ卷第（4）页至第（6）页。
2、本试卷共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。
答题卡不要折叠2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。
答在试卷上无效。
3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}2|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则 ( )A ．M N ⋂=∅B ．M N M ⋂=C ．M N M ⋃=D ．M N R =U2． “”是“方程表示双曲线”的 （ )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．正项等差数列{}n a 中的11a ，4027a 是函数()3214433f x x x x =-+-的极值点，则20192log a =( ) A ．2B ．3C ．4D ．54．函数1sin cos (0)y x a x a =+>的图象是由函数25sin 5cos y x x =+的图像向左平移ϕ个单位得到的，则cos ϕ=（ ）A ．35B ．45C 32D 225．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是 （ ）A ．获得A 等级的人数减少了B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同6．设()0sin cos a x x dx π=+⎰，且21nx ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是 （ ） A ．1 B ．1256 C ．64 D ．1647．直线(1)(2)0()x y R λλλλ+-++=∈恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则21m n+的最小值为 （ ） A ．22B ．4C ．52D ．928．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是 ( )A ．2+43B ．13+2C ．2+83D ．4+839．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是 （ ）A ．3B ．5C ．7D ．910．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A ，B 分别为()f x 图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB ∆为锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A ．30,2π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．3,22ππ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，x R ∀∈，有3()()f x f x x --=，在(0,)+∞上有22'()30f x x ->，若2(2)()364f m f m m m --≥-+-，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[1,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞U12．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61i i i x f x =∑的取值范围是()0,6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知34a b R a ib i i+=+∈，（，）其中i 为虚数单位，则a bi +=________； 14．已知数列{}n a的首项11a =，且满足11(2)n n n n a a a a n ---=≥，则122320142015a a a a a a +++=L ；15．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE V 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90°． 其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2cos 2()3f x x x x R π⎛⎫=--∈⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3()2B f =-，1b =，3c =，且a b >，试求角B 和角C .18．（本小题满分10分）如图，在PBE △中，AB PE ⊥，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =，122AB AP AE ===，将PBA ∆沿AB 折起使得二面角P AB E --是直二面角． （l ）求证：CD 平面PAB ；（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正切值．19．（本小题满分10分）2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．20．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率2e=．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m=+：与椭圆G交于A B，两点，直线2212l y kx m m m=+≠：（）与椭圆G交于C D，两点，且AB CD=，如图所示．①证明：120m m+=；②求四边形ABCD的面积S的最大值．21．（本小题满分10分）已知函数()22,02,0xx xf x xax ax xe⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数．()1求实数a的值；()2若函数()()g x f x kx=-有三个零点，求实数k的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos3xyαα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2sin42πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点()1,0P-，直线l和曲线C交于,A B两点，求||||PA PB+的值．23．已知函数()()210f x x a x a=++->.（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.（数学理）1-5 BDCBB 6-10 DDADB 11.B 12 BCD13.5 14. 15. ①② 16. 4 317【解析】（1）233()cos2cos2sin2cos23sin23223f x x x x x xππ⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q，令222,232k x k k Zπππππ--+∈剟，解得5,1212k x k k Zππππ-+∈剟∴故函数()f x的递增区间为5,()1212k k kππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z.（2）313sin,sin2332Bf B Bππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-∴-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，20,,,333366B B B Bπππππππ<<∴-<-<∴-=-=Q即，由正弦定理得：13sin sinsin6aA Cπ==，3sin2C∴=，0Cπ<<Q，3Cπ∴=或23π.当3cπ=时，2Aπ=：当23Cπ=时，6Aπ=（不合题意，舍）所以,63B Cππ==.18．如图，在PBE△中，AB PE⊥，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且5AC=，122AB AP AE===，将PBAV沿AB折起使得二面角P AB E--是直二面角．（l）求证：CD平面PAB；（2）求直线PE与平面PCD所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析.（2）13.【解析】分析：（1）推导出4,AE AC =是Rt ABE ∆的斜边上的中线，从而C 是BE 的中点，由此能证明//CD 平面PAB ；（2）三棱锥E PAC -的体积为E PAC P ACE V V --=，由此能求出结果．详解：（1）因为122AE =，所以4AE =，又2AB =，AB PE ⊥， 所以22222425BE AB AE =+=+=，又因为152AC BE ==， 所以AC 是Rt ABE n 的斜边BE 上的中线，所以C 是BE 的中点，又因为D 是AE 的中点．所以CD 是ABE n 的中位线，所以CD AB n ， 又因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD n 平面PAB ．（2）据题设分析知，AB ，AE ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为122AB AP AE ===，且C ，D 分别是BE ，AE 的中点， 所以4AE =，2AD =，所以()040E n n ，()120C n n ，()002P n n ，()020D n n ，所以()042PE =-u u n v n u ，()122PC =-u u n v n u ，()100CD =-u u n vn u ， 设平面PCD 的一个法向量为()n x y z '''=n n ，则00n CD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ，即0220x x y z ''''-=⎧⎨+-=⎩，所以0x z y =⎧⎨='''⎩，令1y '=，则()011n =n n ，设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10sin 10PE n PE nθ⋅==⋅u u u v u u u v ． 故直线PE 与平面PCD 所成角的正切值为13．19．2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．【答案】(1) 2532 (2) 最高费用为350万元．对应13p =．（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()2233331C p p C p -+， 一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()2213111C p p p ⎡⎤---⎣⎦， 所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为()()()()22223313331111f p C p p C p C p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦()()()2223313111p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+．∴12p =时，125232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为2532． （2）设每篇学术论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500．()()21315001P X C p p ==-，()()21390011P X C p p ==--，所以()()()()2221133900111500190018001E X C p p C p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦． 令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--．当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 所以()g p 的最大值为14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以评审最高费用为44300090018001035027-⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭（万元）．对应13p =．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1（﹣1，0），离心率22e =． （1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m =+： 与椭圆G 交于 A B ， 两点，直线2212l y kx m m m =+≠：（）与椭圆G 交于C D ， 两点，且AB CD = ，如图所示．①证明：120m m += ；②求四边形ABCD 的面积S 的最大值． （1）设椭圆G 的方程为（a ＞b ＞0）∵左焦点为F 1（﹣1，0），离心率e =．∴c =1，a =，b 2=a 2﹣c 2=1椭圆G 的标准方程为：．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）①证明：由消去y 得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12﹣2=0 ，x 1+x 2=，x 1x 2=；|AB |==2；同理|CD |=2，由|AB |=|CD |得2=2，∵m 1≠m 2，∴m 1+m 2=0②四边形ABCD 是平行四边形，设AB ，CD 间的距离d =∵m 1+m 2=0，∴∴s =|AB |×d =2×=.所以当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为221．已知函数()22,02,0x x x f x x ax ax x e⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数． ()1求实数a 的值；()2若函数()()g x f x kx =-有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）12a e =；（2）ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭解：()1当0x <时，()2f x x =-是增函数，且()()00f x f <=，故当0x ≥时，()f x 为增函数，即()'0f x ≥恒成立，当0x ≥时，函数的导数()()()211'2221120()x x x xx e xe x f x ax a a x x a e e e --⎛⎫=+-=+-=--≥ ⎪⎝⎭恒成立，当1x ≥时，10x -≤，此时相应120x a e -≤恒成立，即12x a e ≥恒成立，即max 112()x a e e≥=恒成立，当01x ≤<时，10x ->，此时相应120x a e -≥恒成立，即12x a e ≤恒成立，即12a e ≤恒成立， 则12a e =，即12a e=． ()2若0k ≤，则()g x 在R 上是增函数，此时()g x 最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件． 故0k >，当0x <时，()2g x x kx =--有一个零点k -，当0x =时，()()0000g f =-=，故0也是故()g x 的一个零点， 故当0x >时， ()g x 有且只有一个零点，即()0g x =有且只有一个解，即202x x x x kx e e e +--=，得22x x x xkx e e e+-=，(0)x >， 则112x x k e e e=+-，在0x >时有且只有一个根， 即y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点，()11'2x h x e e=-+，由()'0h x >得1102x e e -+>，即112x e e <得2x e e >，得ln21ln2x e >=+，此时函数递增，由()'0h x <得1102x e e -+<，即112x e e>得2x e e <，得0ln21ln2x e <<=+，此时函数递减，即当1ln2x =+时，函数取得极小值，此时极小值为()1ln211ln211ln22h e e e+++=+- ln211ln2111ln21ln2222222e e e e e e e e e e=++-=++-=⋅， ()110101h e e=+-=-，作出()h x 的图象如图，要使y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点， 则ln22k e =或11k e≥-， 即实数k 的取值范围是ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．【答案】（1）22193x y +=，10x y -+=；（266（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=. 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.（2）由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+402t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||t t -==. 23．已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）()5,+∞（1）当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞U . 又0a >，所以5a >， 综上，a 的取值范围为()5,+∞.。
重庆市南开中学高2020级高三下学期期中考试数学(理)试题及答案
重庆南开中学高2020级高三下学期期中考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知()(2)a i i +-为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1 2．已知集合{1,2,3}A =，{|,}B a b a A b A =+∈∈，则集合B 的子集个数为（ ） A ．8B ．16C ．32D ．643．已知曲线2()ln f x a x x =+在点(1,1)处的切线与直线0x y +=平行，则实数a 的值为（ ） A ．3-B ．1C ．2D ．34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若612S =，25a =，则5a =（ ） A ．3- B ．1- C ．1D ．35．已知0.31.2a =，0,3log 1.2b =， 1.2log 3c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最．长的棱长为（ ）A ．1B 5C 6D ．227．函数2()sin cos cos 22f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0D ．128．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，,A B 是抛物线C 上两点，且||||10AF BF +=，O 为坐标原点，若OAB △的重心为F ，则p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．执行如图所示的程序框图，若输入的3ε=，则输出的结果为（ ）A ．511B ．1022C ．1023D ．204610．我们知道，在n 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(,)B n p ，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显1()(1)k P Y k p p -==-，1,2,3k =，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1()E Y p=．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A 和A 都发生后停止此时所进行的试验次数记为Z ，则11()(1)(1)k k P Z k p p p p --==-+-，2,3k =，…，那么()E Z =（ ）A ．11(1)p p -- B ．21p C ．11(1)p p +- D ．21(1)p -1l ．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的两支分别交于,A B 两点，290AF B ∠=︒，||4AB a =，则双曲线C 的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D ．32212．已知,,,A B C D 四点均在半径为R （R 为常数）的球O 的球面上运动，且AB AC =，AB AC ⊥，AD BC ⊥，若四面体ABCD 的体积的最大值为16，则球O 的表面积为（ ）A ．32πB ．2πC ．94πD ．83π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知,a b r r 均为单位向量，且(3)(2)a b a b +⊥-r r r r ，则向量a r 与b r夹角的余弦值为______．14．已知()*nx n N x ⎛-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为_____．15．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，122AA =，D 为棱11A B 的中点，则异面直线AD 与1CB 所成角的大小为______．16．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时1||()2x f x e-=-，则关于函数()f x 有如下四个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③方程()1||f x x =-有两个不等实根；④12223f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；其中所有正确结论的编号______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答微博橙子辅导． （一）必考题：共60分． 17．如图，在ABC △中，1sin 3B =，点D 在边AB 上．（1）若sin()1C A -=，求sin A 的值；（2）若90CDA ∠=︒，4BD DA =，求sin ACB ∠的值．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AB CD P ，且22CD AB ==，22BC =90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30︒，求直线PC 与平面PDM 成角的正弦值．19．新型冠状病毒肺炎19COVID -疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家在疫情发生初期，由于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．下表是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染确诊之日开始，微博橙子辅导连续⑧天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数． 日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 累计确诊人数y481631517197122为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①$2y bx a =+，②$y dx c =+对变量x 和y 的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差$i i i e y y =-）， 且经过计算得()()()8182117.3iii i i xxy y x x==--≈-∑∑，()()()818211.9iii i i zzy y z z==--≈-∑∑，其中2i i z x =，8118i i z z ==∑．（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由； （2）根据（1）中选定的模型求出相应的回归方程；（3）如果第9天该国仍未釆取有效的防疫措施，试根据（2）中所求的回归方程估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()() ()81821ˆi iiiix x y ybx x==--=-∑∑，$a y bx=-$．20．已知函数()3(1)lnf x x a x=-+，2()4g x x ax=-+．（1）若函数()()y f x g x=+在其定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数()()y f x g x=-的图像与x轴相切？若存在，求满足条件的a的个数，请说明理由．21．已知椭圆2222:1(0)x ya ba bΓ+=>>的离心率为22，过椭圆Γ的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆Γ2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点,A B均在椭圆Γ上，点C在抛物线212y x=上，若ABC△的重心为坐标原点O，且ABC△的面积为364，求点C的坐标．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为sin24πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭C的极坐标方程为2sin cosρθθ=．（1）写出直线l和曲线C的的直角坐标方程；（2）过动点()()20000,P x y y x<且平行于l的直线交曲线C于,A B两点，若||||2PA PB⋅=，求动点P 到直线l 的最近距离． 23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|1||1|2|2|f x x x x =++---．（1）若关于x 的不等式()f x a …有解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()||4f x x b --…对任意x R ∈成立，求实数b 的取值范围．重庆南开中学高2020级高三下学期期中考试数学（理科）答案一、选择题B C A B D C A D B A B C 二、填空题15560 30︒ ①②③ 三、解答题17．解：（1）由sin()1C A -=得2C A π-=，1sin sin()sin 2cos223B A C A A π⎛⎫=+=+== ⎪⎝⎭，由2112sin 3A -=得sin A =；（2）设4DB m =，DA m =，由1sin 3B =得CD =，BC =，AC = ABC △中，sin sin AC ABB ACB=∠，sin ACB ∠=．18．证明：（1）易知：tan tan 1CD BM DMC MAB DMC MAB CM BA ==⇒∠=∠⇒∠=∠， 90DMC AMB DM AM ∴∠+∠=⇒⊥︒①又PA ⊥Q 平面ABCD PA DM ⇒⊥② ∴由①②可得DM ⊥平面PAM ⇒平面PAM ⊥平面PDM ；（2）由（1）知二面角P MD A --的平面角即为30PMA ∠=︒，13PA MA ∴==． 取CD 中的N ，连接AN ，易得AN CD ⊥，∴直线PA NA BA 、、两两垂直， 以A 为原点，AN AB AP 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,1)P，1,0)D -，C，M，(1,1)CP =--u u ur 2,0)MD =-u u u ur (1,1)MP =-u u u r，设平面PMD 的法向量为(,,)m x y z =u r，则由0m MP m m MD ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u r u u u u r，设直线PC 与平面PMD 所成角为θ，则sin 30||||CP m CP m θ⋅===⋅u u u r u r u u u r u r ，∴直线PC 与平面PMD所成角的正弦值为30． 19解：（1）选择模型①．理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好；（2）由（1），知y 关于x 的回归方程为$2y bx a =+，令2z x =，则$y bz a =+，由题知 1.9b ≈$， 又1(1491625364964)25.58z =+++++++=，1(481631517197122)508y =+++++++=，$ 1.55a y bz ∴=-≈$，y ∴关于x 的回归方程为$21.9 1.55y x =+；（3）估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为$21.99 1.55155.45155y =⨯+=≈（人）．20．解：（1）1()()32a y f x g x y x a x+'=+⇒=-+-，由()()y f x g x =+单增得0y '≥恒成立，分离参数得2132321111x x x x a x x+-+-≤=++恒成立，令2321()1x x m x x +-=+，(0)x >，则22244()(1)x x m x x ++'=+，()0m x '∴>，()m x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)1m x m >=-，1a ∴≤-；（2）设2()()()3(1)ln 4n x f x g x x a x x ax =-=-+-+-，则1()32a n x x a x+'=--+， 设函数()y n x =的图像与x 轴相切于0x x =处，则()()2000000003(1)ln 401320n x x a x x ax a n x x a x ⎧=-+-+-=⎪+⎨'=--+=⎪⎩①②由②得：[]000002(1)(1)13201x a x a x a x x x -+-+--+=-=⇒=或012a x +=，当01x =时，由①得：2a =③；当012a x +=时，由①得：2000022ln 40x x x x ---=，令2()22ln 4h x x x x x =+--，则：()2(ln )h x x x '=-，2(1)()x h x x-''=， ()h x '∴在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，min ()(1)20h x h '==>， ()h x ∴在(0,)+∞单调递增，又(1)50h =-<Q ，()()222640h e e e =-->， ()0h x ∴=只有一解0x ，且()201,x e ∈，()20211,21a x e =-∈-④，由③④可知：满足条件的实数a 有两个：12a =，()221,21a e ∈-．21解：（1）由题意易知：2212a a b b a=⎧=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩椭圆22:12x y Γ+=； （2）()22222122202:x y m y mty t AB x my t⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩设，()22820m t ∆=-+>①设()11,A x y ，()22,B x y ，则由题知()12222C mty y y m ∴=-+=+，()()12122422C tx x x m y y t m -=-+=-++=⎡⎤⎣⎦+ 由C 点在抛物线212y x =上得：2222214222221mt t m m m t -⎛⎫=⋅⇒=- ⎪+++⎝⎭②12t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭ ()()()12211221123333222ABC ABO S S x y x y my t y my t y t y y ==-=+-+=+△△==⇒=③ 将②代入③整理得：2[(21)]4(21)301t t t t t +-++=⇒=-或32-，相应的22m =或1，所以1,2C ⎛⎫±⎪⎝⎭或(2,1)C ±． 22．解：（1）直线:2l y x =+，曲线2:C y x =；（2）过P 平行于l 的直线的参数方程为002222x x t y y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 联立曲线2:C y x =得：22000122022t y t y x ⎛⎫+-+-= ⎪⎭，001220(*)2x y ∆=-+>，所以()22212000000||||2221PA PB t t y x x y y x ⋅==-=-=⇒=-，∴点P 的到直线l 的距离：2000032112822y y x y d -+-+==≥， 当005412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（满足(*)式）时取“=”∴点P 的到直线l 的最近距离为1128．23．解，（1）4,244,12()22,114,1x x x f x x x x ≥⎧⎪-≤<⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎩min ()4f x ∴=-，即4a ≥-（2）由（1）可得()y f x =的图象如下要使()||4f x x b ≤--恒成立，当函数||4y x b =--的一段经过点(2,4)时满足要求， 此时6b =-，结合图象可知，当6b ≤-时满足条件．。
重庆市南开中学2020届高三数学第三次教学质量检测考试试题 理(含解析)
重庆南开中学2020届高三第三次教学质量检测考试数学（理科）2020.4第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数为的形式即可．【详解】复数．故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A和B,再求得解.【详解】由题得A=[-4,1]，B=(0,1 ],所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.等差数列的前7项和为28，，则（）A. 6B. 7C. 9D. 14【答案】A【解析】【分析】先根据已知得到关于的方程组，解方程组得的值，再求的值.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. B. 1 C. 2 D. -8【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出a,b,再由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得，所以.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 42B. 45C. 46D. 48【答案】C【解析】【分析】先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM-CDGF,所以该几何体的体积为.故选：C【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为（）附：若，则；；A. 0.6826B. 0.8413C. 0.8185D. 0.9544 【答案】C【解析】【分析】先计算出和，再求果实横径在的概率.【详解】由题得=5，由题得，所以，由题得，所以，所以P(85＜X＜90=，所以果实横径在的概率为+0.1359=0.8185.故选：C【点睛】本题主要考查正态分布，考查指定区间概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.设，满足约束条件，则的最小值是（）A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式组对应的可行域为如图所示的△ABC,由题得y=-2x+z,当直线经过点A时，直线的纵截距最小，z最小.联立得A(1,2),所以的最小值是2×1+2=4.故选：A【点睛】本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.8.如图，给出的是求的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知中程序的功能是计算的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出进行循环体的条件，进而得到答案．【详解】模拟程序的运行，可知程序的功能是计算的值，即，时，进入循环，当时，退出循环，则判断框内填入的条件是．故选：．【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，属于基础题．9.记，则（）A. 81B. 365C. 481D. 728 【答案】B【解析】【分析】令x=0得求出的值，令x=-2得的值，再求的值.【详解】令x=0得1=，令x=-2得，所以.故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的系数和求值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.已知函数的最小正周期为，且是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据最小正周期为，可得的值，一条对称轴是建立关系即可求解．【详解】由题得函数，其中．最小正周期为，即．那么．一条对称轴是，可得：则．即．．的最大值为．故选：．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对x分三种情况讨论，当x∈（0,1时，求得；当x∈时，求得；当x∈时，求得a≥3，综合即得解.【详解】由题得，取特值代入上面的不等式得a≥3，所以，（1）在x∈（0,1上，0＜x≤1＜，恒有a≤3+2x-lnx成立，记g(x)=2x-lnx+3(0＜x≤1）所以，所以所以.(2)在x∈上，，恒有，所以x∈上恒成立，又在x∈上，的最小值为5，所以.(3)在x∈时，x≥，恒有.综上.故选:C【点睛】本题主要考查分段函数和不等式的恒成立问题，考查绝对值不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A. -2B. 1C. 4D.【答案】B【解析】【分析】由题可设A，其中a>0,d＜0.根据得，再利用平面向量的数量积运算化简得解.【详解】由题可设A，其中a>0,d＜0.又焦点F(1,0)，所以|FD|=1+，所以|AB|=|FA|-|OB|=，由题得.所以，所以1.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和定义，考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13.已知向量，且，则实数__________．【答案】-2【解析】14.已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为R,由题得=-f(x),所以函数f（x）是奇函数，因为，所以函数f(x)是定义域上的增函数，所以=f(x-4),所以2x+1＜x-4,所以x＜-5.故答案：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.在正三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.再解三角形利用余弦定理求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.由题得,在△中，由余弦定理得.所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，考查空间几何体的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16.在正项递增等比数列中，，记，，则使得成立的最大正整数为__________．【答案】9【解析】【分析】先化简得，再根据得到，再解不等式得解.【详解】由题得，因为数列是正项递增等比数,所以，所以.因为，所以，所以.所以使得成立的最大正整数为9.故答案为：9【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和，考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）求角；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简即得；（2）由正弦定理得，再结合余弦定理可得.【详解】解：（1）由正弦定理得：，又，，得.（2）由正弦定理得：，又由余弦定理：，代入，可得.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.随着电子商务的兴起，网上销售为人们带来了诸多便利.商务部预计，到2020年，网络销售占比将达到.网购的发展同时促进了快递业的发展，现有甲、乙两个快递公司，每位打包工平均每天打包数量在范围内.为扩展业务，现招聘打包工.两公司提供的工资方案如下：甲公司打包工每天基础工资64元，且每天每打包一件快递另赚1元；乙公司打包工无基础工资，如果每天打包量不超过240件，则每打包一件快递可赚1.2元；如果当天打包量超过240件，则超出的部分每件赚1.8元.下图为随机抽取的打包工每天需要打包数量的频率分布直方图，以打包量的频率作为各打包量发生的概率.（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）.（1）（i）以每天打包量为自变量，写出乙公司打包工的收入函数；（ii）若打包工小李是乙公司员工，求小李一天收入不低于324元的概率；（2）某打包工在甲、乙两个快递公司中选择一个公司工作，如果仅从日平均收入的角度考虑，请利用所学的统计学知识为该打包工作出选择，并说明理由.【答案】（1）（i）；（ii）0.4；（2）建议该打包工去甲快递公司工作.【解析】【分析】（1）（i）乙公司打包工的收入函数；（ii）由，解得，再求小李一天收入不低于324元的概率；（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，先列出打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况表，再求，，比较它们的大小即得解.【详解】解：（1）（i）当时，y=1.2x当时，y=12×240+(x-240)×1.8=1.8x-144所以，（ii）由，解得，∴小李一天收入不低于324元的概率为.（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，用频率估计概率，则打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况为故，.因为，故从日平均收入的角度考虑，建议该打包工去甲快递公司工作.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查平均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知，是椭圆：上两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，为椭圆上一动点，点，线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）代点A,B的坐标到椭圆的方程，得到关于a,b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设坐标为，求出，再利用基本不等式求得的最小值为.【详解】解：（1）代入，两点：，，，所以椭圆的标准方程为：.（2）设坐标为，则①线段的中点，，所以：.令，并结合①式得，，当且仅当，时取等，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的最值问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，顶点在底面的射影恰好是菱形对角线的交点，且，，，，其中.（1）当时，求证：；（2）当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明面，再证明；（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，由与面所成角的正弦值为得到.再利用向量法求二面角的余弦值.【详解】解：（1）∵顶点在底面的射影是，∴面，由面，∴.∵，，，连，∴，，，，∴，则，∴.由，，∴面，由面，∴，∵菱形，，∴.（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，∵，则，∴.∵，则，∴，设面的法向量为，由，解得.由与面所成角的正弦值为，即有，解得.设面的法向量为，由，解得.∴二面角的余弦值.【点睛】本题主要考查空间几何元素的垂直关系，考查空间线面角和二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数，其中.（1）若函数仅在处取得极值，求实数的取值范围；（2）若函数有三个极值点，，，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)，因为仅在处取得极值，则.再对a 分类讨论，利用数形结合分析得到a的取值范围；(2)由题得，由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，再利用分析法证明.【详解】解：（1）由，得，由仅在处取得极值，则，即.令，则，当单调递减，单调递增，则，∴当时，，此时仅一个零点，则仅一个为极值点，当时，与在同一处取得零点，此时，，，，∴仅一个零点，则仅一个为极值点，所以a=e.当a＞e时，显然与已知不相符合.∴.（2）由，则.由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，令，则，∴当时取极值，时单调递增，∴，则时有两零点，，且，若证：，即证：，由，，则，即证：，由在上单调递增，即证：，又，则证，令，，∴.∴恒成立，则为增函数，∴当时，，∴得证.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查分析法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当到直线的距离最大时，求.【答案】（1）；（2）16.【解析】【分析】（1）直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线的直角坐标方程；（2）设，当到直线的距离最大时，得到，故.再利用直线的参数方程的弦长公式求.【详解】解：（1）曲线：，即：.∴曲线的标准方程为：.（2）设，当到直线的距离最大时，，故.∴的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入得：.∴，∴.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.23.已知函数的最小值为.（1）求；（2）若正实数，，满足，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）先化简函数的解析式，再通过函数的图像得到当时，取得最小值；（2）由题得，再利用均值不等式证明不等式.【详解】解：（1），由于函数y=,减函数，y=,是减函数，y=，是增函数，故当时，取得最小值（2）.【点睛】本题主要考查分段函数的图像和性质，考查分段函数的最值和不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2020届重庆市高三上学期12月联考数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市高三上学期12月联考数学（理）试题一、单选题1．命题“,x Z x R ∀∈∈”的否定是（ ） A ．,x Z x R ∀∈∈ B ．,x Z x R ∃∈∈ C ．,x Z x R ∀∉∉ D ．,x Z x R ∃∈∉【答案】D【解析】直接利用全称命题的否定解答. 【详解】因为全称量词命题的否定是特称量词命题， 所以命题“,x Z x R ∀∈∈”的否定是“,x Z x R ∃∈∉”. 故选：D 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．设集合()(){}120A x x x =+-≥，集合{}1B x x =>，则()R C A B =I （ ） A ．()1,2- B ．()1,2 C ．(]1,2- D ．(]1,2 【答案】B【解析】先求出,R A C A ,再求()R C A B ⋂得解. 【详解】因为{}21A x x x =≥≤-或，{}12R C A x x =-<<. 所以(){}|12R C A B x x ⋂=<<. 故选：B 【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．设20192z i =+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】先求出2z i =-，再求z 得解. 【详解】因为201922z i i =+=-.所以2z i =+， 所以点()2,1位于第一象限. 【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．设向量()(),2,2,3a x x b =+=，且a b ⊥，则x =（ ） A ．1 B ．1- C ．65 D ．65-【答案】D【解析】由题得()232560x x x ++=+=，解方程即得解. 【详解】由题得()232560x x x ++=+=， 解之得65x =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查向量垂直的数量积表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．抛物线218y x =的焦点坐标是（ ） A ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,032⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()2,0【答案】C【解析】化简得28x y =，即得焦点坐标.【详解】由题得28x y =，所以抛物线的焦点坐标为(0,2). 故选：C 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．已知0.1330.1,3,0.1a log b c ===，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．c b a <<【答案】B【解析】先求出a,b,c 的范围，即得解. 【详解】因为330.1log 10a log =<=，()0.10333=1,0.10,1b c =>=∈.所以a c b <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查指数对数函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．已知函数()xf x ax e =-在()0,1上不单调，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,eC ．()1,eD ．(,)e -∞【答案】C【解析】原命题等价于()'0f x =在()0,1上有解，再利用零点定理分析解答得解. 【详解】()'x f x a e =-.因为()f x 在()0,1上不单调.所以()'0f x =在()0,1上有解， 又()'f x 在()0,1上单调递减，所以()'010f a =->，()10f a e '=-<，故()1,a e ∈. 故选：C 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．已知5)7(27cos πθ+=，则3s 1()4in πθ+=（ ）A ．27-B ．27C ．D 【答案】A【解析】由题得355sin(+)sin[(+)]147s n(227i )πππθθπθπ+=-=-+，再利用诱导公式化简求值. 【详解】35552sin(+)sin[(+sin()]cos(+))=14722777πππθθπθπθπ+=-=-+=--. 故选：A 【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．函数()ln cos sin x xf x x x⋅=+在[)(],00,ππ-⋂的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先求出函数()f x 为奇函数，再通过特殊值确定答案. 【详解】函数的定义域关于原点对称. 因为()()ln cos sin x xf x f x x x-=-=-+，所以()f x 为奇函数. 又因为()10f ±=.0,(02())3f f ππ±=>.()0f π<， 故选：D . 【点睛】本题主要考查图象的确定问题，考查函数奇偶性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．若函数()f x sinx acosx =-图像的一条对称轴方程为3x π=，则a =（ ）A ．3B ．3-C ．D 【答案】B3f π⎛=⎫⎪⎝⎭，解方程即得解. 【详解】3f π⎛=⎫ ⎪⎝⎭，所以|33sinacos ππ-所以21)0+=所以a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．在 ABC 中，AB AC ⊥，()21CD BC =-，42AC AD ⋅=则AC =（ ）A ．1 BC ．2D ．【答案】C【解析】由题得2BD BC =，AC AD AC BD ⋅=⋅，再利用数量积公式即得解.【详解】 因为()21CD BC =-. 所以2BD BC =.因为()AC AD AC AB BD AC BD ⋅=⋅+=⋅.所以()22224AC AD AC BC AC AC AB AC ⋅=⋅=⋅-==所以2AC =. 故选：C 【点睛】本题主要考查向量的运算法则和数量积的计算，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．双曲线()2210mx ny mn +=<的渐近线于圆()2259x y -+=相切，且该双曲线过点2,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则该双曲线的虚轴长为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D【解析】221(0)mx ny mn +=<的渐近线与圆22:(5)9E x y -+=相切等价于圆心(5,0)到渐近线的距离等于半径3r =，推出mn 的方程，结合点在双曲线上，求解m ，n 然后求解双曲线的虚轴长．【详解】双曲线221(0)mx ny mn +=<0-=． 圆22:(5)9E x y -+=的圆心(5,0)，半径3r =．渐近线与圆22:(5)9E x y -+=相切，∴3=，即16||9||m n =，①该双曲线过点P ，45414nm ∴+=， ② 解①②可得19n =，116m =-， 双曲线221916y x -=，该双曲线的虚轴长为8．故选：D ． 【点睛】熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键，是中档题．二、填空题13．在 ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60A =，a bc =2，则sinBsinC =_______.【答案】34【解析】利用正弦定理即得求解. 【详解】因为60A =，a bc =2， 所以2sin sin sin A B C =,所以2324sinBsinC ==. 故答案为：34【点睛】本题主要考查正弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．设,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为_______.【答案】6-【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件20220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………作出可行域如图，化目标函数3z x y =-为133zy x =-， 由图可知，当直线133zy x =-过(0,2)A 时，z 有最小值为6-．故答案为：6-． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 15．函数()3359f x x x =-+的图像在点()()00,x f x 处的切线垂直于直线4120x y +-=，则0x =_______.【答案】±1【解析】先求出()2'95f x x =-，再解方程()20'954o f x x =-=即得解.【详解】因为()2359f x x x =-+.所以()2'95f x x =-.因为()20'954o f x x =-=.所以01x =±. 故答案为：±1 【点睛】本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16．对于等差数列等比数列，我国古代很早就有研究成果.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一堆货物，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，依此类推，记第n 层货物的个数为n a ，则数列{}n a 的通项公式n a =_______. 【答案】(3)2n n + 【解析】由题得2341)n a n =+++++（，利用等差数列化简即得解.【详解】由题得(3)2341)(21)22n n n n a n n +=+++++=++=（. 故答案为：(3)2n n + 【点睛】本题主要考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()3f x x =- （1）求()f x 的解析式； （2）求不等式()1f x ≥的解集.【答案】（1）()3,00,03,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩（2）[)[2,04,)-⋃+∞【解析】(1)若0x <，则0x ->，先求出0x <时函数的解析式，即得函数()f x 的解析式；（2）解不等式组0,31,x x >⎧⎨-≥⎩或0,31,x x <⎧⎨+≥⎩即得解.【详解】(1)若0x <，则0x ->，因为当0x >时(),3f x x =-，所以()3f x x -=--. 因为()f x 是奇函数，所以()()3f x f x x =--=+. 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =.故()3,00,03,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩.(2)因为()1f x ≥，所以0,31,x x >⎧⎨-≥⎩或0,31,x x <⎧⎨+≥⎩ 解得4x ≥或20x -≤<.故不等式()1f x ≥的解集为[)[2,04,)-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查分段函数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．已知数列{}n a 是递增的等比数列，2648a a a ⋅=，且3520a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）12n n a -=（2）222 1.n n S n n =++-【解析】（1）解方程组即得数列的首项和公比，即得数列{}n a 的通项公式；（2）利用分组求和求数列{}n b 的前n 项和n S . 【详解】 (1)226448a a a a ⋅==，48a ∴=或40a =(舍).又3520a a +=，1120a a q q ∴+⋅=，2q ∴=或12q =(舍)， 11a ∴= 12n n a -\=，()21212n n b n -=++()()()()1212141...21122...2n n S n -=+++++++++++ ()()112321212nn n -++=+-222 1.n n n =++-【点睛】本题主要考查等比数列的通项的求法，考查等差数列和等比数列的求和问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19． ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()222, 1 .b a c a ==+ （1）求C ；（2）若c = ABC 的面积.【答案】2(1)C 3π=【解析】（1）由题得1=sin()26C π+，解三角方程即得解；（2）先求出2,4a b ==，再求 ABC 的面积. 【详解】（1）因为2,b a =所以224b a =，因为()221 .c a =+所以()222244cos 1 .a a a C a +-=+ 所以1=sin()26C π+， 因为70,666C C ππππ<<∴<+<， 所以52,663C C πππ+=∴=.（2）由题得2228 1 .3a π⎛⎫ ⎝+⎪⎭=所以2,4a b ==，所以 ABC 的面积为1224sin 23S π=⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角恒等变换，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距为c ，圆222:O x y c +=与椭圆C 有且仅有两个公共点，直线2y =与椭圆C 只有一个公共点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，且与椭圆C 分别交于,P O 两点，试问：x 轴上是否存在定点R ，使得RP RQ ⋅为定值?若存在，求出该定值和点R 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22184x y +=（2）在x 轴上存在点5,02R ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，使得RP RQ 为定值74-【解析】（1）根据已知求出,a b 即得椭圆C 的标准方程；（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，设(),0R m ，利用韦达定理和向量的数量积求出52m =-，此时RP RQ 为定值74-；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，求出此时点R 也满足前面的结论，即得解. 【详解】(1)依题意，得2c b ==， 则222448a b c =+=+=，故椭圆的标准方程为22184x y +=.()2①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，代人椭圆C 的方程，可得()2222218880k k x x k +++-=设()11,P x y ，()22,Q x y ，则2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+ 设(),0R m ，则()()1122,,RP RQ x m y x m y =--()()1212x m x m y y =--+=()()()122112224x m x k x x x m x +--+++⎡⎤⎣⎦()()22222228288421211k k k m k m k k k --++=+-++()2222284821m m k m k +++-=+ 若()2222284821mm k m k +++-+为定值，则22812842m m m -=++，解得52m =- 此时()222228487214mm k m k +++-=-+R 点的坐标为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，代人22184x y +=，得2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设((,2,P Q --，若5,02R ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，则11,2,,22RP RQ ⎛⎫⎛== ⎪ ⎝⎝ 74RP RQ =-综上所述，在x 轴上存在点5,02R ⎛-⎫⎪⎝⎭，使得RP RQ 为定值74-【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定点定值问题，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平.21．已知函数()f x asinx blnx x =+-. （1）当0,1a b ==时，证明：()1f x ≤-；（2）当6b π=时，若()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，求a 的取值范围； （3）*n N ∀∈，试比较2111111444n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭与13e的大小，并进行证明. 【答案】（1）证明见解析（2）[1,)+∞（3）231111111444n e⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,证明见解析【解析】（1）利用导数求出()()11max f x f ==-即得证；（2）即66c o s x a x x π-≥在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立， 再求()06,6cos ,3x h x x x x ππ⎛⎫⎪⎝=-∈⎭-的最大值即得解；（3）由(1)知，()()10ln x x x +<>令14nx =，得11ln 144n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，利用放缩法和等比数列的前n 项和即得证. 【详解】(1)证明:当0,1a b ==时，()f x lnx x =-，所以()1'xf x x-= 令()'0f x >，得01x <<；令()'0f x <，得1x >. 所以()f x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()()11max f x f ==-， 故()1f x ≤-. (2)当6b π=时，() 16x acos x xf π+-'=，所以106acosx xπ+-≥在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即66cos x a x x π-≥在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立.令()06,6cos ,3x h x x x x ππ⎛⎫⎪⎝=-∈⎭-显然当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x <；当63x ππ⎛⎪∈⎫ ⎝⎭，时，()0h x >.而当63x ππ⎛⎪∈⎫⎝⎭，时，()()22cos 6sin 06cos x x x x h x x xππ+-'=> 所以()h x 在63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， 所以()13h x h π⎛⎫<=⎪⎝⎭所以1a ≥，即a 的取值范围是[1,)+∞.()3231111111444n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭证明:由(1)知，()()10ln x x x +<> 令14nx =，得11ln 144n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 所以11ln 1,44⎛⎫+< ⎪⎝⎭2211ln 1,44⎛⎫+< ⎪⎝⎭11,ln 144n n ⎛⎫⋅⋅⋅+< ⎪⎝⎭， 所以22111111ln 1ln 1ln 1444444n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即22111111ln 111444444n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11113343n =-⨯<， 所以132111111444ne ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为23x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知点()2,6P -，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值. 【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为()()22236x y -+-=,l 的直角坐标方程为40x y +-=（2【解析】（1）利用消参求出曲线C 的直角坐标方程，利用极直互化的公式求出直线的直角坐标方程；（2）先求出直线l的参数方程26x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，再利用参数的几何意义求解. 【详解】解:(1)由2,3,x y a ⎧=⎪⎨=⎪⎩(a 为参数)， 得曲线C 的直角坐标方程为()()22236x y -+-=.由)4(pcos πθ-=44cos cossin sinππρθρθ+=则l 的直角坐标方程为40x y +-=.(2)易知点()2,6P -在直线l 上，直线l的参数方程可写为262x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，代入()()22236x y -+-=.得2190t ++=.设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则121219t t t t ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩故121212121119PA PB t t t t PA PB PA PB t t t t ++++==== 【点睛】本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 23．已知函数()262f x x x =++-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若,a b 为正数，且a b m +=. 【答案】（1）5m =（2【解析】（1）先化简函数()262f x x x =++-，再求函数的最小值得解；（2）先求出22324a b =++++17=+，再利用基本不等式求最大值. 【详解】(1)()34,3,2628,23,43,2,x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=++-=--<<⎨⎪-≤-⎩当3x ≥时，()()min 35f x f ==; 当23x -<<时，()() 35f x f >=； 当2x -≤时，()()min 210f x f =-= 可知()()min 35f x f ==，即5m =. (2)由(1)可得5a b+=，所以22324a b =++++17=+因为()()232417a b ≤+++=.所以234≤，=119,44a b ==时等号成立【点睛】本题主要考查分段函数的最值的计算，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
重庆市南开中学2020年高三下期中数学试题及答案(理科)
A﹒ 3 2
B﹒ 2
C﹒ 9 4
8
D﹒
3
二、填空题 ：本 大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。
13．已知 a ， b 均为单位向量，且 (3a b) (a 2b) ，则向量 a 与 b 夹角的余弦值为
﹒
14．已知 (x 2 )n（ n N * ）的展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数相等，则展开式中 x 的系数为
A﹒ 2
B﹒ 1
C﹒ 0
D﹒ 1 2
8．抛物线 C：y2 2 px ( p 0) 的焦点为 F ， A，B 是抛物线 C 上两点，
且 | AF | | BF | 10 ， O 为坐标原点，若 OAB 的重心为 F ，则 p
A﹒1
B﹒ 2
C﹒ 3
D﹒ 4
开始
输入 x 1，s 0
x 2x
则 P0,0,1, D 2 2,1,0 ,C 2 2,1,0 , M 2,1,0 ,CP 2 2,1,1 , MD 2,2,0 , MP
2,1,1 ,
设平面
PMD
的法向量为
m
x,
y,
z ，则由
m
MP
0
m
2,1,3 ，设直线 PC 与平面 PMD 所成角
m MD 0
（1）若函数 y f (x) g(x) 在其定义域内单调递增，求实数 a 的取值范围； （2）是否存在实数 a ，使得函数 y f (x) g (x) 的图像与 x 轴相切？若存在，求满足条件的 a 的个数，
请说明理由．
21．（12
分）已知椭圆 :
x2 a2
y2 b2
1（a
b
0 ）的离心率为
1 恒成立，令 mx
重庆市南开中学高三数学12月月考试题 理 新人教A版
重庆南开中学高202X 级高三12月月考数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1．已知集合1{|2}2x A x =>, 2{|1}B x x =≤,则A B =（ ） A ．{|11}x x -<≤B ．{|01}x x <≤C ．{|1}x x <-D ．{|1}x x ≥2．已知32e =43x =45y x =±54y x =±255y x =±52y x =±(1,)a x =(2,1)b =-a b ⊥|2|a b +55C 2sin()3y x π=-6π6x π=6x π=-3x π=-3x π={}n a n n S 2{log }n a 62132S =1a 34231213,x y R +∈411121x y +=++2x y +7C 82+22221(0)x y a b a b +=>>24y x =||4PF =723-213+2312a b 230a b -+≥321()3f x x ax bx =++12b a ++[254,254]---13[254,]14-[254,2]-13[,2]14n a 1n n n A B B -1n n B B -x 0B {}n a a d n A 22(0)y px p =>ad123p 3p II 卷（非选择题，共100分） 二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡II 上相应位置（只填结果，不写过程）11．已知函数2()2x f x ae x =+在(0,(0))f 处的切线与直线230x y --=平行，则a =_____12．已知(0,1]a ∈，则不等式log (|1|3)0a x --<的解集为__________13．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合。
2020届重庆市南开中学高三上学期第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市南开中学高三上学期第二次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．sin 240︒的值为（ ）A.2-B.2C. 【答案】C【解析】利用诱导公式计算得到答案. 【详解】sin 240=sin(180+60)sin 60︒︒︒=-︒=故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的计算，属于基础题型.2．复数z 满足23i i z +=（其中i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.2 B.2- C.3 D.3-【答案】B【解析】利用复数计算公式化简得到答案. 【详解】23i23i i 32z z i i++=∴==-，虚部为2- 故选：B 【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题型.3．“命题p q ∨为假”是“命题p q ∧为假”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据条件判断每个命题的真假，再确定充分性和必要性得到答案. 【详解】命题p q ∨为假，则命题,p q 均为假命题，可以推出命题p q ∧为假， 命题p q ∧为假，则命题,p q 不全为真命题，不能得到命题p q ∨为假. “命题p q ∨为假”是“命题p q ∧为假”的充分不必要条件 故选：A 【点睛】本题考查了充分非必要条件，意在考查学生的推理能力. 4．111d ex x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值为（ ） A.e 2- B.eC.e 1+D.e 1-【答案】A【解析】直接利用定积分公式计算得到答案. 【详解】11111111d 1d d ln 1102e e ee ex x x x x e e x x ⎛⎫-=-=-=--+=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.5．如图是定义在(),a b 上的函数()f x 的导函数的图象，则函数()f x 的极值点的个数为（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】根据图像得到函数的单调区间，判断极值点. 【详解】如图所示：设导数的零点分别为1234,,,x x x x则函数()f x 在1(,)a x 单调递增，12(,)x x 单调递减，23(,)x x 单调递增，34(,)x x 单调递增，4(,)x b 单调递减.故函数()f x 在1x 取极大值，在2x 取极小值，在4x 取极大值. 故选：B【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数的极值点，混淆导函数图像和原函数图像是容易发生的错误.6．在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数22(,)23z f x y x y xy ==++在()1,2处偏导数的全过程：2(,)43x x y x y f '=+,(,)16y f x y xy =+'，所以2(1,2)413216x f =⨯+⨯=',(1,2)161213y f =+⨯⨯='，由上述过程，二元函数()22(,)ln z f x y x y ==+，则(1,2)(1,2)x y f f ''+=（ ）A.29B.65 C.25D.15【答案】B【解析】根据题目给出的运算法则，计算得到答案. 【详解】()22(,)ln z f x y x y ==+则2222(,)(1,2)5x x x f x y f x y ''=∴=+；2224(,)(1,2)5y y y f x y f x y ''=∴=+ 6(1,2)(1,2)5x y f f ''+=故选：B 【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的应用能力和计算能力. 7．下列命题中，是假命题的是 A.0,4x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，cos sin x x > B.x ∀∈R ，sin cos 2x x +≠C.函数()|sin cos |f x x x =+的最小正周期为2πD.42log 323= 【答案】C【解析】根据三角函数性质和对数运算，依次判断每个选项的正误，判断得到答案. 【详解】 A. 0,4x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，cos sin x x >420,,4x x πππ⎛⎫⎛⎫∈∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos sin )04x x x π-=+>，即cos sin x x >，正确B. x ∀∈R ，sin cos 2x x +≠，sin cos )4x x x π+=+≤，故sin cos 2x x +≠，正确C. 函数()|sin cos |f x x x =+的最小正周期为2π()|sin cos |)4f x x x x =+=+p，最小正周期为π，错误D. 42log 323=，根据对数运算法则知：24222log32log 3log 32223===，正确故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的大小比较，周期，对数计算，意在考查学生的综合应用能力.8．若函数π()3sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π且其图象关于直线2π3x =对称，则 A.函数()f x 的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.函数()f x 在π2π,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数 C.将函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位得到函数3sin y x ω=的图象D.函数()f x 的一个对称中心是5π,012⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】先计算得到()3sin(2)6f x x π=+，再依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】π()3sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，最小正周期为22ππωω=∴=图象关于直线2π3x =对称，所以252,1326k k k ππϕπϕππ⨯+=+∴=-=，6π=ϕ 所以()3sin(2)6f x x π=+3(0)3sin62f π==，A 错误；π2π,123x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则32,632x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦函数先增后减，B错误；函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到：3sin(2)6x π-，C 错误；5()3sin 012f ππ==，D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查了三角函数表达式，单调性，平移，对称，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用能力. 9．函数1()e axf x x x-=-在()0,∞+上有两个零点，则实数a 的取值范围是 A.2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,eD.12,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】取1()e 0axf x x x -=-=化简得到2ln x a x =，设2ln ()x g x x=，求导确定函数图像得到答案. 【详解】取212ln (0)11()e0e e axax ax f x x x x x x a x x x---=-=∴=∴=>∴= 设2ln ()x g x x =，21ln '()2xg x x -=，()g x 在(0,)e 上单调递增，(,)e +∞上单调递减max 2()()g x g e e==画出函数图像：根据图像知：20,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离转化为图像的交点问题是解题的关键.10．函数π()sin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π,,4t t t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦R 上的最大值与最小值之差的取值范围是A.1⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.C.,12⎤⎥⎣⎦D.12⎡-⎢⎣【答案】D【解析】将题目等价于sin y x =在,2πϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值之差的取值范围，讨论ϕ的范围计算最大最小值，综合得到答案. 【详解】π()sin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ5ππ,22,24121122x t t x t t ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，π5π2212122t t π⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭原题等价于sin y x =在,2πϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值之差的取值范围不失一般性：设0ϕπ≤≤当04πϕ≤≤时：最大值最小值差为sin 1ϕ-，满足：1sin 11ϕ-≤-≤当0ϕ=是取最大值1，当4πϕ=时取最小值1 当42ππϕ<<时：最大值最小值差为sin()12πϕ+-，满足：1sin()1122πϕ-<+-< 当2πϕπ≤≤时：最大值最小值差为sin sin()2πϕϕ-+，满足：sin sin()sin cos )24ππϕϕϕϕϕ-+=-=-当34πϕ=)14πϕ-≥综上所述：最大值与最小值之差的取值范围是12⎡-⎢⎣【点睛】本题考查了三角函数的最值问题，分类讨论是一个常用的方法，需要熟练掌握，意在考查学生的计算能力.11．已知ABC △内角,,A B C 对应的边长分别是,,a b c ，且2a =，1b =，2C A =，则c 的值为D.【答案】C【解析】如图所示，作ACB ∠的角平分线与AB 交于点D ，根据余弦定理得到22222154024m m m m --+=，计算得到答案. 【详解】如图所示：作ACB ∠的角平分线与AB 交于点D 则12AD AC BD BC == ，设,2AD m BD m ==，则CD m =，分别利用余弦定理得到： 22222154cos ,cos 24m m ADC BDC m m --∠=∠=，ADC BDC π∠+∠=故22222154024m m m m m --+=∴=3c AB m ===故选：C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，意在考查学生解决问题的能力和计算能力.12．函数()4ln 3f x x ax =-+存在两个不同零点1x ，2x ，函数2()2g x x ax =-+存在两个不同零点3x ，4x ，且满足3124x x x x <<<，则实数a 的取值范围是A.143,4e -⎛⎫ ⎪⎝⎭B.14-⎛⎫ ⎪⎝⎭C. D.(,3)-∞【答案】A【解析】求导根据有两个零点得到144e 0a -<<；再根据二次函数有两个解得到144e a -<<，根据零点的大小关系得到333()4ln 30f x x ax =-+<，消元得到2334ln 10x x -+<，构造函数计算得到答案.【详解】4()4ln 3(0)'()f x x ax x f x a x=-+>∴=-， 当0a ≤时，4'()0f x a x =->恒成立，()f x 单调递增，最多有一个零点，不满足 当0a >时，()f x 在4(0,)a 上单调递增，4(,)a+∞上单调递减满足444()4ln 30f a a a a=-+>，解得144e a -<综上所述：144e 0a -<<函数2()2g x x ax =-+存在两个不同零点，则280a a ∆=->∴<-或a > 故144e a -<零点满足3124x x x x <<<，则333()4ln 30f x x ax =-+<且444()4ln 30f x x ax =-+<又因为23320x ax -+=，代换得到2334ln 10x x -+<考虑函数2()4ln 1F x x x =-+，验证知，(1)0F =，2442'()2x F x x x x-=-=()F x 在上单调递增，)+∞上单调递减故31x =<，解得3a >此时42x =>，2(2)4ln 2210F =-+<，满足4()0f x <综上所述：143,4e a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了函数的零点问题，综合性强，计算量大，通过消元得到函数2()4ln 1F x x x =-+是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.二、填空题13．函数()ln f x x ax =-在()1,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[1,)+∞ 【解析】求导得到1'()0f x a x =-≤恒成立，化简得到1a x ≤，计算得到答案. 【详解】1()ln '()0f x x ax f x a x=-∴=-≤在()1,+∞恒成立 即1a x≤恒成立，故1a ≥ 故答案为：[1,)+∞【点睛】本题考查了利用导数计算函数的单调性，意在考查学生的计算能力. 14．已知tan()2αβ+=，1tan 3β=，则锐角α=______. 【答案】π4【解析】tan()tan()ααββ=+-，利用和差公式展开得到答案. 【详解】12tan()tan 3tan()tan()121tan()tan 134αββπααββαββα-+-=+-==∴++==+ 故答案为：π4【点睛】本题考查了三角函数的计算，意在考查学生的计算能力.15．过点11,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭且和函数()ln f x x =的图象相切的直线的斜率为______. 【答案】1e【解析】设切点00(,ln )x x ，求导得到0001ln 11x e k x x +==+，验证知0x e =是方程的解，再确定11()ln 1(0)g x x x x e=-+->单调递增，得到答案.【详解】设切点为00(,ln )x x ，1()ln '()f x x f x x=∴=故0001ln 11x e k x x +==+ 即0011ln 10x x e-+-=，验证知0x e =是方程的解. 21111()ln 1(0)'()0g x x x g x x e x x=-+->∴=+>函数单调递增，故0x e =是唯一解.此时011k x e== 故答案为：1e【点睛】本题考查了函数的切线问题，验证解方程再判断唯一解是常用的方法，需要同学们熟练掌握.16．已知函数()cos 2sin f x x x =+，若1x ，2x 分别为()f x 的最小值点和最大值点，则()12cos x x -=______. 【答案】14-【解析】设sin (11)x t t =-≤≤，函数化简为219()2()48f t t =--+，得到21sin 4x =，1sin 1x =-，再利用和差公式展开得到答案.【详解】2()cos 2sin 12sin sin f x x x x x =+=-+，设sin (11)x t t =-≤≤2219()122()48f t t t t =-+=--+max 19()()48f t f ==，此时211sin 44t x =∴=min ()(1)2f t f =-=-，此时11sin 1t x =-∴=-()1212121cos cos cos sin sin 4x x x x x x -=+=-故答案为：14- 【点睛】本题考查了函数的最值，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.三、解答题17．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且cos2A =，6b c +=，2ABC S ∆=.（1）求sin A 的值； （2）求a 的值. 【答案】（1）45；（2）【解析】（1）直接利用二倍角公式得到3cos 5A =，再计算sin A 得到答案. （2）根据面积公式得到5bc =，代入余弦定理计算得到答案. 【详解】（1）2243cos 2cos 12121255A A =-=⨯-=⨯-=⎝⎭，()0,πA ∈4sin 5A ∴==. （2）1142sin 22255ABCS bc A bc bc ∆=⋅=⋅==5bc ∴= 由余弦定理得：2222232cos ()22cos 62525205a b c bc A b c bc bc A =+-=+--=-⨯-⨯⨯=a ∴=【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，意在考查学生解决问题的能力.18．某团购网站为拓展业务，与某品牌新产品签订代销合同，以拟定的价格进行试销，试销半年后，营销部门得到一组1～9月份的销售量x 与利润y 的统计数据如表：附：721716ii x==∑，711448i i i x y ==∑，()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx====---==--∑∑∑∑.（1）根据1～7月份的统计数据，求出y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+. （2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的．．．检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问由（1）所得回归直线方程是否理想？【答案】（1）ˆ310y x =-；（2）回归直线的方程是理想的.【解析】（1）直接利用公式计算得到3b =，10a =-，得到答案. （2）根据公式计算剩余两个数据，计算误差得到答案. 【详解】（1）由已知条件得：10,20x y ==，772111448,716i ii i i x yx ====∑∑71722217144871020483716710167i ii ii x y xyb xx ==--⨯⨯∴====-⨯-∑∑，ˆˆ2031010a y bx =-=-⨯=- y ∴关于x 的回归直线方程为ˆ310y x =-.（2）当8x =时，ˆ381014y=⨯-=，此时|1413|12-=< 当12x =时，ˆ3121026y=⨯-=，此时|2627|12-=<∴所得回归直线的方程是理想的. 【点睛】本题考查了线性回归方程，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，下顶点为B 12BF F △. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P在椭圆C 上，且以AP 为直径的圆过B 点，求直线AP 的斜率.【答案】（1）2214x y +=；（2）310 【解析】（1）根据条件得到12BF F c S bc a ∆===，计算得到答案. （2）根据条件得到直线BP 方程为21y x =-，联立方程组解得1615,1717P ⎛⎫⎪⎝⎭，计算得到到答案. 【详解】（1）122BF F c S bc a ∆=== 计算得到：1b =，c =，2a = 所以椭圆标准方程为2214x y +=（2）以AP 为直径的圆过B 点，即AB BP ⊥，12AB k =-，2BP k ∴=. 则直线BP 方程为21y x =-，与椭圆联立2221440y x x y =-⎧⎨+-=⎩ 解得P 点坐标为1615,1717P ⎛⎫⎪⎝⎭,所以1503171610217AP k -==+. 【点睛】本题考查了椭圆方程，直线和椭圆的位置关系，其中将以AP 为直径的圆过B 点转化为垂直关系是解题的关键.20．已知函数2π1()coscos (0)22262xxxf x x ωωωωω⎛⎫=+++-> ⎪⎝⎭的图象的两相邻对称轴间的距离为π2. （1）求函数()y f x =的解析式： （2）已知角,,αβθ满足：223f f αβ⎛⎫⎛⎫⋅=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且3π4αβ+=，tan 2θ=，求sin()sin()cos 2θαθβθ++的值.【答案】（1）()2cos2f x x =；（2）18【解析】（1）化简函数得到()2cos f x x ω=，根据周期为πT =，计算得到答案.（2）代入数据得到cos cos 3αβ⋅=-，计算cos()αβ+得到sin sin 6αβ⋅=，最后利用齐次式计算得到答案. 【详解】 （1）1cos 1()262x f x x x ωπωω+⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭1cos 226x x x πωωω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭sin 2sin 2cos 662x x x x πππωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由条件可得πT =，所以2ω=，则()2cos2f x x = （2）2cos 2cos 22f f αβαβ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos αβ∴⋅=又3cos()cos cos sin sin sin sin cos 4παβαβαβαβ+=⋅-⋅=-⋅== sin sin 6αβ∴⋅=∴原式22(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )cos sin αθαθβθβθθθ++=-2222sin sin cos cos cos sin sin()sincos cos sin αβθαβθαβθθθθ+++=- 2222cos 632cos sin θθθθθθ=-222tan tan 632631tan 1218θθθ===--【点睛】本题考查了函数三角函数的解析式，三角恒等变换.其中齐次式方法是解题的关键，需要熟练掌握.21．已知函数1211()(2)e 22x f x x x x -=--++，2()4cos ln(1)g x ax x a x x =-+++，其中a ∈R .（1）求函数()f x 在()0,2x ∈的值域；（2）用max{,}m n 表示实数m ，n 的最大值，记函数()max{(),()}F x f x g x =，讨论函数()F x 的零点个数.【答案】（1）(1,)-+∞；（2）见解析. 【解析】（1）求导得到()1()(1)e1x f x x -'=--，讨论1x >和1x ≤得到函数()f x 在(0,2)x ∈单调递增，计算得到答案.（2）1x >时，()0F x >恒成立，当11x -<<时，()0f x <恒成立，故()F x 的零点即为函数()g x 的零点，讨论()g x 在11x -<<的零点个数得到答案. 【详解】（1）()11()(1)e1(1)e 1x x f x x x x --'=--+=--当1x >时，10x ->，1e 10x -->，所以()0f x '> 当1x ≤时，10x -≤，1e 10x --≤，所以()0f x '≥所以：当x ∈R 时，()0f x '≥成立，即函数()f x 在(0,2)x ∈单调递增 所以函数()f x 在(0,2)x ∈的值域为((0),(2))f f ，即值域为121,2e 2⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）函数()F x 的定义域为(1,)-+∞由（1）得，函数()f x 在x ∈R 单调递增，()10f = 当1x >时，()0f x >，又()max{(),()}F x f x g x =，所以1x >时，()0F x >恒成立，即1x >时，()0F x =无零点.当11x -<<时，()0f x <恒成立，所以()F x 的零点即为函数()g x 的零点 下面讨论函数()g x 在11x -<<的零点个数1()214sin 1g x ax a x x '=--++，所以21()24cos (11)(1)g x a a x x x ''=---<<+ Ⅰ、当0a >时，因为11x -<<，cos (cos1,1)x ∈又函数cos y x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭递减，所以π1cos1cos 32>=即当11x -<<时，12cos 0x -<，21()2(12cos )0(1)g x a x x ''=--<+所以()g x '单调递减，由()00g '=得：当10x -<<时()0g x '>，()g x 递增 当01x <<时()0g x '<，()g x 递减当1x →-时ln(1)x +→-∞，()g x ∴→-∞，当0x =时(0)40g a => 又(1)14cos1ln 2g a a =-++，()10f = 当1ln 2(1)014cos1g a ->⇒>+时，函数()F x 有1个零点；当1ln 2(1)014cos1g a -=⇒=+时，函数()F x 有2个零点；当1ln 2(1)0014cos1g a -<⇒<<+时，函数()F x 有3个零点；Ⅱ、当0a =时，()ln(1)g x x x =+-，由Ⅰ得：当10x -<<时，()0g x '>，()g x 递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 递减，所以max ()(0)0g x g ==，(1)ln 210g =-<， 所以当0a =时函数()F x 有2个零点Ⅲ、当0a <时，()2()4cos ln(1)g x a x x x x =+-++()24cos 0a x x +<，ln(1)0x x -++…，即()0g x <成立，由()10f =，所以当0a <时函数()F x 有1个零点 综上所述：当1ln 214cos1a ->+或0a <时，函数()F x 有1个零点；当1ln 214cos1a -=+或0a =时，函数()F x 有2个零点；当1ln 2014cos1a -<<+时，函数()F x 有3个零点.【点睛】本题考查了函数的单调性，值域，零点个数，综合性强，分类讨论是函数问题的常用方法，需要熟练掌握.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x C y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:()C ρθρ=∈R .（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若过原点的直线l 与曲线1C ，2C 分别相交于异于原点的点A ，B ，求AB 的最大值.【答案】（1）22(1)1y x +-=，22(3x y -+=；（2）4 【解析】（1）直接利用参数方程公式和极坐标公式计算得到答案. （2）得到曲线1C 的极坐标方程，得到||4sin 3AB πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】（1）1cos :1sin x C y αα=⎧⎨=+⎩消去α得到221:(1)1C x y +-=2:C ρθ=，等式两边同乘ρ可得2cos ρθ=，222x y ρ=+且cos x ρθ=代入化简得222:(3C x y +=（2）由曲线1C ，2C 的极坐标方程为1:2sin C ρθ=，2:C ρθ=.12|||2sin |4sin 43AB πρρθθθ⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎝⎭…，当56πθ=时取得等号.故最大值为4 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力. 23．设函数()|||2|f x x a x a =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x …的解集；（2）对,x y ∀，都有不等式()|1||2|f x y y a ++-…恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1,[1,)3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦；（2）2a -…或27a -…. 【解析】（1）将函数表示为分段函数，分别解不等式综合得到答案. （2）求函数()f x 最大值为32a ，|1||2||21|y y a a ++-≥+得到不等式3|21|2a a +…，计算得到答案. 【详解】（1）当1a =时，2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=+--=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩121x x ≤-⎧∴⎨-≤⎩或11231x x ⎧-<<⎪⎨⎪≤⎩或1221x x ⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩解得1x ≤-或113x -<≤或1x ≥综上所述：原不等式的解集为1,[1,)3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦.（2）取数轴上点A 表示a -，点B 表示2a，动点P 表示x 则()|||2|f x x a x a =+--表示2PA PB -322a PA PB PA PB AB -≤-≤=，当2ax =时等号成立. ()f x 最大值为32a |1||2||(1)(2)||21|y y a y y a a ++-≥+--=+（当且仅当(1)(2)0y y a +-≤时等号成立）要使()|1||2|f x y y a ≤++-恒成立，只需3|21|2a a ≤+ 平方解得：2a ≤-或27a ≥-. 【点睛】本题考查了解不等式，不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最大值最小值问题是解题的关键.。
2020-2021学年重庆市南开中学高三(上)12月月考数学试卷(理科) Word版含解析
2022-2021学年重庆市南开中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）一．选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．关于x的不等式ax+b＞0的解集不行能是（）A．R B．φC．D．2．抛物线y2=4x的焦点到准线的距离为（）A．1 B．2 C．4 D．83．已知，，则cosa=（）A．B．C．D．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．7 B．8 C．15 D．165．已知单位向量，夹角为，则=（）A．B．C．2 D．6．已知直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆周长，则的最小值为（）A．B．C．4 D．67．已知定义在R上的偶函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x3﹣8，则关于x的不等式：2f（x﹣2）＞1的解集为（）A．{x|x＜0或x＞2} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜﹣2或x＞4} D．{x|x＜﹣2或x＞2}8．下列说法正确的个数是（）①命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”；②“b=”是“三个数a，b，c成等比数列”的充要条件；⑨“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充要条件：④“复数Z=a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是a=0”是真命题．A．1 B．2 C．3 D．49．设F1，F2为双曲线C ：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过坐标原点O的直线与双曲线C在第一象限内交于点P，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2为锐角三角形，则直线OP斜率的取值范围是（）A． B．C．D．10．存在实数a，使得对函数y=g（x）定义域内的任意x，都有a＜g（x）成立，则称a为g（x）的下界，若a为全部下界中最大的数，则称a为函数g（x）的下确界．已知x，y，z∈R+且以x，y，z为边长可以构成三角形，则f（x，y，z）=的下确界为（）A．B．C．D．二、填空置：本大题共3小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．设实数x，y 满足约束条件，则z=2x+y 的最大值为．12．数列{a n}满足：a 1=2022，a n﹣a n•a n+1=1，l n表示a n的前n项之积，则l2022=．13．椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使线段PF1与以椭圆短轴为直径的圆相切，切点恰为线段PF1的中点，则该椭圆的离心率为．二、考生留意．14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．如图，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD=2，BD=4，则EA=．15．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的坐标方程为=0，则直线l截曲线C所得的弦长为．1008•山东）若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．18．已知点A（2，0）关于直线l1：x+y﹣4=0的对称点为A1，圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=4（n＞0）经过点A和A1，且与过点B（0，﹣2）的直线l2相切．（1）求圆C的方程；（2）求直线l2的方程．19．已知函数f（x）=x2+bx为偶函数，数列{a n}满足a n+1=2f（a n﹣1）+1，且a1=3，a n＞1．（1）设b n=log2（a n﹣1），求证：数列{b n+1}为等比数列；（2）设c n=nb n，求数列{c n}的前n项和S n．20．设函数f（x）=ln（x﹣1）+．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知对任意的x∈（1，2）∪（2，+∞），不等式成立，求实数a的取值范围．21．已知椭圆C1的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）如图，以椭圆C1的长轴为直径作圆C2，过直线x=﹣2上的动点T作圆C2的两条切线，设切点分别为A、B，若直线AB与椭圆C1求交于不同的两点C、D ，求的取值范围．22．己知数{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，数列{b n}满足b n+1=b n +=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令c n =，记S n=c1+c2+…+c n ，求证：＜1．2022-2021学年重庆市南开中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．关于x的不等式ax+b＞0的解集不行能是（）A．R B．φC．D．考点：集合的表示法．专题：不等式的解法及应用．分析：分a等于0，小于0，大于0三种状况考虑，分别求出不等式的解集，即可做出推断．解答：解：当a=0时，b≤0，不等式无解；b＞0，不等式解集为R；当a＞0时，解得：x ＞，此时不等式的解集为；当a＜0时，解得：x ＜，此时不等式的解集为，故选：D．点评：本题考查了含参数不等式的解法，利用了分类争辩的思想，分类争辩时考虑问题要全面，做到留意不重不漏．2．抛物线y2=4x的焦点到准线的距离为（）A．1 B．2 C．4 D．8考点：抛物线的简洁性质．专题：阅读型．分析：依据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．解答：解：依据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=﹣1，∴焦点到准线的距离是1+1=2故选B．点评：本题主要考查了抛物线的简洁性质．考查了同学对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．3．已知，，则cosa=（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：原式两边平方可解得sina=﹣，由，即可计算cosa的值．解答：解：∵，∴两边平方可得：1+sina=，即sina=﹣∵，∴cosa=﹣=﹣故选：A．点评：本题主要考察了二倍角的余弦公式的应用，属于基本学问的考查．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．7 B．8 C．15 D．16考点：等差数列的性质；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：先依据“4a1，2a2，a3成等差数列”和等差中项的性质得到3者的关系式，然后依据等比数列的性质用a1、q表示出来代入以上关系式，进而可求出q的值，最终依据等比数列的前n项和公式可得到答案．解答：解：∵4a1，2a2，a3成等差数列∴，∴，即∴q=2∴S4===15故选C点评：本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质．属基础题．5．已知单位向量，夹角为，则=（）A．B．C．2 D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面对量及应用．分析：由向量的模长公式，代值计算可得．解答：解：∵单位向量，夹角为，。
重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测理科数学
班级： 姓名： 线订装绝密★启用前重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测理科数学时间：120分钟满分：150分命卷人：*审核人：一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合U ={1,2,3,4,5},,则C U A =( )A. {5}B. {4,5}C. {3,4,5}D. {2,3,4,5}2. 已知复数2+ai1−i为纯虚数,则实数a =( )A. 4B. 3C. 2D. 13. 已知平面向量a ⃗=(m,1),b ⃗⃗=(8,m −2),则“m =4”是“a ⃗//b⃗⃗”的( ) A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件4. 函数f(x)=sinx −√3cosx 的一条对称轴为( )A. x =−π6B. x =−π3C. x =π6D. x =π35. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1a 2<0,a 4=6a 2+a 3,则S 4S 3=( )A. −157B. −53C. 53D.1576. 已知非零平面向量a ⃗,b ⃗⃗满足(6a ⃗+b ⃗⃗)⊥(a ⃗−b⃗⃗),,则a ⃗与b⃗⃗的夹角为( ) A. π6 B. π3C.2π3 D. 5π67. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2−x)+f(x)=0,当x >1时,f(x)=x −2,则不等式f(x)<0的解集为( )A. (1,2)B. (−∞,0)C. (0,2)D. (−∞,0)∪(1,2) 8. 明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下向题“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言,务要分明依次第,孝和休惹外人传”意思是将996斤绵分给八个人,从第二个人开始,每个人分得的绵都比前一个人多17斤,则第八个人分得绵的斤数为( )A. 150B. 167装订线C. 184D. 2019. 函数y =lnxcosx 的图象大致为( )A.B.C.D.10. 在ΔABC 中,AC =AB =3,点M ,N 分别在边AC ,AB 上,且AM =BN =2,BM ⊥CN ,则ΔABC 的面积为( )A. 9√1011B. 8122C. 4511D.18√101111. 在ΔABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若c −a =2acosB ,则3a+c b的最小值为( )A. √2B. √3C. 2√2D. 312. 已知数列{a n },{b n }满足:a n+1=2a n +b n ,b n+1=a n +2b n +lnn+1n3(n ∈N ∗),a 1+b 1>0,给出下列四个命题:①数列{a n −b n }单调递增;②数列{a n +b n }单调递增;③数列{a n }从某项以后单调递增;④数列{b n }从某项以后单调递增.这四个命题中的真命题是( )A. ②③④B. ②③C. ①④D. ①②③④ 二、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知曲线y =x 3+ax 在x =1处的切线与直线y =2x +1平行,则a 的值为__________.14. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ),其中A >0,ω>0,φ∈(−π,π)的部分图象如图所示,则φ=__________.15. 已知函数f(x)=2e x +(1−k)x 2在(0,+∞)上单调递增,则实数k 的取值范围是__________.16. 已知平面向量a ⃗,b⃗⃗,,a ⃗⊥b⃗⃗,,则的最大值是__________.班级： 姓名： 线订装三、解答题（每小题12分,共60分）17. 已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2,a 4,a 7成等比数列,且S 5=50. (1)求a n ; (2)求数列{1a n a n+1}的前n 项和T n .18. 在ΔABC 中,AB =2,AC =3,D 为BC 边上的中点. (1)求sin∠BADsin∠DAC的值; (2)若∠BAD =2∠DAC ,求AD .19. 某工厂生产一批零件,为了解这批零件的质量状况,检验员从这批产品中随机抽取了100件作为样本进行检测,将它们的重量(单位:g )作为质量指标值.由检测结果得到如下频率分布表和频率分布直方图.(1)求图中a ,b 的值; (2)根据质量标准规定:零件重量小于47或大于53为不合格品,重量在区间[47,49)和(51,53]内为合格品,重量在区间[49,51]内为优质品.已知每件产品的检测费用为5元,每件不合格品的回收处理费用为20元.以抽检样本重量的频率分布作为该批零件重量的概率分布.若这批零件共400件,现有两种销售方案: 方案一:对剩余零件不再进行检测,回收处理这100件样本中的不合格品,余下所有零件均按150元/件售出; 方案二:继续对剩余零件的重量进行逐一检测,回收处理所有不合格品,合格品按150元/件售出,优质品按200元/件售出. 仅从获得利润大的角度考虑,该生产商应选择哪种方案?请说明理由.20. 已知函数f(x)=ax 2−ln(x −1)+1(a ∈R)存在极值点. (1)求a 的取值范围; (2)设f(x)的极值点为x 0,若f(x 0)<x 0,求a 的取值范围.装订线21. 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,离心率为√32,点D 在椭圆C 上,且ΔDF 1F 2的周长为4+2√3. (1)求椭圆C 的方程; (2)已知过点(1,0)的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,点P 在直线x =4上,求的最小值.四、选做题（每小题10分,共20分）22A. 在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t 为参数,0<α<π),以O 为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方方程为ρ(1−cos2Θ)=8cosΘ. (1)判断直线l 与曲线C 的公共点的个数,并说明理由; (2)设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ,B ,点P(1,−1),若,求tanα的值.22B. 已知实数a ,b 满足,. (1)证明:; (2)若pq >0,证明:(ap +bq)(aq +bp)⩾pq .班级： 姓名： 线 订装重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测理科数学答案和解析第1题： 【答案】C【解析】由集合,,则.第2题： 【答案】C【解析】复数为纯虚数,∴,,解得.第3题： 【答案】D【解析】两个平面向量,平行,则,或,所以“”是“”的充分不必要条件,故选D.第4题： 【答案】A【解析】.令,解得,, 当时,,所以A 选项是正确的.第5题： 【答案】B【解析】由已知可得,∴, 又,即,解得,∴.第6题： 【答案】C【解析】∵,∴,又∵, ∴,∴,∴与的夹角为.第7题： 【答案】D【解析】由已知,即,∴关于中心对称, 又当时,,作出函数的图象如图所示,由图可知的解集为.第8题： 【答案】C【解析】设第八人分得,则等差数列公差为,,解得.第9题： 【答案】A【解析】当时,,,∴,排除C 、D; 又当时,,,∴,排除B,故选A.第10题：装订线【答案】A【解析】由已知得,, ∵,∴,解得, ∴,∴.第11题： 【答案】C【解析】已知,根据余弦定理,可得,整理得,即,∴,∴即,当且仅当时,有最小值.第12题： 【答案】A【解析】将两式相减得,整理得,,当时,,当时,,∴①错; 将两式相加得, 化简得. 令,∴为公比等于的等比数列,其首项为, ∴,∴, ∵,∴递增,递增,∴为递增数列,∴②正确; 由上式可得,,,, ∴, 令,∴, 又,∴, ∵,递增,递增,∴为递增数列,∴③正确; 由上式可知,,, ∵,∴为递增数列,且按指数增长,为递增数列,且按对数增长,∴,使得当时,,即,∴④正确.第13题：【答案】【解析】,∴当时,; ∴据题意,得,∴,故答案为:.第14题：【答案】【解析】由图可知,,, ∴,即,得,∴, 又∵函数图像过,∴,解得, 又,∴.第15题：【答案】【解析】由已知得,∵在单调递增, ∴在上恒成立,化简得, 令,∴,∴,∴.第16题：【答案】【解析】不妨设,,,∵, ∴,代入坐标得,即, ∴以原点为起点,向量的终点在以为圆心,为半径的圆上, ∴可表示为到的距离, ∴其最大值为.第17题：【答案】见解答【解析】(1)由题知,而,故, 由,∴,,∴. (2), ∴前项和.第18题：【答案】见解答【解析】(1)由题知,即, ∴. (2)由,∴∴, 在中,, 在中,,而,∴.第19题：【答案】见解答【解析】(1)由题知,. (2)该工厂若选方案一:收入为元, 若选方案二:收入为元, 利润方案二比方案一高元,所以,选方案二.第20题：【答案】见解答班级：姓名： 线订装【解析】(1)函数的定义域为,, 当时,,无极值点;当时,或,设,则,当时,的两根一个小于、一个大于,故有一个极值点;当时,对称轴为知的两根均小于,故无极值点;综上所述,. (2)由(1)知且,∴,,令,显然在上单增,又,∴即,∴,∴.第21题：【答案】见解答【解析】(1)由题意可得:,解得:,故椭圆方程为:. (2)①当直线与轴平行时,取,,,则,,,所以最小值为; ②当直线不与轴平行时,设,,,设直线方程为. 联立方程有, 设线段的中点为,则有,其中, 令,则, 又令,则, 当,即时,取最小值, 当且当时取等号, 所以,,当时取等号. ∴的最小值为.第22A 题： 【答案】见解答【解析】(1), 即,将直线的参数方程代入得, 即,由知,,故直线与曲线有两个公共点. (2)由(1)可设方程的两根为,, 则,, 故, ∴,即,∴.第22B 题： 【答案】见解答 【解析】(1)∵,故. (2), 由,得,得证.。
重庆南开中学2020级高三第四次教学质量检测考试数学理科试卷+解析
绝密★启用前重庆南开中学2020级高三第四次教学质量检测考试理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 已知复数z 满足i i z 2)1(=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的模=||z （ ）A. 1B.C. 2D. 2. 抛物线y x 22=的焦点到准线的距离为（ ）A. 4B. 2C. 1D.143. 已知全集R U =，集合{}0)4(<-=x x x A ，{}1)1(log 2>-=x x B ，图中阴影部分所表示的集合为 （ ）A. {}21<<x xB. {}32<<x xC. {}30≤<x xD. {}40<<x x 4. 已知b a ,均为实数，则下列说法一定成立的是（ ）A.若a b >，c d >，则cd ab >B. 若ba 11>，则b a < C.若b a >，则22b a >D. 若b a <||，则0>+b a5. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，a x x f x -+=22)(，则=-)1(f （ ）A. 3B. 3-C. 2-D. 1-6. 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为 （ ）A. 22230x y x +--=B. 2240x y x ++=C. 22230x y x ++-=D. 2240x y x +-=7. 诗歌是一种抒情言志的文学载体，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，是抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街灯笼最少几盏（ ）A.70B.128C.140D.1508. 若等边ABC ∆的边长为1，点M 满足CA CB CM 2+=，则=⋅MB MA （ ）B.2C.D.39．已知),(y x P 为不等式组(2)(2)00y x y x x a -+≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域内任意一点，当该区域的面积为2时，函数y x z +=的最大值是（ ）A.3B.2C.1D.010. 如图，ABC ∆内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且1c o s 2b c a C -=，延长BA 至D ，是B C D ∆是以BC 为底边的等腰三角形，6π=∠ACD ，当2=c 时，边=CD（ ）A. 3B. 2C. 42+D.23+11. 已知曲线x ae x f =)()0(>a 与曲线)0()(2>-=m m x x g 有公共点，且在该点处的切线相同，则当m 变化时，实数a 的取值范围是（ ）A. 24(0,)e B. 6(1,)e C. )4,0(e D. )8,1(2e12. 如图，已知双曲线)0(12222>>=-a b by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若21F AF ∆的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（ ）A.3B.54C.53D.2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知3tan =α，则=++ααααsin 3cos sin cos 2__________.14. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的上顶点为B ，右焦点为)0,2(F ，)0,22(aM -，且满足BM BF ⊥，则椭圆C 的标准方程为__________.15. 已知实数1,>b a ，且满足5=--b a ab ，则b a 32+的最小值为__________.16. 在学习导数和微积分是，应用到了“极限”的概念，极限分为函数极限和数列极限，其中数列极限的概念为：对数列{}n a ，若存在常数A ，对于任意0>ε，总存在正整数0N ，使得当0N n ≥时，ε<-||A a n 成立，那么称A 是数列{}n a 的极限，已知数列{}n b 满足：1211+=+n n b b ，31=b ，*N n ∈，由以上信息可得{}n b 的极限=A __________，且001.0=ε时，0N 的最小值为__________. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S a ,,2成等差数列，令*2,log N n a b n n ∈=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和.n T18．（本小题满分12分）已知向量)3,(sin -=x ，)cos ,1(x =，且函数().f x m n = （1）若]2,0[π∈x ，且32)(=x f ，求x sin 的值； （2）若将函数)(x f 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的21，再将所得图像向左平移4π个单位，得到)(x g 的图像，求函数)(x g 在]2,0[π∈x 的值域。
重庆市南开高三数学12月月考试题理(无答案)新人教A版
高三12月月考数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1．已知集合1{|2}2x A x =>, 2{|1}B x x =≤,则A B =（ ）A ．{|11}x x -<≤B ．{|01}x x <≤C ．{|1}x x <-D ．{|1}x x ≥2．已知p ：ax+y+1=0与直线ax-y+2=0垂直，q ：a=1，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的离心率32e =，一条准线方程为43x =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．45y x =±B ．54y x =±C ．y x =D ．y = 4．向量(1,)a x =，(2,1)b =-，若a b ⊥，则|2|a b +=（ ）A ．5C ．3D ．25．将函数2sin()3y x π=-的图像向左平移6π个单位，所得函数图像的一条对称轴是（ ） A ．6x π=B ．6x π=-C ．3x π=-D ．3x π= 6．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和是n S ，若2{log }n a 是公差为﹣1的等差数列，且62132S =，则1a 的值是（ ） A ．34B ．23C ．12D ．13 7．已知,x y R +∈，且411121x y +=++，则2x y +的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8．98．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 是抛物线24y x =的焦点，两曲线的一个交点为P ，且||4PF =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．23D ．12 9．已知实数a 、b 满足230a b -+≥，且使得函数321()3f x x ax bx =++无极值，则12b a ++的取值范围为（ ）A ．[4]-B ．134,]14C ．4,2]D ．13[,2]1410．如图，在平面直角坐标系中，边长为n a 的一组正三角形1n n n A B B -的底边1n n B B -依次排列在x 轴上（0B 与坐标原点重合）。
重庆市南开中学高三12月月考(全科6套)(1)重庆市南开中学高三12月月考理综试题
重庆南开中学高2015级高三12月月考理科综合能力测试试题卷理科综合能力测试试卷分为物理、化学、生物三个部分．物理部分l至4页，化学部分5至8页，生物部分9至12页，共12页．满分300分．考试时间150分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如衙改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题和选做题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，将试题卷带走，仅将答题卡交回．物理(共110分)一、选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．如图所示，一只蜗牛沿着葡萄枝缓慢爬行，若葡萄枝的倾角为a，则葡萄枝对重为G的蜗牛的作用力为A．Gsina B．GcosaC．G D．大于G2．2013年6月20日上午10时，我国首次太空授课在神州十号飞船中由女航天员王亚平执教，在太空中王亚平演示了一些奇特的物理现象，授课内容主要是使青少年了解微重力环境下物体运动的特．点。
如图所示是王亚平在太空仓中演示的悬浮的水滴，关于悬浮的水漓，下列说法正确的是A．水滴处于失重状态B．水滴处于平衡状态C．水滴处于超重状态D．环绕地球运行时的线速度一定大于7.9 km／s3．电容器C1、C2和可变电阻器R1、R2以及电源E连接成如图所示的电路。
当Rl的滑动触头在图示位置时，Cl、C2的电量相等。
现要使Cl的电量大于C2的电量，应该A．增大R2B．减小R2C．将R1的滑动触头向A端移动D．将R1的滑动触头向B端移动4．如图所示竖直放置的两个平行金属板间存在匀强电场，与两板上边缘等高处有两个质量相同的带电小球，P小球从紧靠左极板处由静止开始释放，Q小球从两板正中央由静止开始释放，两小球最终都能运动到右极板上的同一位置，则从开始释放到运动到右极板的过程中它们的A．运行时间B．电势能减少量之比C．电荷量之比D．动能增加量之比5．如图所示，一质量为m的小球套在光滑竖直杆上，轻质弹簧一端固定于O 点，另一端与该小球相连，现将小球从A点由静止释放，沿竖直杆运动到B点，已知OA 长度小于OB说法正确的是A．小球机械能守恒B．弹簧弹力对小球先做正功再做负功C．加速度等于重力加速度g的位置只有一个D．弹簧弹力的功率为零的位置有三个二、非选择置(本大属共4个小题，共68分)6．(19分)(1)在“测定金属的电阻率”的实验中，用螺旋测微器测量金属丝直径时的刻度位置如图所示，用米尺测出金属丝的长度L，金属丝的电阻大约为5，先用伏安法测出金属丝的电阻R2，然后根据电阻定律计算出该金属材料的电阻率。
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重庆市南开中学2020级高三数学理科12月月考试卷2020.12.11一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知=-==-==B A x y y B x y x A I 则},1|{,1|{22（ ）A ．),1[]1,(+∞--∞YB ．),1[+∞C ．),0[+∞D ．[0，1]2．已知点P 分有向线段比为分有向线段则的比为PB A AB ,31（ ）A ．－4B ．4C ．41 D ．41- 3．已知b a b a ⋅︒︒=︒︒=则),65sin ,25(sin ),35sin ,55(sin =（ ）A ．︒10sinB ．23 C ．21 D ．21-4．在等差数列}{n a 中，已知S 3=9，S 9=54，则}{n a 的通项n a 为 （ ）A ．33-=n a nB ．n a n 3=C ．2+=n a nD ．1+=n a n5．给定两个向量x b a b x a b a 则若),()(),1,2(),4,3(-⊥+==的值等于 （ ）A ．－3B ．23 C ．3D ．23-6．已知函数,2sin )cos (sin 2)(x x x x f ++=则)(x f 值域为（ ）A ．]2,2[-B ．]221,2[--C ．]221,2[+-D ．]221,221[+- 7．若=+=-=+)4tan(,41)4tan(,52)tan(πβπαβα则 （ ）A ．183 B ．1813 C ．223D ．22138．要得到函数1)42cos(+-=πx y 的图象，只需将函数x y sin =的图象作下列变换，其中正确的变换是（ ）A ．先纵坐标不变，横坐标缩短原来的,21再按向量（1,8π-）平移B ．先纵坐标不变，横坐标缩短原来的,21再按向量（1,4π）平移 C ．先按向量（1,4π）平移，再纵坐标不变，横坐标缩短原来的,21D ．先按向量（1,8π-）平移，再纵坐标不变，横坐标缩短原来的,219．函数)2cos 2(sin log 5.0x x y +=的单调递增区间为（ ）（其中Z k ∈） A ．)83,4(ππππ++k kB ．)83,8(ππππ++k kC ．)85,8(ππππ++k kD ．)83,8(ππππ+-k k10．已知点O 为ABC ∆的外心，且2||4==AB AC ，则 )(AB AC AO -⋅等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卡相应位置上。
11．已知)4,3(=a ，则与a 共线的单位向量为 12．等比数列}{n a 中，,50,07364=+>a a a a a n 则=5a 13．若向量b a ,的夹角为30°，,4||,3||==b a 则=-|2|b a 。
14．已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则=)(x f 15．在ABC ∆中，,B A >则下列不等式中正确的序号为 。
（将你认为正确的都填上） ①B A sin sin >②B A cos cos <③B A 2sin 2sin > ④B A 2cos 2cos <16．物理学中，我们通常用“沙摆实验”来研究简谐震动，如图所未，在一次实验中，我们以速度v 0匀速拖动木 板，细纱在木板上形成的图象刚好是函数x y cos =在[)+∞,0上的图象，现保持其它实验条件不变，以初速度v 0，加速度a 匀加速拖动木板，则细纱在木板上开 成的图象的函数解析式为三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（13分）平面内给定三个向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a（1）求|223|c b a -+（2）若),2//()(b a c k a -+求实数k 的值18．（13分）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，︒==60,7A a ，b+c=5且b<c求：b ，c 及sin C19．（12分）已知函数).(2sin 3cos 2)(2R a a x x x f ∈++=（1）若)(,x f R x 求∈的单调递增区间； （2）若)(,]2,0[x f x 时π∈的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值。
20．（12分）某港口水的深度y （米）是时间)(,):,240(t f y t t =≤≤记作的函数时单位，下经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数b t A y +=ωsin 的图象。
（Ⅰ）试根据以上数据，求出函数)(t f y =的近似表达式；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需下碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）。
21．（12分）已知c x x f +=2)(（c 为实常数）且)1()]([2+=x f x f f ，其图象和y 轴交于A点；数列}{n a 为公差为d （d ＞0）的等差数列，且a 1=d ；点列B i （a i ，f （a i ））（i =1，2，…，n ）（1）求函数)(x f 的表达式；（2）设p i 为直线AB i 的斜率，q i 为直线B i B i+1的斜率，求证数列b n =q n －p n 仍为等差数列； （3）求11+-∆n n n B B B 的面积；22．（12分）已知βα,是方程)(01442R t tx x ∈=--的两个不等实根，函数12)(2+-=x tx x f 的定义域为],[βα（1）证明)(x f 在区间],[βα上是增函数（2）对任意|)()(|],,[,2121x f x f K x x -≥∈βα恒成立，求K 的最小值g （t ） （3）若对锐角21,u u 有1sin sin 21=+u u ，试证：63291)(tan 1)(tan 121<+u g u g[参考答案]一、选择题：BDBDA CCAAC 二、填空题 11．（54,53）或)54,53(--12．5 13．2 14．)44sin(4ππ+x15．①②④ 16．aaxv v v y 2cos20020++-=17．解：（1）)6.0()2,8()2,1()6,9()1,4(2)2,1()2,3(323=--+=--+=-+c b a660|23|22=+=-+∴（2）)2,34()1,4()2,3(++=+=+k k k c k a Θ)2,5()2,3()2,1(22=--=-a b )2//()(a b kc a -+Θ)2(5)34(2+-=+∴k k1316-=∴k 18．解：A ac c b a cos 2222-+=Θbc bc c b bc c b 3253)(7222-=-+=-+=∴,6=∴bc 又c b c b <=+,5 3,2==∴c b,sin sin CcA a =Θ142137323sin sin ===∴c a A C19．解：（1）)1()62sin(22sin 32cos 1)(+++=+++=a x a x x x f π当),](22,22[62Z k k k x ∈+-∈+πππππ即)](6,3[Z k k k x ∈+-∈ππππ时，)(x f 为增函数（2）当]2,0[π∈x 时，]67,6[62πππ∈+x ],21[)62sin(-∈+∴πx ， ]3,[)(+∈a a x f ,43=+∴a1=∴a当4)(=x f 时，Z k k x ∈++,2262πππ即,,6Z k k x ∈+=ππ又],2,0[π∈x Θ6π=∴x20．解：（Ⅰ）由已知数据，易知函数)(t f y =的周期T=12振幅A=3 b=10106sin3+=∴ty π（Ⅱ）由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米）5.11106sin3≥+tπ 216sin≥∴tπ 解得，)(652662Z k k t k ∈+≤≤+πππππ )(512112Z k k t k ∈+≤≤+在同一天内，取k=0或151≤≤∴t 或1713≤≤t∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时21．解：（1）c c x c x f x f f ++=+=222)()()]([c c x c x x f ++=++=+22222)()1()1(∴c=11)(2+=∴x x f（2）易得A 点为（0，1）,1)(2id a a a a a f p i ii i i i ===-=∴d i da a a a a f a f q i i i i i i i )12()()(22111+=-=--=+++d b b d n p q b n n n n n =-+=-=∴-1,)1( }{n b ∴也为等差数列（3）三角形11+-n n n B B B 的面积))](()([21))](()([21111111---+-+-----=n n n n n n n n a a a f a f a a a f a f )))](()(())()([2111111-+--+--+--n n n n n n a a a f a f a f a f 3222)16(21)12(212)4(21d d d n d d n d nd =----= 22．解：（1）设,21βα≤<≤x x 则,0144,0144222121≤--≤--tx x tx x所以，,021)(2,02)(4)(42121212221<-+-≤-+-+x x t x x x x t x x 而,0)1)(1(]22)()[(1212)()(212221211221122212>+++-+-=+--+-=-x x x x x x t x x x t x x t x x f x f 因此，)(x f 在区间],[βα上是增函数。
法二：222)1(222)(+---='x tx x x f ， 由于βα,是方程01442=--tx x 的两等不实根，所以对],,[βα∈x01442≤--tx x ，所以0)(>'x f故)(x f 在],[βα上为增函数。
（2）因为对任意的|)()(|],,[,2121x f x f K x x -≥∈βα恒成立所以],[,)()(min max βα∈-≥x x f x f K又)(x f 在],[βα上为增函数，所以)()(αβf f K -≥ 所以1]22)()[()()()(2222min ++++-+-=-==βαβααββααβαβt f f t g K12)()(]22)([4)(222+-+++-+-+=αββααβαββααβαβt由韦达定理知，41,-==+αββαt 于是2516)52(18)(222+++=t t t t g（3）9cos 16)3cos 2(cos 825tan 16)5tan 2(1tan 8)(tan 22222++=+++=iii i i i i u u u u u u u g )2,1(cos 916616cos 91624162cos 916cos 24cos 16222=+=+⨯≥++=i u u u u u ii i ii 故)]cos (cos 9216[6161)(tan )(tan 1221221u u u g u g ++⨯≤+)]cos cos 1(9216[61612212u u +-+⨯=)]sin (sin 929216[61612212u u +-⨯+⨯=632912)sin (sin 950(6161221=+-≤u u显然，上述不等式不能同时取等号，所以63291)(tan )(tan 121<+u u g。