高数习题册答案1-1

习题1.1A （P15）提示（仅供参考）

1．用定义（0n ε-语言）证明： （1）1

lim 1n n

+= 证明：

111n n n +-=，故对0ε∀>，欲使11n n ε+-<，只需1n ε<，即1

n ε

>。 故对0ε∀>，取01max ,1n ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭（注意：不能写成01max ,1n ε⎧⎫

=⎨⎬⎩⎭，以下几个

类似），当0n n >时有

1

1n n

ε+-< 故1

lim

1n n += （2）sin

lim 0n

=

证明：

sin 10n n -<，故对0ε∀>，欲使sin 0n ε-<，只需1n ε<，即1

n ε

>。 故对0ε∀>，取01max ,1n ε⎧⎫

⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭

，当0n n >时有

sin

0n

ε-< 故sin

lim

0n

= （3）22

11

lim 22

n n += 证明：222111222n n n +-=，故对0ε∀>，欲使221122n n ε+-<，只需2

12n ε<，

即n >

0ε∀>，取0max ,1n ⎧⎫⎪⎪

=⎨⎬⎪⎪⎩⎭

当0n n >时有 22

11

22

n n ε+-<

故2211

lim 22

n n += （4）0

=

证明：

<，故对0ε∀>，欲使0ε<，只需

ε<， 即21

n ε>

。故对0ε∀>，取021max ,1n ε⎧⎫

⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭

当0n n >时有

0ε<

故0

=

（5）!

lim 0n n n

= 证明：

!12

10n n n n n n

n n -=<，故对0ε∀>，欲使!0n n n ε-<，只需1

n

ε<，即1

n ε

>

。

故对0ε∀>，取01max ,1n ε⎧⎫

⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭

当0n n >时有

!

0n

n n ε-< 故!

lim

0n

n n = （注意：若用夹逼法：!10n n n n

<

<） （6）()lim 00!n

a a n =>

证明：[][]0!12

11n a a a

a a

a a

n a a n n ⎛⎫-=

⎪ ⎪+-⎝⎭，注意到[]1,11

1

a a

a n <<+-，故

[]1

0!a n a a n n +-<，，欲使0!

n a n ε-<，只需[]1a a n ε+<，即[]

1

a a n ε+>。 故对0ε∀>，取[]10max ,1a a n ε+⎧⎫⎡⎤⎪⎪

=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩

⎭当0n n >时有 0!

n

a n ε-< 故()lim 00!

n

a a n =>

（注意：若用夹逼法：[]

1

0!a n a a n n

+<<） 2．证明：lim n a a =的充分必要条件是对0ε∀>，只有{}n a 的有限多项不在

(),a a εε-+中。

证明：（必要性）若lim n a a =，则0ε∀>，0n N ∃∈， 0n n >时有n a a ε-<，故至多有0n 项在不再(),a a εε-+中。

（充分性）对0ε∀>，只有{}n a 的有限多项不在(),a a εε-+中，不妨设不在

(),a a εε-+中项为12,,k n n n a a a ，取{}0

12max ,,k n

n n n =（即取不在

(),a a εε-+中项脚标的最大者，故当0n n >时有n a a

ε-<，即lim n a a =。

4.证明若lim n a a =，则lim n a a =。反之不一定，举例说明。但若lim 0n a =，则有lim 0n a =

证明：由 lim n a a =，有对0ε∀>，1n N ∃∈，1n n >时有n a a ε-<， 故对0ε∀>，取01n n = 0n n >时有n n a a a a ε-<-<，故lim n a a =。 反之不一定，例数列{}(1)n -。

由lim 0n a =，有对0ε∀>，1n N ∃∈，1n n >时有0n a ε-<。 故对0ε∀>，取01n n = 0n n >时有00n n a a ε-=-<，故lim 0n a =

5：证明 设0n a >，lim n a a =，证明=

5：证明 设0n a >，lim n a a =

，证明=证明 若0a =，

由 lim 0n a =，有对0ε∀>，1n N ∃∈，1n n >时有

20n a ε-<

故对0ε∀>，取01n n = ，当0n n >时有

0ε<

故

0==若0a ≠，则由极限的保号性得0a >。

由 lim n a a =，有对0ε∀>，2n N ∃∈，2n n >

时有n a a -< 故对0ε∀>，取02n n = ，当0n n >时有

ε=

<

<

故

=6证明：若lim 0n a =，{}n b 有界，则lim 0n n a b = 证明：{}n b 有界，故可设n b M <

由lim 0n a =，有对0ε∀>，1n N ∃∈，1n n >时有0n n a a M

ε

-=<

故对0ε∀>，取01n n = 当0n n >时有0n n n a b M a ε-≤<，故lim 0n n a b =。 7．若lim 0n n a b =是否一定有lim 0n a =或lim 0n b =。 解：否。例sin

2n n a π=，cos 2

n n b π= 8（1）设{}2k a ，{}21k a +均收敛，问{}n a 是否必然收敛。 解：否，例{}(1)n -。