勾股定理的应用的专题讲解
第五讲 勾股定理的应用(解析版)
第五讲 勾股定理的应用目录必备知识点 (1)考点一 勾股定理的应用一--翻折问题 (2)考点二 勾股定理的应用--路径最短 (9)必备知识点【模型1】蚂蚁沿立方体的表面爬行，从A 点到B 点的最短路径？【路径演示】（1）AB=bc 2)(a 22222+++=++c b a c b ；（2）AB=b 2)(c 22222a c b a a b +++=++；（3）AB=c 2)(b 22222a c b a a c +++=++。
由此可见，ab、bc 、ac谁小，则路径就最小。
知识导航【结论】最短路径=22)(次长边最短边最长边++【模型2】蚂蚁沿圆柱体的表面爬行，从A 点到C 点的最短路径？【路径演示】由图可知蚂蚁爬行的最短路径AC=22h )(+r π考点一 勾股定理的应用一--翻折问题1．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CD 的长为 cm ．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10，∵AC＝8，∴CE＝AE﹣AC＝2，即CE的长为2，设CD＝x，则BD＝6﹣x＝DE，在Rt△CDE中，根据勾股定理得CD2+CE2＝DE2，即x2+22＝（6﹣x）2，解得x＝，即CD长为cm．故答案为：cm．2．如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 8 ．【解答】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，∵D是BC的中点，∴BD＝BC＝6，在Rt△NBD中，BN2+BD2＝DN2，x2+62＝（18﹣x）2，解得：x＝8．即BN＝8．故答案为：8．3．如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD＝3，DE＝1，则AB＝ 5 ．【解答】解：∵折叠，∴△ADE≌△AD'E，∴AD＝AD'＝3，DE＝D'E＝1，∠DEA＝∠D'EA，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DEA＝∠EAB，∴∠EAB＝∠AEB，∴AB＝BE，∴D'B＝BE﹣D'E＝AB﹣1，在Rt△ABD'中，AB2＝D'A2+D'B2，∴AB2＝9+（AB﹣1）2，∴AB＝5故答案为：54．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为 ．【解答】解：连接BF，∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝3，又∵AB＝4，∴AE＝＝5，∴BH＝，则BF＝，∵FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°，根据勾股定理得，CF＝＝＝．故答案为：．5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求AC和EB′的长．【解答】解：设EB′＝x，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，由折叠的性质可知，BE＝EB′＝x，AB′＝AB＝6，则CB′＝AC﹣AB′＝4，EC＝BC﹣BE＝8﹣x，由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴EB′＝3．6．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD．（1）求证：OP＝OF；（2）求AP的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8．由翻折的性质可知：EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，在△ODP和△OEF中，，∴△ODP≌△OEF（ASA）．∴OP＝OF．（2）∵△ODP≌△OEF（ASA），∴OP＝OF，PD＝EF．∴DF＝EP．设AP＝EP＝DF＝x，则PD＝EF＝6﹣x，CF＝8﹣x，BF＝8﹣（6﹣x）＝2+x，在Rt△FCB根据勾股定理得：BC2+CF2＝BF2，即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝4.8，∴AP＝4.8．7．如图，将对角线BD长为16的正方形ABCD折叠，使点B落在DC边的中点Q处，点A落在P处，折痕为EF．（1）求线段AB和线段CF的长；（2）连接EQ，求EQ的长．【解答】解：（1）∵对角线BD为16，∴AB＝BC＝CD＝AD＝＝16，设CF＝x，由折叠可知QF＝BF＝16﹣x，由于Q为CD中点，则CQ＝＝8，在直角三角形CFQ中，由勾股定理可得：（16﹣x）2＝82+x2，解得：x＝6．故CF＝6．（2）如图所示，连接EQ，作EG⊥BC于点G，连接BQ交EF于点H，由折叠可知AE＝PE，BQ⊥EF，∴∠BFE+∠FBQ＝90°，又∠BFE+∠GEF＝90°，∴∠FBQ＝∠GEF，在△EGF和△BCQ中，，∴△EGF≌△BCQ（ASA），∴GF＝CQ＝8，∴AE＝BG＝BF﹣GF＝10﹣8＝2，即PE＝2，由折叠可得PQ＝AB＝16，∠P＝90°，由勾股定理有EQ＝＝＝．8．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长．【解答】解：设CD与BE交于点G，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，由翻折的性质得：△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP＝OG，PD＝GE，∴DG＝EP，∴AP＝EP＝DG，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x，在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝4.8，∴AP＝4.8．考点二勾股定理的应用--路径最短9．如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A 沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是多少？【解答】解：①如图1，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB＝＝20（cm）；②如图2，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝（cm）；③如图3，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，在Rt△ANB中，由勾股定理得：AB＝＝7（cm）．∴蚂蚁爬行的最短路程是20cm．10．如图，是放在地面上的一个无盖的长方形盒子，长、宽、高分别是4cm，4cm，6cm．一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？【解答】解：（1）如图1所示：AB＝＝10（cm），如图2所示：AB＝（cm）．∵10＜，∴蚂蚁沿着正面和右面爬行即可；蚂蚁爬行的最短路程是10cm．11．如图，圆柱形容器高为0.8m，底面周长为4.8m在容器内壁离底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短路程是多少？【解答】解：如图，将容器侧面展开，连接AB，则AB即为最短距离．∵圆柱形容器高为0.8m，底面周长为4.8m在容器内壁离底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A处，∴AD＝0.8m，DE＝2.4m，过B作BC⊥AD于C，则∠BCD＝90°，∵四边形ACEF是矩形，∴∠CDE＝∠DEB＝∠CAF＝∠BFA＝90°，∴四边形BCDE和四边形ACBF是矩形，∴CD＝BE＝0.1m，BC＝DE＝2.4m，∴AC＝AD﹣CD＝0.7m，在直角△ABC中，AB＝＝＝2.5（m）．答：壁虎捕捉蚊子的最短路程是2.5m．12．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．【解答】解：如图所示：台阶平面展开图为长方形，AC＝20，BC＝5+5+5＝15，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，即AB2＝202+152，∴AB＝25，∴最近距离为25．13．如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？【解答】解：展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，由勾股定理得：AB＝＝＝150cm，答：最短路程是150cm．14．（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？【解答】解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：（cm）．（2）分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm＞AG＝cm，所以最短路程为cm；（3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝13（Cm）．。
勾股定理应用典型题型讲解
勾股定理应用典型题型讲解摘要：一、引言二、勾股定理的概念及公式三、勾股定理的应用范围四、典型题型讲解1.直角三角形中的勾股定理应用2.锐角三角形和钝角三角形中的勾股定理应用3.应用勾股定理解决实际问题五、总结与展望正文：一、勾股定理的概念及公式勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在直角三角形中，直角边平方和等于斜边的平方。
数学表达式为：a + b = c。
其中a、b为直角边，c为斜边。
二、勾股定理的应用范围勾股定理的应用范围非常广泛，包括几何、物理、工程等领域。
在解决实际问题时，了解勾股定理的适用场景和条件是关键。
三、典型题型讲解1.直角三角形中的勾股定理应用在直角三角形中，已知两边长度求第三边长度或已知两边及夹角求第三边长度等问题，可以利用勾股定理轻松解决。
例题：已知直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，求AB的长度。
解：由勾股定理可知，AB = AC + BC = 3 + 4 = 9 + 16 = 25。
故AB = 5。
2.锐角三角形和钝角三角形中的勾股定理应用在锐角三角形和钝角三角形中，我们可以利用勾股定理判断三角形是否为直角三角形，或者求解三角形中的角度和边长。
例题：已知三角形ABC中，AB = 5，AC = 4，BC = 3，求∠B的度数。
解：由勾股定理可知，AB = AC + BC，故∠B为直角，∠B = 90°。
3.应用勾股定理解决实际问题在实际问题中，如测量距离、构建支架等，可以利用勾股定理进行计算和估算。
例题：一块矩形土地的长为100米，宽为60米，现欲在其四个角上搭建四个高为h米的支架，求支架高度h的最大值。
解：设矩形对角线的长度为d，则d = 100 + 60 = 10000 + 3600 = 13600。
由勾股定理可知，d = √(13600)。
支架高度h的最大值即为d/2，故h = √(13600)/2。
四、总结与展望本文通过对勾股定理的概念、应用范围及典型题型的讲解，旨在帮助读者更好地理解和运用勾股定理。
勾股定理的应用领域总结(经典、实用)
勾股定理的应用领域总结（经典、实用）
勾股定理是数学中一项经典的定理，广泛应用于各个领域。
本文将总结勾股定理在经典领域和实用领域的应用。
经典领域
几何学
勾股定理最早在几何学中得到应用，用于解决直角三角形的边长或角度问题。
在几何学中，勾股定理为计算直角三角形提供了最基本的工具。
物理学
在物理学中，勾股定理常用于计算向量的大小和方向。
它可以应用于解决力学、电磁学和流体力学等领域的问题。
导航和航空
勾股定理在导航和航空领域中有着重要的应用。
通过测量三角形边长和角度，可以计算出物体或飞机的位置、速度和方向，从而实现准确的导航和飞行控制。
实用领域
工程学
在工程学中，勾股定理广泛应用于建筑、机械和电子等领域。
例如，在建筑设计中，可以使用勾股定理计算物体的尺寸和角度，确保设计符合规格要求。
计算机图形学
在计算机图形学中，勾股定理用于计算三维空间中的距离和角度。
这对于创建模型、渲染图像和进行虚拟现实等应用非常重要。
经济学
勾股定理在经济学中也有应用，特别是在统计学中。
通过应用勾股定理，可以计算变量之间的关系和相关性，从而进行经济数据的分析和预测。
结论
勾股定理作为一项经典的数学定理，广泛应用于各个领域。
从经典领域的几何学和物理学，到实用领域的工程学、计算机图形学和经济学，勾股定理都发挥着重要作用。
通过应用勾股定理，我们可以解决各种问题，提高生产效率和实现创新发展。
用勾股定理解决实际问题
用勾股定理解决实际问题勾股定理是数学中的基本定理之一，它描述了一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理在实际生活中有着广泛的应用，特别是在计算机图形学、建筑设计、地理测量和航天航空等领域。
本文将通过几个实际问题的例子，探讨如何运用勾股定理解决实际问题。
一、房屋设计中的勾股定理应用在房屋设计中，为了保证建筑的结构稳定和美观，需要进行精确的测量和计算。
勾股定理在房屋设计中起着重要的作用。
例如，在设计一个三角形屋顶的平面布置时，我们需要测量斜边的长度。
假设一栋楼房的两个直角边分别为6米和8米，请问斜边的长度是多少？根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：斜边长度= √(直角边1的长度² + 直角边2的长度²)代入已知数值，斜边长度= √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10米因此，该三角形屋顶的斜边长度为10米。
二、地理测量中的勾股定理应用在地理测量中，勾股定理可以帮助我们计算两个点之间的距离、角度和方位。
例如，假设我们需要测量两个山顶之间的直线距离，我们只能在地面上进行测量。
假设山顶A和山顶B之间的两个直角边长度分别为300米和400米，请问山顶A和山顶B之间的直线距离是多少？根据勾股定理，直线距离可以通过以下公式计算：直线距离= √(直角边1的长度² + 直角边2的长度²)代入已知数值，直线距离= √(300² + 400²) = √(90000 + 160000) =√250000 = 500米因此，山顶A和山顶B之间的直线距离为500米。
三、建筑设计中的勾股定理应用在建筑设计中，勾股定理可以用于计算斜面的长度和倾斜角度。
例如，在设计一个斜坡道时，我们需要计算斜坡的长度和倾斜角度。
假设斜坡的水平距离为10米，垂直高度为2米，请问斜坡的长度和倾斜角度分别是多少？根据勾股定理，斜坡的长度可以通过以下公式计算：斜坡长度= √(水平距离² + 垂直高度²)代入已知数值，斜坡长度= √(10² + 2²) = √(100 + 4) = √104 ≈ 10.20米因此，斜坡的长度约为10.20米。
勾股定理的应用-课件
在实际应用中，可以利用勾股定 理来检验一个三角形是否为直角 三角形，从而确定角度和边长之 间的关系。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是：如果一个三角 形的一组边长满足勾股定理，则这个 三角形一定是直角三角形。
通过勾股定理的逆定理，可以用来判 断一个三角形的角度和边长是否满足 直角三角形的条件，从而确定其是否 为直角三角形。
如何进一步推广和应用勾股定理
跨学科应用
01
鼓励将勾股定理应用于其他学科，以促进跨学科的学习和理解
。
创新教学方法
02
通过创新教学方法，例如使用数字化工具和互动游戏，提高学
生对勾股定理的兴趣和参与度。
实际应用
03
鼓励学生将勾股定理应用于实际问题解决中，例如在建筑、工
程和科学实验等领域。
THANKS
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确定直角三角形
勾股定理可以用来确定一个三角形是 否为直角三角形，只需验证三边关系 是否满足勾股定理即可。
计算直角三角形边长
判断三角形的稳定性
勾股定理的应用可以帮助我们判断三 角形的稳定性，因为只有直角三角形 满足勾股定理，所以只有直角三角形 是稳定的。
已知直角三角形两条边的长度，可以 使用勾股定理计算第三边的长度。
。
在气象学中，勾股定理也被用于 计算气象气球上升的高度和速度 ，以了解大气层的结构和变化。
05
勾股定理的未来发展
勾股定理在现代数学中的应用
代数证明
勾股定理可以通过代数方法进行证明，这有助于学生更好地理解 代数和几何之间的联系。
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关，通过应用勾股定理，可以解决一些 与三角函数相关的问题。
在海上导航中，勾股定理也用于确定船只的经度和纬度，以确保航行安全和准确 到达目的地。
勾股定理的应用及方法
勾股定理的应用及方法勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
具体表述为：在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a 和b，斜边的长度为c，则有a²+ b²= c²。
勾股定理的应用非常广泛，在几何学、物理学和工程学等领域都有重要的应用。
下面我将介绍一些常见的勾股定理的应用及解题方法。
1. 求解三角形的边长和角度：勾股定理可以用于求解三角形的边长和角度。
当我们已知两条边长，可以利用勾股定理计算出第三条边长。
而已知两边长和夹角时，可以利用勾股定理计算出第三边长或者求解夹角的大小。
例如，已知直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，我们可以利用勾股定理计算出另一条直角边的长度：3²+ b²= 5²9 + b²= 25b²= 16b = 4同样地，已知直角三角形的两条直角边长度为3和4，可以利用勾股定理计算斜边的长度：3²+ 4²= c²9 + 16 = c²c²= 25c = 52. 解决实际问题：勾股定理也可以应用于解决实际问题。
例如，在测量中，我们经常需要通过已知的边长计算其他未知边长的问题。
有一道经典的应用题是“房子问题”：如果一个房子的两堵墙的长度分别为6米和8米，房子的对角线长度是多少？根据勾股定理可知，对角线的长度即斜边的长度c，可以通过勾股定理求解：6²+ 8²= c²36 + 64 = c²c²= 100c = 10因此，房子的对角线长度为10米。
3. 判断三角形的形状：勾股定理还可以用来判断三角形的形状。
根据勾股定理，如果一个三角形的三条边满足a²+ b²= c²，那么这个三角形就是直角三角形。
例如，如果一个三角形的三条边长分别为3、4和5，我们可以通过勾股定理验证这个三角形是否为直角三角形：3²+ 4²= 5²9 + 16 = 2525 = 25由此可见，三角形的三条边满足勾股定理，所以这个三角形是一个直角三角形。
专题01 勾股定理的基本应用(解析版)
专题01 勾股定理的基本应用题型一 求面积1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2()24a b +=，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：设大正方形的边长为c ，则22214c a b ==+，2()24a b +=Q ，22224a ab b \++=，解得5ab =，\小正方形的面积是：1441425141042ab -´=-´=-=，故选：C ．2．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，则正方形C 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．12【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，24610C S \-=+正方形，8C S \=正方形．故选：C ．3．如图，点C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边向两侧作正方形．设6AB =，两个正方形的面积和1220S S +=，则图中BCD D 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解答】解：设AC a =，BC b =，由题意得：6a b +=，2220a b +=，222()2a b a b ab +=+-Q ，22062ab \=-，8ab \=，BCD \D 的面积118422ab ==´=．图中BCD D 的面积为4．故选：A ．4．正方形ABCD 的边长为1，其面积记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为2S ，L 按此规律继续下去，则2022S 的值为( )A ．20221()2B ．20211()2C ．2022D ．2021【解答】解：在图中标上字母E ，如图所示．Q 正方形ABCD 的边长为1，CDE D 为等腰直角三角形，222DE CE CD \+=，DE CE =，221S S S \+=．观察，发现规律：2111S ==，211122S S ==，321124S S ==，431128S S ==，¼，11()2n n S -\=．当2022n =时，202212021202211()()22S -==，故选：B ．5．如图，以正方形ABCD 的边AD 为直径作一个半圆，点M 是半圆上一个动点，分别以线段AM 、DM 为边各自向外作一个正方形，其面积分别为1S 和2S ，若正方形的面积为10，随点M 的运动12S S +的值为( )A ．大于10B ．小于10C ．等于10D ．不确定【解答】解：AB Q 为半圆的直径，90AMD \Ð=°，22210AM DM AD \+==，21S AM =Q ，22S DM =，1210S S \+=．故选：C ．6．如图，在四边形ABDE 中，//AB DE ，AB BD ^，点C 是边BD 上一点，BC DE a ==，CD AB b ==，AC CE c ==．下列结论：①ABC CDE D @D ；②90ACE Ð=°；③四边形ABDE 的面积是21()2a b +；④22111()2222a b c ab +-=´；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：//AB DE Q ，AB BD ^，DE BD \^，90B D \Ð=Ð=°．在ABC D 和CDE D 中，90AB CD B D BC DE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()ABC CDE SAS \D @D，A DCE \Ð=Ð，ACB E Ð=Ð．90A ACB Ð+Ð=°Q ，90DCE ACB \Ð+Ð=°．180DCE ACB ACE Ð+Ð+Ð=°Q ，90ACE \Ð=°，故①②正确；//AB DE Q ，AB BD ^，\四边形ABDE 的面积是21()2a b +；故③正确；Q 梯形ABDE 的面积-直角三角形ACE 的面积=两个直角三角形的面积，\22111()2222a b c ab +-=´，222a b c \+=．故③④⑤都正确．故选：A ．7．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，AD 平分BAC Ð，交BC 于点D ，6CD =，12AB =，则ABD D 的面积是( )A ．18B ．24C ．36D ．72【解答】解：作DH AB ^于D ，如图，AD Q 平分BAC Ð，DH AB ^，DC AC ^，6DH DC \==，1126362ABD S D \=´´=．故选：C ．8．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，5AC =，12BC =，分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则1234S S S S +++等于( )A ．60B ．80C ．90D ．120【解答】解：连接PF ，过点F 作FD AK ^于点D ，AB EB =Q ，90ACB ENB Ð=Ð=°，而90CBA CBE EBN CBE Ð+Ð=Ð+Ð=°，CBA EBN \Ð=Ð，()CBA NBE AAS \D @D ，故4ABC S S D =；同理ADF ABC D @D ，AC DF AQ CP \===，90QAC KDF PCD Ð=Ð=Ð=°Q ，//AQ DF \，\四边形CDFP 是矩形，90CPF \Ð=°，180QPC CPF \Ð+Ð=°，Q \，P ，F 三点共线，又FA AB =Q ，90FDA ACB Ð=Ð=°，而90FAD CAB CAB ABC Ð+Ð=Ð+Ð=°，FAD ABC \Ð=Ð，()FAD ABC AAS \D @D ，同理可证ACT FDK D @D ，2FDA ABC S S S D D \==，同理可证TPF KME D @D ，AQF ABC D @D ，13ADF ABC S S S S D D \+==，综上所证：1234133125902ABC S S S S S D +++==´´´=．故选：C ．9．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为4和10，则b 的面积为 14 ．【解答】解：如图，a Q 、b 、c 都为正方形，BC BF \=，90CBF Ð=°，24AC =，210DF =，1290Ð+Ð=°Q ，2390Ð+Ð=°，13\Ð=Ð，在ABC D 和DFB D 中，13BAC FDB BC FB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ABC DFB \D @D ，AB DF \=，在ABC D 中，2222241014BC AC AB AC DF =+=+=+=，b \的面积为14．故答案为14．10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，90BAC Ð=°，3AB =，4AC =，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则空白部分的面积为 60 ．【解答】解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，90BAC Ð=°Q ，3AB =，4AC =，347AO AB AC \=+=+=，3710KL \=+=，4711LM =+=，因此，矩形KLMJ 的面积为1011110´=，\空白部分的面积为22211034560---=，故答案为：60．11．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾6AE =，弦10AD =，则小正方形EFGH 的面积是 4 ．【解答】解：如图，Q 勾6AE =，弦AD =弦10AB =，\股8BE ==，\小正方形的边长862=-=，\小正方形的面积224==．故答案是：4．12．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，则正方形B 的面积为 8 ．【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，4186B S \+=-正方形，8B S \=正方形．故答案为：8．13．如图，在同一平面内，直线l 同侧有三个正方形A ，B ，C ，若A ，C 的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为 6 ．【解答】解：如图，作LM FE ^交FE 的延长线于点M ，交JI 的延长线于点N ，Q 四边形A 、B 、C 都是正方形，且正方形A 、C 的面积分别为9、4，90EKI EDR IHG \Ð=Ð=Ð=°，29DE =，24HI =，3DE \=，2HI =，1809090EDK KHI Ð=Ð=°-°=°Q ，90DKE KHI HIK \Ð=°-Ð=Ð，在EDK D 和KHI D 中，EDK KHI DKE HIK EK KI Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EDK KHI AAS \D @D ，2DK HI \==，3DE HK ==，13232EDK KHI S S D D \==´´=；90DEF HIJ Ð=Ð=°Q ，18090DEM DEF \Ð=°-Ð=°，18090HIN HIJ Ð=°-Ð=°，90KEL KIL Ð=Ð=°Q，90MEL DEK KEM \Ð=Ð=°-Ð，90NIL HIK KIN Ð=Ð=°-Ð，//EF l Q ，//IJ l ，//EF IJ \，90EML EMN N \Ð=Ð=Ð=°，在EML D 和EDK D 中，MIL DEK EML EDK EL EK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EML EDK AAS \D @D ，EM ED EF \==，3EFL EML EDK S S S D D D \===；在LNI D 和KHI D 中，NIL HIK N KHI IL IK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()LNI KHI AAS \D @D ，IN IE IJ ==Q ，3LJI LNI KHI S S S D D D \===，336EFL LJI S S D D \+=+=，\阴影部分的总面积为6．14．如图，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为25、9、16，AEH D 、BDC D 、GFI D 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123S S S ++= 18 ．【解答】解：DF DC =Q ，DE DB =，且180EDF BDC Ð+Ð=°，过点A 作AJ EH ^，交HE 的延长线于点J ，90J DFE \Ð=Ð=°，90AEJ DEJ DEJ DEF Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，AEJ DEF \Ð=Ð，AE DE =Q ，()AEJ DEF AAS \D @D ，AJ DF \=，EH EF =Q ，AHE DEF S S D D \=，同理：BDC GFI DEF S S S D D D ==，1233AHE BDC GFI DEF S S S S S S S D D D D ++=++=´，13462DEF S D =´´=，12318S S S \++=．故答案为：18．题型二 求线段长15．一个大正方形，被两条线段分割成两个小正方形和两个小长方形，若两个小正方形的面积分别为10和6，则小长方形的对角线AB 的长为( )A ．4B ．6C ．10D ．16【解答】解：如图，Q 两个小正方形的面积分别为10和6，26AC \=，210BC =，由勾股定理得，4AB ===．故选：A ．16．如图，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，以AB 为边在ABC D 外作正方形，其面积为9，以BC 为斜边在ABC D 外作等腰直角三角形，其面积为4，过点B 作BD AC ^交AC 于点D ，则(AD = )A ．85B ．94C ．95D ．2【解答】解：Q 以AB 为边的正方形的面积为9，29AB \=，Q 以BC 为斜边的等腰直角三角形的面积为4，\等腰直角三角形的腰长为216BC \=，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，则5AC ===，1122ABC S AB AC AC BD D =´´=´´Q ，\1134522BD ´´=´´，解得：125BD =，由勾股定理得：95AD ===，故选：C ．17．如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，CD AB ^于D ．已知15AB =，Rt ABC D 的周长为15+，则CD 的长为( )A ．5BC ．D ．6【解答】解：如图所示：Rt ABC D Q 的周长为15+，90ACB Ð=°，15AB =，AC BC \+=，222215225AC BC AB +===，22()AC BC \+=，即222405AC AC BC BC +´+=，2405225180AC BC \´=-=，90AC BC \´=，Q 1122AB CD AC BC ´=´，90615AC BC CD AB ´\===；故选：D ．18．若ABC=，高24=，则BC的长为( )cm．AD cmAC cmD中，30AB cm=，26A．28或8B．8C．28D．以上都不对Q为边BC上的高，【解答】解：AD\Ð=Ð=°．90ADB ADCBD===，在Rt ABDD中，18CD===．在Rt ACDD中，10当点D在线段BC上时，如图1，181028=+=+=；BC BD CD当点D在线段CB的延长线上时，如图2，18108=-=-=．BC BD CD\的长为28或8．BC故选：A．19．如图，在ABCBC=，6AB=，4AC=，则DE的^于D，且5D中，CE是AB边上的中线，CD AB长 2 ．【解答】解：设BD x=-，=，则5AD x在Rt ACD D 中，222CD AC AD =-，在Rt BCD D 中，222CD BC BD =-，2222AC AD BC BD \-=-，即22226(5)4x x --=-，解得，12x =，则12BD =，2DE BE BD \=-=，贵答案为：2．20．如图，锐角三角形ABC 中，2C B Ð=Ð，AB =，8BC CA +=，则ABC D 的面积为 【解答】解：过A 作AE BC ^于E ，延长BC 到D 使CD AC =，则CAD D Ð=Ð，ACB D CAD Ð=Ð+ÐQ ，2ACB D \Ð=Ð，2C B Ð=ÐQ ，B D \Ð=Ð，AB AD \=，BE DE \=，8BC CA +=Q ，8BD BC CD BC AC \=+=+=，4BE \=，AE \==，222AE CE AC \+=，即228(4)(8)BC BC +-=-，解得：5BC =，ABC \D 的面积11522BC AE ==´´=g故答案为：．21．如图所示，ABC D 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ^于点D ，则BD 的长为 3 ．【解答】解：由图形可知，5BC =，BC 边上的高为3，ABC \D 的面积1155322=´´=，由勾股定理得，5AC ==，则115522BD ´´=，解得，3BD =，故答案为：3．22．如图，在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，AC 的中垂线DE 交AC 于点D ，交BC 于点E ．延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求出CD 的长；（2）求出CF 的长．【解答】解：（1）在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，则AC ===，DE Q 是AC 的中垂线，12CD AC \==（2）DF Q 是AC 的中垂线，FA FC \=，3AB =Q ，33FB FA CF \=-=-，在Rt FBC D 中，222CF BC FB =+，即2226(3)CF CF =+-，解得：152CF =．23．如图，在ABC D 中，AB AC =，AD BC ^于点D ，45CBE Ð=°，BE 分别交AC ，AD 于点E 、F ．（1）如图1，若13AB =，10BC =，求AF 的长度；（2）如图2，若AF BC =，求证：222BF EF AE +=．【解答】（1）解：如图1，AB AC =Q ，AD BC ^，BD CD \=，10BC =Q ，5BD \=，Rt ABD D 中，13AB =Q ，12AD \==，Rt BDF D 中，45CBE Ð=°Q ，BDF \D 是等腰直角三角形，5DF BD \==，1257AF AD DF \=-=-=；（2）证明：如图2，在BF 上取一点H ，使BH EF =，连接CF 、CH 在CHB D 和AEF D 中，Q 45BH EFCBH AFE BC AF=ìïÐ=Ð=°íï=î，()CHB AEF SAS \D @D ，AE CH \=，AEF BHC Ð=Ð，CEF CHE \Ð=Ð，CE CH \=，BD CD =Q ，FD BC ^，CF BF \=，45CFD BFD \Ð=Ð=°，90CFB \Ð=°，EF FH \=，Rt CFH D 中，由勾股定理得：222CF FH CH +=，222BF EF AE \+=．24．如图，在ABC D 中，AD BC ^，垂足为点D ，13AB =，5BD =，15AC =．（1）求AD 的长；（2）求BC的长．【解答】解：（1）AD BC ^Q ，90ADB CDA \Ð=Ð=°．在Rt ADB D 中，90ADB Ð=°Q ，222AD BD AB \+=，222144AD AB BD \=-=．0AD >Q ，12AD \=．（2）在Rt ADC D 中，90CDA Ð=°Q ，222AD CD AC \+=，22281CD AC AD \=-=．0CD >Q ，9CD \=．5914BC BD CD \=+=+=．题型三 通过勾股定理设方程25．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD 和正方形EFGH ，即赵爽弦图．连接AC ，分别交EF 、GH 于点M ，N ，连接FN ．已知3AH DH =，且21ABCD S =正方形，则图中阴影部分的面积之和为( )A ．214B ．215C ．225D ．223【解答】解：21ABCD S =Q 正方形，221AB \=，设DH x =，则33AH DH x ==，22921x x \+=，22110x \=，根据题意可知：AE CG DH x ===，3CF AH x ==，32FE FG CF CG x x x \==-=-=，2FGN CGNS S D D \=AEM CGN S S D D =Q ，FGN AEM CGN S S S D D D \=+，\阴影部分的面积之和为：()12NGFM S NG FM FG =+×梯形1()2EM MF FG =+×12FE FG =×21(2)2x =´22x =215=．故选：B ．26．如图，在ABC D 中，90C Ð=°，点M 是AB 的中点，点N 在AC 上，MN AB ^．若8AC =，4BC =，则NC 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．【解答】解：如图，连接BN ，AB Q 的垂直平分线交AB 、AC 于点M 、N ，AN BN \=，设NC x =，则8AN BN x ==-，在Rt BCN D 中，由勾股定理得：222BN BC CN =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，即3NC =，故选：A ．27．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE a =，HG b =，则斜边BD 的长是()A B C ．a b +D ．a b-【解答】解：设CD x =，则DE a x =-，HG b =Q ，AH CD AG HG DE HG a x b x \==-=-=--=，2a bx -\=，22a b a bBC DE a -+\==-=，2222222()()222a b a b a b BD BC CD +-+\=+=+=，BD \=，故选：B ．28．在长方形ABCD 中，52AB =，4BC =，CE CF =，延长AB 至点E ，连接CE ，CF 平分ECD Ð，则BE = 76 ．【解答】解：如图，延长CF ，BA 交于点G ，连接EF ，过点F 作FH CE ^于H ，过点E 作EM CF ^于M ，Q 四边形ABCD 是矩形，且52AB =，4BC =，//AB CD \，52AB CD ==，90D ABC CBE Ð=Ð=Ð=°，DCF G \Ð=Ð，CF Q 平分ECD Ð，DCF FCE \Ð=Ð，FH DF =，G ECF \Ð=Ð，EC EG \=，ECG \D 是等腰三角形，CM MG \=，CE CF =Q ，ECF \D 是等腰三角形，EM CF ^Q ，FH CE ^，EM \和FH 是等腰三角形腰上的高，EM FH DF \==，Rt CDF Rt CME(HL)\D @D ，52CM CD \==，5CG \=，Rt CBG D 中，3BG ===，设BE x =，则3EC EG x ==+，Rt CBE D 中，222(3)4x x +=+，解得：76x =，76BE \=．故答案为：76．29．如图是“赵爽弦图”， ABH D ，BCG D ，CDF D 和DAE D 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果10AB =，且:3:4AH AE =．那么AH 等于 6 ．【解答】解：10AB =Q ，:3:4AH AE =，设AH 为3x ，AE 为4x ，由勾股定理得：222222(3)(4)(5)AB AH AE x x x =+=+=，510x \=，2x \=，6AH \=，故答案为：6．30．[阅读理解]如图，在ABC D 中，4AB =，6AC =，7BC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ，求线段AD 的长．解：设BD x =，则7CD x =-．AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°．在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-．又4AB =Q ，6AC =，222246(7)x x \-=--．解得2914x =，2914BD \=．AD \==．[知识迁移]（1）在ABC D 中，13AB =，15AC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ．)i 如图1，若14BC =，求线段AD 的长；)ii 若12AD =，求线段BC 的长．（2）如图2，在ABC D 中，AB =，AC =，过点A 作直线BC 的垂线，交线段BC 于点D ，将ABD D 沿直线AB 翻折后得到对应的ABD D ¢，连接CD ¢，若252AD =，求线段CD ¢的长．【解答】解：（1）)i 设BD x =，则14CD x =-，AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°，在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-，13AB =Q ，15AC =，22221315(14)x x \-=--，5x \=，5BD \=，12AD \===；)ii 在Rt ABD D 中，5BD ===，在Rt ACD D 中，9CD ===，当ABC Ð为锐角时，如图11-，5914BC BD CD =+=+=，当ABC Ð为钝角时，如图12-，954BC BD CD =-=-=；（2）如图2，连接DD ¢交AB 于点N ，则DD AB ¢^，过点D ¢作D H BD ¢^于H ，在Rt ABD D 中，254BD ==；在Rt ACD D 中，5CD ==，AB Q 垂直平分DD ¢，254D B DB ¢\==，2D D DN ¢=，1122ABD S AD BD AB DN D =×=×Q ，\252524DN ´=，DN \=2D D DN ¢\==，设HB m =，则254HD HB BD m =+=+，22222D H D D HD D B HB ¢¢¢=-=-Q ，22222525(()44m m \-+=-，154m \=，154HB \=，152541544HC HB BD CD \=++=++=，5D H ¢===，D C ¢\===．。
三角形中的勾股定理及其应用
三角形中的勾股定理及其应用勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中三条边之间的关系。
根据勾股定理，直角三角形中最长的边，即斜边的平方等于两个直角边平方的和。
这一定理被广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域，有助于解决直角三角形相关的问题和计算。
勾股定理的一种简单表述是：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边平方的和。
用数学符号表示为：c² = a² + b²，其中c是斜边的长度，a和b是两个直角边的长度。
勾股定理的应用非常广泛，下面将介绍其中一些常见的应用。
1. 测量直角三角形的边长：当我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度时，可以通过勾股定理计算斜边的长度。
这对于工程测量和建筑设计等领域非常重要。
2. 判断三角形的形状：根据勾股定理，如果一个三角形的三条边满足c² = a² + b²，那么这个三角形就是一个直角三角形。
通过这一定理，我们可以判断任意三条边的长度是否构成直角三角形。
3. 计算角度：勾股定理可以用来计算直角三角形中的角度。
根据a²+ b² = c²，我们可以通过三角函数的逆运算，如正弦、余弦和正切等，求得角度的数值。
4. 解决问题：勾股定理在解决实际问题中有着重要的应用。
例如，在导航和航海中，我们可以利用勾股定理计算两个位置之间的直线距离。
在炮弹轨迹的分析和设计中，勾股定理可以帮助预测炮弹的轨迹和距离。
通过深入理解和应用勾股定理，可以进一步拓展我们对三角形性质的认识，并解决更为复杂的问题。
例如，我们可以探索勾股定理在多边形中的应用，以及勾股定理的扩展形式，如海伦公式等。
除了勾股定理本身，我们还可以讨论一些与之相关的概念和定理，进一步加深对三角形的理解。
例如，我们可以介绍正弦定理和余弦定理，它们可以用来计算非直角三角形中的边长和角度。
总结起来，勾股定理作为数学中一项重要而实用的定理，不仅有助于理解和解决直角三角形相关的问题，还在物理学、工程学和导航等实际应用中发挥着重要作用。
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Good Bye
服。
糟糕，太 长了，放 不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是4尺、3尺、12尺，那么，你能 帮小明估计一下买的竹竿至多是多少尺吗？（结果取整数）
A
A
C
12
3
12 C
D 4
BD 4
B3
C
B
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
S3
S4
S6
S7
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
4、若一个直角三角形两条边长是 3和2，那么第三条边长是多少？
探y=究0 1
生活中的数学问题
一个门框的尺寸如图所示，一块长３m，
宽２.２m的薄木板能否从门框内通过？为
什么？
Ｄ
Ｃ
2m
Ａ
Ｂ
1m
y分=0析
连接AC. 在Rt△ABC中，根据勾股定理,得
AC2 AB2 BC2 12 22 5。
01 2 3 4
数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上画出表示 13 的
点吗？
L
解：
B
2
0 1 2 A3 13C4
试 一 试
1请你在作业纸上画图，在数轴上表示 13 的点
2请同学们归纳出如何在数轴上画出表示 13 的点
的方法？
3你能在数轴上表示 17 的点吗？试一试！
扩展
利用勾股定理作出长为 的线段.
2 、 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， ∠ BAD =900，∠DBC = 900 ， AD = 3，AB = 4， BC = 12， 求CD；
D
A
C B
3、 如图，∠ACB=∠ABD=90°，
CA=CB，∠DAB=30°，AD=8，求AC
的长。
D
解：∵∠ABD=90°，∠DAB=30°
要求梯子的底端是否滑动0.5m，只需 求出BD的长是否为0.5米。
由图可知BD=OD-OB.则需先求出
OD,OB的长。
解：在Rt AOB中，
OB2 AB2 AO2
A
C 23
32 2.52 2.75。
所以OB= 2.75 1.66。 O
BD
解：在Rt COD中，
OD2 CD2 CO2
A
D
E
B
FC
如图：正方体的棱长为５cm，一只
蚂蚁欲从正方体底面上的顶点A沿
正方体的表面到顶点C′处吃食物，
那么它需要爬行的最短路程的长是
多少？
D′
C′
A′
B′
D
A
C B
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分
别等于55cm，１０cm和6cm，A和B是这个台阶的两个
相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的
32 2.5 0.52 5。
所以OD= 5 2.24。
所以BD=OD-OB
A
C
=2.24-1.66=0.58。 2
所以梯子的顶端下滑0.5m， 它的底端不是滑动0.5m.
O
3
BD
数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上画出表示 13 的
点吗？ 探究思路：把握题意——找 关键字词——连接相关知 识——建立数学模型（建模）
2, 3, 5
用同样的方法，你能否 在数轴上画出表示 12
3 4 5 ，…ຫໍສະໝຸດ 1123 45
用同样的方法，你能 否在数轴上画出表示
4
1
5
2
，…
3
1
0 1 2 32 5 3 4 5
1、如图，在△ABC中，AB=15， BC=14，AC=13，求△ABC的面 积。
A
15
13
B
14-x 14D x C
人教版八年级（下册）
第十八章勾股定理
18.1勾股定理（第2课时）
知识回顾
1 已知直角三角形ABC的三边为a,b,c ，
∠C＝ 90° ，则 a,b,c 三者之间的关系
是
。
2 矩形的一边长是5，对角线是13，则它
的面积是
。
A
D
B
C
3、若一个直角三角形两条直角边长 是3和2，那么第三条边长是多少？
要注意分类讨论的 思想的应用噢！
则X2=
25 或7
5.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上 的高线AD=8,求BC
A
B
C
6、如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠B=30°， AD是∠BAC的角平分线，与BC相交于点D，且
AB= 4 3 ，求AD的长。
A
C
D
B
7、矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点 F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
C
又AD=8
∴BD=
1
AD=4
8
2
A 30°
B
在Rt△ABD中 ,根据勾股定理
AB2 AD2 BD2 82 42 48
在Rt△ABC中， AB2 CA2 CB2 ,且CA CB
AB2 2CA2 CA2 1 AB2 24 2
AC 2 6
4.已知:直角三角形的三边长分别是3,4,X,
食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面
爬到B点，最短线路是多少？
A 55cm
A
１０cm
6cm
B
解题思路：把握题意—— 找关键字词——连接相关 知识——建立数学模型
（建模）
48cm
C
55cm
B
思考:
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
买最 长的 吧！
快点回家， 好用它凉衣
所以 AC 5 2.236. Ｄ Ｃ
因为AC大于木板的宽，
2m
所以木板能从门框内通过。
Ａ
Ｂ
1m
探y=究0 2
A
C 23
如图,一个三米长的梯子 AB,斜靠在一竖直的墙 AO上,这时AO的距离为 2.5m,如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m,那么梯 子底端B也外移0.5m吗?
O
BD
y分=0析